12.2 第3课时 用待定系数法求一次函数的表达式-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（沪科版2024）

69 第3课时 用待定系数法求一次函数的表达式 先设所求的一次函数表达式为y=kx+b(k,b是待确定的系数),再根据已知条件列出关于k, b的方程组,求得k,b的值.这种确定表达式中系数的方法,叫作 法. 典例1(教材P41例4变式)已知一次函数y= kx+b 的图象经过点(3,5),(-4,-9),与 x轴、y轴分别交于点A,B. (1) 求这个一次函数的表达式; (2) 若坐标原点为O,求三角形ABO 的面积. (1) 将已知的两点的坐标代入一次函数表 达式求解.(2) 分别求出点A,B 的坐标,再利 用三角形的面积计算公式求解. 解答: 解有所悟:确定正比例函数表达式一般只需知道一 点的坐标(非原点),因为它只有一个待定系数;而 确定一次函数表达式需要两点的坐标,因为它有两 个待定系数. 典例2 已知y=y1+y2,y1 与x 成正比例,y2 与x+1成正比例,且当x=1时,y=5;当x= 2时,y=8.由此可知,y 与x 之间的函数表达 式为 . 由y1与x成正比例,可设y1=k1x(k1≠ 0),由y2与x+1成正比例,可设y2=k2(x+ 1)(k2≠0),由此可得y 与x 之间的函数表达 式,再将给出的两组值分别代入其中,利用待定 系数法即可求解. 解答: 解有所悟:成正比例的两个变量之间可用正比例函 数表达式来表示,即若y 与x 成正比例,则y=kx (k≠0).但应注意:当两个变量之间涉及几个正比 例函数关系时,比例系数往往是不同的,应分别设 出.如本题中,因为y1 和y2 是两个不同的正比例 函数,所以需设出不同的比例系数(k1,k2),从而得 出y与x之间的函数表达式. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. (广州中考)点(3,-5)在正比例函数y=kx (k≠0)的图象上,则k的值为 ( ) A. -35 B. 15 C. -15 D. -53 2. 已知一次函数的图象过点(2,0)和点(1, -1),则这个函数的表达式为 ( ) A. y=x-2 B. y=x+2 C. y=-x-2 D. y=-x+2 3. 一次函数y=kx+b(k≠0)满足下列两个条 件:① y随x的增大而减小;② 当x<2时, y>0.符合上述两个条件的一次函数表达式 可以为 ( ) A. y=x+1 B. y=-2x+4 C. y=-x+1 D. y=2x+4 4. (教材P42练习第3题变式)某一次函数的图 象与直线y= 1 2x+6 平行,且经过点(-2, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 70 -4),则这个一次函数的表达式为 ( ) A. y=- 1 2x-5 B. y= 1 2x+3 C. y= 1 2x-3 D. y=-2x-8 5. 已知一次函数的图象经过点(0,-2),且与 两坐标轴围成的三角形的面积为3,则一次 函数的表达式为 ( ) A. y= 2 3x-2 B. y= 2 3x-2 或y=- 2 3x-2 C. y=- 3 2x-2 D. y= 3 2x-2 或y=- 3 2x-2 6. 已知一次函数y=ax+b,当-4≤x≤1时, 对应y的取值范围是1≤y≤16,则a+b的 值是 ( ) A. 1 B. 16 C. 1或16 D. 无法确定 7. 如图,直线l对应的函数表达式为 . 第7题 8. 一次函数的函数值y 与自变量x 的部分对 应值如下表: x -2 -1 1 y -3 -2 m 则m 的值为 . 9. 若一次函数图象过A(2,-1),B 两点,且B 是直线y=- 1 2x+3 与y轴的交点,则这个 一次函数的表达式为 . 10. 已知一次函数y=kx+4(k≠0)的图象与 坐标轴所围成的三角形的面积为6,则该一 次函数的表达式为 . 11. (泰州中考)若一次函数y=ax+2的图象 经过点(1,0),则当y>0时,x 的取值范围 是 . 12. 已知一次函数的图象经过点 -12 ,-14 , 且图象与x轴的交点到原点的距离为1,则 该函数的表达式为 . 13. 已知y-2与x-3成正比例,且当x=4 时,y=8. (1) 求y与x之间的函数表达式; (2) 当y=-6时,求x的值. 14. 已知y=y1-2y2,y1与x成正比例,y2与 x+1成正比例,且当x=1时,y=3;当 x=2时,y=5. (1) 求y与x之间的函数表达式; (2) 若点(a,3)在这个函数的图象上,求a 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级 71 15. 已知一次函数的图象过点(1,-1)和(2, 1),与x 轴、y 轴分别交于点A,B,O 为坐 标原点. (1) 求一次函数的表达式; (2) 对于此函数图象上任意两点P(x1, y1),Q (x2,y2),当 x1>x2 时,都 有 y1 y2(填“>”“<”或“=”); (3) 求三角形AOB 的面积. 答案讲解 16. 如图所示为一个“函数求值机”的 示意图,其中y 是x 的函数.通过 该“函数求值机”得到的几组x 与 y的对应值如下表: x … -6 -4 -2 0 2 … y … -6 -2 2 6 16 … 根据以上信息,解答下列问题: (1) 当输入x 的值为1时,输出y 的值为 ; (2) 求k,b的值; (3) 当输出y的值为0时,求输入x的值. 第16题 [综合提升] 答案讲解 17. 直线y=kx+b经过A(-2,0), B(0,4)两点,点C 的坐标为(0, -1). (1) 求k和b的值. (2) E 为线段AB 上一点,F 为直线AC 上 一点,EF=3. ① 如图①,若EF∥BC,求点E 的坐标; ② 如图②,若EF∥AO,求点E 的坐标. 第17题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 19 x的增大而增大.故选项D不符合题意. 8. C 解析:对于选项A,由一次函数y=kx+b的图象, 可知k<0,b>0,则-bk>0 ;由正比例函数y=- b kx 的 图象,可知-bk<0. 故不符合题意.对于选项B,由一次函 数y=kx+b的图象,可知k>0,b>0,则- b k<0 ;由正 比例函数y=- b kx 的图象,可知-bk >0. 故不符合题 意.对于选项C,由一次函数y=kx+b的图象,可知k< 0,b<0,则-bk<0 ;由正比例函数y=- b kx 的图象,可 知-bk<0. 故符合题意.对于选项D,由一次函数y= kx+b的图象,可知k>0,b<0,则-bk>0 ;由正比例函 数y=- b kx 的图象,可知-bk<0. 故不符合题意. 9. 3 10. 右 4 11. k>2 12. k>3 解析:由一次函数y=(3-k)x-k的图象经 过第二、三、四象限,得 3-k<0, -k<0, 解得k>3. 13. 5 3 或-52 解析:① 当a>0时,y随x 的增大而增 大,则当x=4时,y 有最大值7.把x=4,y=7代入,得 7=4a-a+2,解得a=53.② 当a<0时,y随x 的增大 而减小,则当x=-1时,y 有最大值7.把x=-1,y= 7代入,得 7=-a-a+2,解得a=-52. 综上所述,a= 5 3 或-52. 14. (1) 在y=-2x+4中,令y=0,则-2x+4=0,解得 x=2;令x=0,则y=4.所以点A 的坐标为(2,0),点B 的坐标为(0,4).(2) 函数图象如图所示.(3) 如图.因 为A(2,0),B(0,4),C(-3,0),所以AC=5,OB=4. 所以S三角形ABC= 1 2AC ·OB=12×5×4=10. 第14题 15. (1) 因为函数图象经过原点,所以m-3=0,解得 m=3.(2) 因为函数图象在y 轴上的截距为-2,所以 m-3=-2,解得m=1.(3) 因为这个函数是一次函数, 且y 随x 的增大而减小,所以2m+1<0.所以 m< -12. (4) 因为这个函数是一次函数,且图象不经过第二 象限,所以2m+1>0,m-3≤0.所以-12<m≤3. 16. (1) 0.(2) 描点、连线,画出函数图象如图所示. (3) ① 观察图象,可知函数的最大值为4.② 答案不唯一, 如该函数的图象关于y轴对称. 第16题 第3课时　用待定系数法求一次函数的表达式 知识梳理 待定系数 典例演练 典例1 (1) 因为一次函数y=kx+b的图象经过点(3, 5),(-4,-9),所以 3k+b=5, -4k+b=-9, 解得 k=2 , b=-1. 所 以这个一次函数的表达式为y=2x-1.(2) 当x=0时, y=-1;当y=0时,2x-1=0,解得x= 1 2. 所以 A 12 ,0 ,B(0,-1).所 以 OA= 12,OB=1.所 以 S三角形OAB= 1 2OA ·OB=12× 1 2×1= 1 4. 典例2 y=3x+2 解析:设y1=k1x(k1≠0),y2= k2(x+1)(k2≠0),则y=k1x+k2(x+1).根据题意,得 k1+2k2=5, 2k1+3k2=8, 解得 k1=1 , k2=2. 所以y与x之间的函数表达 式为y=x+2(x+1),即y=3x+2. 预学训练 1. D 2. A 3. B 4. C 5. B 6. C 7. y= 1 2x- 1 8. 0 9. y=-2x+3 解析:设一次函数的表达式为y=kx+ b(k≠0).对于直线y=- 1 2x+3 ,当x=0时,y=3. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 20 所以点B 的坐标为(0,3).将A(2,-1),B(0,3)代入y= kx+b,得 2k+b=-1, b=3, 解得 k=-2 , b=3. 所以这个一次函数 的表达式为y=-2x+3. 10. y= 4 3x+4 或y=- 4 3x+4 11. x<1 12. y=- 1 2x- 1 2 或y= 1 6x- 1 6 解析:设一次函数 的表达式为y=kx+b.由题意,得 -12k+b=- 1 4 , -bk =1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以 2k-4b=1, k=b 或 2k-4b=1 , k=-b, 解 得 k=-12 , b=-12 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 或 k=16 , b=-16. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以该函数的表达式为y=- 1 2x- 1 2 或y= 1 6x- 1 6. 13. (1) 因为y-2与x-3成正比例,所以设y-2= k(x-3).因为当x=4时,y=8,所以8-2=k(4-3). 所以k=6.所以y=6x-16.(2) 把y=-6代入y= 6x-16,可得-6=6x-16,解得x=53. 14. (1) 设y1=k1x(k1≠0),y2=k2(x+1)(k2≠0),则 y=k1x-2k2(x+1).根据题意,得 k1-4k2=3, 2k1-6k2=5, 解得 k1=1, k2=- 1 2. 所以y=x-2× -12 (x+1)=2x+1. (2) 因为点(a,3)在这个函数的图象上,所以2a+1=3, 解得a=1. 15. (1) 设一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0).根据 题意,得 k+b=-1, 2k+b=1, 解得 k=2 , b=-3. 所以一次函数的表达 式为y=2x-3. (2) >. 解析:在y=2x-3中,因为k=2>0,所以y随 x的增大而增大.所以对于此函数图象上任意两点P(x1, y1),Q(x2,y2),当x1>x2 时,都有y1>y2. (3) 对于y=2x-3,令y=0,则x= 3 2 ;令x=0,则 y=-3.所以A 32 ,0 ,B(0,-3).所以OA=32,OB= 3.所以S三角形OAB= 1 2OA ·OB=12× 3 2×3= 9 4. 16. (1) 8.(2) 因为当x<1时,y=kx+b(k≠0),所以将 (-2,2),(0,6)代入y=kx+b,得 -2k+b=2, b=6, 解得 k=2, b=6. (3) 由(2),知当x<1时,y=2x+6.分两种情况 讨论:① 当x<1时,令y=2x+6=0,解得x=-3,符合 题意.② 当x≥1时,令y=8x=0,解得x=0,不符合题 意.综上所述,输入x的值为-3. 17. (1) 根据题意,得 -2k+b=0, b=4, 解得 k=2 , b=4. (2) 设直 线AC 对应的函数表达式为y=mx+n.把A(-2,0), C(0,-1)代入,得 -2m+n=0, n=-1, 解得 m=- 1 2 , n=-1. 所以直 线AC对应的函数表达式为y=- 1 2x-1. 由(1),得直线 AB 对应的函数表达式为y=2x+4.因为E 为线段AB 上一点,所以设点E 的坐标为(a,2a+4).① 因为EF= 3,EF∥BC,所以F(a,2a+1).把F(a,2a+1)代入 y=- 1 2x-1 ,得2a+1=-12a-1 ,解得a=-45. 所以2a+4=125. 所 以 点 E 的 坐 标 为 -45 ,12 5 . ② 因为EF=3,EF∥AO,所以F(a-3,2a+4).把 F(a-3,2a+4)代 入 y= - 1 2x-1 ,得 2a+4= -12 (a-3)-1,解得a=-75. 所以2a+4=65. 所以点 E 的坐标为 -75 ,6 5 . 第4课时　利用一次函数解决分段函数问题 知识梳理 分段函数 典例演练 典例1 (1) 由函数图象,可知当x=18时,y=45,所 以若某月用水量为18立方米,则应缴水费为45元.(2) 设 当x>18时,y关于x的函数表达式为y=kx+b.把(18, 45),(28,75)代入,得 18k+b=45, 28k+b=75, 解得 k=3 , b=-9. 所以当 x>18时,y关于x 的函数表达式为y=3x-9.(3) 因 为81>45,所以用水量超过18立方米.所以当y=81时, 3x-9=81,解得x=30.所以这个月用水量为30立方米. 典例2 (1) 由图象,可知y甲是正比例函数,y乙是分段函 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈