专练13 一次函数的应用(三) 最大利润&专练14 平行线与三角形的内角和-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

13 专练13一次函数的应用（三）最大利润 【方法规律】解决问题的关键是读懂题意，列出函数关系式.再根据自变量的取值范 围、一次函数的增减性求得函数值的极值，从而选择最大利润. ⑦典例导练 示范题李叔叔批发甲乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲乙两种蔬菜的批发价和零 售价如下表所示. 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元/kg) 4.8 4 零售价/（元/kg) 7.2 5.6 (1)若他批发甲乙两种蔬菜40kg共花180元.求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？ (列方程求解) (2)若他批发甲乙两种蔬菜共80kg,批发甲种蔬菜不超过60kg,求他全部卖完蔬菜 后能获得的利润的最大值， 【思路点拨】(1)设批发甲蔬菜xkg,根据他批发甲乙两种蔬菜40kg共花180元可列 方程解得答案. (2)求出他全部卖完蔬菜后获得的利润W与批发甲种蔬菜nkg的函数关系式，再由 一次函数性质可得最大利润」 【自主解答】 知能检测 某校足球队计划从商家购进A、B两种品牌的足球，A种足球的单价比B种足球的单价 低30元，购进5个A种足球的费用等于3个B种足球的费用.现计划购进两种品牌的足 球共50个，其中A种足球数量不超过B种足球数量的9倍. (1)求A、B两种品牌的足球单价各是多少元？ (2)设购买A种足球m个(m≥1)，购买两种品牌足球的总费用为元，求关于m的 函数关系式，并求出最低总费用 14 第13章三角形中的边角关系、命题与证明 专练14平行线与三角形的内角和 【方法规律】平行线的“等角转化”功能：将分散的角度“凑”在一起，得出角之间的关 系 典例导练 示范题含有45°角的直角三角板放在两条平行线m,n上，若 m- ∠a=123°，求∠3的度数 【思路点拨】利用平行线的性质可得∠1=∠α=123°，然后利用 三角形内角和定理可得∠ACB的度数，由对顶角相等即可解答. 【自主解答】 知能检测 1.如图，将含有30°的直角三角尺CAB(∠C=60°)直角顶点A放到长方形DEFH的边 DE上，若∠EAB=15°，求∠FQG的度数， 2.如图，已知BC⊥AE,DE⊥AE,∠2+∠3=180° (1)请你判断CF与BD的位置关系，并证明你的结论. (2)若∠1=80°，BC平分∠ABD,试求∠ACF的度数.=2,解得：m=2,则直线的解析式 (2)设N(t,-21+4),,SAc=1, 4.8x+4(40-x)=180,解得：x= 是：y=2,:当△OMC的面积是 ×2(一2+0)=1，解得1=名 1 25,∴.40-x=40-25=15. 答：他批发甲蔬菜25kg,乙蔬菜15kg. N(号，1)，设直线ON的解析式 (2)设他批发甲种蔬菜nkg,全部卖 △OAC的面积的六时，，M的横坐标 完蔬菜后获得的利润为W元，由题 是子×4=1.①当点M在OA上时， 为y=,把N(号，1)代入得号 意得：W=(7.2-4.8)n+(5.6-4) (80-n)=0.8n+128,0.8>0,n 将x=1代入=x中，y,则M 1,解得b=号，即直线O八的解析式 ≤60，∴.当n=60时，W取最大值，最 2 号x,解方程组 y= 大值为128+0.8×60=176（元）. 的坐标是(1，号)：②当点M在AC 为y= 3 得 答：他全部卖完蔬菜后能获得的利 y -x十4 上时，将x=1代人y=一x十6中，y 润的最大值为176元. 12 =5,则M的坐标是(1,5).综上所述，点 7= 知能检测 5 M点坐标为( (1)设A种品牌的足球单价为x M的坐标是：M(1,2)或M15. 8 V- 5 元，则B种品牌的足球单价为(x+ 专练10二元一次方程组与一次函数 专练11一次函数的应用（一） 30)元，由题意，得：5x=3(x十30)，解 典例导练 行程问题 得：x=45,∴.x十30=45+30=75（元）. (1)易求点P(-4,1),B(-5,0),D 典例导练 答：A种品牌的足球单价为45元，B (-2,0),.直线1，l2与x轴围成 (1)设y与x之间的函数关系式为y 种品牌的足球单价为75元. 的三角形面积为：号×(-2+5)×1 =kx+b,把(0,30)，(1,60)代入得： (2)设购买A种足球m个(m≥1)， b=30 1k=30 则购买B种足球(50一m)个，由(1) 3 ,解得 ,y与x之 2 1k+b=60 1b=30 得：=45m+75(50-m)=-30m (2)把x=0分别代入y=x+5和y= 间的函数关系式为y=30x十30. 十3750，由题意，得m9(50一m), 2x一1，解得y=5和y=-1,A 1 (2)根据题意得：60x=30x十30，解 解得m≤45，∴.1≤m≤45，：-30 得x=1,.60x=60×1=60,答：出 0,.随m的增大而减小，.当 (0,5),C(0,-1),∴AC的中点坐标为发1h后，小苏与小李在途中相遇， m=45时，心最小，最小值为：一30× (0,2).设过P点且把△PAC面积两相遇时他们距离小苏家60km. 45+3750=2400(元)，∴.关于m的 等分的直线的解析式为y=kx十b,知能检测 函数关系式w=一30m十3750，最低 把点(-4,1)，(0,2)代入得D 费用为2400元. 专练12一次函数的应用（二） 第13章三角形中的边角关 -4k+b=1 k= ,解得 4,.这条 方案选择 系、命题与证明 b=2 b=2 典例导练 专练14平行线与三角形的内角和 1 直线的解析式为y=x+2. (1)设ym=k1x,根据题意得4k= 典例导练 知能检测 80,解得=20，∴.ym=20x;设yz= .m∥，.∠1=∠a=123°， (1)把B(4,0)代入y=-x+m得 k2x+80,根据题意得：12k2+80=200, .∠BAC=180°-∠1=57°， 一4十m=0,解得m=4,所以直线 解得2=10，·yz=10x+80. ∠B=45°，.∠ACB=180° AB的解析式为y=-x十4，当x=0 (2)当y=240时，ym=20x=240, ∠BAC-∠B=78°， 时，y=一x+4=4,则A(0,4),: ∴.x=12;当y=240时，yz=10x+ ∴∠B=∠ACB=78. 80=240,解得x=16:.1216,∴. 知能检测 5r=4.号×4×BC=4,解得 选择乙种更合算， 1.∠EAB=15°，∠CAB=90°， BC=2,则C(2,0).设直线AC的解 知能检测 .∠CAE=90°-15°=75°，：HF 析式为y=kx+b,把A(0,4),C(2, 1.C2.B ∥DE,∴.∠CMF=∠CAE=75°， 1b=4 专练13一次函数的应用（三）】 .∠C=60°，.∠CQM=180° 0)分别代入得 2k+b=0'解得 最大利润 60°-75°=45°， 1k=一2 典例导练 ∴.∠FQG=∠CQM=45. ,.直线AC的解析式为y b=4 (1)设批发甲蔬菜xkg,则批发乙蔬 2.(1)CF∥DB,理由：BC⊥AE, =-2x+4. 菜(40一x)kg,根据题意得： DE⊥AE,∴.BC∥DE,.∠3+ 61 ∠CBD=180°，又，∠2+∠3= 65°+30°=95°； 第14章全等三角形 180°，.∠2=∠CBD, ②如图2，当高AD在△ABC的 专练19找全等（一）知二寻 ∴.CF∥DB. 外部时，∠BAD=65°，∠BAC= 一证全等 (2).CF∥DB,.∠1=∠ABD= ∠BAD-∠CAD=65°-30°= 典例导练 80°，又：BC平分∠ABD,∴.∠DBC 35°，综上所述，∠BAC的度数为易证△ABC≌△DCB(ASA), =Z∠ABD=40,∠2=∠DBC 95°或35° .'.AB=DC. 2.①当点F在AB的上方时，图略：知能检测 =40°，又，BC⊥AG,.∠ACF= AC∥EF,∠C=50°，∴.∠BEF1.AD⊥BC,CE⊥AB,.∠ADB 90°-∠2=90°-40°=50°. =∠C=50°，∴.∠BED=∠FED =∠CDF=∠CEB=90°， 专练15求角度（一）方程思想求角 ∴.∠BAD+∠B=∠FCD+∠B 典例导练 =7∠BEF=号×50=25， =90°，.∠BAD=∠FCD B ②当点F在BC的下方时，图略： 在△ABD和△CFD中， 知能检测 :AC∥EF,∠C=50°，.∠CEF '∠ADB=∠CDF 1.设∠1=∠2=x,则∠3=∠4=2x, =∠C=50°，∠BED=∠DEF= AD=CD ∠BAC=72°，.x+2x+ ∠DEC+∠CEF=180°-∠BED ∠BAD=∠FCD ∠BAC=180°，解得x=36°， +50°，2∠BED=230°，∠BED= .△ABD≌△CFD(ASA) .∠DAC=∠BAC-∠1=72°- 115°.综上所述，∠BDE的度数 2.在△ABE与△ACF中，易证 36°=36°. 为25或115°. 2.设∠CAD=x,则∠BAD=x,∠E △ABE≌△ACF(SAS);∴.∠B= 专练18探究角度关系—特殊到 =3x,由题意，可知∠EAD= ∠C;AB=AC,AE=AF,∴.BF 一般思想 =CE;在△BDF与△CDE中，易 ∠EDA=∠B+x=x+50°， 典例导练 在△EAD中，∠E+∠EAD+ 证△BDF≌△CDE(AAS),故BD (1)·∠ADC是△ABD的外角， =CD. /EDA=180°，∴.3.x+2(x+50)= .∠ADC=∠1+∠B=105°，∠DAE 180°，解得：x=16°..∠E=48°. 专练20找全等（二）等量代换 =∠BAC-∠1=30°，∴.∠4=∠AED 专练16求角度（二）整体思想求角 证和差 =75°，.∠2=105°-75°=30°； 典例导练 典例导练 (2):∠ADC是△ABD的外角，. C ∠ADC=∠1+∠B=∠2+∠4，： 'AE∥BF,∴.∠DAE=∠DBF, 知能检测 CD是△ABC的中线，.AD=BD,在 ∠4=∠AED,且∠AED是△DEC 1.C △ADE和△BDF中， 的外角，.∠4=∠AED=∠2十 2.(1),A'B平分∠ABC,A'C平分 ∠C,∴.∠1+∠B=∠2+∠2+ ∠DAE=∠DBF ∠ACB,∠BA'C=110°， AD-BD ∠C,∴∠1=2∠2. ∴.∠A'BC+∠A'CB=70°，∴. ∠ADE=∠BDF 知能检测 ∠ABC+∠ACB=140°，. .△ADE≌△BDF,.DE=DF, (1)10° ∠BAC=180°-140°=40°. .CE-CE=EF=2DE. (2)连接AA',:∠1=∠DAA'+ (2)∠EAD-(∠ACB-∠ABO. 知能检测 ∠DA'A,∠2=∠EAA'+∠EA'A, (3)过点A作AG⊥BC于G,由三角1.根据AD∥BC可知∠ADC ∴.∠1+∠2=∠DAA'+∠DA'A+ 形的内角和定理及角平分线的定义 ∠ECF,再根据E是CD的中点可 ∠EAA'+∠EA'A=∠DAA'+ 可求得∠EAC-合∠BAC=90°- 证△ADE≌△FCE(ASA),从而 ∠EAA'+∠DA'A+∠EA'A= AE=EF,AD=CF,再证△ABE≌ ∠BAC+∠DA'E=2∠BAC=80°. 1 2∠ABC-2∠ACB,再根据直角三 △FBE(SAS),得到AB=BF=BC 专练17求角度（三）分类思想求角 十CF,等量代换得到AB=BC+ 角形的性质可得∠GAC=90°一 典例导练 AD. ∠ACB,进而可得结论∠EPD= C 2.:'∠BDF=∠AEF=90°，∠BFD 知能检测 ∠EAG=∠EAC-∠GAC= ∠ACB =∠AFE.∴.∠DBF=∠EAF. 1.①如图1，当高AD在△ABC的 又：∠BDF=∠ADC=90°，BF 内部时，∠BAD=90°-∠B= 2∠ABC =AC,∴.△BFD≌△ACD 65°，∠BAC=∠BAD+∠CAD= (AAS),.'.FD=CD,BD=AD, 63