12.2 第2课时 一次函数的图象与性质-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（沪科版2024）

66 第2课时 一次函数的图象与性质 1. 一般地,一次函数y=kx+b(k,b为常数,且 k≠0)的图象与直线 平行或重合, 因此,我们把一次函数y=kx+b(k,b为常 数,且k≠0)的图象叫作直线 . 2. 直线y=kx+b与y 轴相交于点 , 叫作直线y=kx+b在y轴上的截 距,简称截距. 3. 直线y=kx+b可以看作是由直线y=kx平 移 个单位长度得到(当b>0时,向 平移;当b<0时,向 平移). 4. 一般地,一次函数y=kx+b(k,b为常数,且 k≠0)有下列性质:当k>0时,y 随x 的增 大而 (图象是自左向右 的);当k<0时,y 随x 的增大而 (图象是自左向右 的);|k|越大,y 随x的增大而增大(或减小)的速度越快. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 在同一平面直角坐标系中,画出下列函 数的图象:y=2x,y=2x+1,y=2x-1,并比 较它们的位置关系. 画函数图象的一般步骤是列表、描点、连线. 只要画出函数的图象,其位置关系可由观察得出. 解答: 解有所悟:因为一次函数的图象是一条直线,所以 想画一次函数的图象,只需在坐标系中描出两点, 过这两点画出一条直线即可. 典例2 已知一次函数y=(6+3m)x+(n-4). (1) 当m满足什么条件时,y随x的增大而减小? (2) 当m,n分别满足什么条件时,函数的图象 与y轴的交点在x轴的下方? (3) 当m,n分别满足什么条件时,函数的图象 经过原点? (4) 当m,n分别满足什么条件时,函数的图象 不经过第四象限? (1) 由y随x 的增大而减小,可知k<0. (2) 由函数的图象与y 轴的交点在x 轴的下 方,可知k≠0,b<0.(3) 由函数的图象经过原 点,可知k≠0,b=0.(4) 由函数的图象不经过 第四象限,可知图象经过第一、二、三象限或第 一、三象限,即k>0,b≥0. 解答: 解有所悟:一次函数y=kx+b的图象与k,b的关 系:(1) 当y随x的增大而增大(或直线经过第一、 三象限)时,k>0.(2) 当y 随x 的增大而减小(或 直线经过第二、四象限)时,k<0.(3) 当直线与y轴 交于正半轴时,b>0;当直线与y轴交于负半轴时, b<0;当直线经过原点时,b=0. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级 拍 照 批 改 67 [基础过关] 1. 给出下列函数:① y=kx+b;② y=2x; ③ y= 3 x ;④ y= 1 3x+3 ;⑤ y=x2-2x+ 1.其中,一定属于一次函数的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 一次函数y=-2x-1的图象大致是( ) A B C D 3. 将直线y=5x向下平移2个单位长度,所得 直线对应的函数表达式为 ( ) A. y=5x-2 B. y=5x+2 C. y=5(x+2) D. y=5(x-2) 4. (教材P41练习第3题变式)(兰州中考)如 果一次函数y=2x+1的图象经过点(-3, y1),(4,y2),那么y1与y2的大小关系是 ( ) A. y1<y2 B. y1>y2 C. y1≤y2 D. y1≥y2 5. (凉山中考)一次函数y=3x+b(b≥0)的图 象一定不经过 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. (六盘水中考)如图所示为一次函数y= kx+b的图象,下列说法正确的是 ( ) 第6题 A. y随x增大而增大 B. 图象经过第三象限 C. 当x≥0时,y≤b D. 当x<0时,y<0 7. 已知一次函数y=kx+3的图象经过点A, 且y随x 的增大而减小,则点A 的坐标可 以是 ( ) A. (-1,2) B. (1,-2) C. (2,3) D. (3,4) 答案讲解 8. 在同一平面直角坐标系中,一次函 数y=kx+b 与正比例函数y= -bkx (k,b是常数,且kb≠0)的图 象可能是 ( ) A B C D 9. 若函数y=xm-2+5是关于x 的一次函数, 则m= . 10. 若一次函数y=-2x+1的图象经过左右 平移后经过点(2,5),则需将该函数图象向 平移 个单位长度. 11. 已知A(3,y1),B(4,y2)是直线y=(k- 2)x+b上的两点,若y1<y2,则k的取值 范围是 . 12. 如果一次函数y=(3-k)x-k的图象经过 第二、三、四象限,那么k 的取值范围是 . 13. 已知一次函数y=ax-a+2(a为常数,且 a≠0).若当-1≤x≤4时,函数有最大值 7,则a的值为 . 14. 在平面直角坐标系中,一次函数y=-2x+4 的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B. (1) 求A,B 两点的坐标; 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 68 (2) 在如图所示的平面直角坐标系中画出 函数y=-2x+4的图象; (3) 已知点C(-3,0),连接BC,求三角形 ABC 的面积. 第14题 15. 已知函数y=(2m+1)x+m-3. (1) 若函数图象经过原点,求m 的值; (2) 若函数图象在y轴上的截距为-2,求 m 的值; (3) 若这个函数是一次函数,且y随x的增 大而减小,求m 的取值范围; (4) 若这个函数是一次函数,且图象不经过 第二象限,求m 的取值范围. [综合提升] 答案讲解 16. 数学兴趣小组根据学习一次函数 的经验,对函数y=-|x|+4的 图象与性质进行了探究: (1) 在函数y=-|x|+4中,自变量x 可 以是任意实数,y 与x 的几组对应值如 下表: x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y … 0 1 2 3 4 3 2 1 a … 表格中a的值为 . (2) 在如图所示的平面直角坐标系中,描出 表中的各点,画出该函数的图象. (3) 结合图象回答下面的问题: ① 求函数的最大值; ② 写出该函数的一条性质. 第16题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级 18 -2x.当x=-3时,y=-2x=6;当x=4时,y= -2x=-8.所以当-3≤x≤4时,y 的取值范围是-8≤ y≤6. 16. 二、四 解析:因为ab<0,所以ab<0. 所以函数y= a bx 的图象经过第二、四象限. 17. 一、三 解析:由点P(m,n)在第三象限,得m<0, n<0,所以mn>0. 所以正比例函数y= m nx 的图象经过 第一、三象限. 18. (1) 因为正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点 (3,-6),所以-6=3k,解得k=-2.所以这个函数的表 达式为y=-2x.(2) 函数图象如图所示.(3) 把x=4代 入y=-2x,得y=-2×4=-8≠-2,所以点A(4, -2)不在这个函数的图象上.把x=-1.5代入y= -2x,得y=-2×(-1.5)=3,所以点B(-1.5,3)在这 个函数的图象上.(4) 因为k=-2<0,所以y随x 的增 大而减小.又因为x1>x2,所以y1<y2. 第18题 19. 1 3 解析:因为y随x 的减小而减小,所以k>0,当 x=-3时,y=-1.将x=-3,y=-1代入y=kx,得 -1=-3k,解得k=13. 20. (1) 2 3. 解析:因为正方形ABCD 的边长为2,所 以AB=AD=CD=2.在直线y=2x中,当y=2时,x= 1.所以OA=1.所以OD=1+2=3.所以点C 的坐标 为(3,2).将C(3,2)代入y=kx,得2=3k,解得k= 2 3. (2) k的值不会发生变化.理由:因为正方形的边长为a, 所以AB=AD=CD=a.在直线y=2x 中,当y=a时, x=a2. 所以OA=a2. 所以OD=a2+a= 3 2a. 所以点C 的坐标为 3 2a ,a .将C 32a,a 代入y=kx,得a=k× 3 2a ,解得k=23. 所以k的值不会发生变化. 第2课时　一次函数的图象与性质 知识梳理 1. y=kx y=kx+b 2. (0,b) b 3. |b| 上 下 4. 增大 上升 减小 下降 典例演练 典例1 列表: x 0 1 y=2x 0 2 y=2x+1 1 3 y=2x-1 -1 1 描点、连线,画出函数图象如图所示.由图象可以看出,直 线y=2x+1,y=2x-1都平行于直线y=2x,将直线 y=2x向上平移1个单位长度可得直线y=2x+1,向下 平移1个单位长度可得直线y=2x-1. 典例1图 典例2 (1) 因为y 随x 的增大而减小,所以6+3m< 0.所以m<-2.所以当m<-2时,y 随x 的增大而减 小.(2) 因为一次函数 y=(6+3m)x+(n-4)的图象与 y轴的交点在x 轴的下方,所以6+3m≠0,n-4<0. 所以m≠-2,n<4.所以当m≠-2,n<4时,函数的图象 与y轴的交点在x轴的下方.(3) 因为一次函数 y=(6+ 3m)x+(n-4)的图象经过原点,所以6+3m≠0,n-4= 0.所以m≠-2,n=4.所以当m≠-2,n=4时,函数的图 象经过原点.(4) 因为一次函数 y=(6+3m)x+(n- 4)的图象不经过第四象限,所以6+3m>0,n-4≥0,解 得m>-2,n≥4.所以当m>-2,n≥4时,函数的图象不 经过第四象限. 预学训练 1. B 2. D 3. A 4. A 5. D 6. C 7. B 解析:当点A 的坐标为(-1,2)时,代入,得-k+ 3=2,解得k=1>0.所以y随x的增大而增大.故选项A 不符合题意.当点A 的坐标为(1,-2)时,代入,得k+ 3=-2,解得k=-5<0.所以y随x的增大而减小.故选 项B符合题意.当点A 的坐标为(2,3)时,代入,得2k+ 3=3,解得k=0.故选项C不符合题意.当点A 的坐标 为(3,4)时,代入,得3k+3=4,解得k=13>0. 所以y随 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 19 x的增大而增大.故选项D不符合题意. 8. C 解析:对于选项A,由一次函数y=kx+b的图象, 可知k<0,b>0,则-bk>0 ;由正比例函数y=- b kx 的 图象,可知-bk<0. 故不符合题意.对于选项B,由一次函 数y=kx+b的图象,可知k>0,b>0,则- b k<0 ;由正 比例函数y=- b kx 的图象,可知-bk >0. 故不符合题 意.对于选项C,由一次函数y=kx+b的图象,可知k< 0,b<0,则-bk<0 ;由正比例函数y=- b kx 的图象,可 知-bk<0. 故符合题意.对于选项D,由一次函数y= kx+b的图象,可知k>0,b<0,则-bk>0 ;由正比例函 数y=- b kx 的图象,可知-bk<0. 故不符合题意. 9. 3 10. 右 4 11. k>2 12. k>3 解析:由一次函数y=(3-k)x-k的图象经 过第二、三、四象限,得 3-k<0, -k<0, 解得k>3. 13. 5 3 或-52 解析:① 当a>0时,y随x 的增大而增 大,则当x=4时,y 有最大值7.把x=4,y=7代入,得 7=4a-a+2,解得a=53.② 当a<0时,y随x 的增大 而减小,则当x=-1时,y 有最大值7.把x=-1,y= 7代入,得 7=-a-a+2,解得a=-52. 综上所述,a= 5 3 或-52. 14. (1) 在y=-2x+4中,令y=0,则-2x+4=0,解得 x=2;令x=0,则y=4.所以点A 的坐标为(2,0),点B 的坐标为(0,4).(2) 函数图象如图所示.(3) 如图.因 为A(2,0),B(0,4),C(-3,0),所以AC=5,OB=4. 所以S三角形ABC= 1 2AC ·OB=12×5×4=10. 第14题 15. (1) 因为函数图象经过原点,所以m-3=0,解得 m=3.(2) 因为函数图象在y 轴上的截距为-2,所以 m-3=-2,解得m=1.(3) 因为这个函数是一次函数, 且y 随x 的增大而减小,所以2m+1<0.所以 m< -12. (4) 因为这个函数是一次函数,且图象不经过第二 象限,所以2m+1>0,m-3≤0.所以-12<m≤3. 16. (1) 0.(2) 描点、连线,画出函数图象如图所示. (3) ① 观察图象,可知函数的最大值为4.② 答案不唯一, 如该函数的图象关于y轴对称. 第16题 第3课时　用待定系数法求一次函数的表达式 知识梳理 待定系数 典例演练 典例1 (1) 因为一次函数y=kx+b的图象经过点(3, 5),(-4,-9),所以 3k+b=5, -4k+b=-9, 解得 k=2 , b=-1. 所 以这个一次函数的表达式为y=2x-1.(2) 当x=0时, y=-1;当y=0时,2x-1=0,解得x= 1 2. 所以 A 12 ,0 ,B(0,-1).所 以 OA= 12,OB=1.所 以 S三角形OAB= 1 2OA ·OB=12× 1 2×1= 1 4. 典例2 y=3x+2 解析:设y1=k1x(k1≠0),y2= k2(x+1)(k2≠0),则y=k1x+k2(x+1).根据题意,得 k1+2k2=5, 2k1+3k2=8, 解得 k1=1 , k2=2. 所以y与x之间的函数表达 式为y=x+2(x+1),即y=3x+2. 预学训练 1. D 2. A 3. B 4. C 5. B 6. C 7. y= 1 2x- 1 8. 0 9. y=-2x+3 解析:设一次函数的表达式为y=kx+ b(k≠0).对于直线y=- 1 2x+3 ,当x=0时,y=3. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈