第02讲一元二次方程的解法：配方法（2大知识点+3大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

第02讲一元二次方程的解法：配方法（2大知识点+3大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 解一元二次方程----直接开平方法 典型例题二 解一元二次方程----配方法 典型例题三 配方法的应用 知识点一：直接配平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 方程x2＝p的解的情况： 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 【即时训练】 1．（2025·广东清远·一模）（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，直接开方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选B． 2．（24-25八年级下·北京平谷·期中）方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后直接开平方，求出方程的解即可． 【详解】解：， 移项得：， 开平方得：， ∴，． 故答案为：， 知识点二：配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 要点诠释： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式 【即时训练】 1．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程． 解方程：． 解：， ， ∴__△_ ∴=（△）， 或， ． 若以上解答过程正确，则“△”“△”应分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程即可得出答案． 【详解】解方程：． 解：， ， ， ∴， ∴=， 或， ，． 故选：A 2．（24-25九年级上·山西运城·期中）小兵同学解关于的一元二次方程时，先在方程的两边加上16，把方程变形为，他这种解一元二次方程的方法是 法． 【答案】配方 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，正确理解题意、熟练掌握配方的方法是关键． 根据配方法的解题步骤即可求解． 【详解】解：解关于的一元二次方程时，先在方程的两边加上16，把方程变形为， 这是采用了配方法解一元二次方程， 故答案为：配方． 【典型例题一 解一元二次方程----直接开平方法】 1．（24-25九年级下·全国·假期作业）已知甲方程式为，乙方程式为．关于甲、乙两方程式的解的情形，下列叙述何者正确？（   ） A．甲有两个相异的解，乙无解 B．甲有两个相异的解，乙有两个相异的解 C．甲有两个相同的解，乙无解 D．甲有两个相同的解，乙有两个相异的解 【答案】A 【分析】本题考查直接开方法解一元二次方程，利用直接开方法以及完全平方的非负性，进行判断即可． 【详解】解：甲方程： 两边开平方得：或， 解得： 或 ． 因此，甲方程有两个相异的解：和． 乙方程： 由于任何实数的平方均为非负数，而右边为负数，故该方程在实数范围内无解． 综上，甲方程有两个相异的解，乙方程无解， 故选A． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，． (2)， 【详解】解：（1）移项，得． 两边直接开平方，得， 解得，． （2）两边直接开平方，得， 即或， 解得，． 1．（2025·全国·模拟预测）给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．已知函数，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程、新定义的理解，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 根据新定义得出，利用直接开平方法求解可得． 【详解】解：由题意可知，即， 解得：， 故选：B． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）一元二次方程的根是（   ） A． B．， C． D．， 【答案】B 【分析】考察一元二次方程的解法——直接开平方法 【详解】解：∵ ∴ 故答案选B 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）一元二次方程的根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法——直接开平方法，直接移项开方解方程即可 【详解】 4．（24-25八年级下·山东烟台·期末）解方程：． 【答案】 【分析】利用直接开平方法解一元二次方程即可得． 【详解】解：， 移项，得， 方程两边同除以9，得， 开平方，得， 所以． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法是解题关键． 【典型例题二 解一元二次方程----配方法】 1．（24-25九年级上·山东临沂·期中）将方程降次转化为一元一次方程，得（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， 两边都加4得：， ∴， ∴或， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程是解本题的关键． 2．（24-25八年级下·北京门头沟·期末）阅读材料，并回答问题： 小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： 解：． ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 问题：（1）上述过程中，从第_____________步开始出现了错误（填序号）； （2）发生错误的原因是：_____________； （3）在下面的空白处，写出正确的解答过程． 【答案】（1）⑤；（2）开方有两个答案而只写了一个；（3）正确解答过程见解析． 【分析】（1）根据一元二次方程的解法依次判断每一步即可； （2）根据一元二次方程的解法分析错误原因即可； （3）根据一元二次方程的解法写出正确的解方程过程即可． 【详解】解：（1）根据一元二次方程的解法可以判断出第⑤步开始出现了错误． 故答案为：⑤． （2）根据一元二次方程的解法分析⑤的错误原因是：开方有两个答案而只写了一个． 故答案为：开方有两个答案而只写了一个． （3）正确解答过程如下：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）下面是小明同学用配方法解方程2x-12x-1=0的过程： 解：2x-12x=1……第1步； x-6x=1……第2步； x-6x+9=1+9……第3步； （x-3）=10，x-3=±……第4步； ∴x1=3+，x2=3-； 最开始出现错误的是（    ） A．第1步 B．第2步 C．第3步 D．第4步 【答案】B 【分析】利用配方法逐步求解，即可找到出现的错误． 【详解】解：正确的解法为： 2x-12x-1=0……第1步； x-6x=……第2步； x-6x+9=+9……第3步； （x-3）=，x-3=±……第4步； ∴x1=3+，x2=3-； 可知最开始出现错误的是第2步． 故选B． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的基本步骤并正确计算是解题的关键． 2．（2025·浙江湖州·模拟预测）利用“配方法”解方程，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握配方法成为解题的关键．直接运用配方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）将方程化成的形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法的运用，掌握配方法的方法是关键． 根据配方法，找出一次项系数，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，结合完全平方公式即可求解． 【详解】解：， 等式变形得，， 等式两边同时加上得，， ∴配方得，， 故答案为： ． 4．（24-25九年级上·河北承德·阶段练习）阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ，⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)③；只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的方法和步骤． （1）根据配方法解一元二次方程的方法和步骤，即可获得答案； （2）利用配方法解该一元二次方程即可． 【详解】（1）解：上述解题过程有误，错在步骤③，错误的原因是只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加． 故答案为：③，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加； （2）解：， 移项得，， 两边同除以2得，， 配方得，， 即，， ∴或， ∴，． 【典型例题三 配方法的应用】 1．（24-25九年级上·北京·阶段练习）用配方法解方程，变形后结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． 把方程左边配成完全平方式，右边化为常数，即可得出答案． 【详解】解：， ， 即：， 故选：． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）用配方法求的最大值． 【答案】4 【分析】将代数式前两项提取-3变形后，配方化为完全平方式，根据完全平方式的最小值为0，即可得到代数式有最大值，求出即可． 【详解】解： = = = ∵， ∴， ∴的最大值为4． 【点睛】本题考查了配方法的应用，难度不大，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 1．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）用配方法解方程时，配方后正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查用配方法解一元二次方程的能力，熟练掌握配方法的关键步骤是解题的关键． 将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【详解】解：， ， ，即， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知一元二次方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方程常数项移到右边， 两边加上配方得到结果， 即可做出判断，此题考查了解一元二次方程配方法， 熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【详解】解： 移项得，， 等式两边同时加上，配方得，， ∴， 故选：． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知一元二次方程可以通过配方转化为的形式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程．根据配方法的步骤进行配方即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·四川巴中·期中）如果x2﹣10x+y2﹣12y+61＝0，求的值． 【答案】 【分析】先把原方程化为完全平方公式的形式，再根据非负数的性质求出x、y的值，代入进行计算． 【详解】解：∵x2﹣10x+y2﹣12y+61＝（x﹣5）2+（y﹣6）2＝0， ∴x＝5，y＝6， ∴＝． 【点睛】本题考查了配方法的应用，灵活的利用完全平方公式对方程进行配方是解题的关键. 1．（2025·贵州贵阳·一模）一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】此题考查了解一元二次方程-直接开平方法，方程利用平方根定义开方即可求出解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，． 故选：D． 2．（24-25九年级上·甘肃平凉·期末）方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程的直接开平方法，利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：， 则， 所以． 故选：A． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直接开方法解一元二次方程．将方程化为标准形式后，利用平方根的定义求解． 【详解】解：∵， 两边同时除以2，：， ∴直接开方得：， 解得：，， 故选：B． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）方程配方后的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元二次方程的方法：配方法，将方程通过配方法转化为完全平方形式即可． 【详解】解： 将常数项移到右边，得 因此两边同时加9： 左边写成完全平方形式，右边计算得： 故选：B 5．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤及方法是解题的关键．先移项，再给方程两边加上一次项系数一半的平方即可得出结果． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即， 故选：B． 6．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）用配方法解配方得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法，先把方程两边都加1，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 7．（浙江省温州市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷）王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，错误的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程的配方法，根据解答过程结合配方法解一元二次方程判断即可． 【详解】解： ， 故乙解答错误， 故选：B． 8．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）数学课上，数学老师在黑板上写出了一个一元二次方程，让第一学习小组的四位同学以接力的方式用配方法解方程，每人负责完成一个步骤（如图），他完成一步解答后接着第二位同学上黑板计算，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一名同学的计算结果．接力计算中，出现错误的同学是（   ） A．张 B．王 C．李 D．陈 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用配方法解一元二次方程成为解题的关键． 根据配方法解老师出示的一元二次方程即可判断出错的同学． 【详解】解：， 移项得：，故小张正确； 方程左右两边同时除以2可得：，故小王错误； 故小王负责的式子出现错误； 故选：B． 9．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）珍珍将方程化为的形式时，得到p的值为2，q的值为6，则珍珍所得结果（    ） A．正确 B．不正确，p的值应为 C．不正确，q的值应为2 D．不正确，q的值应为4 【答案】B 【分析】本题考查配方法的应用．按照一移，二配，三变形的方法，进行配方后，判断即可．掌握配方法，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； ∴到p的值为，q的值为6， 故选B． 10．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 先移项，再配方，最后得出选项即可． 【详解】解：， 移项，得， 配方得：， ． 故选：B． 11．（24-25九年级上·全国·课后作业）方程的根是 ． 【答案】， 【分析】利用一元二次方程的解法——直接开方法解方程即可 【详解】 解： 或 ∴ 12．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）若关于x的一元二次方程有一个解是0，则 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，正确求出m的值是关键，注意二次项系数不为0； 把代入原方程可得关于m的方程，解方程即可得解，注意. 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个解是0， ∴且， 解得：； 故答案为：. 13．（23-24九年级上·江苏常州·期末）如图，在用配方法解一元二次方程时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是、宽是x、面积是的矩形割补成一个正方形，则m的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是解一元二次方程，用配方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴． 故答案为：3． 14．（24-25九年级上·全国·单元测试） ． 【答案】 【分析】根据完全平方公式：即可得出结论． 【详解】解： 故答案为：；． 【点睛】此题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式是解决此题的关键． 15．（24-25九年级下·江苏镇江·阶段练习） 【答案】3 【分析】利用配方法整理即可． 【详解】解： ， 故答案为：3， 【点睛】本题考查了配方法的应用：将二次三项式配成的形式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 16．（24-25九年级·全国·假期作业）解方程：． 【答案】， 【分析】利用直接开平方法解方程得出答案． 【详解】解：， 则， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了直接开平方法解方程．正确开平方是解题关键． 17．（2025九年级上·全国·专题练习）用直接开平方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：根据平方根的意义，得， 解得． 18．（23-24九年级上·陕西延安·阶段练习）下面是甲、乙两名同学解方程的部分解答过程：    (1)代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做____________法． (2)请判断他们的解答过程是否正确？若其中至少有一位同学正确，请选择一位同学的解法，写出完整的解答过程；若都错误，请写出你认为正确的解答过程． 【答案】(1)配方 (2)正确，详见解析 【分析】（1）根据配方法回答即可； （2）利用配方法求解方程即可． 【详解】（1）解：根据题中过程可得，这种解题方法叫做配方法， 故答案为：配方； （2）他们的解答过程正确， 选择甲同学： ， ， ， ， ， ， 解得：，； 选择乙同学： ， ， ， ， ， ， 解得：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的运用． 19．（24-25九年级上·北京·期中） 【答案】 【分析】先把方程化为即再利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：， ∴ ∴ ∴ 解得： 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用配方法解一元二次方程”是解本题的关键． 20．（23-24九年级上·北京·期末）阅读下面的材料 一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在他的代表作《代数学》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法，我国三国时期的数学家赵爽在其所著《勾股圆方图注》中也给出了类似的解法． 以为例，花拉子米的几何解法步骤如下： ① 如图1，在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形； ② 一方面大正方形的面积为(x+ )2，另一方面它又等于图中各部分面积之和，因为，可得方程 ，则方程的正数解是 ． 根据上述材料，解答下列问题． (1)补全花拉子米的解法步骤②； (2)根据花拉子米的解法，在图2的两个构图①②中，能够得到方程的正数解的正确构图是 (填序号)． 【答案】(1)5，5，25，3 (2)① 【分析】本题主要考查解一元二次方程−配方法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据已知算式和图形可得答案． （2）根据“在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形”，可得答案． 【详解】（1）解：一方面大正方形的面积为，另一方面它又等于图中各部分面积之和，因为，可得方程，则方程的正数解是． 故答案为：5；5；25；3． （2）解：由题意可得，能够得到方程的正数解的正确构图： 在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为和3的矩形，再补上一个边长为3的小正方形，最终把图形补成一个大正方形 ∴①符合． 故答案为：①． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲一元二次方程的解法：配方法（2大知识点+3大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 解一元二次方程----直接开平方法 典型例题二 解一元二次方程----配方法 典型例题三 配方法的应用 知识点一：直接配平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 方程x2＝p的解的情况： 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 【即时训练】 1．（2025·广东清远·一模）（    ） A． B． C．2 D． 2．（24-25八年级下·北京平谷·期中）方程的解为 ． 故答案为：， 知识点二：配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 要点诠释： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式 【即时训练】 1．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程． 解方程：． 解：， ， ∴__△_ ∴=（△）， 或， ． 若以上解答过程正确，则“△”“△”应分别为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西运城·期中）小兵同学解关于的一元二次方程时，先在方程的两边加上16，把方程变形为，他这种解一元二次方程的方法是 法． 【典型例题一 解一元二次方程----直接开平方法】 1．（24-25九年级下·全国·假期作业）已知甲方程式为，乙方程式为．关于甲、乙两方程式的解的情形，下列叙述何者正确？（   ） A．甲有两个相异的解，乙无解 B．甲有两个相异的解，乙有两个相异的解 C．甲有两个相同的解，乙无解 D．甲有两个相同的解，乙有两个相异的解 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 1．（2025·全国·模拟预测）给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．已知函数，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）一元二次方程的根是（   ） A． B．， C． D．， 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）一元二次方程的根是 ． 4．（24-25八年级下·山东烟台·期末）解方程：． 【典型例题二 解一元二次方程----配方法】 1．（24-25九年级上·山东临沂·期中）将方程降次转化为一元一次方程，得（　　） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25八年级下·北京门头沟·期末）阅读材料，并回答问题： 小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： 解：． ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 问题：（1）上述过程中，从第_____________步开始出现了错误（填序号）； （2）发生错误的原因是：_____________； （3）在下面的空白处，写出正确的解答过程． 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）下面是小明同学用配方法解方程2x-12x-1=0的过程： 解：2x-12x=1……第1步； x-6x=1……第2步； x-6x+9=1+9……第3步； （x-3）=10，x-3=±……第4步； ∴x1=3+，x2=3-； 最开始出现错误的是（    ） A．第1步 B．第2步 C．第3步 D．第4步 2．（2025·浙江湖州·模拟预测）利用“配方法”解方程，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）将方程化成的形式是 ． 4．（24-25九年级上·河北承德·阶段练习）阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ，⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 【典型例题三 配方法的应用】 1．（24-25九年级上·北京·阶段练习）用配方法解方程，变形后结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）用配方法求的最大值． 1．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）用配方法解方程时，配方后正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知一元二次方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知一元二次方程可以通过配方转化为的形式，则的值为 ． 4．（24-25九年级上·四川巴中·期中）如果x2﹣10x+y2﹣12y+61＝0，求的值． 1．（2025·贵州贵阳·一模）一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25九年级上·甘肃平凉·期末）方程的解是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）方程的解是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）方程配方后的结果是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）用配方法解配方得（   ） A． B． C． D． 7．（浙江省温州市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷）王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，错误的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）数学课上，数学老师在黑板上写出了一个一元二次方程，让第一学习小组的四位同学以接力的方式用配方法解方程，每人负责完成一个步骤（如图），他完成一步解答后接着第二位同学上黑板计算，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一名同学的计算结果．接力计算中，出现错误的同学是（   ） A．张 B．王 C．李 D．陈 9．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）珍珍将方程化为的形式时，得到p的值为2，q的值为6，则珍珍所得结果（    ） A．正确 B．不正确，p的值应为 C．不正确，q的值应为2 D．不正确，q的值应为4 10．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·全国·课后作业）方程的根是 ． 12．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）若关于x的一元二次方程有一个解是0，则 13．（23-24九年级上·江苏常州·期末）如图，在用配方法解一元二次方程时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是、宽是x、面积是的矩形割补成一个正方形，则m的值是 ． 14．（224-25九年级上·全国·单元测试） ． 15．（24-25九年级下·江苏镇江·阶段练习） 16．（24-25九年级·全国·假期作业）解方程：． 17．（2025九年级上·全国·专题练习）用直接开平方法解方程：． 18．（23-24九年级上·陕西延安·阶段练习）下面是甲、乙两名同学解方程的部分解答过程：    (1)代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做____________法． (2)请判断他们的解答过程是否正确？若其中至少有一位同学正确，请选择一位同学的解法，写出完整的解答过程；若都错误，请写出你认为正确的解答过程． 19． （24-25九年级上·北京·期中） 20．（23-24九年级上·北京·期末）阅读下面的材料 一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在他的代表作《代数学》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法，我国三国时期的数学家赵爽在其所著《勾股圆方图注》中也给出了类似的解法． 以为例，花拉子米的几何解法步骤如下： ① 如图1，在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形； ② 一方面大正方形的面积为(x+ )2，另一方面它又等于图中各部分面积之和，因为，可得方程 ，则方程的正数解是 ． 根据上述材料，解答下列问题． (1)补全花拉子米的解法步骤②； (2)根据花拉子米的解法，在图2的两个构图①②中，能够得到方程的正数解的正确构图是 (填序号)． 学科网（北京）股份有限公司 $$