【第三章 一次方程（组） 07讲 二元一次方程组的应用】暑假小升初衔接2025-2026学年七年级上册数学（湘教版）

第三章 一次方程（组） 07讲 二元一次方程组的应用 目录 【知识点1. 用二元一次方程组解决实际问题的步骤】……………………………… 1 【题型1. 和差倍分问题】…………………………………………………………… 2 【题型2. 行程问题】………………………………………………………………… 3 【题型3. 销售、利润问题】………………………………………………………… 7 【题型4. 方案问题】………………………………………………………………… 12 【题型5. 工程问题】………………………………………………………………… 18 【题型6. 数字问题】………………………………………………………………… 22 【题型7. 年龄问题】………………………………………………………………… 24 【题型8. 分配问题】………………………………………………………………… 26 【题型9. 几何问题】………………………………………………………………… 31 【题型10. 图表信息问题】…………………………………………………………… 33 【题型11. 古代问题】………………………………………………………………… 36 【题型12. 其他问题】………………………………………………………………… 40 【课后作业】…………………………………………………………………………… 45 知识清单 1、用二元一次方程组解决实际问题的步骤 直击考点 题型1. 和差倍分问题 例1．树上和地上有若干只鸽子．如果地上鸽子飞上树4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的3倍；如果树上鸽子下地4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的2倍．问树上、地上原来各有多少只鸽子？ 【分析】本题考查二元一次方程组解决实际问题．设树上原有x只鸽子，地上原有y只鸽子，根据“如果地上鸽子飞上树4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的3倍；如果树上鸽子下地4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的2倍”列出方程组，求解即可． 【详解】解：设树上原有x只鸽子，地上原有y只鸽子．根据题意，得 ， 解得． 答：树上原有68只鸽子，地上原有28只鸽子． 变式1．列方程（组）解实际问题 为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）．对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过，、两类物质排放量之和不超过． 已知该型号某汽车的、两类物质排放量之和原为．经过一次技术改进后，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了60%，、两类物质排放量之和为．判断这一次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用， 根据等量关系列出二元一次方程组，求出解，再判断即可． 【详解】解：设A类物质排放量原为，B类物质排放量原为，根据题意，得， 解得， 这一次技术改进后，A类物质排放量为， 因为， 所以不符合“标准”． 变式2．“霜降”是收获、播种的最后时节．某农科所利用试验田共种植5亩谷子进行新技术与传统技术的对比试验，共收获谷子3300斤，经过对比发现，采用新技术种植的谷子，平均每亩产量是采用传统技术种植的谷子的1.25倍．已知传统技术种植的谷子平均每亩产量为600斤，请问该试验田采用传统技术和新技术各种植谷子多少亩？ 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设该试验田采用传统技术种植谷子x亩，采用新技术种植谷子y亩，根据题中关系列出二元一次方程组即可解答，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设该试验田采用传统技术种植谷子x亩，采用新技术种植谷子y亩， 根据题意，得， 解得． 答：该试验田采用传统技术种植谷子3亩，采用新技术种植谷子2亩． 题型2. 行程问题 例1．周末，小明和他爸爸来到环形场跑步锻炼，绕环形场跑一圈的路程为400米．若两人同时同地反向而跑，则经过36s后首次相遇，若两人同时同地同向而跑，则经过180s后，爸爸首次从后面追上小明，问：小明和爸爸的速度各为多少？ 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设小明和爸爸的速度各为x米/秒，y米/秒，根据题意可得，再解方程组即可． 【详解】解：设小明和爸爸的速度各为x米/秒，y米/秒，则 ， 解得， 答：小明的速度为米/秒，爸爸的速度为米/秒． 例2．某船在静水中的速度为，该船于下午1点从A地出发，逆流而上，下午到达B地，停泊后返回，下午4点回到A地．求A，B两地的距离及水流的速度． 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组求解是解题关键． 设两地的距离为，水流的速度为，根据题意，列出方程组求解即可． 【详解】解：由题知，从A地出发逆流而上到达B地所用时间为， 从B地出发顺流而下到达A地所用时间为， 设两地的距离为，水流的速度为． 根据题意，得 解得， ∴两地的距离为，水流的速度为． 变式1．甲、乙两人都以不变的速度在400米的环形路上跑步．如果同时同地出发，反向而行，每隔2分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔6分钟相遇一次．已知甲比乙跑得快． (1)甲、乙两人速度分别是多少米每分钟？ (2)甲、乙两人跑一圈各需要多少分钟？ 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设甲每分钟跑米，乙每分钟跑米，根据“如果同时同地出发，反向而行，每隔2分钟相遇一次，如果同时同地出发，同向而行，每隔6分钟相遇一次”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． （2）由路程速度时间进行求解即可． 【详解】（1）解：设甲每分钟跑米，乙每分钟跑米， 依题意，得：， 解得：． 答：甲、乙两人速度分别是米/每分钟，米/每分钟； （2）解：甲跑一圈各需要（分钟）， 乙跑一圈各需要（分钟）， 变式2．问题情境： 目前，户外骑自行车进行锻炼已经成为我们日常生活中常见的一种锻炼方式，越来越受到大众的欢迎．而在骑行的过程中，自行车的轮胎与地面摩擦会有损耗，行驶一定的里程就要报废． 问题解决： 问题一：如果前后轮没有压力差，前轮可以使用4000公里，后轮也可以使用4000公里，这对轮胎行驶的里程数最大值是______． 问题二：由于后轮受到的压力大，所以损耗也大一些，如果行驶到某里程数，将前后轮交换一次，再使用到前后轮同时报废，可以使行驶的里程数最大．若前轮可以使用5000公里，后轮可以使用3000公里，行驶的里程数为多少公里时交换前后轮胎？这对轮胎行驶的里程数最大值是多少？ 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，确定相等关系是关键； 问题一：由前后轮没有压力差可得答案； 问题二：设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为，设一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里，根据题意列出二元一次方程组，求解，再设行驶的里程数为公里时互换前后轮胎并进一步解答即可． 【详解】解：问题一：由题意可得：这对轮胎行驶的里程数最大值4000公里； 问题二：设每个新轮胎报废时的总磨损量为，一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里， 根据题意，得； ，得， 则， 设行驶的里程数为公里时互换前后轮胎，则， 解得， 答：行驶的里程数为 1875 公里时交换前后轮胎，这对轮胎行驶的里程数最大值是3750公里． 变式3．甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？ 【分析】设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，上坡路是y千米，则下坡路是千米，再根据去与返回的时间建立方程组求解即可． 【详解】解：从下午1点到下午3点30分共2.5小时，从下午4点到下午6点48分共2.8小时． 设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，上坡路是y千米，则下坡路是千米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∴． 答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米． 题型3. 销售、利润问题 例1．有着数千年历史的海南黎锦，通过行之有效的探索，不断焕发新的时代光彩，各种黎锦文创产品，如手提包、零钱包、书签、桌旗、改良服饰等，作为美观又实用的特色伴手礼，走进海南各大旅游景区景点，热门商圈和机场等地．某文创商店销售，两款黎锦手提包，其中款的售价比款的售价贵50元，已知卖出15个款黎锦手提包和20个款黎锦手提包的销售总额为6000元，求，两款黎锦手提包每个的售价． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练找到等量关系是解答本题的关键．设一个款黎锦手提包的售价为元，一个款黎锦手提包的售价为元，列出等量关系解答即可． 【详解】解：设一个款黎锦手提包的售价为元，一个款黎锦手提包的售价为元， 根据题意可得， 解得， 答：一个款黎锦手提包的售价为200元，一个款黎锦手提包的售价为150元． 例2．某网店销售A，B两种款式的商品，第一个月A，B两种款式的销售量为400件．第二个月卖出A款商品的数量比第一个月多15％，卖出B款商品的数量比第一个月少20％，这两种款式的商品的总销量增加了25件．问第一个月A，B两种款式的商品各卖了多少件？ 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．设第一个月款商品卖出件，款商品卖出件．根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设第一个月款商品卖出件，款商品卖出件． 得 解得 答：第一个月款商品卖出件，款商品卖出件． 例3．刀鱼馄饨是靖江特色美食，被誉为“长江第一鲜”．清明节前后是刀鱼馄饨销售的高峰，某饭店推出两种型号的刀鱼馄饨礼盒，上午售出礼盒个、礼盒个，收入元，下午售出礼盒个、礼盒个，收入元； (1)两种型号的刀鱼馄饨礼盒每盒的售价分别是多少元？ (2)清明假期，小张计划同时购买这两种礼盒赠予亲朋（都需要购买），预算为元．请你帮助他设计预算资金恰好用完时的购买方案． 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设每盒元 ，每盒元，由此列二元一次方程组求解即可； （2）设礼盒盒、礼盒盒，由此列二元一次方程，分别代值计算，结合题意即可求解． 【详解】（1）解：设每盒元 ，每盒元， ∴， 解得，， ∴每盒元 ，每盒元； （2）解：设礼盒盒、礼盒盒， ∴，整理得，， ∴， ∵是正整数， ∴是的倍数，，即， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，共两种方案：礼盒盒、礼盒盒或礼盒盒、礼盒盒． 变式1．随着新冠疫情的出现，口罩成为日常生活的必需品，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部卖出，其中成本，售价如表： 甲 乙 成本 1.2元/只 0.4元/只 售价 1.8元/只 0.6元/只 (1)若该公司三月份的利润为8.8万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？ (2)某同学有16.2元的零花钱，打算购买甲和乙两种口罩，正好赶上门罩价格调整，其中甲型口罩售价上涨50%，乙型口罩按原价出售，则该同学有多少种不同的购买方案可以使钱正好花完？请设计出来． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，根据题意正确列方程组和方程是解题的关键． （1）设该公司三月份生产甲种型号的防疫口罩万只，乙种型号的防疫口罩万只，列方程组求解即可； （2）设该同学购买只甲型口罩，只乙型口罩，得到，求出或，即可得到答案． 【详解】（1）解：设该公司三月份生产甲种型号的防疫口罩万只，乙种型号的防疫口罩万只， 根据题意得：， 解得：． 答：该公司三月份生产甲种型号的防疫口罩12万只，乙种型号的防疫口罩8万只； （2）解：设该同学购买只甲型口罩，只乙型口罩， 根据题意得：， ． 又均为正整数， 或 ∴该同学共有2种购买方案， 方案1：购买4个甲型口罩，9个乙型口罩； 方案2：购买2个甲型口罩，18个乙型口罩． 变式2．2024年某食品股份有限公司始终坚持“用心塑品质，创新赢未来”的经营理念，以发展辣椒产业为主导，综合农副产品深加工等为一体的产品，其产品深受消费者喜欢．某商店计划购买一批产品作为年货出售，据了解1箱辣椒酱、3箱油焖辣椒的进价共计204元；4箱辣椒酱、2箱油焖辣椒的进价共计336元． (1)求每箱辣椒酱、油焖辣椒两种产品的进价分别为多少元？ (2)某商店需要购买辣椒酱12箱，油焖辣椒10箱，现商家推出活动，优惠一：辣椒酱满10箱打8折；优惠二：总购物金额满1200元减100元（两种优惠不同时享受），问该商店如何购买更划算． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出方程组和算式是解题的关键． （1）设每箱辣椒酱的进价为x元，每箱油焖辣椒的进价为y元，根据1箱辣椒酱、3箱油焖辣椒的进价共计204元；4箱辣椒酱、2箱油焖辣椒的进价共计336元建立方程组求解即可； （2）根据（1）所求结合优惠方案分别计算出两种优惠方案的费用，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：设每箱辣椒酱的进价为x元，每箱油焖辣椒的进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：每箱辣椒酱的进价为60元，每箱油焖辣椒的进价为48元； （2）解；购买辣椒酱12箱，油焖辣椒10箱的原价为元， 按照优惠一进行购买的费用为元， 按照优惠二进行购买的费用为元， ∵， ∴该商店应该按照优惠一购买更划算． 变式3．某零食店销售牛轧糖、雪花酥2种糖果，如果用800元可购买4千克雪花酥和5千克牛轧糖，用1000元可购买10千克牛轧糖和2千克雪花酥． (1)求雪花酥、牛轧糖每千克的价格分别为多少元？ (2)已知该零食店在12月共售出牛轧糖50千克、雪花酥30千克．春节将近，1月份超市将牛轧糖每千克的售价提升m元，雪花酥的价格不变，结果与12月相比牛轧糖销量下降了10%，雪花酥销量上升10千克，销售总额比12月多出1050元，求m的值． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）设每千克雪花酥的价格为元，牛轧糖的价格为元，找准等量关系，正确列出二元一次方程组； （2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【详解】（1）(1)设每千克雪花酥的价格为元，牛轧糖的价格为元，依题意得： ， 解得， 答：雪花酥的价格为100元，每千克牛轧糖的价格为80元 （2）解：根据题意得 ， 解得， 即的值为10． 题型4. 方案问题 例1．用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨．某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)辆型车、辆型车载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计出所有租车方案． 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程组的实际应用—方案问题，解题关键是理解题意． （1）设辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨，由题意列出二元一次方程组，求解即可； （2）结合（1）题得到二元一次方程，由、是正整数，列出所有符合条件的方案即可． 【详解】（1）解：设辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨， 依题得：， ， 答：辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨． （2）解：由（1）得，辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨， ， 、是正整数， ，； ，； ，； 答：共有三种租车方案：①型车辆，型车辆；②型车辆，型车辆；③型车辆，型车辆． 例2．神舟二十号载人飞船于2025年4月24日在我国酒泉卫星发射中心成功发射，某中学为提高学生对我国航天事业的认识，计划组织八年级师生前去观看，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人辆） 60 租金（元/辆） 200 300 问此次前去观看的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键． 设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设师生人数是人，原计划租用辆45座客车 根据题意，得 解这个方程组，得 答：此次前去观看的师生600人，原计划租用13辆45座客车． 例3．某汽车公司开发一款新能源汽车，计划一年生产240辆．为能按时完成计划，装配中心抽调一批工人进行组装．经调研，发现：1名高级装配工和2名初级装配工，每月可组装10辆；3名高级装配工和5名初级装配工每月可组装28辆．高级装配工每月工资6000元，初级装配工每月工资2500元． (1)每名高级装配工和初级装配工每月分别可以组装多少辆该款新能源汽车？ (2)若公司同时抽调的高级装配工和初级装配工刚好可以完成一年的组装任务，那么公司有哪几种抽调方案？ (3)在（2）的条件下，要使公司每月支出的工资总额尽可能少，那么公司应抽调多少名初级装配工？ 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出方程和算式是解题的关键． （1）设每名高级装配工每月可以组装x辆该款新能源汽车，每名初级装配工每月可以组装y辆该款新能源汽车，根据1名高级装配工和2名初级装配工，每月可组装10辆；3名高级装配工和5名初级装配工每月可组装28辆建立方程组求解即可； （2）设抽调高级装配工m人，抽调初级装配工n人，根据一年生产240辆列出方程，求出方程的正整数即可得到答案； （3）分配计算出三种方案的费用，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：设每名高级装配工每月可以组装x辆该款新能源汽车，每名初级装配工每月可以组装y辆该款新能源汽车， 由题意得， 解得， 答：每名高级装配工每月可以组装6辆该款新能源汽车，每名初级装配工每月可以组装2辆该款新能源汽车； （2）解：设抽调高级装配工m人，抽调初级装配工n人， 由题意得，， ∴， ∵m、n都是正整数， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴一共有三种抽调方案：方案一、抽调高级装配工1人，初级装配工7人；方案二、抽调高级装配工2人，初级装配工4人；方案三、抽调高级装配工3人，初级装配工1人； （3）解：选择方案一的费用为：元， 选择方案二的费用为：元， 选择方案三的费用为：元， ∵， ∴要使公司每月支出的工资总额尽可能少，那么公司应抽调1名初级装配工． 变式1．某公司计划用两种车型运输一批材料，已知用2辆A型车和1辆B型车装满材料一次可运输11吨；用1辆A型车和2辆B型车装满材料一次可运输13吨，该公司现有材料29吨，计划租用A型车辆，B型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． (1)1辆A型车和1辆B型车都装满材料一次可分别运多吨？ (2)请你帮这个公司设计租车方案，若A型车每辆需租金100元，B型车租金每次150元，请选择最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，方案问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设1辆A型车和1辆B型车都装满材料一次可分别运吨，再列出方程组，然后解得，即可作答． （2）先理解题意得，因为都是正整数，故或，再算出每个方案的费用，即可作答． 【详解】（1）解：设1辆A型车和1辆B型车都装满材料一次可分别运吨， 依题意，得 解得， ∴1辆A型车和1辆B型车都装满材料一次可分别运3，5吨． （2）解：∵该公司现有材料29吨，计划租用A型车辆，B型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满 ∴， ∵都是自然数， ∴或 即方案分别是租用A型车8辆，B型车1辆或租用A型车3辆，B型车4辆 当租用A型车8辆，B型车1辆，则 即费用为950元， 当租用A型车3辆，B型车4辆，则 即费用900元， ∵ ∴最省钱的方案为租用A型车3辆，B型车4辆，最少费用为900元． 变式2．字水中学十分重视培养学生的综合素质，组织七年级学生参加研学活动，需租用两种不同型号的客车，每辆座位如下表：若租用型客车5辆和型客车2辆，则需要租金2500元；若租用型客车1辆和型客车5辆，则需要租金2800元． 客车型号 人数/辆 30 45 (1)求租用、两种型号客车，每辆车租金分别是多少元？ (2)现有七年级师生450人，现计划同时租用两种型号客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，有几种租车方案？为节约成本，则租用A型客车和B型客车各多少辆，需要花费多少钱？ 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系． （1）设租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是、元，根据“租用A型客车5辆和B型客车2辆，则需要租金2500元；若租用A型客车1辆和B型客车5辆，则需要租金2800元”列方程求解即可； （2）设租用A型客车辆，租用B型客车辆，，得到关于、的二元一次方程，求出正整数解，可得方案． 【详解】（1）解：设租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是、元， 由题意得：，解得：， 答：租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是、元； （2）解：设租用A型客车辆，租用B型客车辆， 则， 则， 、都是正整数， 当时，，此时租车费用为（元）； 当时，，此时租车费用为（元）； 当时，，此时租车费用为（元）； 当时，，此时租车费用为（元）； 则为了节约成本，则租用A型客车辆，租用B型客车辆，需要花费元． 变式3．根据国家相关规定，新建小区的绿地率不得低于，旧小区改造的绿地率不得低于，一般地，绿地率可以看做是绿地面积（包括覆土绿地和实土绿地）与小区总面积的比，其中实土绿地是指绿化层下面为真实的土地，其面积应占总绿地面积的以上，覆土绿地是在人工铺设的土层上进行绿化，当覆土高度小于时，不算绿地面积；当覆土高度在至时，覆土面积的计入绿地面积；只有当覆土高度超过时，覆土面积才全部计入绿地面积． 某旧小区总面积为，绿地率只有，且其中覆土绿地的覆土高度都约为．现有一种改造方案，计划把原有覆土绿地的覆土高度都增加到以上，并增加实土绿地，从而使实土绿地的面积达到总绿地面积的．请判断按照该方案改造后，该小区的绿地率能否合格，并说明理由． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解题目数量关系正确列式求解是关键． 设该小区改造前覆土绿地的面积为，实土绿地的面积为，由此列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设该小区改造前覆土绿地的面积为，实土绿地的面积为， 由题意可知，， 解得， 按照该方案改造后的绿地面积为， 根据规定，该小区的绿地面积不得低于， ∵， ∴按照该方案改造后，该小区的绿地率可以合格． 题型5. 工程问题 例1．某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍．请问一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成960亩的打药任务，并说明理由． 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设人工每小时作业面积是亩，无人机每小时作业面积是亩，根据题意列出方程组并接方程组即可． 【详解】解：设人工每小时作业面积是亩，无人机每小时作业面积是亩， 根据题意得：， 解得：， 所以无人机和人工共同作业8小时不能完成960亩的打药任务． 例2．现有大量的沙石需要运输．“益安”车队原来有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨沙石．求“益安”车队载重量为8吨、10吨的卡车各有多少辆？ 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．本题设“益安”车队有辆载重量为8吨的卡车，辆载重量为10吨的卡车，根据“益安”车队原来有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆且全部车辆运输一次能运输110吨沙石，可列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结论． 【详解】解：设“益安”车队有辆载重量为8吨的卡车，辆载重量为10吨的卡车， 根据题意得：， 解得：． 答：“益安”车队有5辆载重量为8吨的卡车，7辆载重量为10吨的卡车． 变式1．南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？ 清淤机 清淤船 时间 方案一 1台 2台 8天 方案二 2台 1台 7天 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设一台清淤机的工作效率为，一台清淤船的工作效率为，根据方案一和方案二建立方程求解即可． 【详解】解：设一台清淤机的工作效率为，一台清淤船的工作效率为． 根据题意，得 解得， 答：2台清淤机和2台清淤船共同工作，能按要求完成任务． 变式2．某学校组织甲乙两班学生参加“美化校园”的义务劳动．如果甲班做2小时，乙班再做3小时，则恰好完成全部工作的一半；如果甲班做3小时，乙班再做6小时，恰好完成全部工作的．试问单独完成这项工作，甲乙两班各需多少时间? 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；设甲每小时完成x，乙每小时完成y；根据题意列出二元一次方程组，求出两班单独完成的工作效率，即可求出单独完成的时间． 【详解】解：设甲每小时完成x，乙每小时完成y； 根据题意得：， 解方程组得：， 则甲班单独完成需要（天），乙班单独完成需要（天）； 答：甲班需8天，乙班需12天． 变式3．安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项工程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天． (1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天； (2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程（组）． （1）设甲队单独完成此项工程需要天，乙队单独完成此项工程需要天，根据题意列出方程组，解方程组，即可求解； （2）设与公司派来的乙工程队再合作天可完成此项工程的，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设甲队单独完成此项工程需要天，乙队单独完成此项工程需要天， 根据题意得 解得 答：甲队单独完成此项工程需要40天，乙队单独完成此项工程需要15天 （2）解：设与公司派来的乙工程队再合作天可完成此项工程的， 根据题意得， 解得， 答：与公司派来的乙工程队再合作6天可完成此项工程． 题型6. 数字问题 例1．有一个两位正整数，十位数字的8倍比原数小9，将十位数字与个位数字对换位置后所形成的新两位数的3倍比原数大1，求原来的两位数．（列方程组解答） 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系． 设个位数字是x，十位数字是y，根据题意即可列出二元一次方程组进行求解． 【详解】解：设原数的个位数字是x，十位数字是y． 根据题意，得， 解得． 故原来两位数为41． 变式1．“消防安全”主题班会后，某学校举行了以“消防安全知多少”为主题的知识竞赛，竞赛分笔试和面试两个环节，两个环节的竞赛题都是25道，满分100分．计分规则：每道题答对得4分，答错扣1分，未答得0分． (1)笔试环节，甲同学答对的题数是未答的题数的5倍，得分为79分，则甲同学答对、答错、未答的题分别为多少道？ (2)面试环节，规定参赛者每道题都必须作答，总得分不少于90分可以被评为“消防安全小达人”．乙同学答对了23道题，他能被评为“消防安全小达人”吗？请说明理由． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意是解题的关键． （1）设甲同学答对x道题，答错y道题，则未答道题，根据甲同学答对的题数是未答的题数的5倍，得分为79分，即可列出二元一次方程组，即可解答． （2）根据题意，求出乙同学的总得分，即可解答． 【详解】（1）解：设甲同学答对x道题，答错y道题，则未答道题． 根据题意，得， 解得， ． 答：甲同学答对20道题，答错1道题，未答4道题． （2）根据题意，乙同学答对了23道题，答错了2道题． 他的总得分． 因为乙同学的总得分为90， 所以，乙同学能被评为“消防安全小达人”． 变式2．某两位数，已知十位数字与个位数字之和为11，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大45． (1)试通过列一元一次方程的方法求出原来的两位数； (2)若设原来的两位数的个位数字为x，十位数字为y，依据题意列出关于x，y的方程组（无需求解），并检验（1）中求得的结果是否满足所列的方程组． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设原来的两位数的十位数字为，个位数字为，根据“把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大45”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据“十位数字与个位数字之和为11，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大45”，即可得出关于的二元一次方程组，再代入值，验证即可． 【详解】（1）解：设原来的两位数的个位数字为，则十位数字为，依题意，得： ， 解得：， ， ∴原来的两位数为； （2）解：依题意，得： ， 由（1）知， ∴， ∴是方程组的解， ∴（1）中求得的结果满足所列的方程组． 题型7. 年龄问题 例1．某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 相据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． 变式1．根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可． 【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁， 由题意得：， 解得：， 答：大头儿子现在的年龄为10岁． 变式2．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中毕业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可． （2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案． 【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁． ． 解得： 答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁； （2）（年） （年） 小明的爸爸是2001年毕业，爷爷是1961年毕业的云附学子． 题型8. 分配问题 例1．某酒店客房部有三人间和双人间两种普通客房，收费标准为三人间300元/间，双人间280元/间，为了吸引游客，酒店实行团体人住五折优惠措施，一个46人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去2620元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房各多少间? 【分析】本题考查二元一次方程组的应用；理解题意，设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间，根据题意列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间， 依题意，得， 解这个方程组，得， 答：该旅游团住了三人间普通客房10间，双人间普通客房8间． 例2．春季是传染病高发的季节，同学们要勤通风常洗手，为了同学们的身体健康，李老师为全年级师生购买洗手液，根据市场调研，李老师发现某品牌的洗手液的大瓶装和小瓶装两种产品的销售数量（按瓶计算）比为，某厂每天生产这种洗手液22.5吨，请同学们利用二元一次方程组的数学思想，帮助李老师估计一下这些洗手液应该分装多少个大瓶，多少个小瓶才是最合理的？（请同学们注意单位换算） 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系，准确列方程组进行计算是解题关键．设这些消毒液应该分装x大瓶，y小瓶，根据题意列出方程组，解方程组求出x，y的值，即可求解． 【详解】解：依题意，22.5吨千克克， 设这些消毒液应该分装x大瓶，y小瓶， 由题意得 ， 解得 ， 答：这些消毒液应该分装20000大瓶，50000小瓶． 变式1．丰富多彩的社团活动，点亮了校园的每一个角落，绽放出多元而独特的光彩．在这里，每一个社团都是一个梦想的摇篮，每一份热爱都找到了生长的土壤．太谷区初中某学校社团在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成多少个包装盒？ 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意、找出合适的等量关系、列出方程组是解答本题的关键．设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为个，底面的数量为个，然后根据底面数量是侧面数量的2倍列出方程组求解即可． 【详解】解：设用张卡纸做侧面，用张卡纸做底面， 由题意得， 解得． （个）或（个） 答：这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12个． 变式2．某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）．加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） (1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片______张，正方形铁片______张； (2)现有长方形铁片100张，正方形铁片50张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖则可以加工成为铁盒．现准备用33张铁板先做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板有两种裁法： 方法1：可以裁出3个长方形铁片； 方法2：可以裁出4个正方形铁片． 若充分利用这些铁板加工成铁盒，则可以加工成多少个铁盒？ 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，掌握解二元一次方程的方法是解题的关键． （1）如图得加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1 张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2 张，即可求解． （2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器各有y个，根据题意列出方程组求解即可． （3）设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：如图，加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1 张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2 张． 故如果加工竖式铁容器与横式铁容器各 1 个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3张， 故答案为：7，3； （2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器各有y个，由题意得 解得 故加工的竖式铁容器有10个，横式铁容器各有20个； （3）解：设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，由题意得 解得 ∴在这33张铁板中，24张做长方形铁片可做（片），9张做正方形铁片可做（片）， ∴可做铁盒（个）． 变式3．综合与实践． 【素材1】某工厂计划日生产件零件． 【素材2】现有初级工、高级工两种工人可安排参与生产，生产能力和薪酬如下： 工种 初级工 高级工 日生产量（件/人） 日薪酬（元/人） 【素材3】为了便于调配，工厂安排的工人恰好可以完成生产计划． 【问题】 (1)若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排多少名初级工？ (2)该工厂每日计划支付薪酬元，那么需要安排初级工、高级工各多少人？ (3)为了保证生产质量，该工厂计划每4名初级工生产时需1名高级工进行指导（不足4名按4名计算，指导的高级工不参与生产，但需要支付日薪酬），请为工厂设计一个成本最低（支出工人的总日薪酬最低）的工人安排方案． 【分析】本题考查了二元一次方程组得应用，二元一次方程的应用以及一元一次方程的应用．找准等量关系，列出正确的等式是解题的关键． （1）设需要安排名初级工，根据需要日生产件零件，可列出关于的一员一次方程，解之即可； （2）设需要安排初级工x人，高级工y人，根据日生产件零件且该工厂每日支付薪酬元，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可； （3）设需要安排参与生产的初级工人，高级工人，根据日生产件零件，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，可得出各安排方案，结合每4名初级工生产时需要1名高级工进行指导（不足4名按4名计算，指导的高级工不参与生产，但需要支付日薪酬），可列表得出具体安排方案，再求出选择各方案需支出工人的总日薪酬，比较后即可得出答案． 【详解】（1）解：设需要安排名初级工， 根据题意得：， 解得：， 答：若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排名初级工． （2）解：设安排初级工x人，高级工y人 ，解得 答：需要安排初级工5人，高级工人． （3）解：设参与生产的初级工人，高级工人 则，化简得， 则为5的倍数，可列表如下： 0 5 5 参与指导的高级工人数 8 6 4 2 高级工人数 8 费用 ∴应安排初级工29名，高级工8名． 题型9. 几何问题 例1．如图所示，长方形中放置6个形状、大小都相同的小长方形，其中，求小长方形的长和宽．    【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，根据大长方形的长等于三个小长方形的宽加上一个小长方形的长，以及两个小长方形的宽加等于小长方形的长加小长方形的宽，建立二元一次方程组求解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图可得，， 解得：， ∴小长方形的长为7，宽为2． 变式1．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形（图①）．小红看见了，说：“我也来试一试”．结果小红拼成如图②所示的正方形，中间还留下了一个“洞”，这个“洞”恰好是边长为的小正方形．求每个小长方形的面积． 【分析】本题考查了列二元一次方程组的运用．根据矩形和正方形的长与宽的关系建立方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形长为，宽为， ， 解得， 每个小长方形的面积． 变式2．【综合与实践】 主题：制作一个有盖长方体形纸盒． 素材：一张矩形纸板． 操作：如图，先将矩形纸板的阴影部分剪下，再将剩余部分的纸板折成有盖长方体形纸盒． 计算∶若矩形纸板的周长为，与的长度比为，且折成的长方体形纸盒的底面为正方形，求这个有盖长方体形纸盒的体积． 【分析】本题考查矩形的周长公式、比例关系以及长方体的相关知识．解题关键在于利用矩形的周长和边长比例求出矩形的边长，再通过分析图形中矩形边长与长方体棱长的关系，确定长方体的长、宽、高，最后运用长方体体积公式计算体积．先根据矩形的周长和边长比例关系求出矩形纸板的长和宽，再结合折成的长方体底面是正方形这一条件，确定长方体的长、宽、高，最后根据长方体体积公式计算体积． 【详解】解：∵矩形纸板的周长为， ∴． 又∵与的长度比为，设，， ∴，即， 解得． ∴，． 设折成的长方体底面正方形的边长为． 观察图形可知，的长度等于底面正方形的两条边长加上长方体的两条高，的长度等于底面正方形的边长加上长方体的两条高． 即（为长方体的高） ∴，即， 解得． 把代入，可得， 解得． ∴长方体的长、宽均为、高为． ∴． 题型10. 图表信息问题 例1．小组捆绑式评价是一种通过将学生分成若干小组，并对小组整体表现进行评价和奖励的方法，旨在通过集体荣誉感激发学生的学习积极性和合作精神．某班数学课上采用小组积分制记录同学们参与课堂活动的情况．下表是某堂课上记录的两个组得分情况，其中回答问题一次加2分： 第一组 第二组 回答问题次数 1 2 参与课堂展示次数 7 5 有效质疑次数 2 3 最终分数 35 37 请问数学课上参与一次课堂展示或进行一次有效质疑各加多少分？ 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．本题的关键在于通过建立方程组来解题，需要仔细分析题目的条件，将抽象的活动转化为具体的数学模型，通过代数运算求解未知数．同时解题过程中应注意方程组的建立与解法，以及对解出的未知数是否符合题目中的实际情况进行检验． 【详解】解：设参与一次课堂展示加分为x分，进行一次有效质疑加分为y分， 由题意可得：， 解得：， 答：参与一次课堂展示加3分，进行一次有效质疑加6分． 变式1．某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不消楚，如图所示： 请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本，根据数量总和为46，金额综合为900元，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本， 由题意得， 解得， 则（元），（元）， 答：钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元． 变式2．如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连．这家工厂从A地购买每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路的运价为1.5元／（吨·），铁路的运价为1.0元／（吨·）．设这批原料有吨，生产成的产品有吨． (1)完成下列表格的填写： A地 B地 公路运费／元 _________ 铁路运费／元 _________ (2)这批原料从A地运回，到生产成产品运到B地，若两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元，问这批原料有多少吨？ (3)已知生产这批产品，其它成本费为100000元，每吨的生产费为3000元，若这批产品的毛利润为元，直接写出的值．（规定：每月的毛利润=销售额原料费其它成本费生产费运输费） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）利用从A地到工厂的铁路运费=铁路的运价×从A地到工厂的铁路长度×这批原料的质量，可用含x的代数式表示出从A地到工厂的铁路运费；利用从工厂到B地的公路运费=公路的运价×从工厂到B地的公路长度×生产成的产品的质量，可用含y的代数式表示出从工厂到B地的公路运费； （2）根据“两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）利用这批产品的毛利润=销售额原料费其它成本费生产费运输费，即可求出w的值． 【详解】（1）解：∵公路的运价为1.5元/（吨•），铁路的运价为1.0元/（吨•），这批原料有x吨，生产成的产品有y吨， ∴从A地到工厂的铁路运费为（元），从工厂到B地的公路运费为（元）． 故答案为：；． （2）解：根据题意得： ， 解得：， 答：这批原料有500吨． （3）解：根据题意得： ． 答：w的值为790500元． 题型11. 古代问题 例1．在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．问客房几间？房客几人？请解答上述问题． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，读懂题意是解题关键，设该店有客房x间，房客y人，根据每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．列出方程组求解即可． 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人， 根据题意得 ， 解得 ， 答：该店有客房8间，房客63人． 例2．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：四只雀、六只燕共重一斤：雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少斤？ 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 设雀重斤，燕重斤，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设雀重斤，燕重斤，根据题意得， 解得：， 答：雀重斤，燕重斤． 变式1．我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了“二果问价”问题： 九百九十九文钱，甜果苦果买一千． 甜果九个十一文，苦果七个四文钱． 试问甜苦果几个，又问各该几个钱． 意思是：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可以买九个甜果，四文钱可以买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？每个甜果、苦果分别卖多少文钱？请你解决这个问题． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、有理数的除法运算的应用等知识点，根据题意正确列出方程组成为解题的关键． 设购买甜果、苦果的个数分别为个，然后根据题意列二元一次方程组即可求得购买甜果、苦果的个数，然后再根据题意求得每个甜果、苦果的价格即可． 【详解】解：设购买甜果、苦果的个数分别为个， 由题意可得：，解得：． ∴购买甜果、苦果的个数分别为个， ∵十一文钱可以买九个甜果，四文钱可以买七个苦果， ∴每个甜果、苦果分别卖文钱和文钱． 答：购买甜果、苦果的个数分别为个，每个甜果、苦果分别卖文钱和文钱． 变式2．阅读下列材料，解决问题． 《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．” 译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (1)【尝试】若设公鸡有x只，母鸡有y只． ①小鸡有________只，买小鸡一共花费________文钱（用含x，y的式子表示）． ②根据题意，列出一个含有x，y的方程________． (2)【探索】若对“百鸡问题”增加一个条件：公鸡数量是母鸡数量的3倍，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (3)【拓展】除了问题（2）中的解之外，请写出两组符合“百鸡问题”的解，并简要说明理由． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）①由购买鸡的只数找出购买小鸡的只数；②找准等量关系，正确列出二元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）结合、均为整数求出二元一次方程的解． （1）①根据共买鸡100只，即可求出小鸡购买的只数，结合小鸡的价格即可求出购买小鸡的总花费； ②根据总价单价数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于、的二元一次方程； （2）根据（1）中②的结论结合公鸡数量是母鸡数量的3倍，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）根据总价单价数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于、的二元一次方程，结合、均为整数，即可求出结论． 【详解】（1）解：①要买100只鸡，且小鸡每三只值一文钱， 买了只小鸡，买小鸡花了文钱． 故答案为：；． ②根据题意得：． 故答案为：． （2）解：设公鸡有只，母鸡有只，则小鸡有只， 根据题意得：， 解得：， ． 答：公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只． （3）解：根据题意得：， 化简得：， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，舍去． 故除了问题（2）中的解之外，以下三组答案，写出其中任意两组即可：①公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；②公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；③公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只． 变式3．程大位是珠算发明家，他随时留心数学，遍访名师，于60岁完成其杰作《算法统家》．该书中记载着一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名酶厚酒醇，醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多酶酒几多醇？”这首诗的意思是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人总共饮下了19瓶酒，且都醉倒了，问他们醇酒、薄酒分别饮了多少瓶？（列二元一次方程组解答） 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，设他们醇酒饮了瓶，薄酒饮了瓶，根据33位客人总共饮下了19瓶酒，醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设他们醇酒饮了瓶，薄酒饮了瓶． 根据题意，得 解得； 答：他们醇酒饮了10瓶，薄酒饮了9瓶． 题型12. 其他问题 例1．小江在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯按图示的方式整齐地叠放在一起． (1)求一个纸杯的高度约为多少厘米？ (2)若小江要把这些纸杯摆高，那么最多可摆多少个？ 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是关键． （1）设杯身高，杯口高，由此列方程组求解即可； （2）设最多可摆个，由此列式即可求解． 【详解】（1）解：设杯身高，杯口高， ∴， 解得，， ∴设杯身高，杯口高， ∴一个纸杯的高度约为厘米； （2）解：设最多可摆个， ∴， 解得，， ∴最多可摆个． 例2．如图，A，B两地有公路和铁路相连，在这条路沿线有一家食品公司，它到A地的距离，到B地的距离是．这家公司从A地购买当地特产大货桃运回公司，制成黄桃罐头后全部销售到B地．已知黄桃的进价为每吨2000元，黄桃罐头（含包装）的出厂价为每吨4000元；公路运送水果的运价为元，运送罐头的运价为元：铁路运送水果的运价为元，运送罐头的运价为元．若这两次运输（第一次：A地→公司；第二次：公司→B地）共支付公路运费720元，铁路运费990元． (1)求此次购买的黄桃和制成的罐头分别为多少吨？ (2)求这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ 【分析】本题考查了二元一次方程组在实际问题中的应用，解题的关键是根据公路运费和铁路运费的条件分别列出方程，组成方程组并求解； （1）设购买了吨黄桃，制成了吨罐头，根据题意列出方程组，联立方程组求解得到黄桃和罐头的重量； （2）分别计算销售款、原料费和运输费，进而求出销售款比原料费与运输费的和多的金额； 【详解】（1）解：设购买了吨黄桃，制成了吨罐头． 根据题意得：， 解得：． 答：购买了10吨黄桃，制成了40吨罐头； （2）解：黄桃的收购款为（元）， 罐头的销售款为（元）， 运费支出（元）， 多出（元）． 答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多138290元． 变式1．学校信息技术小组开发了一款机器人程序，机器人位于数轴上某整点处，每次可以向左或向右移动1个单位长度，如机器人起始位置在表示5的点上，向右连续移动2次，再向左移动一次后的位置是，即表示机器人在表示6的点上． (1)若机器人从原点出发，经过4次移动后又回到原点，写出一种移动方式； (2)若机器人从表示的点出发，移动2025次后到达表示2017的点上，求第1000次移动后机器人所在的位置表示的数． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． （1）根据题意写出合理的移动方式即可； （2）设机器人向右移动了次，向左移动了次．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：先向右连续移动2次，再向左连续移动2次 （2）解：设机器人向右移动了次，向左移动了次． 由题意可得， 解得：， 即在整个移动过程中，机器人有2次向左移动的机会． ①若2次向左移动发生在第1000次移动之前，则第1000次移动后机器人所在的位置表示的数为； ②若只有1次向左移动发生在第1000次移动之前，则第1000次移动后机器人所在的位置表示的数为； ③若2次向左移动发生在第1000次移动之后，则第1000次移动后机器人所在的位置表示的数为． 综上所述，第1000次移动后机器人所在的位置表示的数是994或995或996． 变式2．为鼓励居民节约用电，某市对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，如下表．小明家今年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元．已知小红家今年4，5月份的家庭用电量分别为200千瓦时和490千瓦时，请你依据题目条件，计算小红家4，5月份的电费分别为多少元？ 每户每月用电量 电价/（元/千瓦时） 180千瓦时及以内 x 超过180千瓦时但不超过450千瓦时的部分 y 超过450千瓦时的部分 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数混合运算的实际应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 根据题意列方程组求出，然后根据电费表示方法求解即可． 【详解】解：由题意，得 解得 （元/千瓦时）， 小红家4月份的电费为（元）， 5月份的电费为（元）． 答：小红家4月份的电费为122元，5月份的电费为327元． 变式3．杆秤是我国度量衡“三大件（尺、斗、秤）”的重要组成部分，是中华民族衡重的基本工具．杆秤依据杠杆原理制作而成，一般由秤钩（秤盘）、秤杆和秤砣三部分组成，秤杆上的刻度叫做“秤星”，古时候秤杆叫做“权”，秤砣叫做“衡”，“权衡”一词就来源于此． 如图1是小阳同学利用自制杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起（相当于支点）处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，设秤盘和货物的总质量为，秤砣的质量为，当秤杆平衡时，有，可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的质量．如图2所示，称量货物甲时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物甲的质量是；如图3所示，称量货物乙时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物乙的质量是．根据图中所给数据，回答下列问题： (1)分别求出秤盘和秤砣的质量； (2)求这把杆秤的秤星对应的刻度是多少克． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组以及一元一次方程组的应用． （1）设秤盘质量为x克，秤砣质量为y克，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． （2）设这把杆秤的秤星E对应的刻度是m克，根据题意列出关于m的一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设秤盘质量为x克，秤砣质量为y克， 根据题意得： ， 解得：， 答：秤盘质量为4克，秤砣质量为10克． （2）解：设这把杆秤的秤星E对应的刻度是m克， 根据题意得： ， 解得：， 答：这把杆秤的秤星E对应的刻度是100克． 课后作业 一、单选题 1．（24-25九年级下·四川乐山·期中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是： 甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金质量相同），乙袋中装有白银 11枚（每枚白银质量相同），两袋质量相等，两袋互相交换1枚后， 甲袋比乙袋轻了13两（袋子质量忽略不计），问：黄金、 白银每枚各重多少两？设每枚黄金重 x两，每枚白银重 y两，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找到等量关系并列出方程组是解题的关键；根据题意，首先建立交换前两袋重量相等的方程，再建立交换后甲袋比乙袋轻13两的方程，联立方程组即可． 【详解】解：交换前的重量关系：甲袋9枚黄金与乙袋11枚白银重量相等，故有方程； 交换后的重量关系：甲袋交换后变为8枚黄金和1枚白银，总重量为；乙袋交换后变为10枚白银和1枚黄金，总重量为；等量关系为：甲袋比乙袋轻13两，即乙袋重量减甲袋重量等于13两，故方程为； 联立得：； 故选：C． 2．（24-25九年级下·新疆乌鲁木齐·期中）某工厂生产茶具每套茶具有1个茶壶和6个茶杯组成，生产这种茶具的主要材料是紫砂泥，用1千克紫砂泥可以做3个茶壶或9个茶杯，现要用9千克紫砂泥制作这些茶具．应用x千克紫砂泥做茶壶，用y千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具多少套，请列出方程组（ ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用， 根据题意，总材料为9千克，故第一个方程为．再根据茶壶和茶杯的数量关系，每套需1个茶壶和6个茶杯，茶壶数量为，茶杯数量为，需满足茶杯总数是茶壶总数的6倍，即，由此列出第二个方程． 【详解】解：设用x千克做茶壶，y千克做茶杯，总材料为9千克， 根据题意得，． 故选：B． 3．（2025·山东·中考真题）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了一元二次方程组的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解题的关键． 设哪吒有个，夜叉有个，然后根据等量关系“共有36个头”和“108只手”列出二元一次方程组即可解答． 【详解】解：设哪吒有个，夜叉有个， 然后根据题意可得：． 故选D． 4．（2025·黑龙江牡丹江·一模）学校为了开展球类活动，准备用元同时购买若干个篮球、足球、排球（三种球类都买），且购买的足球数量是的倍数．若篮球每个元，足球每个元，排球每个元，则该学校的购买方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【分析】本题考查了不定方程的应用，二元一次方程的应用，正整数解，设购买篮球个，足球个，排球，又购买的足球数量是的倍数，设（为正整数），则有，即，整理得，然后分或进行求正整数解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：购买篮球个，足球个，排球， ∵购买的足球数量是的倍数， ∴设（为正整数）， ∴， ∴，整理得：， ∵，为正整数， ∴或， ∴当时，， ∴或或或或或， ∴当时，， ∴， 综上可知：该学校的购买方案有种， 故选：． 5．（2025·山东聊城·三模）某饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口． 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度”． 李老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满；小明拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯、温度为的水（不计热损失）．下列三个结论： ①李老师的水杯容量为； ②李老师接满水后，水杯中水温为（不计热损失）； ③小明同学的接水时间为． 其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用．①根据水量等于水速乘时间列式计算，即可作答．②结合“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．”即可列式，结合题意列式，解方程，即可作答．③设小明接温水的时间为，接开水的时间为，列出二元一次方程组，再解方程，即可作答． 【详解】解：①依题意： ， ∴李老师的水杯容量为． ②接入水杯的温水吸收的热量为：； 由题意：， 解得，即水温约； ③设小明接温水的时间为，接开水的时间为， 则，    解得， ， ∴小明同学的接水时间为． 综上，①③正确， 故选：B． 二、解答题 6．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）小红和小丽在的环形跑道上跑步，他们于同一个起点同时出发．如果同向跑，那么经过200s两人第一次相遇；如果反向跑，那么经过40s两人第一次相遇．若小红比小丽跑得快，则小红、小丽跑步的平均速度分别是多少？ 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设小红的平均速度是，小丽的平均速度是，根据同向跑，那么经过200s两人第一次相遇；反向跑，那么经过40s两人第一次相遇，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设小红的平均速度是，小丽的平均速度是； 根据题意，得， 解得； 答：小红的平均速度是，小丽的平均速度是． 7．（24-25七年级下·福建漳州·期中）某校勤工俭学小组为筹集养老院五一慰问礼品费用，他们从蔬菜批发市场批发了西红柿和豆角到菜市场去卖，两天的账本记录如图，若蔬菜售价不变，这个记录是否有误？如果有误，请说明理由． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据账本的关系，分别列式化简，得，，但，蔬菜售价不变，故账本记录有误，即可作答． 【详解】解：这个记录有误，理由如下： 设西红柿售价为元/ ，豆角元/ ， 依题意得，整理得， ，整理得， ∵， ∴这个记录有误． 8．（2025·安徽马鞍山·三模）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．某茶馆的店主计划购买三种不同类型的茶叶来丰富茶馆的饮品选择，其中包括龙井茶、普洱茶和茉莉花茶．龙井茶的采购价为每千克700元，普洱茶的采购价为每千克300元，茉莉花茶的采购价为每千克200元．店主计划采购这三种茶叶总共50千克，以满足不同顾客的口味需求． (1)设采购龙井茶千克、普洱茶千克，请用含，的代数式填表： 质量/千克 采购总价/元 龙井茶 普洱茶 茉莉花茶 _____ _____ (2)若店主总共花了15000元，其中采购的普洱茶的质量比龙井茶的2倍多1千克，求店主采购的龙井茶、普洱茶以及茉莉花茶各有多少千克． 【分析】本题考查列代数式、二元一次方程组解应用题，设采购龙井茶千克、普洱茶千克，根据茶叶总量、茶叶单价即可列出代数式，再由等量关系列方程组求解即可得到答案．读懂题意，理解相关关系是解决问题的关键． （1）由题意，直接列表达式即可得到答案； （2）由（1）中表格数据，列二元一次方程组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：店主计划采购这三种茶叶总共50千克， 茉莉花茶质量为千克， 茉莉花茶的采购价为每千克200元， 茉莉花茶采购总价为元， 填表如下： 质量/千克 采购总价/元 龙井茶 普洱茶 茉莉花茶 （2）解：由（1）知，设采购龙井茶千克、普洱茶千克、茉莉花茶千克， 龙井茶的采购价为每千克700元，普洱茶的采购价为每千克300元，茉莉花茶的采购价为每千克200元，店主总共花了15000元购茶， ， 等式两边同时除以得， 等式两边同时除以得， 采购的普洱茶的质量比龙井茶的2倍多1千克， ， 由题意得， ，解得， 即龙井茶有7千克，普洱茶有15千克， 茉莉花茶为． 答：店主采购的龙井茶有7千克，普洱茶有15千克，茉莉花茶有28千克． 9．（24-25七年级下·吉林松原·阶段练习）某中学组织七年级学生春游，原计划租用型客车若干辆，此时有15名同学没有座位；若改为租用型客车，则可以少租用两辆车，同时还有15个空座位．两种客车的载客量、租金如下表． 类型 载客量（人） 租金（元／辆） 型客车 45 250 型客车 60 320 (1)本次春游学生共多少人，原计划租型客车多少辆？ (2)若同时租用两种客车，要求所有客车的座位刚好坐满，请问怎样租车更合算？ 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程， （1）设原计划租型客车辆，本次春游学生共人，根据原计划租用型客车若干辆，此时有15名同学没有座位；若改为租用型客车，则可以少租用两辆车，同时还有15个空座位．结合两种客车的载客量，列出二元一次方程组，解方程组即可； (2) 设租用型客车辆，型客车辆，根据同时租用两种客车，要求所有客车的座位刚好坐满，列出二元一次方程，解方程， 再根据两种客车的租金计算比较即可． 【详解】（1）解：设原计划租型客车辆，本次春游学生共人，由题意，得： ，解得：； 答：本次春游学生共465人，原计划租型客车10辆； （2）解：设租用型客车辆，型客车辆，由题意，得： ， 解得：， ∵均为正整数， ∴或或； 共3种租车方案： 方案一：租用9辆型客车，辆型客车，费用为：（元）； 方案二：租用5辆型客车，4辆型客车，费用为：（元）； 方案三：租用1辆型客车，7辆型客车，费用为：（元）； ∵， ∴租用1辆型客车，7辆型客车，更划算． 10．（2025·北京海淀·三模）随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车．大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮严重．某汽车前轮轮胎在行驶6万公里时报废，后轮轮胎在行驶8万公里时报废，每个新轮胎报废时的总磨损量为1．（轮胎的磨损量等于汽车行驶的单位路程的磨损量乘以汽车行驶的路程） (1)若每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则安装在前轮的轮胎每行驶1万公里的磨损量为 ； (2)若在轮胎使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，请问行驶多少万公里后交换前后轮继续行驶，可使两对轮胎同时报废，并判断报废时行驶里程是否达到万公里． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，找到等量关系并列出方程是解题的关键． （1）根据前轮在汽车行驶达到6万公里时报废，即可求得前轮在行驶1万公里时的磨损量； （2）前轮的磨损量为，后轮的磨损量为，设总行驶里程为万公里，当行驶x万公里时，前后轮交换后两对轮胎同时报废，列出方程组，进行求解即可． 【详解】（1）解：由于前轮在汽车行驶达到6万公里时报废，则前轮在行驶1万公里时的磨损量为； 故答案为：． （2）解：由题意，可知，安装在后轮的轮胎每行驶1万公里的磨损量为，设总行驶里程为万公里同时报废，当行驶x万公里时，前后轮交换后两对轮胎，由题意，得： ， 解得：； ∵， 故报废时行驶里程达到万公里； 答：应在汽车行驶里程达到万公里时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废，且报废时行驶里程能达到万公里． 11．（24-25九年级下·安徽宿州·期中）中国初创企业（深度求索）公司，其自主研发的人工智能大语言模型，凭借“好用、开源、免费”三大特点，在全球范围内引发热烈反响．公司为提升服务能力，计划部署两种服务器：型号和型号． 这两类新型服务器的维护需求各有不同，具体如下表所示： 服务器类型 每台所需技术人员 每台成本（万元） 型号 3 10 型号 5 15 公司共有技术人员65人，全部参与维护且每人只负责一种服务器，总投入资金为200万元．问和服务器的安装数量各是多少台？ 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设服务器的安装数量是台，服务器的安装数量是台，根据公司共有技术人员65人，全部参与维护且每人只负责一种服务器，总投入资金为200万元，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设服务器的安装数量是台，服务器的安装数量是台． 根据题意可列： 解得： 答：服务器的安装数量是5台，服务器的安装数量是10台． 12．（24-25七年级下·河南周口·期中）综合与实践 【任务驱动】 某校40名同学要去参观某科技展览馆，已知该展览馆分为A，B，C三个场馆，根据以下素材，解决相应问题． 【素材收集】 素材1：购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需280元，购买5张A场馆门票和3张B场馆门票共需450元．C场馆门票为每张25元． 素材2：每名同学要选择且只能选择一个场馆参观，且每个场馆都需要有人参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票． 【问题解决】 (1)求A场馆和B场馆的门票价格． (2)在出发前，大家的初步参观意向为有2p名同学想参观A场馆，p名同学想参观C场馆，t名同学想参观B场馆，在大家的初步参观意向下，按照素材1与素材2的条件，所需花费的门票总金额为1670元，求p与t的值． (3)到达展览馆后，实际参观三个场馆的人数均有变化，若最终参观C场馆的同学人数多于参观A场馆的同学人数，按照素材1与素材2的条件，最终花费的门票总金额为1150元，请求出符合条件的所有购买方案． 【分析】（1）根据题意设出未知数，得到二元一次方程组求解即可； （2）根据题意得到二元一次方程组，算出答案即可； （3）先根据题意设出未知数，列出二元一次方程，根据求二元一次方程的整数解，并且要关注C馆的人数大于A馆的人数，得到答案即可； 【详解】（1）解：（1）设A场馆的门票价格为x元/张，B场馆的门票价格为y元/张． 由题意得，解得． 答：A场馆的门票价格为60元/张，B场馆的门票价格为50元/张． （2）解：由题意得，解得， 答：p与t的值分别为11与7． （3）解：设购买m张A场馆门票，n张B场馆门票，则购买张C场馆门票． 由题意得， 整理，得． ∵m，n均为正整数， ∴或， ∴共有2种购买方案： ①购买10张A场馆门票，2张B场馆门票，18张C场馆门票； ②购买5张A场馆门票，4张B场馆门票，26张C场馆门票 13．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，由五个形状大小一样的小长方形木板拼成一个大的长方形．已知大长方形的周长为16． (1)请求出小长方形的周长； (2)在原来大长方形的基础上，再拼加三个小长方形木板（与原先五个小长方形木板形状大小相同）成为一个新的长方形，求所有可能拼成的大长方形的周长． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系列出方程组是解题的关键． （1）设小长方形的长为，宽为，根据图形列出方程组，解出的值，即可求出小长方形的周长； （2）根据题意拼出符合题意的图形，再求出大长方形的周长即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 由图可得，， 解得：， 小长方形的长为3，宽为1， 小长方形的周长为． （2）解：如图1的摆放方式： 则大长方形的周长为； 如图2的摆放方式： 则大长方形的周长为； 如图3的摆放方式： 则大长方形的周长为； 综上所述，所有可能拼成的大长方形的周长为22或20． 14．（24-25九年级下·重庆·期中）列方程（组）或不等式（组）解决问题． 2025年五一期间，重庆荣昌成为了全国热门旅游城市，荣昌卤鹅也渐渐成为了游客们的美食首选，卤鹅可分为酱香和麻辣两种口味．某卤鹅专卖店第一次购进了酱香味卤鹅和麻辣味卤鹅共40只，酱香味卤鹅每只进价18元，麻辣味卤鹅每只进价21元，酱香味卤鹅每只售价23元，麻辣味卤鹅每只售价25元． (1)若该店第一次购进两种卤鹅共花了774元，则购进酱香味卤鹅和麻辣味卤鹅各多少只？ (2)第一批卤鹅销售完毕，该店又购进了第二批，第二批两种卤鹅每只的进价不变，购进的两种卤鹅数量相同．每只酱香味卤鹅的售价在第一次的基础上涨了，每只麻辣味卤鹅的售价在第一次的基础上降低了m元，当第二批进货全部买完后，统计出第二批酱香味卤鹅获得160元的利润，第二批麻辣味卤鹅获得40元的利润，求m的值． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． （1）设购进酱香味卤鹅只，麻辣味卤鹅只，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设第二批每种卤鹅购进只，根据题意列出方程组，解方程组即可得解． 【详解】（1）解：设购进酱香味卤鹅只，麻辣味卤鹅只， 由题意可得：， 解得：， ∴购进酱香味卤鹅只，麻辣味卤鹅只； （2）解：设第二批每种卤鹅购进只， 由题意可得：， 解得：， 故的值为． 15．（2025·安徽·模拟预测）在一个现代化的园艺中心，园艺师计划购买三种不同类型的常绿乔木的树苗来装饰他的花园：黑松、油松以及龙柏．黑松树苗每棵的市场价格为50元；油松树苗每棵的市场价格为30元；三棵龙柏树苗的市场价格合计为10元．园艺师决定用1000元来购买这三种树苗总共100棵，以丰富他的花园生态． (1)设购买黑松树苗棵，油松树苗棵，请用含的代数式填表： 数量（棵） 购买总价（元） 黑松树苗 油松树苗 龙柏树苗 (2)在（1）的条件下，若购买油松树苗数量是黑松树苗数量的5倍少2棵，求此时购买黑松、油松以及龙柏树苗分别有多少棵？ 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的应用，理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）设购买黑松树苗棵，油松树苗棵，根据题意列代数式即可； （2）设购买黑松树苗棵，油松树苗棵，由题意可得方程组，解方程即可解答． 【详解】（1）解：补全表格如下： 数量（棵） 购买总价（元） 黑松树苗 油松树苗 龙柏树苗 （2）解：由题意得，解得， ， ∴此时购买黑松、油松以及龙柏树苗分别有4棵，18棵，78棵． 16．（2025·安徽池州·模拟预测）一家广告公司为某学校制作文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中宣传册的数量是展板的5倍．广告公司制作每件产品所需时间和所获利润如下表： 产品 展板 宣传册 横幅 时间／小时 1 利润／元 60 20 已知制作三种产品共需25小时，所获利润为975元，则这三种产品的件数之和为？ 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组求解是解题关键． 设学校制作展板件，宣传册件，横幅件，根据题意，列出方程组求解即可． 【详解】解：设学校制作展板件，宣传册件，横幅件 则： 解得： 所以这三种产品的总件数为件． 17．（24-25七年级下·河北沧州·期中）《哪吒之魔童闹海》成为中国电影史上首部票房破百亿的影片，影片中各种角色的周边商品也随之火爆．某潮品店上架了A、B两种型号的哪吒系列手办盲盒．若购买3个A型盲盒和2个B型盲盒共花费260元，且购买一个A型盲盒比购买一个B型盲盒多花20元． (1)购买一个A型盲盒、一个B型盲盒各需多少元？ (2)潮品店为吸引客人，推出了投壶小游戏，凡购买一件手办盲盒可获得一次投壶机会，投中1次即可免费赠送一个哪吒系列冰箱贴，一名客人恰好用360元购买了A型和B型两种盲盒，问分别购买多少个A型盲盒和B型盲盒获得的投壶机会最多？ 【分析】此题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，根据题意正确列出方程和方程组是关键． （1）设购买一个A型盲盒需元，购买一个B型盲盒需元，买3个A型盲盒和2个B型盲盒共花费260元，且购买一个A型盲盒比购买一个B型盲盒多花20元．据此列出方程组并解方程组即可； （2）设分别购买了个A型盲盒和个B型盲盒，根据题意列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设购买一个A型盲盒需元，购买一个B型盲盒需元， 由题意得 解得： 答：设购买一个A型盲盒需60元，购买一个B型盲盒需40元； （2）解：设分别购买了个A型盲盒和个B型盲盒， 由题意得， 即 型和B型两种盲盒都购买 均为正整数 或 答：购买2个A型盲盒和6个B型盲盒获得的投壶机会最多． 18．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）“山海好好看，大连真浪漫”．五一劳动节期间，来自全国各地的球迷相聚大连梭鱼湾足球场，再一次刷新中超历史第二上座纪录．下表是截至2025年5月6日，2025赛季中国足球超级联赛部分球队的积分情况． 表21-1中国足球超级联赛积分榜（部分球队） 球队 比赛场数 胜场 平场 负场 积分 成都蓉城 11 8 2 1 26 山东泰山 11 5 2 4 17 天津津门虎 11 4 4 3 16 浙江 11 4 3 4 15 大连英博 11 3 4 4 13 梅州客家 11 3 3 5 12 备注：负1场得0分 小金和小普不仅热爱足球，而且对联赛积分问题产生了浓厚的兴趣．他们提出的问题是：“胜一场，平一场分别积几分？” 小金的思路是：设胜一场积x分，则根据“成都蓉城”胜平场数与积分的关系，用含x的式子表示平一场的积分为_______________，再根据“大连英博”胜平场数与积分的关系，可列一元一次方程为_______________． 小普的思路是：设胜一场积x分，平一场积y分，列二元一次方程组解决此问题． (1)请将小金的思路中的空格处补充完整； (2)请按照小普的思路，选择不同于小金所选球队的数据，求出胜一场，平一场分别积几分？ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，列代数式，二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）“成都蓉城”胜8场，平2场积26分，则平一场的积分为分；“大连英博”胜3场，平4场积13分，则平一场的积分为分；据此建立方程即可； （2）设胜一场积x分，平一场积y分．根据山东泰山和天津津门虎胜平场数与积分的关系建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵“成都蓉城”胜8场，平2场积26分， ∴平一场的积分为分； ∵“大连英博”胜3场，平4场积13分， ∴平一场的积分为分； ∴； （2）解：设胜一场积x分，平一场积y分． 根据题意，列得方程组， 解得， 答：胜一场积3分，平一场积1分． 19．（2025·安徽亳州·三模）“洛书”（图1）是世界上最早的“幻方”．“九宫格”来源于“洛书”，将不重复的9个数依次填入方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．如图2、图3都是只能看到部分数值的“九宫格”． (1)写出图2中a和b之间的数量关系； (2)求出图3中x和y的值． 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，掌握“九宫格”的特点是解题关键． （1）根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等求解即可； （2）令第一行第二列为，第三行第三列为，根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等列二元一次方程组，整理后求解即可 【详解】（1）解：由题意可知，， 即； （2）解：如图，令第一行第二列为，第三行第三列为， 则，即， 解得：； 20．（2025·海南·模拟预测）海南某芒果种植基地为推进智慧农业，采用A、B两款无人机协同喷洒生态农药．已知A型无人机每小时可喷洒12公顷，但电池续航为5小时；B型无人机每小时喷洒10公顷，续航可达6小时．某日，A、B两型无人机共同完成一片芒果园的喷洒任务，总作业面积360公顷，且所有无人机累计飞行35小时．问：A、B两款无人机各出动多少架？ 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设型无人机出动架，型无人机出动架，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设型无人机出动架，型无人机出动架， 由题意可得：， 解得：， ∴型无人机出动架，型无人机出动架． 21．（2025七年级下·河南·专题练习）神舟十九号航天员乘组圆满完成第一次出舱活动，宋令东成为我国首名进行出舱活动的“90后”航天员．某纪念品专营店准备销售两款神舟飞船模型，如表是相关销售信息． 销售时段 销售数量 销售收入 A款神舟飞船模型 B款神舟飞船模型 第一天 8 7 950元 第二天 9 6 975元 (1)求两款神舟飞船模型每件的售价分别为多少元？ (2)若小梦计划用500元购进以上两款神舟飞船模型（两款神舟飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案． 【分析】本题考查二元一次方程组、二元一次方程解应用题，读懂题意，找准关系，准确列出方程及方程组求解是解决问题的关键． （1）设两款神舟飞船模型每件的售价分别为元，元，由题意列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设小梦购进款神舟飞船模型个，购进款神舟飞船模型个，由题意列二元一次方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设两款神舟飞船模型每件的售价分别为元，元， 根据题意得， 解得． 答：两款神舟飞船模型每件的售价分别为75元，50元； （2）解：设小梦购进款神舟飞船模型个，购进款神舟飞船模型个， 由题意得， 即， 解得或或， ∴共有3种购买方案，购买款神舟飞船模型2个，款神舟飞船模型7个或购买款神舟飞船模型4个，款神舟飞船模型4个或购买款神舟飞船模型6个，款神舟飞船模型1个． 22．（2025·山东威海·二模）某景区的起点是一段上坡路，走过上坡路后便是一段通往终点的平路．如果上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从起点到终点需要，从终点返回到起点需要．求该景区起点到终点的路程． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设从甲地到乙地的上坡长为，平路长为，根据时间等于路程除以速度建立方程组，解方程组求出的值，由此即可得． 【详解】解：设从甲地到乙地的上坡长为，平路长为，则从乙地到甲地的下坡长为，平路长为， 由题意得：， 解得， 则甲地到乙地全程是． 23．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）某市采用价格调控手段来引导市民节约用水：每户居民每年用水不超过时，按基本水价收费；超过时，超过的部分加价收费．该市甲、乙两户居民去年的用水量和水费如下表所示： 居民 用水量 水费/元 甲户 乙户 (1)求该市居民用水的两种水价． (2)该市丙户居民去年交水费元，那么丙户居民去年的用水量为多少立方米？ 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和不等式组的应用，解答本题的关键是根据题意列出x和y的二元一次方程组； （1）设基本水费价格为x元/立方米，超过的部分的水费价格为y元/立方米，列出方程组求解即可； （2）根据所交水费，列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设基本水价为x元，超过水价为y元，依题意，得 ， 解得， 答：基本水价为5元，超过水价为7元． （2）设丙户居民去年的用水量为m立方米，依题意，得 ， 解得． 答：丙户居民去年的用水量为立方米． 24．（2025·贵州黔东南·一模）如图，某工厂与，两地有公路和铁路相连．该工厂从地购买1000元/吨的原料运回工厂，加工成8000元/吨的产品运到地．已知公路的运价为元/（吨·km），铁路的运价为元/（吨·km）． (1)从地运回吨原料到工厂，需要的运费是多少？（用含的代数式表示） (2)若其中一批原料，从地运回工厂，到加工成产品运到地，两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元．这一批原料为多少吨？每吨原料能加工成的产品的重量是多少？ 【分析】本题主要考查了列代数式，利用二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是列出未知数，找准等量关系． （1）根据题意，列代数式，合并同类项即可； （2）设这一批原料有吨，加工成的产品有吨，根据所需的费用列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得（元）， 答：需要的运费是元； （2）解：设这一批原料有吨，加工成的产品有吨， 解得 ， 答：这一批原料有500吨；每吨原料能加工成的产品的重量是吨． 25．（24-25七年级下·山西长治·期中）综合与实践 长方体纸盒的制作 素材1：如图1，在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料纸板进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板． 素材2：现将52张原材料纸板全部裁剪（每张原材料纸板只能有一种裁法）得到A与B型纸板当长方体纸盒的侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝处忽略不计） 根据上述材料，完成下列任务. 任务一：每张原材料纸板可以裁得A型纸板________张或裁得B型纸板________张； 任务二：根据素材1、素材2，问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程组，解方程组即可． （1）根据原材料纸板纸板的尺寸和A、B两种型号纸板的尺寸进行解答即可； （2）设用张原材料纸板裁A型纸板，张原材料纸板裁B型纸板，根据有52张原材料纸板，有盖长方体纸盒有4个侧面，2个底面，列出方程，解方程即可． 【详解】解：任务一：每张原材料纸板可以裁得A型纸板3张或裁得B型纸板5张； 故答案为：3，5； 任务二：设用张原材料纸板裁A型纸板，张原材料纸板裁B型纸板， 根据题意，得：， 解得， 能做纸盒的数量为：， 答：用40张原材料纸板裁A型纸板，12张原材料纸板裁B型纸板，可以恰好用完，能做30个纸盒． 26．（24-25七年级下·广东珠海·期中）某校积极开展课外兴趣活动．已知七年级一班同学中，参加球类项目的学生与参加艺术类项目的学生共32人，且参加球类项目的学生比参加艺术类项目的学生多4人．求参加球类和艺术类项目的学生各多少人． 解：题中的相等关系有： 参加球类项目的学生人数+_参加艺术类项目的学生_______＝32；_参加球类项目的学生人数_____﹣参加艺术类项目的学生人数＝4．若设参加球类项目的学生有x人，参加艺术类项目的学生有y人，则根据题意，列出方程组并求解． 【分析】本题主要考查根据题意列二元一次方程解应用题的问题，解答本题的关键是根据题意得到题中的等量关系要解答此题． 首先应该理清题意，读懂题干，再根据题中所给信息进行解答即可得出答案．此题属于简单题，解答时需要细心． 【详解】解：由题意，得， 解得． 答：参加球类项目的学生有18人，参加艺术类项目的学生有14人 27．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）根据以下素材，探索解决任务 素材1 2025年全运会乒乓球资格赛在浙江进行．某校30位同学计划利用周末时间去现场观看比赛，门票分为A、B、C三个档次，购买1张A档门票和3张B档需要820元；购买2张A档门票和1张B档门票需要740元；一张C档门票需要80元． 素材2 购票平台有优惠活动，每购买1张A档门票就赠送1张C档门票． 问题解决 任务1 求A档和B档门票的价格． 任务2 初步统计，有8人购买A档门票，12人购买B档门票，其余同学购买C档门票，请计算票价需要多少元． 任务3 最终购买门票共花了3600元，且C档门票总数多于A档门票数．请你求出所有符合条件的购买方案，并写出解答过程． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和方程组时解题的关键： 任务1：设A档门票的价格为元，B档门票的价格元，根据购买1张A档门票和3张B档需要820元；购买2张A档门票和1张B档门票需要740元，列出方程组进行求解即可； 任务2：根据票价以及优惠方案，列出算式进行求解即可； 任务3：设有人购买A档门票，人购买B档门票，列出方程，求出非负整数解，即可． 【详解】解：任务1：设A档门票的价格为x元，B档门票的价格y元， 根据题意得， 解得， 答：A档门票的价格为280元，B档门票的价格180元； 任务2：（元）， 答：票价需要4560元； 任务3：设有人购买A档门票，人购买B档门票，， 则：，且， ∴方程的整数解为或或， ∴参加C场馆的有19人或20人或18人， ∴需要该买C场馆的票分别为14张或10张或18张； ∴有三种购买方案：①买A场馆的票5张，B场馆的票6张，C场馆的票14张， ②买A场馆的票10张，B场馆的票0张，C场馆的票10张，③买A场馆的票0张，B场馆的票12张，C场馆的票18张． 28．（24-25七年级下·河南焦作·阶段练习）【问题情境】 4月8日至18日，由郑州市园林局主办的郑州市第十五届牡丹芍药花展在郑州植物园举行，花展以“国色添香不负韶华”为主题．在花展举行前，如图所示，园艺师张叔叔准备在6长的围栏边摆放种好牡丹的花盆，现有A，B两种型号的花盆，分别长和，宽和高均相等． 【探究学习】 （1）已知购买2个A型花盆和3个B型花盆共需84元，购买3个A型花盆比购买5个B型花盆少花45元．则A，B两种型号的花盆的单价分别是多少元？ （2）如果将这两种型号的花盆按长边顺次相接，个A型花盆，个B型花盆正好摆满围栏边，求正整数的值； 【灵活应用】 （3）在（1）和（2）的条件下，某供货商提供了两种优惠方案： 方案一：购买A型花盆6个以上，赠送一把铲子； 方案二：购买B型花盆6个以上，总费用打九折． 张叔叔想要购买一些花盆（花盆正好摆满围栏边）和一把铲子（铲子的单价是25元），怎样购买花盆更划算？ 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的整数解等知识，正确列出二元一次方程组和二元一次方程是关键． （1）设两种型号的花盆的单价分别是元，元．购买2个A型花盆和3个B型花盆共需84元，购买3个A型花盆比购买5个B型花盆少花45元．据此列出方程组并解方程组即可； （2）个A型花盆，个B型花盆正好摆满围栏边，得．求出整数解即可； （3）分别求出两种方案的费用并比较后即可得到答案． 【详解】解：（1）设两种型号的花盆的单价分别是元，元． 依题意，得 解得 答：两种型号的花盆的单价分别是15元，18元． （2）． 依题意，得． ∴． ∵均为正整数， ∴或． （3）由（1）（2）得，当购买10个型花盆，4个型花盆时，可以选方案一，所需费用为 （元）． 当购买5个型花盆，8个型花盆时，可以选方案二，所需费用为 （元）． ∵， ∴张叔叔购买5个型花盆，8个型花盆更划算． 29．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）阅读下列材料：名句“运筹椎幄之中，决胜千里之外”中的“筹”原意是指“算筹”，算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具．如图1，在算筹计数法中，以“立”，“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示多位数时，个位用立式，十位用卧式、百位用立式，千位用卧式，以此类推．《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法．如果将算筹图从左向右的符号中，前两个符号分别代表未知数，的系数，据此图2可以列出方程为：． 请你根据上述材料中的方法，完成下列任务： 任务一： （1）根据图3和图4分别列出两个方程，并求出这两个方程的公共解； 任务二： （2）如图5，此算筹图表示一个二元一次方程组，但其中有一个符号不小心被墨水覆盖了，若前两个符号分别代表方程组中未知数，的系数，且图5所表示的方程组中的值为4，请你求出被墨水覆盖部分符号所表示的数． 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）根据“算筹图”利用图3、图4列方程组成方程组，利用加减消元法解二元一次方程组； （2）设被墨水所覆盖部分所表示的数是，根据图5列二元一次方程组，把x的值代入解方程组求出m值即可． 【详解】（1）解：由图3得，①， 由图4得，②， 将这两个方程组成方程组得，， 将①，②，得，， 得，， 将代入②得，， 这个方程组的解是：， 即这两个方程的公共解是，； （2）解：设被墨水所覆盖部分所表示的数是， 由题意得，图5中表示的方程组可表示为，， 由题意可知，， 将代入①得，，解得：， 将，代入②得，，解得：， 被墨水所覆盖部分的符号所表示的数是3． 30．（23-24七年级下·湖北黄石·期中）张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）． (1)做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需要正方形纸板 张，长方形纸板 张． (2)若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ (3)该厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板162张，长方形纸板张，全部加工成上述两种纸盒，且试求在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值． 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是：（1）观察图形，找出每个横式及竖式纸盒所需长、正方形纸板数；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）利用所用长方形纸板数竖式无盖纸盒数横式无盖纸盒数，找出关于的关系． （1）由一个竖式无盖纸盒需要1个正方形纸板、4个长方形纸板及一个横式无盖纸盒需要2个正方形纸板、3个长方形纸板，可求出做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，所需长方形及正方形纸板数量； （2）设竖式纸盒加工个、横式纸盒加工个，恰好能将购进的纸板全部用完，根据共用162张正方形纸板及338张长方形纸板，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设竖式纸盒加工个，则横式纸盒加工个，根据所用长方形纸板数竖式无盖纸盒数横式无盖纸盒数，可得出关于的函数关系式，结合为正整数及，可找出的所有可能值． 【详解】（1）解：需要正方形纸板（张）， 需要长方形纸板（张）． 故答案为：． （2）解：设竖式纸盒加工个、横式纸盒加工个，恰好能将购进的纸板全部用完， 依题意，得：， 解得：． 答：竖式纸盒加工38个、横式纸盒加工62个，恰好能将购进的纸板全部用完． （3）解：设竖式纸盒加工个，则横式纸盒加工个， 依题意，得：， ， ∵，且均为正整数， ∴可能为， ∴可能为． 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 一次方程（组） 07讲 二元一次方程组的应用 目录 【知识点1. 用二元一次方程组解决实际问题的步骤】……………………………… 1 【题型1. 和差倍分问题】…………………………………………………………… 2 【题型2. 行程问题】………………………………………………………………… 3 【题型3. 销售、利润问题】………………………………………………………… 5 【题型4. 方案问题】………………………………………………………………… 7 【题型5. 工程问题】………………………………………………………………… 10 【题型6. 数字问题】………………………………………………………………… 12 【题型7. 年龄问题】………………………………………………………………… 13 【题型8. 分配问题】………………………………………………………………… 14 【题型9. 几何问题】………………………………………………………………… 18 【题型10. 图表信息问题】…………………………………………………………… 19 【题型11. 古代问题】………………………………………………………………… 21 【题型12. 其他问题】………………………………………………………………… 23 【课后作业】…………………………………………………………………………… 26 知识清单 1、用二元一次方程组解决实际问题的步骤 直击考点 题型1. 和差倍分问题 例1．树上和地上有若干只鸽子．如果地上鸽子飞上树4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的3倍；如果树上鸽子下地4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的2倍．问树上、地上原来各有多少只鸽子？ 变式1．列方程（组）解实际问题 为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）．对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过，、两类物质排放量之和不超过． 已知该型号某汽车的、两类物质排放量之和原为．经过一次技术改进后，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了60%，、两类物质排放量之和为．判断这一次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由． 变式2．“霜降”是收获、播种的最后时节．某农科所利用试验田共种植5亩谷子进行新技术与传统技术的对比试验，共收获谷子3300斤，经过对比发现，采用新技术种植的谷子，平均每亩产量是采用传统技术种植的谷子的1.25倍．已知传统技术种植的谷子平均每亩产量为600斤，请问该试验田采用传统技术和新技术各种植谷子多少亩？ 题型2. 行程问题 例1．周末，小明和他爸爸来到环形场跑步锻炼，绕环形场跑一圈的路程为400米．若两人同时同地反向而跑，则经过36s后首次相遇，若两人同时同地同向而跑，则经过180s后，爸爸首次从后面追上小明，问：小明和爸爸的速度各为多少？ 例2．某船在静水中的速度为，该船于下午1点从A地出发，逆流而上，下午到达B地，停泊后返回，下午4点回到A地．求A，B两地的距离及水流的速度． 变式1．甲、乙两人都以不变的速度在400米的环形路上跑步．如果同时同地出发，反向而行，每隔2分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔6分钟相遇一次．已知甲比乙跑得快． (1)甲、乙两人速度分别是多少米每分钟？ (2)甲、乙两人跑一圈各需要多少分钟？ 变式2．问题情境： 目前，户外骑自行车进行锻炼已经成为我们日常生活中常见的一种锻炼方式，越来越受到大众的欢迎．而在骑行的过程中，自行车的轮胎与地面摩擦会有损耗，行驶一定的里程就要报废． 问题解决： 问题一：如果前后轮没有压力差，前轮可以使用4000公里，后轮也可以使用4000公里，这对轮胎行驶的里程数最大值是______． 问题二：由于后轮受到的压力大，所以损耗也大一些，如果行驶到某里程数，将前后轮交换一次，再使用到前后轮同时报废，可以使行驶的里程数最大．若前轮可以使用5000公里，后轮可以使用3000公里，行驶的里程数为多少公里时交换前后轮胎？这对轮胎行驶的里程数最大值是多少？ 变式3．甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？ 题型3. 销售、利润问题 例1．有着数千年历史的海南黎锦，通过行之有效的探索，不断焕发新的时代光彩，各种黎锦文创产品，如手提包、零钱包、书签、桌旗、改良服饰等，作为美观又实用的特色伴手礼，走进海南各大旅游景区景点，热门商圈和机场等地．某文创商店销售，两款黎锦手提包，其中款的售价比款的售价贵50元，已知卖出15个款黎锦手提包和20个款黎锦手提包的销售总额为6000元，求，两款黎锦手提包每个的售价． 例2．某网店销售A，B两种款式的商品，第一个月A，B两种款式的销售量为400件．第二个月卖出A款商品的数量比第一个月多15％，卖出B款商品的数量比第一个月少20％，这两种款式的商品的总销量增加了25件．问第一个月A，B两种款式的商品各卖了多少件？ 例3．刀鱼馄饨是靖江特色美食，被誉为“长江第一鲜”．清明节前后是刀鱼馄饨销售的高峰，某饭店推出两种型号的刀鱼馄饨礼盒，上午售出礼盒个、礼盒个，收入元，下午售出礼盒个、礼盒个，收入元； (1)两种型号的刀鱼馄饨礼盒每盒的售价分别是多少元？ (2)清明假期，小张计划同时购买这两种礼盒赠予亲朋（都需要购买），预算为元．请你帮助他设计预算资金恰好用完时的购买方案． 变式1．随着新冠疫情的出现，口罩成为日常生活的必需品，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部卖出，其中成本，售价如表： 甲 乙 成本 1.2元/只 0.4元/只 售价 1.8元/只 0.6元/只 (1)若该公司三月份的利润为8.8万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？ (2)某同学有16.2元的零花钱，打算购买甲和乙两种口罩，正好赶上门罩价格调整，其中甲型口罩售价上涨50%，乙型口罩按原价出售，则该同学有多少种不同的购买方案可以使钱正好花完？请设计出来． 变式2．2024年某食品股份有限公司始终坚持“用心塑品质，创新赢未来”的经营理念，以发展辣椒产业为主导，综合农副产品深加工等为一体的产品，其产品深受消费者喜欢．某商店计划购买一批产品作为年货出售，据了解1箱辣椒酱、3箱油焖辣椒的进价共计204元；4箱辣椒酱、2箱油焖辣椒的进价共计336元． (1)求每箱辣椒酱、油焖辣椒两种产品的进价分别为多少元？ (2)某商店需要购买辣椒酱12箱，油焖辣椒10箱，现商家推出活动，优惠一：辣椒酱满10箱打8折；优惠二：总购物金额满1200元减100元（两种优惠不同时享受），问该商店如何购买更划算． 变式3．某零食店销售牛轧糖、雪花酥2种糖果，如果用800元可购买4千克雪花酥和5千克牛轧糖，用1000元可购买10千克牛轧糖和2千克雪花酥． (1)求雪花酥、牛轧糖每千克的价格分别为多少元？ (2)已知该零食店在12月共售出牛轧糖50千克、雪花酥30千克．春节将近，1月份超市将牛轧糖每千克的售价提升m元，雪花酥的价格不变，结果与12月相比牛轧糖销量下降了10%，雪花酥销量上升10千克，销售总额比12月多出1050元，求m的值． 题型4. 方案问题 例1．用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨．某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)辆型车、辆型车载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计出所有租车方案． 例2．神舟二十号载人飞船于2025年4月24日在我国酒泉卫星发射中心成功发射，某中学为提高学生对我国航天事业的认识，计划组织八年级师生前去观看，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人辆） 60 租金（元/辆） 200 300 问此次前去观看的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ 例3．某汽车公司开发一款新能源汽车，计划一年生产240辆．为能按时完成计划，装配中心抽调一批工人进行组装．经调研，发现：1名高级装配工和2名初级装配工，每月可组装10辆；3名高级装配工和5名初级装配工每月可组装28辆．高级装配工每月工资6000元，初级装配工每月工资2500元． (1)每名高级装配工和初级装配工每月分别可以组装多少辆该款新能源汽车？ (2)若公司同时抽调的高级装配工和初级装配工刚好可以完成一年的组装任务，那么公司有哪几种抽调方案？ (3)在（2）的条件下，要使公司每月支出的工资总额尽可能少，那么公司应抽调多少名初级装配工？ 变式1．某公司计划用两种车型运输一批材料，已知用2辆A型车和1辆B型车装满材料一次可运输11吨；用1辆A型车和2辆B型车装满材料一次可运输13吨，该公司现有材料29吨，计划租用A型车辆，B型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． (1)1辆A型车和1辆B型车都装满材料一次可分别运多吨？ (2)请你帮这个公司设计租车方案，若A型车每辆需租金100元，B型车租金每次150元，请选择最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 变式2．字水中学十分重视培养学生的综合素质，组织七年级学生参加研学活动，需租用两种不同型号的客车，每辆座位如下表：若租用型客车5辆和型客车2辆，则需要租金2500元；若租用型客车1辆和型客车5辆，则需要租金2800元． 客车型号 人数/辆 30 45 (1)求租用、两种型号客车，每辆车租金分别是多少元？ (2)现有七年级师生450人，现计划同时租用两种型号客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，有几种租车方案？为节约成本，则租用A型客车和B型客车各多少辆，需要花费多少钱？ 变式3．根据国家相关规定，新建小区的绿地率不得低于，旧小区改造的绿地率不得低于，一般地，绿地率可以看做是绿地面积（包括覆土绿地和实土绿地）与小区总面积的比，其中实土绿地是指绿化层下面为真实的土地，其面积应占总绿地面积的以上，覆土绿地是在人工铺设的土层上进行绿化，当覆土高度小于时，不算绿地面积；当覆土高度在至时，覆土面积的计入绿地面积；只有当覆土高度超过时，覆土面积才全部计入绿地面积． 某旧小区总面积为，绿地率只有，且其中覆土绿地的覆土高度都约为．现有一种改造方案，计划把原有覆土绿地的覆土高度都增加到以上，并增加实土绿地，从而使实土绿地的面积达到总绿地面积的．请判断按照该方案改造后，该小区的绿地率能否合格，并说明理由． 题型5. 工程问题 例1．某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍．请问一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成960亩的打药任务，并说明理由． 例2．现有大量的沙石需要运输．“益安”车队原来有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨沙石．求“益安”车队载重量为8吨、10吨的卡车各有多少辆？ 变式1．南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？ 清淤机 清淤船 时间 方案一 1台 2台 8天 方案二 2台 1台 7天 变式2．某学校组织甲乙两班学生参加“美化校园”的义务劳动．如果甲班做2小时，乙班再做3小时，则恰好完成全部工作的一半；如果甲班做3小时，乙班再做6小时，恰好完成全部工作的．试问单独完成这项工作，甲乙两班各需多少时间? 变式3．安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项工程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天． (1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天； (2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的． 题型6. 数字问题 例1．有一个两位正整数，十位数字的8倍比原数小9，将十位数字与个位数字对换位置后所形成的新两位数的3倍比原数大1，求原来的两位数．（列方程组解答） 变式1．“消防安全”主题班会后，某学校举行了以“消防安全知多少”为主题的知识竞赛，竞赛分笔试和面试两个环节，两个环节的竞赛题都是25道，满分100分．计分规则：每道题答对得4分，答错扣1分，未答得0分． (1)笔试环节，甲同学答对的题数是未答的题数的5倍，得分为79分，则甲同学答对、答错、未答的题分别为多少道？ (2)面试环节，规定参赛者每道题都必须作答，总得分不少于90分可以被评为“消防安全小达人”．乙同学答对了23道题，他能被评为“消防安全小达人”吗？请说明理由． 变式2．某两位数，已知十位数字与个位数字之和为11，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大45． (1)试通过列一元一次方程的方法求出原来的两位数； (2)若设原来的两位数的个位数字为x，十位数字为y，依据题意列出关于x，y的方程组（无需求解），并检验（1）中求得的结果是否满足所列的方程组． 题型7. 年龄问题 例1．某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 变式1．根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 变式2．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中毕业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 题型8. 分配问题 例1．某酒店客房部有三人间和双人间两种普通客房，收费标准为三人间300元/间，双人间280元/间，为了吸引游客，酒店实行团体人住五折优惠措施，一个46人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去2620元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房各多少间? 例2．春季是传染病高发的季节，同学们要勤通风常洗手，为了同学们的身体健康，李老师为全年级师生购买洗手液，根据市场调研，李老师发现某品牌的洗手液的大瓶装和小瓶装两种产品的销售数量（按瓶计算）比为，某厂每天生产这种洗手液22.5吨，请同学们利用二元一次方程组的数学思想，帮助李老师估计一下这些洗手液应该分装多少个大瓶，多少个小瓶才是最合理的？（请同学们注意单位换算） 变式1．丰富多彩的社团活动，点亮了校园的每一个角落，绽放出多元而独特的光彩．在这里，每一个社团都是一个梦想的摇篮，每一份热爱都找到了生长的土壤．太谷区初中某学校社团在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成多少个包装盒？ 变式2．某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）．加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） (1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片______张，正方形铁片______张； (2)现有长方形铁片100张，正方形铁片50张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖则可以加工成为铁盒．现准备用33张铁板先做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板有两种裁法： 方法1：可以裁出3个长方形铁片； 方法2：可以裁出4个正方形铁片． 若充分利用这些铁板加工成铁盒，则可以加工成多少个铁盒？ 变式3．综合与实践． 【素材1】某工厂计划日生产件零件． 【素材2】现有初级工、高级工两种工人可安排参与生产，生产能力和薪酬如下： 工种 初级工 高级工 日生产量（件/人） 日薪酬（元/人） 【素材3】为了便于调配，工厂安排的工人恰好可以完成生产计划． 【问题】 (1)若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排多少名初级工？ (2)该工厂每日计划支付薪酬元，那么需要安排初级工、高级工各多少人？ (3)为了保证生产质量，该工厂计划每4名初级工生产时需1名高级工进行指导（不足4名按4名计算，指导的高级工不参与生产，但需要支付日薪酬），请为工厂设计一个成本最低（支出工人的总日薪酬最低）的工人安排方案． 题型9. 几何问题 例1．如图所示，长方形中放置6个形状、大小都相同的小长方形，其中，求小长方形的长和宽．    变式1．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形（图①）．小红看见了，说：“我也来试一试”．结果小红拼成如图②所示的正方形，中间还留下了一个“洞”，这个“洞”恰好是边长为的小正方形．求每个小长方形的面积． 变式2．【综合与实践】 主题：制作一个有盖长方体形纸盒． 素材：一张矩形纸板． 操作：如图，先将矩形纸板的阴影部分剪下，再将剩余部分的纸板折成有盖长方体形纸盒． 计算∶若矩形纸板的周长为，与的长度比为，且折成的长方体形纸盒的底面为正方形，求这个有盖长方体形纸盒的体积． 题型10. 图表信息问题 例1．小组捆绑式评价是一种通过将学生分成若干小组，并对小组整体表现进行评价和奖励的方法，旨在通过集体荣誉感激发学生的学习积极性和合作精神．某班数学课上采用小组积分制记录同学们参与课堂活动的情况．下表是某堂课上记录的两个组得分情况，其中回答问题一次加2分： 第一组 第二组 回答问题次数 1 2 参与课堂展示次数 7 5 有效质疑次数 2 3 最终分数 35 37 请问数学课上参与一次课堂展示或进行一次有效质疑各加多少分？ 变式1．某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不消楚，如图所示： 请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 变式2．如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连．这家工厂从A地购买每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路的运价为1.5元／（吨·），铁路的运价为1.0元／（吨·）．设这批原料有吨，生产成的产品有吨． (1)完成下列表格的填写： A地 B地 公路运费／元 _________ 铁路运费／元 _________ (2)这批原料从A地运回，到生产成产品运到B地，若两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元，问这批原料有多少吨？ (3)已知生产这批产品，其它成本费为100000元，每吨的生产费为3000元，若这批产品的毛利润为元，直接写出的值．（规定：每月的毛利润=销售额原料费其它成本费生产费运输费） 题型11. 古代问题 例1．在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．问客房几间？房客几人？请解答上述问题． 例2．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：四只雀、六只燕共重一斤：雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少斤？ 变式1．我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了“二果问价”问题： 九百九十九文钱，甜果苦果买一千． 甜果九个十一文，苦果七个四文钱． 试问甜苦果几个，又问各该几个钱． 意思是：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可以买九个甜果，四文钱可以买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？每个甜果、苦果分别卖多少文钱？请你解决这个问题． 变式2．阅读下列材料，解决问题． 《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．” 译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (1)【尝试】若设公鸡有x只，母鸡有y只． ①小鸡有________只，买小鸡一共花费________文钱（用含x，y的式子表示）． ②根据题意，列出一个含有x，y的方程________． (2)【探索】若对“百鸡问题”增加一个条件：公鸡数量是母鸡数量的3倍，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (3)【拓展】除了问题（2）中的解之外，请写出两组符合“百鸡问题”的解，并简要说明理由． 变式3．程大位是珠算发明家，他随时留心数学，遍访名师，于60岁完成其杰作《算法统家》．该书中记载着一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名酶厚酒醇，醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多酶酒几多醇？”这首诗的意思是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人总共饮下了19瓶酒，且都醉倒了，问他们醇酒、薄酒分别饮了多少瓶？（列二元一次方程组解答） 题型12. 其他问题 例1．小江在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯按图示的方式整齐地叠放在一起． (1)求一个纸杯的高度约为多少厘米？ (2)若小江要把这些纸杯摆高，那么最多可摆多少个？ 例2．如图，A，B两地有公路和铁路相连，在这条路沿线有一家食品公司，它到A地的距离，到B地的距离是．这家公司从A地购买当地特产大货桃运回公司，制成黄桃罐头后全部销售到B地．已知黄桃的进价为每吨2000元，黄桃罐头（含包装）的出厂价为每吨4000元；公路运送水果的运价为元，运送罐头的运价为元：铁路运送水果的运价为元，运送罐头的运价为元．若这两次运输（第一次：A地→公司；第二次：公司→B地）共支付公路运费720元，铁路运费990元． (1)求此次购买的黄桃和制成的罐头分别为多少吨？ (2)求这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ 变式1．学校信息技术小组开发了一款机器人程序，机器人位于数轴上某整点处，每次可以向左或向右移动1个单位长度，如机器人起始位置在表示5的点上，向右连续移动2次，再向左移动一次后的位置是，即表示机器人在表示6的点上． (1)若机器人从原点出发，经过4次移动后又回到原点，写出一种移动方式； (2)若机器人从表示的点出发，移动2025次后到达表示2017的点上，求第1000次移动后机器人所在的位置表示的数． 变式2．为鼓励居民节约用电，某市对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，如下表．小明家今年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元．已知小红家今年4，5月份的家庭用电量分别为200千瓦时和490千瓦时，请你依据题目条件，计算小红家4，5月份的电费分别为多少元？ 每户每月用电量 电价/（元/千瓦时） 180千瓦时及以内 x 超过180千瓦时但不超过450千瓦时的部分 y 超过450千瓦时的部分 变式3．杆秤是我国度量衡“三大件（尺、斗、秤）”的重要组成部分，是中华民族衡重的基本工具．杆秤依据杠杆原理制作而成，一般由秤钩（秤盘）、秤杆和秤砣三部分组成，秤杆上的刻度叫做“秤星”，古时候秤杆叫做“权”，秤砣叫做“衡”，“权衡”一词就来源于此． 如图1是小阳同学利用自制杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起（相当于支点）处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，设秤盘和货物的总质量为，秤砣的质量为，当秤杆平衡时，有，可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的质量．如图2所示，称量货物甲时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物甲的质量是；如图3所示，称量货物乙时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物乙的质量是．根据图中所给数据，回答下列问题： (1)分别求出秤盘和秤砣的质量； (2)求这把杆秤的秤星对应的刻度是多少克． 课后作业 一、单选题 1．（24-25九年级下·四川乐山·期中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是： 甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金质量相同），乙袋中装有白银 11枚（每枚白银质量相同），两袋质量相等，两袋互相交换1枚后， 甲袋比乙袋轻了13两（袋子质量忽略不计），问：黄金、 白银每枚各重多少两？设每枚黄金重 x两，每枚白银重 y两，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·新疆乌鲁木齐·期中）某工厂生产茶具每套茶具有1个茶壶和6个茶杯组成，生产这种茶具的主要材料是紫砂泥，用1千克紫砂泥可以做3个茶壶或9个茶杯，现要用9千克紫砂泥制作这些茶具．应用x千克紫砂泥做茶壶，用y千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具多少套，请列出方程组（ ） A． B． C． D． 3．（2025·山东·中考真题）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江牡丹江·一模）学校为了开展球类活动，准备用元同时购买若干个篮球、足球、排球（三种球类都买），且购买的足球数量是的倍数．若篮球每个元，足球每个元，排球每个元，则该学校的购买方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 5．（2025·山东聊城·三模）某饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口． 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度”． 李老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满；小明拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯、温度为的水（不计热损失）．下列三个结论： ①李老师的水杯容量为； ②李老师接满水后，水杯中水温为（不计热损失）； ③小明同学的接水时间为． 其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、解答题 6．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）小红和小丽在的环形跑道上跑步，他们于同一个起点同时出发．如果同向跑，那么经过200s两人第一次相遇；如果反向跑，那么经过40s两人第一次相遇．若小红比小丽跑得快，则小红、小丽跑步的平均速度分别是多少？ 7．（24-25七年级下·福建漳州·期中）某校勤工俭学小组为筹集养老院五一慰问礼品费用，他们从蔬菜批发市场批发了西红柿和豆角到菜市场去卖，两天的账本记录如图，若蔬菜售价不变，这个记录是否有误？如果有误，请说明理由． 8．（2025·安徽马鞍山·三模）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．某茶馆的店主计划购买三种不同类型的茶叶来丰富茶馆的饮品选择，其中包括龙井茶、普洱茶和茉莉花茶．龙井茶的采购价为每千克700元，普洱茶的采购价为每千克300元，茉莉花茶的采购价为每千克200元．店主计划采购这三种茶叶总共50千克，以满足不同顾客的口味需求． (1)设采购龙井茶千克、普洱茶千克，请用含，的代数式填表： 质量/千克 采购总价/元 龙井茶 普洱茶 茉莉花茶 _____ _____ (2)若店主总共花了15000元，其中采购的普洱茶的质量比龙井茶的2倍多1千克，求店主采购的龙井茶、普洱茶以及茉莉花茶各有多少千克． 9．（24-25七年级下·吉林松原·阶段练习）某中学组织七年级学生春游，原计划租用型客车若干辆，此时有15名同学没有座位；若改为租用型客车，则可以少租用两辆车，同时还有15个空座位．两种客车的载客量、租金如下表． 类型 载客量（人） 租金（元／辆） 型客车 45 250 型客车 60 320 (1)本次春游学生共多少人，原计划租型客车多少辆？ (2)若同时租用两种客车，要求所有客车的座位刚好坐满，请问怎样租车更合算？ 10．（2025·北京海淀·三模）随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车．大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮严重．某汽车前轮轮胎在行驶6万公里时报废，后轮轮胎在行驶8万公里时报废，每个新轮胎报废时的总磨损量为1．（轮胎的磨损量等于汽车行驶的单位路程的磨损量乘以汽车行驶的路程） (1)若每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则安装在前轮的轮胎每行驶1万公里的磨损量为 ； (2)若在轮胎使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，请问行驶多少万公里后交换前后轮继续行驶，可使两对轮胎同时报废，并判断报废时行驶里程是否达到万公里． 11．（24-25九年级下·安徽宿州·期中）中国初创企业（深度求索）公司，其自主研发的人工智能大语言模型，凭借“好用、开源、免费”三大特点，在全球范围内引发热烈反响．公司为提升服务能力，计划部署两种服务器：型号和型号． 这两类新型服务器的维护需求各有不同，具体如下表所示： 服务器类型 每台所需技术人员 每台成本（万元） 型号 3 10 型号 5 15 公司共有技术人员65人，全部参与维护且每人只负责一种服务器，总投入资金为200万元．问和服务器的安装数量各是多少台？ 12．（24-25七年级下·河南周口·期中）综合与实践 【任务驱动】 某校40名同学要去参观某科技展览馆，已知该展览馆分为A，B，C三个场馆，根据以下素材，解决相应问题． 【素材收集】 素材1：购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需280元，购买5张A场馆门票和3张B场馆门票共需450元．C场馆门票为每张25元． 素材2：每名同学要选择且只能选择一个场馆参观，且每个场馆都需要有人参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票． 【问题解决】 (1)求A场馆和B场馆的门票价格． (2)在出发前，大家的初步参观意向为有2p名同学想参观A场馆，p名同学想参观C场馆，t名同学想参观B场馆，在大家的初步参观意向下，按照素材1与素材2的条件，所需花费的门票总金额为1670元，求p与t的值． (3)到达展览馆后，实际参观三个场馆的人数均有变化，若最终参观C场馆的同学人数多于参观A场馆的同学人数，按照素材1与素材2的条件，最终花费的门票总金额为1150元，请求出符合条件的所有购买方案． 13．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，由五个形状大小一样的小长方形木板拼成一个大的长方形．已知大长方形的周长为16． (1)请求出小长方形的周长； (2)在原来大长方形的基础上，再拼加三个小长方形木板（与原先五个小长方形木板形状大小相同）成为一个新的长方形，求所有可能拼成的大长方形的周长． 14．（24-25九年级下·重庆·期中）列方程（组）或不等式（组）解决问题． 2025年五一期间，重庆荣昌成为了全国热门旅游城市，荣昌卤鹅也渐渐成为了游客们的美食首选，卤鹅可分为酱香和麻辣两种口味．某卤鹅专卖店第一次购进了酱香味卤鹅和麻辣味卤鹅共40只，酱香味卤鹅每只进价18元，麻辣味卤鹅每只进价21元，酱香味卤鹅每只售价23元，麻辣味卤鹅每只售价25元． (1)若该店第一次购进两种卤鹅共花了774元，则购进酱香味卤鹅和麻辣味卤鹅各多少只？ (2)第一批卤鹅销售完毕，该店又购进了第二批，第二批两种卤鹅每只的进价不变，购进的两种卤鹅数量相同．每只酱香味卤鹅的售价在第一次的基础上涨了，每只麻辣味卤鹅的售价在第一次的基础上降低了m元，当第二批进货全部买完后，统计出第二批酱香味卤鹅获得160元的利润，第二批麻辣味卤鹅获得40元的利润，求m的值． 15．（2025·安徽·模拟预测）在一个现代化的园艺中心，园艺师计划购买三种不同类型的常绿乔木的树苗来装饰他的花园：黑松、油松以及龙柏．黑松树苗每棵的市场价格为50元；油松树苗每棵的市场价格为30元；三棵龙柏树苗的市场价格合计为10元．园艺师决定用1000元来购买这三种树苗总共100棵，以丰富他的花园生态． (1)设购买黑松树苗棵，油松树苗棵，请用含的代数式填表： 数量（棵） 购买总价（元） 黑松树苗 油松树苗 龙柏树苗 (2)在（1）的条件下，若购买油松树苗数量是黑松树苗数量的5倍少2棵，求此时购买黑松、油松以及龙柏树苗分别有多少棵？ 16．（2025·安徽池州·模拟预测）一家广告公司为某学校制作文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中宣传册的数量是展板的5倍．广告公司制作每件产品所需时间和所获利润如下表： 产品 展板 宣传册 横幅 时间／小时 1 利润／元 60 20 已知制作三种产品共需25小时，所获利润为975元，则这三种产品的件数之和为？ 17．（24-25七年级下·河北沧州·期中）《哪吒之魔童闹海》成为中国电影史上首部票房破百亿的影片，影片中各种角色的周边商品也随之火爆．某潮品店上架了A、B两种型号的哪吒系列手办盲盒．若购买3个A型盲盒和2个B型盲盒共花费260元，且购买一个A型盲盒比购买一个B型盲盒多花20元． (1)购买一个A型盲盒、一个B型盲盒各需多少元？ (2)潮品店为吸引客人，推出了投壶小游戏，凡购买一件手办盲盒可获得一次投壶机会，投中1次即可免费赠送一个哪吒系列冰箱贴，一名客人恰好用360元购买了A型和B型两种盲盒，问分别购买多少个A型盲盒和B型盲盒获得的投壶机会最多？ 18．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）“山海好好看，大连真浪漫”．五一劳动节期间，来自全国各地的球迷相聚大连梭鱼湾足球场，再一次刷新中超历史第二上座纪录．下表是截至2025年5月6日，2025赛季中国足球超级联赛部分球队的积分情况． 表21-1中国足球超级联赛积分榜（部分球队） 球队 比赛场数 胜场 平场 负场 积分 成都蓉城 11 8 2 1 26 山东泰山 11 5 2 4 17 天津津门虎 11 4 4 3 16 浙江 11 4 3 4 15 大连英博 11 3 4 4 13 梅州客家 11 3 3 5 12 备注：负1场得0分 小金和小普不仅热爱足球，而且对联赛积分问题产生了浓厚的兴趣．他们提出的问题是：“胜一场，平一场分别积几分？” 小金的思路是：设胜一场积x分，则根据“成都蓉城”胜平场数与积分的关系，用含x的式子表示平一场的积分为_______________，再根据“大连英博”胜平场数与积分的关系，可列一元一次方程为_______________． 小普的思路是：设胜一场积x分，平一场积y分，列二元一次方程组解决此问题． (1)请将小金的思路中的空格处补充完整； (2)请按照小普的思路，选择不同于小金所选球队的数据，求出胜一场，平一场分别积几分？ 19．（2025·安徽亳州·三模）“洛书”（图1）是世界上最早的“幻方”．“九宫格”来源于“洛书”，将不重复的9个数依次填入方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．如图2、图3都是只能看到部分数值的“九宫格”． (1)写出图2中a和b之间的数量关系； (2)求出图3中x和y的值． 20．（2025·海南·模拟预测）海南某芒果种植基地为推进智慧农业，采用A、B两款无人机协同喷洒生态农药．已知A型无人机每小时可喷洒12公顷，但电池续航为5小时；B型无人机每小时喷洒10公顷，续航可达6小时．某日，A、B两型无人机共同完成一片芒果园的喷洒任务，总作业面积360公顷，且所有无人机累计飞行35小时．问：A、B两款无人机各出动多少架？ 21．（2025七年级下·河南·专题练习）神舟十九号航天员乘组圆满完成第一次出舱活动，宋令东成为我国首名进行出舱活动的“90后”航天员．某纪念品专营店准备销售两款神舟飞船模型，如表是相关销售信息． 销售时段 销售数量 销售收入 A款神舟飞船模型 B款神舟飞船模型 第一天 8 7 950元 第二天 9 6 975元 (1)求两款神舟飞船模型每件的售价分别为多少元？ (2)若小梦计划用500元购进以上两款神舟飞船模型（两款神舟飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案． 22．（2025·山东威海·二模）某景区的起点是一段上坡路，走过上坡路后便是一段通往终点的平路．如果上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从起点到终点需要，从终点返回到起点需要．求该景区起点到终点的路程． 23．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）某市采用价格调控手段来引导市民节约用水：每户居民每年用水不超过时，按基本水价收费；超过时，超过的部分加价收费．该市甲、乙两户居民去年的用水量和水费如下表所示： 居民 用水量 水费/元 甲户 乙户 (1)求该市居民用水的两种水价． (2)该市丙户居民去年交水费元，那么丙户居民去年的用水量为多少立方米？ 24．（2025·贵州黔东南·一模）如图，某工厂与，两地有公路和铁路相连．该工厂从地购买1000元/吨的原料运回工厂，加工成8000元/吨的产品运到地．已知公路的运价为元/（吨·km），铁路的运价为元/（吨·km）． (1)从地运回吨原料到工厂，需要的运费是多少？（用含的代数式表示） (2)若其中一批原料，从地运回工厂，到加工成产品运到地，两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元．这一批原料为多少吨？每吨原料能加工成的产品的重量是多少？ 25．（24-25七年级下·山西长治·期中）综合与实践 长方体纸盒的制作 素材1：如图1，在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料纸板进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板． 素材2：现将52张原材料纸板全部裁剪（每张原材料纸板只能有一种裁法）得到A与B型纸板当长方体纸盒的侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝处忽略不计） 根据上述材料，完成下列任务. 任务一：每张原材料纸板可以裁得A型纸板________张或裁得B型纸板________张； 任务二：根据素材1、素材2，问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 26．（24-25七年级下·广东珠海·期中）某校积极开展课外兴趣活动．已知七年级一班同学中，参加球类项目的学生与参加艺术类项目的学生共32人，且参加球类项目的学生比参加艺术类项目的学生多4人．求参加球类和艺术类项目的学生各多少人． 解：题中的相等关系有： 参加球类项目的学生人数+_参加艺术类项目的学生_______＝32；_参加球类项目的学生人数_____﹣参加艺术类项目的学生人数＝4．若设参加球类项目的学生有x人，参加艺术类项目的学生有y人，则根据题意，列出方程组并求解． 27．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）根据以下素材，探索解决任务 素材1 2025年全运会乒乓球资格赛在浙江进行．某校30位同学计划利用周末时间去现场观看比赛，门票分为A、B、C三个档次，购买1张A档门票和3张B档需要820元；购买2张A档门票和1张B档门票需要740元；一张C档门票需要80元． 素材2 购票平台有优惠活动，每购买1张A档门票就赠送1张C档门票． 问题解决 任务1 求A档和B档门票的价格． 任务2 初步统计，有8人购买A档门票，12人购买B档门票，其余同学购买C档门票，请计算票价需要多少元． 任务3 最终购买门票共花了3600元，且C档门票总数多于A档门票数．请你求出所有符合条件的购买方案，并写出解答过程． 28．（24-25七年级下·河南焦作·阶段练习）【问题情境】 4月8日至18日，由郑州市园林局主办的郑州市第十五届牡丹芍药花展在郑州植物园举行，花展以“国色添香不负韶华”为主题．在花展举行前，如图所示，园艺师张叔叔准备在6长的围栏边摆放种好牡丹的花盆，现有A，B两种型号的花盆，分别长和，宽和高均相等． 【探究学习】 （1）已知购买2个A型花盆和3个B型花盆共需84元，购买3个A型花盆比购买5个B型花盆少花45元．则A，B两种型号的花盆的单价分别是多少元？ （2）如果将这两种型号的花盆按长边顺次相接，个A型花盆，个B型花盆正好摆满围栏边，求正整数的值； 【灵活应用】 （3）在（1）和（2）的条件下，某供货商提供了两种优惠方案： 方案一：购买A型花盆6个以上，赠送一把铲子； 方案二：购买B型花盆6个以上，总费用打九折． 张叔叔想要购买一些花盆（花盆正好摆满围栏边）和一把铲子（铲子的单价是25元），怎样购买花盆更划算？ 29．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）阅读下列材料：名句“运筹椎幄之中，决胜千里之外”中的“筹”原意是指“算筹”，算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具．如图1，在算筹计数法中，以“立”，“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示多位数时，个位用立式，十位用卧式、百位用立式，千位用卧式，以此类推．《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法．如果将算筹图从左向右的符号中，前两个符号分别代表未知数，的系数，据此图2可以列出方程为：． 请你根据上述材料中的方法，完成下列任务： 任务一： （1）根据图3和图4分别列出两个方程，并求出这两个方程的公共解； 任务二： （2）如图5，此算筹图表示一个二元一次方程组，但其中有一个符号不小心被墨水覆盖了，若前两个符号分别代表方程组中未知数，的系数，且图5所表示的方程组中的值为4，请你求出被墨水覆盖部分符号所表示的数． 30．（23-24七年级下·湖北黄石·期中）张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）． (1)做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需要正方形纸板 张，长方形纸板 张． (2)若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ (3)该厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板162张，长方形纸板张，全部加工成上述两种纸盒，且试求在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值． 18 学科网（北京）股份有限公司 $$