2025—2026学年人教版七年级数学上册绝对值专项训练

新2024人教版七年级上册绝对值专项训练 一、求一个数的绝对值 1．有理数的绝对值是（   ） A． B．7 C． D． 2．的相反数是（ ） A． B．-2025 C． D． 3．（   ） A．6 B． C． D． 4．若，则m的值为（   ） A．或 B． C．2或 D． 5．下列判断不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．若，则 ． 7．若，则 ． 8．已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)试判断a，b，c的正负性：a______0；b______0；c______0（用“”“”“”填）； (2)根据数轴化简：______；______；______； (3)若，，求a、c的值． 二、绝对值的几何意义 1．数轴上表示的点与原点的距离是（   ） A．0 B．3 C． D． 2．有理数在数轴上对应的点到原点的距离为5，则的相反数是（   ） A．5 B． C．5或 D．不能确定 3．如图，数轴上点P，Q，M，N所表示的数中，绝对值最大的是（    ） A．P B．Q C．M D．N 4．数轴上表示数a，b的点如图所示，把按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．若，则数轴上到有理数对应的点与到对应的点的距离相等的点是（　　） A．3 B． C．3或6 D．3或 6．在数轴上点表示数，点表示数，点表示数；是最大的负整数，，，满足． （1）填空： ， ， ． （2）若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，则 ， ． 7．某数学兴趣小组的同学类比绝对值的几何意义的学习，对数轴上两点之间的距离展开了进一步的探究学习． 【特例感知】 （1）结合数轴和绝对值的知识将下表补充完整． 在数轴上点表示的数 2 4 4 … 在数轴上点表示的数 0 0 1 5 … ，两点之间的距离 ① ② … ①________________，②________________； 【总结归纳】 （2）观察上表：在数轴上点，表示的数分别为，，则，两点之间的距离可以表示为________； 【拓展应用】 （3）利用你发现的结论，结合数轴和绝对值的知识解决下列问题： ①式子的几何意义可以理解为数轴上表示数的点与表示数________的点之间的距离； ②根据等式的几何意义，求的值； ③式子表示数轴上表示数的点与表示数3的点和表示数的点距离之和为7，请直接写出符合条件的的值． 8．我们知道，可以理解为， 它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是_______； (2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为_______； (3)数轴上点A用数a表示，且满足的整数a有______个；有最小值，则最小值是：_____． 9．观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是_____________． ②数轴上表示和的两点之间的距离是_____________． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是_____________． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 三、绝对值的非负性 1．如果m是一个有理数，那么下面结论中正确的是（   ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定是负数 D．不是负数 2．若，则a是______;若，则是______. A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 3．若，则一定是（   ）． A．正数 B．负数 C．正数或零 D．负数或零 4．若是有理数，则下列说法正确的是（   ） A．一定是负数B．一定是正数 C．一定是负数 D．一定是正数 5．如果，那么是（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 6．若，，且，则x，y的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 7．若与互为相反数，则的值为（　　） A．3 B． C．0 D．3或 8．如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足，若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 表示的点重合． 9．根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取 时，有最小值，此时最小值为 ； (3)当a取 时，有最大值，此时最小值为 ． 10．式子取最小值时，x等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 11．如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A． B． C． D． 12．下列结论：①若为有理数，则；②若，则；③若，则；④若，则，则其中正确的结论的是 （填序号）． 新2024人教版七年级上册绝对值专项训练解析 一、求一个数的绝对值 1．有理数的绝对值是（   ） A． B．7 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查绝对值的计算，根据绝对值的定义，一个数的绝对值是它在数轴上到原点的距离，非负． 【详解】解：绝对值表示数轴上点到原点的距离，无论该数是正还是负，绝对值均为非负数， ∴对于有理数， 故选：B． 2．的相反数是（ ） A． B．-2025 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值和求一个数的相反数，先计算，再根据只有符号不同的两个数互为相反数可得答案． 【详解】解：，则的相反数是， 故选：D． 3．（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值等于它的相反数，进行作答即可． 【详解】解：， 故选：B． 4．若，则m的值为（   ） A．或 B． C．2或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义成为解题的关键． 根据绝对值的意义即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即m的值为或． 故选A． 5．下列判断不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的绝对值以及绝对值的意义，根据绝对值的性质逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 若，则，故该选项正确，不符合题意；     B. 若，则，故该选项正确，不符合题意； C. 若，则，故该选项正确，不符合题意；     D. 若，则，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 6．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解题的关键． 根据绝对值的意义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 7．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．根据绝对值等于5的数有两个，是，解答即可． 【详解】解：, 故答案为：. 8．已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)试判断a，b，c的正负性：a______0；b______0；c______0（用“”“”“”填）； (2)根据数轴化简：______；______；______； (3)若，，求a，c的值． 【答案】(1)；； (2)；； (3) 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，绝对值，正确读懂数轴是解题的关键． （1）在原点左边的数小于0，原点右边的数大于0，据此可得答案； （2）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可得答案； （3）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可得答案． 【详解】（1）解：由数轴可知； （2）解：∵， ∴，；； （3）解：∵，，， ∴． 二、绝对值的几何意义 1．数轴上表示的点与原点的距离是（   ） A．0 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的意义，即可求解． 【详解】解：数轴上表示的点与原点的距离是, 故选：B． 2．有理数在数轴上对应的点到原点的距离为5，则的相反数是（   ） A．5 B． C．5或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、绝对值的几何意义和相反数，属于基础题型，熟知有理数的基本知识是关键； 根据题意可得或，再根据相反数的定义解答即可. 【详解】解：因为有理数在数轴上对应的点到原点的距离为5， 所以或， 所以的相反数是或5； 故选：C. 3．如图，数轴上点P，Q，M，N所表示的数中，绝对值最大的是（    ） A．P B．Q C．M D．N 【答案】A 【分析】本题考查了数轴的定义、绝对值的意义，掌握数轴的定义是解题关键．先根据数轴的定义以及绝对值的意义得出点的绝对值的范围，然后比较范围即可解答． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴数轴上点P，Q，M，N所表示的数中，绝对值最大的是， 故选：A． 4．数轴上表示数a，b的点如图所示，把按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上点表示数，相反数的意义，利用数轴比较大小．先在数轴上表示出，，然后根据数轴上点的特点越向右越大得出答案即可． 【详解】解：将，在数轴上表示出来，如图， ， ∴由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得． 故选：A． 5．若，则数轴上到有理数对应的点与到对应的点的距离相等的点是（　　） A．3 B． C．3或6 D．3或 【答案】D 【分析】本题考查了化简绝对值，在数轴上表示有理数，由绝对值的意义确定m的值，再根据数轴上两点间距离相等的条件建立方程进行求解，即可作答． 【详解】解：∵， ∴得或， 根据题意，这个点表示的数为x， x到m的距离等于x到的距离， 即， 当时，则， 即或， ∴无解或， 当时，则， 即或， ∴无解或， 故选：D 6．在数轴上点表示数，点表示数，点表示数；是最大的负整数，，，满足． （1）填空： ， ， ． （2）若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查数轴定义与性质、数轴上两点之间的距离、绝对值非负性运用等知识，先由是最大的负整数求出，再根据绝对值非负性得到、，从而由数轴上两点之间距离公式代值求解即可得到、，熟记数轴定义与性质、数轴上两点之间的距离、绝对值非负性是解决问题的关键． 【详解】解：（1）是最大的负整数， ， ， ∴， ， 故答案为：； （2）在数轴上点表示数，点表示数，点表示数， ；； 故答案为：． 7．某数学兴趣小组的同学类比绝对值的几何意义的学习，对数轴上两点之间的距离展开了进一步的探究学习． 【特例感知】 （1）结合数轴和绝对值的知识将下表补充完整． 在数轴上点表示的数 2 4 4 … 在数轴上点表示的数 0 0 1 5 … ，两点之间的距离 ① ② … ①________________，②________________； 【总结归纳】 （2）观察上表：在数轴上点，表示的数分别为，，则，两点之间的距离可以表示为________； 【拓展应用】 （3）利用你发现的结论，结合数轴和绝对值的知识解决下列问题： ①式子的几何意义可以理解为数轴上表示数的点与表示数________的点之间的距离； ②根据等式的几何意义，求的值； ③式子表示数轴上表示数的点与表示数3的点和表示数的点距离之和为7，请直接写出符合条件的的值． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）①4；或；③或 【分析】本题考查了数轴和绝对值，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义． （1）根据数轴知识和绝对值的定义解答； （2）根据数轴知识和绝对值的定义解答； （3）利用（1）（2）得出的规律以及数轴知识，绝对值的定义解答． 【详解】解：[特例感知]①；②； 故答案为：①；②； [总结归纳] 在数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离可以表示为； 故答案为：； [拓展应用] ①式子的几何意义可以理解为数轴上表示数的点与表示数4的点之间的距离； 故答案为：4； ②的意义是表示数的点到表示数的点的距离是5， ∴或， ∴的值是3或； ③∵表示数轴上表示数的点与表示数3的点和表示数的点距离之和为7， ∴数轴上表示数的点在表示数3的点的右边或在表示数的点左边， ∴，解得； 或， ，解得； ∴符合条件的x的值是4或． 8．我们知道，可以理解为， 它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是_______； (2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为_______； (3)数轴上点A用数a表示，且满足的整数a有______个；有最小值，则最小值是：_____． 【答案】(1)8 (2)5或 (3)6，2025 【分析】本题主要考查的是绝对值的定义的应用，数轴上两点之间的距离，理解并应用绝对值的定义及两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式求解可得； （2）根据绝对值的定义可得； （3）由的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，据此可得；由表示数轴到表示3与表示的点距离之和，根据两点之间线段最短可得． 【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是； （2）解：若，那么的值为5或； （3）解：的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标， ，其中整数有，，0，1，2，3，共6个； 表示数轴到表示3与表示的点距离之和， 由两点之间线段最短可知： 当时，有最小值，最小值为． 9．观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【答案】（1）①；②；③；（3）①；②；③当时，的值最小，最小值为． 【分析】本题考查了绝对值，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解题的关键． （1）①根据两点间的距离公式即可求解； ②根据两点间的距离公式即可求解； ③根据两点间的距离公式即可求解； （3）①根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ②根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ③根据线段上的点到线段两端点的距离和最小即可求解． 【详解】解：（1）①数轴上表示6和3的两点之间的距离是， 故答案为：； ②数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：； ③数轴上表示和2的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）①， 解得：； ②∵数轴上表示数m的点位于与4之间， ∴， ∴ ； ③，表示点到三点的距离和， ∴当时，点到三点的距离和最小，即的值最小， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为． 三、绝对值的非负性 1．如果m是一个有理数，那么下面结论中正确的是（   ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定是负数 D．不是负数 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，当时，，，据此可判断A、B、C，由绝对值的非负性即可判断D． 【详解】解：如果m是一个有理数，那么不是负数， 当时，，， ∴四个选项中，只有D选项结论正确，符合题意； 故选：D． 2．若，则a是______;若，则是______. A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 【答案】非负数;非正数 【分析】本题考查了绝对值的代数意义，一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；一个负数的绝对值是它的相反数． 根据绝对值的代数意义判断即可． 【详解】∵ ∴，即a是非负数． ， ，为非正数． 3．若，则一定是（   ）． A．正数 B．负数 C．正数或零 D．负数或零 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的知识，根据一个数的绝对值是非负数，即可求解． 【详解】解：∵ ∴, ∴，即一定是负数或零 故选：D． 4．若是有理数，则下列说法正确的是（   ） A．一定是负数B．一定是正数 C．一定是负数 D．一定是正数 【答案】D 【分析】本题考查有理数的相关概念，绝对值的性质，关键是要牢记正负数的定义和绝对值的性质．根据正负数的概念及绝对值的性质即可得出答案． 【详解】解：A．若是有理数，当时，，0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意； B．若是有理数，则，故本选项不合题意； C．若是有理数，则，故本选项不合题意； D．因为，所以，即一定是正数，故本选项符合题意． 故选：D． 5．如果，那么是（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的非负性，绝对值的非负性得到为非负数，则：是非正数，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴为非负数， ∴是非正数， 故选C． 6．若，，且，则x，y的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性．先根据绝对值的定义得到，，再由绝对值的非负性推出，则，． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 故选：C． 7．若与互为相反数，则的值为（　　） A．3 B． C．0 D．3或 【答案】A 【分析】本题重点考查了绝对值的非负性，属于基础题，记住“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0”是解题关键．根据相反数的定义可得，再通过“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0”，计算出a和b的值，即可得出结果． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ， ， ∴， 故选：A． 8．如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足，若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 表示的点重合． 【答案】3 【分析】本题主要考查了非负数的非负性和对称点．先根据可得: ，求出，根据最小的正整数可得，然后根据折叠，使得A点与C点重合，求出对称点，即可得出结果. 【详解】解：因为， 所以， 所以， 因为最小的正整数是1， 所以， 因为折叠，使得A点与C点重合， 所以点A与点C的中点对应的数为：， 点B到2的距离为1，所以与点B重合的数是：， 故答案为：3． 9．根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 【答案】(1)4，0 (2)，3 (3)，4 【分析】本题考查了整式的绝对值的求解能力，对绝对值的性质的理解和掌握是解题的关键． （1）根据绝对值的性质，可知0的绝对值最小，为0，则可得时，有最小值，由此即可求解； （2）要使有最小值，则要取最小，即，由此即可求解； （3）要使有最大值，则取最小值，结合即可求解． 【详解】（1）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是0． 故答案为：4，0 （2）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是3． （3）因为，所以，所以当时，有最大值，这个最大值是4． 10．式子取最小值时，x等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质：绝对值非负，即绝对值的最小值为0；根据绝对值的最小值性质，当绝对值的表达式为零时，绝对值取得最小值；将原式拆解为绝对值部分和常数部分，确定最小值对应的x值即可． 【详解】解：式子中，的最小值为0， 当且仅当，即时取得； 此时整个式子的值为，为最小值． 故选：D． 11．如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的含义，理解是解本题的关键． 根据的最小值是即可求解． 【详解】解： x为有理数，式子存在最大值， 当时，式子最大值为， 故选：A． 12．下列结论：①若为有理数，则；②若，则；③若，则；④若，则，则其中正确的结论的是 （填序号）． 【答案】② 【分析】此题主要考查了有理数的运算，非负数的性质和绝对值的意义，理解绝对值的意义，非负数的性质，熟练掌握有理数的运算是解决问题的关键． 根据为有理数得，由此可对该结论进行判断； 根据非负数的性质得，，则，由此可对该结论进行判断； 根据得，当时，，当时，没有意义，由此可对该结论进行判断； 根据得：（Ⅰ）当、、中有两正一负时，不妨假设、为正，为负，则，(Ⅱ)当、、都是负数时，则，由此可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵为有理数， ∴， 故结论①不正确； ②∵，，， ∴，， ∴， 故结论②正确； ③∵， ∴， ∴当时，，当时，没有意义， 故结论③不正确； ④∵， ∴有以下两种情况， （Ⅰ）当、、中有两正一负时，不妨假设、为正，为负， ∴，，， ∴； (Ⅱ)当、、都是负数时，则，，， ∴， 故结论④不正确； 故答案为：②； 学科网（北京）股份有限公司 $$