第三讲：解一元二次方程（二）（公式法）（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第三讲：解一元二次方程（二） （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：求根公式 1.求根公式的推导 用配方法解方程：ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 2.求根公式 当 Δ≥0 时，方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)的实数根可写为 知识点02：用判别式判断一元二次方程的根的情况. 1.b2−4ac叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ= b2 − 4ac. 2. 3. 考点1：根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典型例题】 下列方程中，无实数根的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 一元二次方程根的情况是（　　） A．有两个相等的实根 B．有两个正根 C．有两个负根 D．有一个正根，一个负根 【变式训练2】 定义运算，例如，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 考点2：根据一元二次方程根的情况求参数 【典型例题】 若关于的一元二次方程有实数根，则应满足（    ） A． B．且 C．且 D． 【变式训练1】 若一元二次方程无实数根，则k的最小整数值是（　　） A．1 B．2 C． D． 【变式训练2】 若方程有两个相等的实数根，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 考点3：用公式法解一元二次方程 【典型例题】 用公式法解下列各方程： (1) (2) (3) 【变式训练1】 利用公式法解得一元二次方程的两个根为，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 若一元二次方程的根为，则该一元二次方程可以为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A．x2＋3x＋2＝0 B．﹣x2＋x＋2＝0 C．（x＋1）2＋2＝0 D．3（x﹣1）2﹣2＝0 2．用公式法解方程时，a、b、c的值分别是（　　） A．5、6、 B． C． D． 3．一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 4．问题“解方程”，嘉嘉说“其中一个解是”，琪琪说“方程有两个实数根，这两个实数根的和为”，珍珍说“，此方程无实数根”，判断下列结论正确的是（    ） A．嘉嘉说得对 B．琪琪说得对 C．珍珍说得对 D．三名同学说法都不对 5．若关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 6．以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 7．问题：“解方程”，嘉嘉解得，淇淇看了嘉嘉的答案，说：“你算的不对，这个方程只有一个解．”判断下列结论正确的是（　　） A．嘉嘉的解是正确的 B．淇淇说得对，因为 C．嘉嘉和淇淇的说法都不对，因为，该方程无解 D．由可得该方程有两个解，但嘉嘉的结果是错的 8．若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（    ） A．36 B． C．9 D． 9．已知代数式与的值互为相反数，则x的值为（    ） A．或4 B．或4 C．或4 D．或 二、填空题 10．一元二次方程的根的判别式的值是 ． 11．已知关于x的一元二次方程根的判别式的值为16，则m的值为 ． 12．若点在第二象限，则关于x的一元二次方程的根的情况是 . 13．已知一次函数的图像不过第三象限，则方程的根的个数为 ． 14．关于的一元二次方程有实数根，则满足 ． 15．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 16．已知，，则的值 ． 17．对于实数m，n，定义运算m⊗n＝mn2﹣n．若2⊗a＝1⊗（﹣2）则a＝ ． 三、解答题 18．用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 19．已知关于的一元二次方程的一个根是，求的值．方程是否还有其他根？若有，请求出来． 20．已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有两个相等的实数根，则a的值为______； (2)易错若该方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围为______； (3)若该方程没有实数根，则a的取值范围为______； (4)若该方程有实数根，则a的取值范围为______． 21．已知关于x的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个不小于 3的根，求实数k的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第三讲：解一元二次方程（二） （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：求根公式 1.求根公式的推导 用配方法解方程：ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 2.求根公式 当 Δ≥0 时，方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)的实数根可写为 知识点02：用判别式判断一元二次方程的根的情况. 1.b2−4ac叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ= b2 − 4ac. 2. 3. 考点1：根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典型例题】 下列方程中，无实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根． 选项AB分别计算判别式，再根据计算结果判断根的情况即可找到没有实数根的方程．选项CD直接解方程即可判定． 【详解】A．，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B．，方程没有实数根，符合题意； C．的根为，有两个相等的实数根，不符合题意； D．的根为，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 故选B． 【变式训练1】 一元二次方程根的情况是（　　） A．有两个相等的实根 B．有两个正根 C．有两个负根 D．有一个正根，一个负根 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解的情况与判别式之间的关系．若，则一元二次方程有两个不等的实数根；若，则一元二次方程有两个相等的实数根；若，则一元二次方程没有实数根；注意：先把原方程化为一般形式． 先表示出，判断其正负性，再根据一元二次方程根的判别式与一元二次方程解的情况的关系，判断其根的情况． 【详解】解：， 方程一定有两个不相等的实数根， 设方程的两个根为、， 根据根与系数的关系得：， 方程的两实数根一定异号，即方程有一个正根，一个负根． 故选：D． 【变式训练2】 定义运算，例如，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案． 【详解】解：根据定义得：， ，，， ， 原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 考点2：根据一元二次方程根的情况求参数 【典型例题】 若关于的一元二次方程有实数根，则应满足（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【分析】此题考查了利用一元二次方程的根的情况求参数，根据题意得到，即可求出答案，正确掌握一元二次方程根的三种情况是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴ ∴且 故选：B． 【变式训练1】 若一元二次方程无实数根，则k的最小整数值是（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由根的判别式与方程根的情况，可得，从而求k的取值范围，再确定k的最小整数，要保证二次项系数不为0． 本题考查了由根的判别式确定根的情况：，有两个不等实根；，有两个相等实根；，无实根． 【详解】解：∵一元二次方程，即无实数根， ∴，且， 解得：， ∴k的最小整数值是2， 故选：B． 【变式训练2】 若方程有两个相等的实数根，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键．本题有两个相等的实数根，即，代入数值计算求解即可． 【详解】解：∵该方程有两个相等实根， ∴， 解得； 故答案为：C． 考点3：用公式法解一元二次方程 【典型例题】 用公式法解下列各方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查利用公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解本题的关键，属基础题． （1）把代入求根公式计算即可； （2）把代入求根公式计算即可； （3）先把方程化为一般形式得：，再把代入求根公式计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：整理，得， ． 【变式训练1】 利用公式法解得一元二次方程的两个根为，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程--公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键． 利用公式法即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 一元二次方程的两个根为，且， 的值为， 故选：D． 【变式训练2】 若一元二次方程的根为，则该一元二次方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，对于一元二次方程，若其有实数根，那么其实数根为，据此结合题意得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴该一元二次方程可以为， 故选：A． 一、单选题 1．下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A．x2＋3x＋2＝0 B．﹣x2＋x＋2＝0 C．（x＋1）2＋2＝0 D．3（x﹣1）2﹣2＝0 【答案】C 【分析】分别用一元二次方程根的判别式逐个判断方程的根的情况即可解答． 【详解】解：A．x2＋3x＋2＝0中，△＝32﹣4×1×2＝1＞0，有两个不相等实数根； B．﹣x2＋x＋2＝0中，△＝12﹣4×（﹣1）×2＝9＞0，有两个不相等实数根； C．（x＋1）2＋2＝0中，△＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，没有实数根； D．3（x﹣1）2﹣2＝0中，△＝（﹣6）2﹣4×3×1＝24＞0，有两个不相等实数根． 故答案为C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，当△＞0时，方程有两个不相等实数根；当△=0时，方程有两个相等实数根；当△小于0时，方程没有实数根． 2．用公式法解方程时，a、b、c的值分别是（　　） A．5、6、 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．将化为一元二次方程的一般形式，即可求解． 【详解】解：将化为一元二次方程的一般形式为：， a、b、c的值分别是， 故选：C． 3．一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．判断方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了． 【详解】解：，，， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 4．问题“解方程”，嘉嘉说“其中一个解是”，琪琪说“方程有两个实数根，这两个实数根的和为”，珍珍说“，此方程无实数根”，判断下列结论正确的是（    ） A．嘉嘉说得对 B．琪琪说得对 C．珍珍说得对 D．三名同学说法都不对 【答案】C 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是熟练掌握根的判别式及根据根据判别式判断一元二次方程根的情况． 由题意得出系数后，根据根的判别式判断即可求解． 【详解】解：方程中，，，， ， 此时方程无实数根，珍珍说得对． 故选：． 5．若关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到，求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， ∴的取值范围是且， 故选：C． 6．以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键． 根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：A． ， ∴，故该选项不正确，不符合题意； B． ， ∴，故该选项不正确，不符合题意； C． ， ∴，故该选项正确，符合题意； D． ， ∴，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 7．问题：“解方程”，嘉嘉解得，淇淇看了嘉嘉的答案，说：“你算的不对，这个方程只有一个解．”判断下列结论正确的是（　　） A．嘉嘉的解是正确的 B．淇淇说得对，因为 C．嘉嘉和淇淇的说法都不对，因为，该方程无解 D．由可得该方程有两个解，但嘉嘉的结果是错的 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式．熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 根据根的判别式求得，于是得到结论． 【详解】解：原方程可化为， ， ∴原方程无实数根， 故嘉嘉和淇淇的说法都不对，因为，该方程无解， 故选：C． 8．若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（    ） A．36 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】根据判别式的意义得到，然后解关于c的一次方程即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根 ∴ 解得 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的跟与的关系，关键是分清楚以下三种情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 9．已知代数式与的值互为相反数，则x的值为（    ） A．或4 B．或4 C．或4 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了相反数的定义，公式法解一元二次方程， 由相反数的定义得出，然后解一元二次方程求解即可得出答案． 【详解】解∶ 代数式与的值互为相反数， 则 整理得：， 解得：或， 故选：D． 二、填空题 10．一元二次方程的根的判别式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的根的判别式的定义求解即可，熟知对于一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 11．已知关于x的一元二次方程根的判别式的值为16，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式为，代入数据求解即可 【详解】解：， ， ， 解得， 故答案为：． 12．若点在第二象限，则关于x的一元二次方程的根的情况是 . 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了根的判别式以及点的坐标，由点P在第二象限，可得出，，进而可得出，结合，进而可得出关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 【详解】 解：点在第二象限，，， ， ， 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 13．已知一次函数的图像不过第三象限，则方程的根的个数为 ． 【答案】1或2 【分析】本题考查了一次函数的图像，一元二次方程根的情况，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 由一次函数的图像不过第三象限，得，分类讨论，当时，方程为一元一次方程，有1个根；当时，方程为一元二次方程，根据判断即可． 【详解】解：∵一次函数的图像不过第三象限， ∴， 当时，，方程为一元一次方程，所以方程根的个数为1个； 当时，，由于， ∴， ∴方程有2个不相等的实数根， 综上，方程根的个数为1或2． 故答案为：1或2． 14．关于的一元二次方程有实数根，则满足 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，解题的关键是掌握相关知识.根据题意得：，且，即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，且， 解得：，且， 故答案为：，且． 15．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了一元二次方程的根的判别式．根据判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得． 故答案为：． 16．已知，，则的值 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握求根公式，并注意进行分类讨论． 【详解】解：依题意得a，b是方程的解， 解得：，， 当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：或． 17．对于实数m，n，定义运算m⊗n＝mn2﹣n．若2⊗a＝1⊗（﹣2）则a＝ ． 【答案】2或． 【分析】根据题意，列出关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：根据定义，2⊗a＝1⊗（﹣2）转化为：2a2﹣a=1×（﹣2）2﹣（﹣2）, 解方程得，a1=2，a1=， 故答案为：2或． 【点睛】本题考查了新定义运算和一元二次方程，解题关键是理解题意，把等式转化为一元二次方程，准确求解． 三、解答题 18．用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)原方程没有实数根 (3)， 【分析】本题考查公式解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握，． （1）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案； （2）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案； （3）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将方程化为一般形式，得． ∵， ∴， ； （2）解：∵， ∴， ∴原方程没有实数根； （3）解：将方程化为一般形式，得． ∵， ∴． ∴， ∴， ． 19．已知关于的一元二次方程的一个根是，求的值．方程是否还有其他根？若有，请求出来． 【答案】方程有其他根，方程的另一个根是 【分析】根据一元二次方程的解得，求解得．代入原方程求解即可．本题主要考查了一元二次方程得解及公式法解一元二次方程，准确计算是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 当时，原方程为，整理，得， ∵，，，， ∴， ∴，， ∴方程有其他根，方程的另一个根是． 20．已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有两个相等的实数根，则a的值为______； (2)易错若该方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围为______； (3)若该方程没有实数根，则a的取值范围为______； (4)若该方程有实数根，则a的取值范围为______． 【答案】(1)4； (2)且； (3)； (4)且． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． （1）根据且求解即可； （2）根据且求解即可； （3）根据且求解即可； （4）根据且求解即可． 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴且， 解得． 故答案为：4； （2）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 又∵， ∴a的取值范围为且0． 故答案为：且； （3）∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴且， 解得． 故答案为：； （4）∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得． 又∵， ∴a的取值范围为且． 故答案为：且． 21．已知关于x的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个不小于 3的根，求实数k的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与方程的根之间的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）证出根的判别式即可完成； （2）将k视为数，求出方程的两个根，即可求出k的取值范围． 【详解】（1）证明：， ， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴ ∴， ∵方程有一个不小于 3的根， ∴， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $$