【第三章 一次方程（组） 08讲 三元一次方程组】暑假小升初衔接2025-2026学年七年级上册数学（新版湘教版专用）

第三章 一次方程（组） 08讲 三元一次方程组 目录 【知识点1. 三元一次方程（组）及其解】………………………………………… 1 【知识点2. 解三元一次方程组的步骤】…………………………………………… 3 【题型1. 三元一次方程组的定义及解】…………………………………………… 4 【题型2. 解三元一次方程组】……………………………………………………… 4 【题型3. 三元一次方程组的应用】………………………………………………… 6 【课后作业】………………………………………………………………………… 8 知识清单 1、三元一次方程 含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程，叫作三元一次方程。 2、三元一次方程组 含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫作三元一次方程组。 3、三元一次方程组的解 对于未知数为x，y，z的三元一次方程组，若x，y，z分别用数c1，c2，c3代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把（c1，c2，c3）叫作这个方程组的一个解，习惯上记作 . 巩固基础 1．下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 3．三元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 4．已知则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．在三元一次方程中，若，，则 ． 6．已知方程组，则的值是 ． 知识清单 4、解三元一次方程组的步骤 解三元一次方程组时，应先消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，然后利用解二元一次方程组的方法求解。消元的方法仍是代入消元法或加减消元法。 巩固基础 1. 解三元一次方程组 直击考点 题型1. 三元一次方程组的定义及解 例1．下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 例2．已知方程组则的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式1．已知，，，则等于（    ） A．0 B．7 C．8 D．9 变式2．已知方程组，则的值为（    ） A．5 B．10 C．12 D．不确定 变式3．已知方程组的解满足，则z的值为（   ） A．10 B．8 C．2 D． 题型2. 解三元一次方程组 1. 解下列方程组 题型3. 三元一次方程组的应用 例1．购买2个书包和4支钢笔共40元；1个书包和2个文具盒共26元；1支钢笔和3个文具盒共29元，求书包、文具盒、钢笔的单价，若设书包、文具盒、钢笔的单价分别为x元、y元、z元，则有方程组（   ） A． B． C． D． 例2．张老师要往外地寄运一些资料，将资料用纸包好后成长方体形状，如图所示，张老师准备了一根包装绳，若采用方式①，绳子还剩余24厘米；若采用方式②，绳子刚好用完；若采用方式③，绳子还剩余64厘米．绳子长（    ）（绳子结头处长度忽略不计） A．308厘米 B．318厘米 C．328厘米 D．338厘米 例3．请认真观察，想一想，图中的“？”表示的数是 ． 变式1．幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图为一个三阶幻方的一部分，则x的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 变式2．我国古代数学家张丘建在《张丘建算经）里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题．用100个钱买100只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，小鸡的只数可能是（    ） A．78 B．87 C．88 D．89 变式3．某市举行中学生足球联赛，比赛的计分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．某中学足球队在12场比赛中，平和负的场数之和等于胜的场数，共得20分．设该队在联赛中胜x场，平y场、负z场，则列三元一次方程组为 ． 变式4．某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身、1个衣领组成．如果每人每天能够缝制10个衣袖或15个衣身或12个衣领，那么应该安排 名工人缝制衣袖， 名工人缝制衣身， 名工人缝制衣领，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套． 课后作业 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·假期作业）如果○、囗、△各代表一个数，根据下面的已知条件，求○、囗、△的值．正确的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（2025·黑龙江佳木斯·三模）宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团有20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间住满，那么租房方案有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 3．（24-25七年级下·安徽黄山·期中）利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按如图1所示的方式放置，再交换两木块的位置，按如图2所示的方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·福建福州·期中）北魏数学家张丘建被称“算圣”，他所著的《张丘建算经》中记载了各种计算，其中有一题：今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？译：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，三只小鸡值1钱．现用100钱买100只鸡（三种鸡都要买），请问能买公鸡、母鸡、小鸡各多少只？设公鸡有只，母鸡有只，小鸡有只，则下列不符合题意的选项是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·全国·课后作业）解方程组如果消去未知数，那么应对方程组进行的变形步骤为（   ） A．， B．， C．， D．， 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果方程组的解也是方程的解，那么的值是（   ） A． B．2 C． D． 7．（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）如图，前两个天平已保持平衡，现要求在第三个天平的右边只放△，要使之保持平衡，则应放△的数量为（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 8．（2025·黑龙江牡丹江·二模）某学习小组在研究数学问题时发现：方程只有1组正整数解，方程只有2组正整数解，方程只有3组正整数解…那么方程的正整数解有（    ） A．9组 B．28组 C．36组 D．45组 9．（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习）下列四组数值中，是方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级上·北京·期中）正正和阳阳一起玩猜数游戏．正正说：“你随便选定三个小于8的正整数，按下列步骤进行计算：第一步把第一个数乘以4，再减去15；第二步把第一步的结果乘以2，再加上第二个数；第三步把第二步的结果乘以8，再加上第三个数．只要你告诉我最后的得数，我就能知道你所选的三个正整数．”阳阳表示不信，但试了几次以后，正正都猜对了．请你利用所学过的数学知识来探索该“奥秘”，回答：当“最后的得数”是102时，阳阳最初选定的三个正整数按顺序分别是（    ） A．1，4，6 B．6，4，1 C．6，2，5 D．5，2，6 二、解答题 11.解下列方程 12．（24-25六年级下·上海·阶段练习）有这样一个问题；甲、乙、丙三种商品：①购买甲3件、乙5件、丙7件共需要490元；②购买甲4件、乙7件、丙10件共需要690元；③购买甲2件、乙3件、丙1件共需要170元．求购买甲、乙、丙三种商品各一件需要多少元？ 欢欢认为：可以根据题意列出三元一次方程组，分别求出甲、乙、丙商品的单价，再相加即可求得答案． 乐乐认为：这道题目去掉条件③，只用①②两个条件，仍能求得答案． (1)请你根据欢欢的思路解决问题． (2)你认为乐乐的说法正确吗？如果正确，请根据乐乐的思路完成解答过程；如果不正确，请说明理由． 13．（24-25七年级下·江苏南京·期中）用方程组解决问题：某动物保护机构要准备三种类型的食物共310份给需要救助的动物，现安排40名志愿者来准备这些食物，每名志愿者只能准备同一种类型的食物，且要求每名志愿者满工作量．根据以下表格信息，回答问题． 食物类型 每名志愿者准备量（份） 6 8 9 (1)如果类型食物安排了16名志愿者，那么两种类型食物各需多少名志愿者？ (2)现要求每种类型的食物至少安排11名志愿者，求三种类型的食物各需安排多少名志愿者，写出所有可行的方案． 14．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知在代数表达式中，当时，；当时，；当时，．求这个表达式中的值． 15．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）对任意有理数定义运算如下：，这里是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当时，．现已知所定义的新运算满足条件：． (1)求． (2)若，求． (3)若有一个不为零的数，使得对任意有理数，有，求的值． 16．（23-24七年级下·全国·课后作业）阅读材料并回答问题： 我们把多元方程（组）的非负整数解叫作这个方程（组）的“好解”．例如：就是方程的一个“好解”；是方程组的一个“好解”． (1)求方程的所有“好解”． (2)关于，，的方程组有“好解”吗？若有，请求出对应的“好解”；若没有，请说明理由． 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 一次方程（组） 08讲 三元一次方程组 目录 【知识点1. 三元一次方程（组）及其解】………………………………………… 1 【知识点2. 解三元一次方程组的步骤】…………………………………………… 5 【题型1. 三元一次方程组的定义及解】…………………………………………… 7 【题型2. 解三元一次方程组】……………………………………………………… 9 【题型3. 三元一次方程组的应用】………………………………………………… 15 【课后作业】………………………………………………………………………… 20 知识清单 1、三元一次方程 含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程，叫作三元一次方程。 2、三元一次方程组 含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫作三元一次方程组。 3、三元一次方程组的解 对于未知数为x，y，z的三元一次方程组，若x，y，z分别用数c1，c2，c3代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把（c1，c2，c3）叫作这个方程组的一个解，习惯上记作 . 巩固基础 1．下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三元一次方程组．含有3个未知数，且未知数的最高次数为1次的整式方程叫做三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、未知数的最高次数为2次，不是三元一次方程组，不符合题意，选项错误； B、分母含有未知数，不是三元一次方程组，不符合题意，选项错误； C、未知数的最高次数为3次，不是三元一次方程组，不符合题意，选项错误； D、是三元一次方程组，符合题意，选项正确； 故选：D． 2．下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的定义．根据三元一次方程组必须满足“三元”和“一次”两个要素来求解． 【详解】解：A、方程组中含有三个未知数，但含未知数的项的最高次数是3，不是三元一次方程组，本选项不符合题意； B、方程组中只含有两个未知数，不是三元一次方程组，本选项不符合题意； C、方程组中只含有两个未知数，不是三元一次方程组，本选项不符合题意； D、方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，本选项符合题意； 故选：D． 3．三元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【分析】本题通过代入消元法求解三元一次方程组，首先利用第一个方程将y表示为x的代数式，代入第二个方程求出x，再回代求y，最后利用第三个方程求z，本题考查了解三元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：方程组为， 将第一个方程代入第二个方程：得， 解得， 将代入，得， 将代入第三个方程， 得：， ∴， ∴， 因此，方程组的解为， 故选：B 4．已知则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】利用整体思想，把三个方程相加，得，解得，解答即可． 本题考查了三元一次方程组的整体解法，熟练掌握解法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，把三个方程相加，得， 解得． 故选：B． 5．在三元一次方程中，若，，则 ． 【分析】本题考查了三元一次方程的解．将，代入方程中，即可求解． 【详解】解：在三元一次方程中，，， ， ， 故答案为：． 6．已知方程组，则的值是 ． 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握整体思想计算是解题的关键． 将三个方程相加计算即可． 【详解】解：， 将三个方程相加，得， 解得． 故答案为：2． 知识清单 4、解三元一次方程组的步骤 解三元一次方程组时，应先消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，然后利用解二元一次方程组的方法求解。消元的方法仍是代入消元法或加减消元法。 巩固基础 1. 解三元一次方程组 解： 把③代入②得，， 解得， 把，代入①得，， 解得， ∴ 解： 由②①得： 由③②得： 两式联立解 ∴ 把代入①中得： ∴ ∴原方程组的解为 解： ①②得：， ②③得：， 联立④⑤得， ④⑤得： ，解得：， 将代入④得：，解得：， 将，代入③得：，解得：， 方程组的解为： ． 解：， 由①得，， 把代入②得，， 把代入得③得，， 由得，， 解得， ∴， 把代入⑤得，， 解得， ∴是原方程的解． 解：， ③①得：④， ③②得：，即⑤， ④⑤得：， 解得：， 把代入④得：， 把，代入①得：， 则方程组的解为． 解： 由得，，∴④ 由得，，∴⑤ 由得，，∴， 把代入④得，， 把带入①得，， ∴原方程组的解为． 解： ②得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 将代入③得：， 解得：， 则方程组的解为． 解：， 得，， 得，， 得，， 把代入得，， ∴， 把，代入得，， ∴， ∴方程组的解为． 解：， 得：， 即， 把④代入③得：， 解得：， 得：， 把代入⑤得：， 解得：， 把，，代入③得： ， 解得：， ∴原方程组的解为：． 直击考点 题型1. 三元一次方程组的定义及解 例1．下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据三元一次方程组的定义（方程组中含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组）逐项判断即可得． 【详解】解：A、是三元一次方程组，则此项符合题意； B、方程组中含有4个未知数，不是三元一次方程组，则此项不符合题意； C、方程组中含有2个未知数，不是三元一次方程组，则此项不符合题意； D、方程组的每个方程中含未知数的项的次数不都是1，不是三元一次方程组，则此项不符合题意； 故选：A． 例2．已知方程组则的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】 故选：C 变式1．已知，，，则等于（    ） A．0 B．7 C．8 D．9 【分析】解三元一次方程求出x、y、z的值即可得到答案． 【详解】解： 得：， 得：，解得， 把代入到②③得：，解得， ∴， 故选A． 变式2．已知方程组，则的值为（    ） A．5 B．10 C．12 D．不确定 【分析】将3x+7y+z=22乘以2减去5x+13y+z=32即可得到解答． 【详解】解：由题意得： 将3x+7y+z=22乘以2得：6x+14y+2z=44， 再将其减去5x+13y+z=32得：x+y+z=12， 故选C． 变式3．已知方程组的解满足，则z的值为（   ） A．10 B．8 C．2 D． 【详解】解： 将x+y=3减去②，得：x=－2 将x=－2代入x+y=3得：y=5 将 代入①得：z=8 故选B． 题型2. 解三元一次方程组 1. 解下列方程组 解： 由①得，， 代入②得， 解得 将代入；将代入； ∴方程组的解集为． 解：，得④， ，得⑤， ④-⑤，得， 解得：， 把代入④，得， 解得：， 把，代入①，得， 解得：， 所以原方程组的解是． 解： 把③代入①得：，即， 把③代入②得：，即， 得：，解得， 把代入④得：，解得， ∴原方程组的解为． 解： 由①得， 将④代入②，③得， 整理得， 得： 解得 将代入⑤得： 解得， 将，代入①得， 解得 ∴方程组的解为：． 解： 得：， 得：， 联立④，⑤得， 得：， 解得， 将代入④得， ， 解得：， 将，代入③得：， 解得， 方程组的解为：． 解： ①②，得，即④   ③④，得，解得：． 把代入③可得：，解得：． 把代入①，得，解得：． ∴原方程组的解为： 解： 得：，解得：， 将代入①得：，解得：， 将代入③得：，解得：， ∴方程组的解为． 解：， 得：， 得：， 将代入①得， 解得：， 将，代入②，得， 解得：， ∴方程组的解为． 解：， 得：， 整理得：④， 得：， 得：， 得：， ∴方程组的解为． 解：， 得：④， 得：⑤， 得：， 解得：， 将代入⑤得：， 解得：， 将，代入③得：， 解得：， 故原方程组的解为． 解：，得， ，得， ，得，解得：， 把代入②，得， 把代入④，得， 故原方程的解为． 解：， 将①代入②，得 ， ∴， ， 解得， 把代入①，得， ∴ 解：， 由，得， ，得， 由④⑤得到 将代入①可得， ， ∴原方程组的解为． 解：， 得： ， 得： ， 将，代入①得： ， ， 方程组的解集为 解：方程组可整理为 得： ， 联立， 解得：， 将代入②得：， 方程组的解集为． 解： 得：， 得：， ， 得：， 解得：， 将代入④得：； 将代入③得：， 则方程组的解为． 解：， 得， 与①得方程组， 解得，， 代入② 得，， 所以，， ∴方程组的解为． 解：， ①②得：④， ①③得：⑤， ⑤④得：， 解得：， 把代入⑤得：， 把，代入③得：， ∴方程组的解为：． 解：， 得：， 得：， 由④和⑤组成方程组：， 两式相加得：，解得：， 将代入④解得， 把，代入③得：， 解得：， 即方程组的解是． 解：， ②③得：④， ④①得：， 把代入①得：， 把，代入③得：， ∴方程组的解为： 解：， 由，得④， 由，得 把代入④，得 把，代入①，得 ， ∴， ∴原方程组的解是． 解： 由，得 把④和组成方程组得 ∴ 把代入①，得 ∴原方程组的解是． 解：由题意可知： 将得 ∴ ∴， 把代入得 ∴ ∴ ∴ ∴原方程组的解为 解：， ，得④， ，得⑤， ，得， 解得， 把代入④，得， 把，代入②，得． 所以原方程组的解是 题型3. 三元一次方程组的应用 例1．购买2个书包和4支钢笔共40元；1个书包和2个文具盒共26元；1支钢笔和3个文具盒共29元，求书包、文具盒、钢笔的单价，若设书包、文具盒、钢笔的单价分别为x元、y元、z元，则有方程组（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“购买2个书包和4支钢笔共40元；1个书包和2个文具盒共26元；1支钢笔和3个文具盒共29元”，即可得出关于x、y、z的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故选：A． 例2．张老师要往外地寄运一些资料，将资料用纸包好后成长方体形状，如图所示，张老师准备了一根包装绳，若采用方式①，绳子还剩余24厘米；若采用方式②，绳子刚好用完；若采用方式③，绳子还剩余64厘米．绳子长（    ）（绳子结头处长度忽略不计） A．308厘米 B．318厘米 C．328厘米 D．338厘米 【分析】本题考查列方程组解决实际问题，由题意列出方程组是解题的关键．由题意列方程组即可求解． 【详解】解：设绳长为厘米，由题意得 又因为，方程组整理为 解得 绳子长为厘米． 故选：． 例3．请认真观察，想一想，图中的“？”表示的数是 ． 【分析】本题主要考查三元一次方程组的应用，能根据题意得到三元一次方程组是解题的关键．设正方形表示的数为x，圆表示的数为y，三角形表示的数为z，根据题意，列出三元一次方程组，解出即可． 【详解】解：设正方形表示的数为x，圆表示的数为y，三角形表示的数为z，根据题意得： ， 由得：④， 由得：， 解得：， 由得：， 解得：， 把，代入②得：， 解得：， ∴， 即图中的“？”表示的数是70． 故答案为：70 变式1．幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图为一个三阶幻方的一部分，则x的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【分析】本题考查了三元一次方程组，解一元一次方差，根据每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等，得出，进而出，即可解答． 【详解】解：∵每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等， ∴， 整理得：， 则， ∴， 解得：， 故选：C． 变式2．我国古代数学家张丘建在《张丘建算经）里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题．用100个钱买100只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，小鸡的只数可能是（    ） A．78 B．87 C．88 D．89 【分析】本题考查列三元一次不定方程解古代数学问题的运用，不定方程组的解法的运用，解答时根据条件建立方程是关键． 设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只，根据条件建立三元一次不定方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只，根据题意得， ， 整理得： ， ，，且都是自然数， ， ，是7的倍数， ，7，14，21， ，18，11，4； 共有4种情况： ①公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只； ②公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只； ③公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只； ④公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只． ∴小鸡的只数可能是78， 故选：A． 变式3．某市举行中学生足球联赛，比赛的计分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．某中学足球队在12场比赛中，平和负的场数之和等于胜的场数，共得20分．设该队在联赛中胜x场，平y场、负z场，则列三元一次方程组为 ． 【分析】本题考查了三元一次方程组的实际应用．根据“在12场比赛，平和负的场数之和等于胜的场数，共得20分”列三元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 变式4．某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身、1个衣领组成．如果每人每天能够缝制10个衣袖或15个衣身或12个衣领，那么应该安排 名工人缝制衣袖， 名工人缝制衣身， 名工人缝制衣领，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套． 【解析】 故答案为： 120 40 50 课后作业 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·假期作业）如果○、囗、△各代表一个数，根据下面的已知条件，求○、囗、△的值．正确的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【分析】本题主要考查了三元一次方程的解法，通过加减消元法求出△和○的值，再代入第三个方程求囗的值． 【详解】解：由 和 相加， 得：，代入，得： 将代入，得：． 综上，，， 故选：A 2．（2025·黑龙江佳木斯·三模）宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团有20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间住满，那么租房方案有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【分析】此题考查了三元一次不定方程组的应用．此题难度较大，解题的关键是理解题意，根据题意列方程组，然后根据x，y，z是整数求解，注意分类讨论思想的应用．首先设宾馆有客房：二人间x间、三人间y间、四人间z间，根据题意可得方程组：，解此方程组可得，又由x，y，z是非负整数，即可求得答案． 【详解】解：设宾馆有客房：二人间x间、三人间y间、四人间z间，根据题意得： ， 得：， ∴， ∵x，y，z是正整数， 当时，，， 当时，，， 当时，，（不符合题意，舍去）， ∴租房方案有2种． 故选：A． 3．（24-25七年级下·安徽黄山·期中）利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按如图1所示的方式放置，再交换两木块的位置，按如图2所示的方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了运用列三元一次方程组解决实际问题的运用及方程组的解法的运用，设长方体长，宽，桌子的高为，由图象建立方程组求出其解就可以得出结论． 【详解】解：设长方体长，宽，桌子的高为，由题意得 ， 两式相加得：， 解得， 即桌子的高为． 故选：C． 4．（24-25七年级下·福建福州·期中）北魏数学家张丘建被称“算圣”，他所著的《张丘建算经》中记载了各种计算，其中有一题：今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？译：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，三只小鸡值1钱．现用100钱买100只鸡（三种鸡都要买），请问能买公鸡、母鸡、小鸡各多少只？设公鸡有只，母鸡有只，小鸡有只，则下列不符合题意的选项是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程是解题的关键． 根据总价单价数量，结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于的三元一次方程组，结合均为正整数即可得出的值，从而得出结论． 【详解】解：设公鸡有只，母鸡有只，小鸡有只， 由题意得，， 解得：， ∵均为小于 100 的正整数， ∴， ∴满足条件的的值为． 故选：D． 5．（23-24七年级下·全国·课后作业）解方程组如果消去未知数，那么应对方程组进行的变形步骤为（   ） A．， B．， C．， D．， 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，对三元一次方程组的消元，善于观察是解题关键，根据系数的特征，即可得解． 【详解】解：， 得： ， 得： ， 方程组变形为，刚好消去， 故选：C． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果方程组的解也是方程的解，那么的值是（   ） A． B．2 C． D． 【分析】本题主要考查三元一次方程组的解法；把三元转换成二元利用消元法解出的值，再代入求解即可． 【详解】解：， 得④， 得， 解得：， ∴， ∴将，代入， 得， 解得：， 故选：B． 7．（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）如图，前两个天平已保持平衡，现要求在第三个天平的右边只放△，要使之保持平衡，则应放△的数量为（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【分析】本题考查了三元一次方程的运用，根据图示，设圆形为，三角形为，正方形为，由此列式求解即可． 【详解】解：根据题意，设圆形为，三角形为，正方形为， ∴， ∴由①得， 把③代入②，，整理得，， ∴， ∴应方△的数量为6个， 故选：B ． 8．（2025·黑龙江牡丹江·二模）某学习小组在研究数学问题时发现：方程只有1组正整数解，方程只有2组正整数解，方程只有3组正整数解…那么方程的正整数解有（    ） A．9组 B．28组 C．36组 D．45组 【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于时对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【详解】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，，，，， ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故选：B． 9．（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习）下列四组数值中，是方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是三元一次方程组的解，解题的关键是利用加减消元法进行求解． 方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】 得： 得： 把代入中 ， 把，代入得： ， 方程组的解为， 故选：D． 10．（24-25七年级上·北京·期中）正正和阳阳一起玩猜数游戏．正正说：“你随便选定三个小于8的正整数，按下列步骤进行计算：第一步把第一个数乘以4，再减去15；第二步把第一步的结果乘以2，再加上第二个数；第三步把第二步的结果乘以8，再加上第三个数．只要你告诉我最后的得数，我就能知道你所选的三个正整数．”阳阳表示不信，但试了几次以后，正正都猜对了．请你利用所学过的数学知识来探索该“奥秘”，回答：当“最后的得数”是102时，阳阳最初选定的三个正整数按顺序分别是（    ） A．1，4，6 B．6，4，1 C．6，2，5 D．5，2，6 【分析】本题考查了三元一次方程组，设这三个数为、、，由题意可得，整理得出，再将各个选项代入计算即可得解． 【详解】解：设这三个数为、、， 由题意得：， 整理得：， 、将1，4，6代入可得：，故不符合题意； B、将6，4，1代入可得：，故不符合题意； C、将6，2，5代入可得：，故不符合题意； D、将5，2，6代入可得：，故符合题意； 故选：D． 二、解答题 11.解下列方程 解： ，得：； ，得：； ，得：，解得：； 把代入③，得：，解得：； 把，代入③，得：，解得：； ∴方程组的解为： 解： ①－②得，④ ②＋③得，⑤ 得到， 把代入④得， 解得， 把，代入②得，， 解得 ∴ 解：， 得：， 得：， 得：， 把代入得：， 把，代入得：， 原方程组的解是： 解：， ，得：④； ，得：⑤； ，得：，解得：， 把代入④，得：，解得：， ∴，代入③，得：，解得：； ∴方程组的解为：． 解： ③-①，得④， ②+④，得， ， 把代入④，得， ， 把代入①，得． 原方程组的解为． 解：原方程组可化为 ②-③，得④， ④-①，得， ， 把代入④，得， 把代入③，得． 原方程组的解为． 解： ③-①，得④， ②+④，得， 解得． 把代入④，得， 解得． 把代入①，得 原方程组的解为． 解： ，得．④ ，得，解得． 把代入③，得，解得． 把代入①，得． 故原方程组的解是 解：把①代入②，得， 即．④ ，得，解得． 把代入①，得． 把代入③，得，解得． 故原方程组的解为． 解：，得④ ，得⑤ 联立④⑤，得 解得 把代入①，得， 解得． 故原方程组的解为 解： 得：， 得：，解得， 把代入①得：，解得， 把代入③得：，解得， ∴原方程组的解为． 解：， 得， 得，即， 得， 解得， 把代入④得， 解得， 把，代入①得， 解得， 方程组的解为． 解： 得 ， 解得： 得 将代入④得 解得：， 将，代入①得 ， 解得：， 原方程组的解为． 解： 得，， 解得 把代入得：， 把，代入得：， ∴方程组的解为． 解：把代入得， 联立方程组得， 由得， 解得， 把分别代入得，， 原方程组的解为． 解：由，得： 由，得：， 把代入，得：， 把代入，得：， ∴原方程组的解集是：． 解：， 得：， 得：， 把代入得：， 把，代入得， ∴方程组的解为：． 解： 由①②得：④， 把④代入得：， 解得：， 把代入①②得：， 解得： 则方程组的解为． 解：， 得，， 得，， 解得， 将代入①得，， 解得， 将代入②得，， 解得， ∴原方程组的解为：． 解： 由①②，得， 即④， 把④代入③式， 可得出， 把代入①，②可得出： ， 解得：， ∴原方程组的解为：． 解：①②得， ①③得， 联立④⑤得方程组， 解得， 把代入①得， 所以方程组的解为． 12．（24-25六年级下·上海·阶段练习）有这样一个问题；甲、乙、丙三种商品：①购买甲3件、乙5件、丙7件共需要490元；②购买甲4件、乙7件、丙10件共需要690元；③购买甲2件、乙3件、丙1件共需要170元．求购买甲、乙、丙三种商品各一件需要多少元？ 欢欢认为：可以根据题意列出三元一次方程组，分别求出甲、乙、丙商品的单价，再相加即可求得答案． 乐乐认为：这道题目去掉条件③，只用①②两个条件，仍能求得答案． (1)请你根据欢欢的思路解决问题． (2)你认为乐乐的说法正确吗？如果正确，请根据乐乐的思路完成解答过程；如果不正确，请说明理由． 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用， 对于（1），先设甲，乙，丙商品的单价，再根据总价相等列出三元一次方程组，求出解即可； 对于（2），仿照（1）列出两个方程，再根据整体的思想求出答案即可． 【详解】（1）解：设甲，乙，丙商品的单价为x元，y元，z元，根据题意，得 ， 解得， ∴． 答：购买甲，乙，丙三种商品各一件共需90元； （2）解：乐乐的说法正确． 设购买甲，乙商品的单价为x元，y元，根据题意，得 ， 得． 答：购买甲，乙，丙三种商品各一件共需90元． 13．（24-25七年级下·江苏南京·期中）用方程组解决问题：某动物保护机构要准备三种类型的食物共310份给需要救助的动物，现安排40名志愿者来准备这些食物，每名志愿者只能准备同一种类型的食物，且要求每名志愿者满工作量．根据以下表格信息，回答问题． 食物类型 每名志愿者准备量（份） 6 8 9 (1)如果类型食物安排了16名志愿者，那么两种类型食物各需多少名志愿者？ (2)现要求每种类型的食物至少安排11名志愿者，求三种类型的食物各需安排多少名志愿者，写出所有可行的方案． 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解答本题的关键． （1）设两种类型食物各需x名，y名志愿者，根据共有40名志愿者和共310份食物列方程组求解即可； （2）设三种类型的食物各需x，y，z名志愿者，根据共有40名志愿者和共310份食物列方程组求解即可． 【详解】（1）设两种类型食物各需x名，y名志愿者，由题意，得 ， 解得， 所以两种类型食物各需13名，11名志愿者； （2）设三种类型的食物各需x，y，z名志愿者，由题意，得 ， 得： ， ∴， ∵每种类型的食物至少安排11名志愿者， ∴当时，， 当时，， 当时，， 所以方案一：A类型11人，B类型17人，C类型12人；方案二：A类型12人，B类型14人，C类型14人；方案三：A类型13人，B类型11人，C类型16人． 14．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知在代数表达式中，当时，；当时，；当时，．求这个表达式中的值． 【分析】根据题意列出三元一次方程组，解方程组即可．本题考查了三元一次方程组的应用，根据题意正确列出三元一次方程组，并熟练掌握方程组的解法是解题关键． 【详解】解：由题意得： ， 解得． 15．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）对任意有理数定义运算如下：，这里是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当时，．现已知所定义的新运算满足条件：． (1)求． (2)若，求． (3)若有一个不为零的数，使得对任意有理数，有，求的值． 【分析】本题是新定义题，考查了定义新运算，解方程组．解题关键是根据新定义列出方程组； （1）根据新定义得出，，得出，，代入代数式，进行计算即可求解； （2）根据新定义得出，解方程组，即可求解； （3）由，得，即，得①，由，得②，，得③，解以上方程组成的方程组即可求得、、、的值． 【详解】（1）解：∵， ∴ 由①得，代入②得 ∴ ∴ ∴ （2）依题意得， 由（1）可得，代入③得， 解得： ∴ （3）解：， ， ， 有一个不为零的数使得对任意有理数， 则有①， ，②， ，③， 又，， 解得． ∴ 16．（23-24七年级下·全国·课后作业）阅读材料并回答问题： 我们把多元方程（组）的非负整数解叫作这个方程（组）的“好解”．例如：就是方程的一个“好解”；是方程组的一个“好解”． (1)求方程的所有“好解”． (2)关于，，的方程组有“好解”吗？若有，请求出对应的“好解”；若没有，请说明理由． 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解和三元一次方程组的解法，准确理解题意并正确解出方程组是解本题的关键． （1）“好解”就是方程的非负整数解，使，，分别去求的值，由于时，的值为负，不符合要求，不需要再求； （2）通过得出，将代入①得，得到，不可能同时为非负整数，故该方程组没有“好解”． 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 方程的所有“好解”为或或； （2）解：该方程组没有“好解”，理由如下： 得： ， 将代入①得： ， ，不可能同时为非负整数， 该方程组没有“好解”． 18 学科网（北京）股份有限公司 $$