12.3 一次函数与二元一次方程-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（沪科版2024）

22 预学训练 1. D 2. A 3. B 4. C 5. C 解析:把(-1,0)代入y=kx+b,得-k+b=0, 所以b=k.所以k(x-1)+b>0可化为k(x-1)+k> 0.因为k>0,所以x-1+1>0,解得x>0. 6. x=-3 7. x<-1 8. x<-1 解析:由图象,可得当x=-1时,y=3.因 为y随x的增大而减小,所以关于x 的不等式kx+b> 3的解集为x<-1. 9. x>-2 解析:因为ax>b,所以ax-b>0.所以关于 x的不等式ax>b的解集就是关于x 的不等式ax-b> 0的解集,也就是当y>0时x的取值范围.如图所示为一 次函数y=ax-b的大致图象.当y>0时,图象在x轴上 方,此时x>-2,所以关于x 的不等式ax>b 的解集 为x>-2. 第9题 10. x=-3或x=-4 解析:因为直线y=-x+m 与 直线y=x+5的交点的横坐标为-2,所以结合图形(图 略),易知关于x 的不等式-x+m>x+5的解集为 x<-2.又因为x+5>0的解集为x>-5,所以-x+ m>x+5>0的解集为-5<x<-2.所以所求不等式组 的整数解为x=-3或x=-4. 11. x=3 解析:由(a-1)x=b-2,得x+b=ax+2. 因为直线y=x+b和y=ax+2交于点P(3,-1),所 以当x=3时,x+b=ax+2=-1.所以关于x 的方程 (a-1)x=b-2的解为x=3. 12. (1) 当x=0时,y=2;当y=0时,x=4.所以直线与 x轴的交点坐标为(4,0),与y 轴的交点坐标为(0,2). (2) 一次函数的图象如图所示. (3) x=4. 解析:由图象,可知一次函数y=- 1 2x+ 2的图象与x 轴的交点坐标为(4,0),所以方程-12x+ 2=0的解为x=4. 第12题 13. 设一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0).把A(1, 4),B(-1,0)代入,得 k+b=4, -k+b=0, 解得 k=2 , b=2. 所以一次 函数的表达式为y=2x+2.它的图象如图所示.(1) 因 为直线y=2x+2与x轴的交点坐标为(-1,0),所以由 图象,可知当x>-1时,y>0;当x=-1时,y=0;当 x<-1时,y<0.(2) 当x=-3时,y=-4;当x=0时, y=2.所以当-3<x<0时,-4<y<2.(3) 当y= -2时,x=-2;当y=2时,x=0.所以当-2≤y≤ 2时,-2≤x≤0. 第13题 14. 函数y=|x|-2的图象如图所示.(1) 函数图象上最 低点的坐标是(0,-2),函数y的最小值是-2.(2) 不等 式|x|-2>0的解集是x>2或x<-2.(3) 关于x的方 程|x|-2=kx+b的解为x=-3或x=12. 第14题 12.3 一次函数与二元一次方程 知识梳理 1. 一次函数 2. 坐标 一条直线 3. 解 交点的坐标 4. (1) a1 a2 ≠ b1 b2 (2) a1 a2= b1 b2= c1 c2 (3) a1 a2= b1 b2 ≠ c1 c2 典例演练 典例1 方程x-y=-3对应直线y=x+3,方程2x- y=-1对应直线y=2x+1.如图,在平面直角坐标系中 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 23 作出直线y=x+3和直线y=2x+1.因为这两条直线的 交点坐标是(2,5),所以该方程组的解是 x=2, y=5. 典例1图 典例2 (1) 在y=2x+3中,当x=0时,y=3,所以点A 的坐标为(0,3).在y=-2x-1中,当x=0时,y=-1, 所以 点 B 的 坐 标 为 (0,-1).(2) 解 方 程 组 y=2x+3, y=-2x-1, 得 x=-1, y=1. 所以点 C 的坐标为(-1, 1).(3) 过点C 作CD⊥AB 于点D,则易得CD=1.因 为AB=3-(-1)=4,所以S三角形ABC= 1 2AB ·CD= 1 2×4×1=2. 预学训练 1. B 2. B 3. B 4. D 5. B 6. D 解析:因为两条直线相交于点M(1,2),所以关于x 的方程mx=kx+b的解是x=1,关于x,y 的二元一次 方程组 mx-y=0, kx-y+b=0 的解是 x=1, y=2. 故选项A,B正确,不 符合题意.因为当x<0时,函数y=kx+b的图象在函数 y=mx的图象的上方,所以当x<0时,函数y=kx+b 的值比函数y=mx 的值大.故选项C正确,不符合题 意.因为当x<1时,函数y=kx+b的图象在函数y=mx 的图象的上方,所以当x<1时,kx+b>mx.整理,得b> (m-k)x.故选项D不正确,符合题意. 7. x=1, y=2 8. 平行 无解 9. (-1,1) 10. 1 x<1 x>1 11. =4 ≠4 解析:对于方程组 2x+3y=6, ax+6y=12, 当2a= 3 6= 6 12 ,即a=4时,方程组有无数组解;当2a ≠ 3 6 ,即 a≠4时,方程组只有一组解. 12. 因为直线y=3x 与直线y=-2x+b的交点为(2, m),所 以 m=6, m=-4+b, 解 得 m=6 , b=10. 所 以 方 程 组 3x-y=0, 2x+y-b=0 的解为 x=2, y=6, m,b的值分别是6,10. 13. (1) 设y1=k1x.把(60,4800)代入,得60k1=4800, 解得k1=80.所以y1=80x.设 y2=k2x+b.把(20, 4800),(60,0)代入,得 20k2+b=4800, 60k2+b=0, 解得 k2=-120, b=7200. 所以y2=-120x+7200.所以y1=80x,其中自变量x 的取值范围是0≤x≤60,y2=-120x+7200,其中自变 量x的取值范围是20≤x≤60.(2) 由题意,令y1=y2, 则80x=-120x+7200,解得x=36.此时y2=-120× 36+7200=2880.答:甲出发36分钟后两人相遇,相遇时 乙离A地2880米. 第12章预学检测 一、 1. B 2. D 3. A 4. C 5. B 6. A 7. A 8. A 解析:直线y=kx+b与y轴的交点为B(0,-3), 即当x=0时,y=-3,由于函数值y随x的增大而增大, 所以当x≥0时,函数值kx+b≥-3.所以关于x 的不等 式kx+b+3≥0的解集为x≥0. 9. C 解析:当点P 由点A 运动到点B 时,三角形APD 的面积由小变大,当点P 由点B 运动到点C 时,三角形 APD 的面积不变,当点P 由点C 运动到点D 时,三角形 APD 的面积由大变小.又因为AB<CD,所以三角形 APD 的面积由小变大的时间小于三角形APD 的面积由 大变小的时间. 10. A 解析:由题意,知甲的速度为60÷3=20(km/h).当 乙首次追上甲时,甲走了30km,此时甲所用的时间为 30÷20=1.5(h),乙所用的时间为1.5-1=0.5(h).所 以乙的速度为30÷0.5=60(km/h).设乙停留0.5 h再次 追上甲时,甲总共所用的时间为t h.由题意,得20t= 60(t-1-0.5),解得t=2.25.此时甲距离B地(3- 2.25)×20=15(km). 二、 11. -23 12. y=x+1 13. 1<m<2 14. (1) -23 (2) -32<k<0 解析:(1) 因为直线l1: y=kx+b(k≠0)与x 轴的交点为B(-2,0),点A(1, -2)在直线l1:y=kx+b(k≠0)上,所以 -2k+b=0, k+b=-2, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 77 12.3　一次函数与二元一次方程 1. 一般地,一个二元一次方程可以转化成一次 函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的 形式,所以每个二元一次方程都对应一个 ,也对应一条直线. 2. 一 般 地,以 一 个 二 元 一 次 方 程 的 解 为 的点组成的图象与相应的一次函 数的图象相同,是 . 3. 一般地,从图形的角度看,确定两条直线交点 的坐标,相当于求相应的二元一次方程组的 ;解一个二元一次方程组相当于确 定相应的两条直线 . 4. 对于一般的二元一次方程组 a1x+b1y=c1, a2x+b2y=c2 (其中a1,b1,c1,a2,b2,c2 为常数,且均不 为0). (1) 当 时,方程组有唯一解; (2) 当 时,方程组有无穷多组解; (3) 当 时,方程组无解. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1(教材P54习题12.3第2题变式)利用 函数图象解方程组: x-y=-3, 2x-y=-1. 方程组 x-y=-3, 2x-y=-1 可化为 y=x+3 , y=2x+1. 在平面直角坐标系中作出直线y=x+3和直 线y=2x+1,其交点坐标即为该方程组的解. 解答: 解有所悟:利用图象法解二元一次方程组的步骤: 先把二元一次方程组中的两个方程分别化成一次 函数的形式,然后在同一平面直角坐标系中准确地 作出它们的图象,观察交点的坐标,交点的坐标就 是二元一次方程组的解. 典例2 如图所示为直线y=2x+3与直线y= -2x-1.求: (1) 两条直线与y轴的交点A,B 的坐标; (2) 两条直线的交点C 的坐标; (3) 三角形ABC 的面积. 典例2图 (1) 分别计算当x=0时,y的值即可得到 问题答案.(2) 构建方程组确定交点的坐标即可. (3) 过点C作CD⊥AB 于点D,根据S三角形ABC= 1 2AB ·CD 计算即可. 解答: 解有所悟:求平面直角坐标系中三角形面积的方 法:(1) 直接公式法:适用于三角形的一边在坐标轴 上或平行于坐标轴,直接用三角形面积公式求解; (2) 铅垂高、水平宽法:适用于三角形的三边都不 在坐标轴上且都不平行于坐标轴,一般作平行于 x轴或y轴的直线,将三角形分割成两个同底的三 角形进行求解;(3) 补全图形法:适用于三角形的三 边都不在坐标轴上且都不平行于坐标轴. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 78 [基础过关] 1. 下列是由以方程2x-y=2的解为坐标的点 组成的图象的为 ( ) A B C D 2. 直线l是由以二元一次方程8x-4y=5的 解为坐标的点组成的,则该直线不经过的象 限是 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图,在同一平面直角坐标系中作出一次函 数y=k1x与y=k2x+b的图象,则二元一 次方程组 y=k2x+b, y=k1x 的解是 ( ) 第3题 A. x=-3, y=0 B. x=1, y=3 C. x=0, y=3 D. x=1, y=0 4. 已知直线y=x+1与y=-2x+a的交点 在第一象限,则a的值可以是 ( ) A. 0 B. -1 C. 1 D. 2 5. 如图,一次函数y=2x+b和y=kx-3(k≠ 0)的图象交于点P,则关于x,y的二元一次 方程组 kx-y=3, 2x-y=-b 的解为 ( ) 第5题 A. x=4, y=6 B. x=4, y=-6 C. x=-6, y=4 D. x=-6, y=3 6. 如图,一次函数y=kx+b 与正比例函数 y=mx的图象相交于点M(1,2),下列判断不 正确的是 ( ) 第6题 A. 关于x的方程mx=kx+b的解是x=1 B. 关于x,y的二元一次方程组 mx-y=0, kx-y+b=0 的解是 x=1, y=2 C. 当x<0时,函数y=kx+b的值比函数 y=mx的值大 D. 关于x的不等式(m-k)x>b的解集为 x<1 7. 直线y=x+1与y=mx+n相交于点P(1, a),则 关 于 x,y 的 二 元 一 次 方 程 组 x-y+1=0, mx-y+n=0 的解为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级 79 8. 一次函数y=2x-1与y=2x+3的图象是两 条 的直线,则关于x,y的二元一次 方程组 2x-y=1, 2x-y=-3 的解的情况是 . 9. 已知关于x,y 的方程组 2x-y+3=0, ax-y+c=0 的 解为 x=-1, y=1, 则一次函数y=2x+3与y= ax+c的图象的交点坐标是 . 10. 如图,一次函数y1=kx-b与y2=nx 的图 象相交于点M,当kx-b=nx时,x的值是 ,当y1>y2 时,x 的取值范围是 ,当y1<y2 时,x 的取值范围是 . 第10题 11. 已知关于x,y 的方程组 2x+3y=6, ax+6y=12, 当 a 时,方 程 组 有 无 数 组 解;当 a 时,方程组只有一组解. 12. 已知直线y=3x与直线y=-2x+b的交 点为(2,m),试确定方程组 3x-y=0, 2x+y-b=0 的解和m,b的值. [综合提升] 答案讲解 13. (教材P54练习第2题变式)已知 A,B两地相距4800米,甲从A地 出发步行到B地,20分钟后乙从 B地出发骑自行车到A地,设甲步行的时 间为x分钟,甲、乙两人离A地的距离分别 为y1米、y2米,y1,y2 与x 的函数关系如 图所示,根据图象解答下面的问题: (1) 求y1,y2 关于x 的函数表达式,并写 出自变量x的取值范围. (2) 甲出发多少分钟后两人相遇? 相遇时 乙离A地多少米? 第13题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备