精品解析：福建省厦门南山龙淑亭金林湾中学2024—2025学年下学期八年级数学期中考试

2024-2025 学年 （下）厦门南山龙淑亭金林湾中学 初二数学期中考卷 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 考生注意： 1.全卷分三个部分，共25题； 2.答案一律写在答题卡上，否则不能得分. 一、选择题（本大题有10小题，每题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项符合题意.） 1. 下列图形中的曲线不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数字为边长的三角形是直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，6 C. 4，6，7 D. 5，12，13 3. 下列计算正确的是（　 ） A. B. C. D. 4. 下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 点在函数的图象上，则m、n的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知平行四边形的对角线和交于点，若 ，，则边的长度可能是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 7. 如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ） A. 8米 B. 9米 C. 10米 D. 12米 8. 如图反映的过程是：小强从家去菜地浇水，又去玉米地除草，然后回家，如果菜地和玉米地的距离为千米，小强在玉米地除草比在菜地浇水多用的时间为分钟，则，的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 如图，在菱形中，、交于O点， ，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，则点C的纵坐标y与x的函数解析式是（ ） A. y=x B. y=1-x C. y=x+1 D. y=x- 1 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：_____．__________． 12. 函数中，自变量的取值范围是_______. 13. 请写出一个的值随着值的增大而增大的正比例函数的表达式：______． 14. 写出“菱形的四条边都相等”的逆命题______，并判断你写出的命题的真假______（填“真”或“假”）． 15. 在 ABCD中，AD=6，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF=____________． 16. 如图，在正方形中，，，相交于点O，E，F分别为边，上的动点（点E， F不与线段， 的端点重合）且，连接，，，在点 E，F运动的过程中，有下列四个结论： ①是等腰直角三角形； ②面积的最小值是1； ③四边形 的面积始终不变； ④至少存在一个，使得的周长是． 所有正确结论的序号是______________________． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： （1） ． （2）． 18. 如图，在□ABCD中，E，F分别在AD，BC上，且AE=CF，连结BE、DF．求证：BE=DF． 19. 先化简，再求值：，其中 ． 20. 已知正比例函数图象经过点，求： （1）这个函数解析式； （2）在图中用描点法画出这个函数图象； （3）判断点、点是否在这个函数图象上．请直接填空： A ，B （填“在”或“不在”）． 21. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，是的中点，连接并延长至点，使 ，连接，． （1）求证：四边形 是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 22. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同． （1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ （2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为W元．超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 23. 如图，在中， ，为边上的中线，点E与点D 关于直线对称，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 24. 如图，在矩形中，点是对角线的中点，点是直线上一点，点是直线上一点，且 ，连接． （1）如图1，若点，分别是，的中点，且，，则的长为__________； （2）如图2，若点在的延长线上，其他条件不变，探究线段，，的数量关系，并给出证明； （3）如图3，若点在的延长线上，且，，，求线段的值． 25. 在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A、C分别在x轴、y轴上，且点C的坐标为． （1）如图1，求直线的解析式； （2）如图2，边上有一动点D，连接 ，点F在线段上，使得，点G在的延长线上，点E在线段上，连接，满足，若D点的纵坐标为t，的长为d，求d与t的关系式； （3）如图3，在（2）问的条件下，E在线段上，连接，若，当时，求t值，并直接写出G点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025 学年 （下）厦门南山龙淑亭金林湾中学 初二数学期中考卷 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 考生注意： 1.全卷分三个部分，共25题； 2.答案一律写在答题卡上，否则不能得分. 一、选择题（本大题有10小题，每题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项符合题意.） 1. 下列图形中的曲线不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应，那么就称是的函数．再结合图象，可得到答案． 【详解】解：由函数的定义，可知B选项中，存在某一些的值，有两个值与之对应，不符合函数定义，因此B选项中的曲线不能表示y是x的函数，故B符合题意． 而选项A，C，D中的曲线都符合函数的定义，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了函数的定义，理解函数的定义，每一个确定的值只能对应一个确定的值，再结合函数图象解题是关键． 2. 以下列各组数字为边长的三角形是直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，6 C. 4，6，7 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是掌握“如果三角形最长边的平方等于另两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形”，逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，不可以组成直角三角形，故不符合题意； B、，不可以组成直角三角形，故不符合题意； C、，不可以组成直角三角形，故不符合题意； D、，可以组成直角三角形，故符合题意； 故选：D． 3. 下列计算正确的是（　 ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法、二次根式的加法、二次根式的减法、二次根式的性质，根据二次根式的乘法、二次根式的加法、二次根式的减法、二次根式的性质 判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故原选项计算正确，符合题意； B、和不是同类二次根式，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 4. 下列条件中能判定四边形 是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 根据平行四边形的判定定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：、无法得到四边形 是平行四边形，不符合题意； 、无法得到四边形 是平行四边形，不符合题意； 、，，两组对边分别相等的四边形为平行四边形，可得四边形 是平行四边形，符合题意； 、无法得到四边形 是平行四边形，不符合题意． 故选：． 5. 点在函数的图象上，则m、n的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键，一次函数的性质，当 时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，根据此性质进行求解即可得． 【详解】∵函数中，， ∴y随x的增大而减小， 又∵ ， ∴， 故选B． 6. 如图，已知平行四边形 的对角线 和交于点，若 ，，则边 的长度可能是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形对角线互相平分可得的长度，然后根据三角形三边关系可得 的范围，结合选项解答即可． 【详解】解：四边形 是平行四边形， ，， ，， ， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握相关图形的性质定理是解本题的关键． 7. 如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ） A. 8米 B. 9米 C. 10米 D. 12米 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理解答即可． 【详解】如图：由题意可得AB=10-4=6米，BC=6米， AC==10米． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 8. 如图反映的过程是：小强从家去菜地浇水，又去玉米地除草，然后回家，如果菜地和玉米地的距离为 千米，小强在玉米地除草比在菜地浇水多用的时间为分钟，则 ，的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象即可分析求解，解题的关键是从图象中获取信息． 【详解】解：由函数图象可知： 分钟，小强从家走到菜地； 分钟，小强在菜地浇水； 分钟，小强从菜地走到玉米地； 分钟，小强在玉米地除草； 分钟，小强从玉米地回到家； 综合上面的分析得：由的过程知，； 由的过程知， 故选：． 9. 如图，在菱形 中， 、交于O点， ，，点P为线段 上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 先利用菱形的对角线互相垂直平分求出菱形边长，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形 是菱形， ∴ 与互相垂直平分， ∴，， ∴， ∵，， ， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 10. 如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，则点C的纵坐标y与x的函数解析式是（ ） A. y=x B. y=1-x C. y=x+1 D. y=x- 1 【答案】C 【解析】 【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，只要证明△CEA≌△AOB（AAS），即可解决问题． 【详解】解：过点C作CE⊥y轴于点E． ∵∠CEA=∠CAB=∠AOB=90°， ∴∠EAC+∠OAB=90°，∠OAB+∠OBA=90°， ∴∠EAC=∠ABO， ∵AC=AB， ∴△CEA≌△AOB（AAS）， ∴EA=OB=x，CE=OA=1， ∵C的纵坐标为y，OE=OA+AD=1+x， ∴y=x+1． 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：_____．__________． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算．根据二次根式的运算法则计算即可求解． 【详解】解：； ， 故答案为：5；． 12. 函数中，自变量的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数． 【详解】依题意，得x-3≥0， 解得：x≥3． 【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 13. 请写出一个的值随着值的增大而增大的正比例函数的表达式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的性质，因为在正比例函数中，y的值随着x值的增大而增大，所以 ，于是得到结论． 【详解】解：在正比例函数中，y的值随着x值的增大而增大， ∴ ， ∴函数表达式为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 写出“菱形的四条边都相等”的逆命题______，并判断你写出的命题的真假______（填“真”或“假”）． 【答案】 ①. 四条边都相等的四边形是菱形 ②. 真 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定，写出逆命题，判断命题的真假．将原命题的条件和结论互换，写出逆命题，根据菱形的判定方法，判定命题的真假即可． 【详解】解：逆命题为：四条边都相等的四边形是菱形，是真命题； 故答案为：四条边都相等的四边形是菱形，真． 15. 在 ABCD中，AD=6，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF=____________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得BC长，再利用三角形中位线性质可得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， 如图， ∴BC=AD=6， ∵点E，F分别是BD，CD的中点， ∴EF=BC=3， 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，以及三角形中位线性质，关键是掌握平行四边形的对边相等．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 16. 如图，在正方形 中，， ，相交于点O，E，F分别为边 ，上的动点（点E， F不与线段， 的端点重合）且，连接，， ，在点 E，F运动的过程中，有下列四个结论： ①是等腰直角三角形； ②面积的最小值是1； ③四边形 的面积始终不变； ④至少存在一个 ，使得 的周长是． 所有正确结论的序号是______________________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】证明，可得，可得①正确；当时，最小，此时，可得面积的最小值是，可得②错误；根据，可得，可得③正确；设，则，根据勾股定理可得，可得④正确． 【详解】解：∵四边形 是正方形， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，故①正确； 当时，最小，此时， ∴面积的最小值是，故②错误； ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴ 的周长是， 设，则， ∴， 令， 解得，， ∴当或时，， ∴存在两个 ，使得 的周长是，故④正确； 故正确的有：①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】此题属于四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： （1） ． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、零次幂、绝对值、平方差公式和完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据零次幂、绝对值和二次根式的性质化简，再进行计算； （2）利用二次根式的混合运算法则进行计算． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 18. 如图，在□ABCD中，E，F分别在AD，BC上，且AE=CF，连结BE、DF．求证：BE=DF． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∵AE=CF， ∴DE=BF，DE∥BF， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴BE=DF． 【解析】 【分析】根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，求出DE=BF，DE∥BF，得出四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形DEBF是平行四边形是解决问题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中 ． 【答案】， 【解析】 【分析】小括号内的部分进行通分、计算，将除法转化为乘法，因式分解，再进行约分，最后代数求值即可． 【详解】原式= = =， 将 代入得：原式===． 【点睛】本题考查了分式的化简求值和二次根式的分母有理化，解题关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 20. 已知正比例函数图象经过点，求： （1）这个函数解析式； （2）在图中用描点法画出这个函数图象； （3）判断点、点是否在这个函数图象上．请直接填空： A ，B （填“在”或“不在”）． 【答案】（1） （2）见解析 （3）在，不在 【解析】 【分析】（1）将点代入即可求得； （2）通过描点，连线作图； （3）将已知点代入解析式，分析判断即可． 【小问1详解】 ∵正比例函数图象经过点， ∴ ∴ ∴ ； 【小问2详解】 正比例函数 经过原点和点，且是一条直线， 如图所示， 【小问3详解】 将代入， ∴点在这个函数图象上； 将代入， ∴点不在这个函数图象上． 故答案为：在，不在． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，正比例函数图像的作图，正比例函数图像的性质，掌握正比例函数的相关知识是解题的关键． 21. 如图，在菱形 中，对角线 ，相交于点， 是的中点，连接并延长至点，使 ，连接，． （1）求证：四边形 是矩形； （2）若，，求菱形 的面积． 【答案】（1） 证明：∵ 是 的中点   ， 四边形 是平行四边形， 在菱形 中， 四边形 是矩形 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形 为平行四边形，再根据菱形的性质得到 ，然后根据矩形的判定可证得结论； （2）根据矩形的性质求得 ，再根据菱形的性质和勾股定理求出对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ， 在菱形 中，是的中点 是 的中点 是 的中位线 在菱形 中，， 在 中，， 根据勾股定理得 在菱形 中，， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、含的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解答的关键． 22. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同． （1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ （2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为W元．超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】（1）每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元 （2）购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为466元 【解析】 【分析】本题考查一次函数和分式方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设每个甲种粽子的进价为元，则每个乙种粽子的进价为元，根据用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同，列出方程，解方程即可，注意验根； （2）根据总利润甲、乙两种粽子利润之和列出函数解析式，根据甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍求出的取值范围，再根据函数的性质求最值，并求出相应的方案． 【小问1详解】 设每个甲种粽子的进价为元，则每个乙种粽子的进价为元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的根， 此时， 答：每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元； 【小问2详解】 设购进甲种粽子个，则购进乙种粽子个， 根据题意得：， 与的函数关系式为； 甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍， ， 解得， 为正整数）； ∵，，为正整数， 当时，有最大值，最大值为466， 此时， 购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为466元． 23. 如图，在中， ，为边 上的中线，点E与点D 关于直线 对称，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称性质得出，根据直角三角形斜边上的中线性质求出，再根据菱形的判定得出即可； （2）连接，交 于O，利用含30度角的直角三角形的性质得到，勾股定理求出，得到，，然后由菱形的性质得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵点E与点D关于直线 对称， ∴， ∵，为边 上的中线， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：过E作 交 的延长线于点N， 在中，，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵为边 上的中线 ∴ ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵ ， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵ ， 由勾股定理得． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，菱形的性质和判定，直角三角形斜边上的中线性质，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，能熟记菱形的性质和判定、直角三角形斜边上的中线性质、含三角形的性质是解此题的关键． 24. 如图，在矩形 中，点是对角线 的中点，点是直线 上一点，点 是直线 上一点，且 ，连接 ． （1）如图1，若点， 分别是 ， 的中点，且，，则 的长为__________； （2）如图2，若点在 的延长线上，其他条件不变，探究线段，，的数量关系，并给出证明； （3）如图3，若点在 的延长线上，且，，，求线段的值． 【答案】（1）5 （2）；见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）先由三角形的中位线定理求得，再证明四边形是矩形，得，再求得，即可根据勾股定理求得 ； （2）延长交的延长线于点，连接，证明，推出， ，再得到，在 中，利用勾股定理求解即可； （3）如图，延长交的延长线于点，连接，由，，，得，则，，设，∴，在 和 中，利用勾股定理列式计算求得，据此求解即可． 【小问1详解】 解：如图， 四边形 是矩形，，， ， ， 、分别是 、 的中点， ∴，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 的长是5； 故答案为：5； 【小问2详解】 解：，证明如下， 证明：如图，延长交的延长线于点，连接， ∵矩形 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ∵ ， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 在 中，， ∴； 【小问3详解】 解：如图，延长交的延长线于点，连接， ，，， ， ，， ∵矩形 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ∵ ，∴是线段 的垂直平分线， ∴， 设，∴， 在 中，， 在 中，， ∴， 解得， ∴． 线段的值是． 【点睛】此题重点考查矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、线段垂直平分线的判定和性质等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 25. 在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A、C分别在x轴、y轴上，且点C的坐标为． （1）如图1，求直线的解析式； （2）如图2，边 上有一动点D，连接，点F在线段上，使得，点G在 的延长线上，点E在线段上，连接 ，满足，若D点的纵坐标为t，的长为d，求d与t的关系式； （3）如图3，在（2）问的条件下，E在线段上，连接，若，当时，求t值，并直接写出G点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） ； 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点 作，易得四边形为矩形，得到，证明，得到，进而求出即可； （3）在 上截取，连接，证明，得到，利用平行线的性质，同角的余角以及三角形的外角，推出，得到，在 中，利用勾股定理求出的值，进而求出点坐标即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形，C的坐标为， ∴，轴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 过点 作， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点在线段 上，纵坐标为， ∴， ∴； 【小问3详解】 在 上截取，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在 中，由勾股定理，得：， 即：， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查坐标与图形，求正比例函数的解析式，正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $