12.1 函数-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（沪科版2024）

60 第12章　函数与一次函数 12.1　函　数 1. 在某一变化过程中,可以取 的 量是变量, 的量是常量. 2. 一般地,设在一个变化过程中有两个变量x, y,如果对于x 在它允许取值范围内的每一 个值,y都有 的值与它对应,那么就 说y是x的函数,其中x是 .当x= a时,y=b,则b叫作当自变量x 取a时的 函数值. 3. 函数的三种表示方法: (1) 列表法:通过列出 的值与 的表格来表示函数关系的方 法叫作列表法. (2) 解析法:用 表示函数关系的方 法叫作解析法,其中的数学式子叫作函数表 达式(或函数解析式). (3) 图象法:一般地,对于一个函数,如果把 自变量x 与函数y 的每对对应值作为点的 横坐标与纵坐标,在坐标平面内描出相应的 点,这些点所组成的图形,就是这个函数的 图象.用图象来表示 的函数关系的 方法,叫作图象法. 4. 常见的确定自变量取值范围的方法有以下四 类:(1) 以整式形式出现时,自变量的取值范 围是 ; (2) 以分式形式出现时,分式 的分母 ;(3) 同时有几种代数式时, 自变量的取值范围是各种代数式中自变量取 值范围的 ;(4) 当函数表达式表示实 际问题时,自变量的取值范围除应使函数表 达式有意义外,还必须符合 . 5. 画函数图象的一般步骤: 、 、 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1(教材P27例1变式)在函数y= 3 x-2- x+1中,自变量x的取值范围是 ( ) A. x>-1 B. x≥-1 C. x>-1且x≠2 D. x≥-1且x≠2 要使此函数有意义,自变量x 必须同时满 足分母不为0,被开方数不小于0. 解答: 解有所悟:求函数中自变量的取值范围时,应首先 观察函数的表达式,寻找自变量应满足的条件,通 过列方程(组)或不等式(组)求解. 典例2 一位旅行者8时从市区出发去郊区,刚 开始1小时走了5千米,然后他上坡,1小时走 了3千米,之后休息了30分钟,休息后平均每小 时走4千米,12时到达郊区,他离开市区的距离 s(千米)与时间t(时)之间的函数关系如图所示. 典例2图 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级 拍 照 批 改 61 根据图象回答: (1) 该旅行者9时、10时30分、11时离开市区 的距离分别是多少千米? (2) 他停下来休息时,离开市区的距离是多少千米? (3) 郊区与市区之间的距离为多少千米? (4) 求该旅行者离开市区6千米时的时间. (1) 直接读图可得答案;(2) 在10时开始 休息,由图象就能得出答案;(3) 直接读图可得 答案;(4) 根据距离市区5千米时是9时,然后 该旅行者上坡时1小时走了3千米,计算再走 1千米的时间,相加可得答案. 解答: 解有所悟:根据函数图象读取信息时要注意的几个 方面:(1) 明确横轴、纵轴表示的实际意义,如本题 横轴表示时间,纵轴表示该旅行者离开市区的距 离.(2) 弄清“三线”的含义:上升趋势的线表示因变 量随自变量的增大而增大;水平线表示因变量不随 自变量的变化而变化;下降趋势的线表示因变量随 自变量的增大而减小.(3) 抓住图中特殊点代表的 具体意义,折线反映的是哪几个不同阶段. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. (教材P33习题12.1第1题变式)一本笔记 本5元,买x 本共付y 元,则下列判断正确 的是 ( ) A. 5和y都是常量 B. 5和y都是变量 C. 5是常量,y是变量 D. 5是变量,y是常量 2. 在函数y= x-2中,自变量x 的取值范 围是 ( ) A. x≤2 B. x<2 C. x>2 D. x≥2 3. (大连中考)汽车油箱中有汽油30L.如果不 再加油,那么油箱中的油量y(L)随行驶路 程x(km)的增加而减少,平均耗油量为 0.1L/km.当0≤x≤300时,y 与x 之间的 函数表达式为 ( ) A. y=0.1x B. y=-0.1x+30 C. y= 300 x D. y=-0.1x2+30x 4. (巴中中考)甲、乙两人沿同一直道从A地到 B地,在整个行程中,甲、乙离A地的距离 s(m)与时间t(min)之间的函数关系如图所 示.下列说法错误的是 ( ) 第4题 A. 甲比乙早1 min出发 B. 乙的速度是甲的速度的2倍 C. 若甲比乙晚5 min到达,则甲用时10 min D. 若甲出发时的速度为原来的2倍,则甲比 乙提前1 min到达B地 5. 小王家、食堂、图书馆在同一条直线上,小王 从家去食堂吃早餐,接着去图书馆读报纸, 然后回家,如图反映小王离家的距离y(km) 与时间x(min)之间的对应关系,下列说法 正确的是 ( ) 第5题 A. 小王读报用了58min B. 小王吃早餐用了25min C. 小王从图书馆回家的速度是0.08km/min D. 小王家离食堂0.8km 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 62 6. 某长方形的周长为24cm,其中一边长为 xcm(x>0),面积为ycm2,则y 与x 的函 数表达式为 . 7. (赤峰中考)已知小强家、体育场、学校在同 一条直线上,如图所示的图象反映的过程是 某天早晨,小强从家跑步去体育场锻炼,锻 炼结束后,步行回家吃早餐,饭后骑自行车到 学校.图中xmin表示时间,ykm表示小强 离家的距离. (1) 有下列结论:① 体育场离小强家2.5km; ② 小强在体育场锻炼了30min;③ 小强吃 早餐用了20min.其中,正确的是 (填序号). (2) 求小强骑自行车的平均速度. 第7题 [综合提升] 答案讲解 8. (嘉兴中考)6月13日,某港口的潮 水高度y(厘米)和时间x(时)的部 分数据及函数图象如下: x/时 … 11 12 13 14 15 16 17 18 … y/ 厘米 … 18913710380101133202260 … (1) ① 根据表中数据,通过描点、连线(光滑 曲线)的方式补全该函数的图象. ② 观察函数图象,当x=4时,y 的值为多 少? 当y的值最大时,x的值为多少? (2) 请结合函数图象,写出该函数的两条性 质或结论. (3) 根据研究,当潮水高度超过260厘米时, 货轮能够安全进出该港口.请问:当天什么 时间段适合货轮进出该港口? 第8题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级 17 xy=-8,所以(m-2n)· n-m2 =-8.整理,得(m- 2n)2=16.所以m-2n=±4.因为点A 在第四象限, 所以x>0,即m-2n>0.所以m-2n=4. 第12章　函数与一次函数 12.1 函 数 知识梳理 1. 不同的数值 数值保持不变 2. 唯一确定 自变量 3. (1) 自变量 对应函数值 (2) 数学式子 (3) 两个 变量间 4. (1) 全体实数 (2) 不为0 (3) 公共部分 (4) 实际意义 5. 列表 描点 连线 典例演练 典例1 D 典例2 (1) 根据图象,可知该旅行者9时、10时30分、 11时离开市区的距离分别是5千米、8千米、10千米. (2) 根据图象,可知他停下来休息时离开市区的距离是 8千米.(3) 根据图象,可知郊区与市区之间的距离为 14千米.(4) 根据图象,可知该旅行者距离市区5千米时 是9时.因为上坡时,1小时走了3千米,所以走1千米用 了(6-5)÷3=13 (小时).因为13 小时=20分钟,所以该 旅行者离开市区6千米时的时间为9时+20分钟=9时 20分. 预学训练 1. C 2. D 3. B 4. C 解析:由图象,得甲比乙早1min出发,故选项A正 确,不符合题意.由图象,得甲、乙两人相遇时,甲行驶的时 间为2min,乙行驶的时间为1min,所以乙的速度是甲的 速度的2倍,故选项B正确,不符合题意.设乙用时xmin 到达B地,则甲用时(x+5+1)min到达B地.因为乙的 速度是甲的速度的2倍,所以乙用的时间是甲用的时间的 一半,即2x=x+5+1,解得x=6.所以甲用时12min,故 选项C错误,符合题意.若甲出发时的速度为原来的2倍, 则此时甲、乙两人的速度相同.因为甲比乙早1min出发, 所以甲比乙提前1min到达B地,故选项D正确,不符合 题意. 5. C 6. y=(12-x)x 7. (1) ①③. 解析:由图象,可知体育场离小强家 2.5km,所以①正确.由图象,可知小强从第15分钟开始 锻炼,第30分钟结束.所以小强锻炼的时间为30-15= 15(min).所以②不正确.由图象,可知小强从第67分钟开 始吃早餐,第87分钟结束.所以小强吃早餐用时87- 67=20(min).所以③正确.综上所述,正确的是①③. (2) 由图象,可知小强从第87分钟开始骑车去往3km外 的学校,第102分钟到达学校.所以小强骑自行车的用时 为102-87=15(min).所以小强骑自行车的平均速度是 3÷15=0.2(km/min). 8. (1) ① 如图.② 由函数图象,得当x=4时,y 的值 为200,当y的值最大时,x=21.(2) 答案不唯一,如① 当 3≤x≤7时,y随x 的增大而增大;② 当x=14时,y 有 最小值,为80.(3) 由图象,可知当y=260时,x=5或 x=10或x=18或x=23.所以当5<x<10或18<x< 23时,y>260,即当天5时至10时或18时至23时,适合 货轮进出该港口. 第8题 12.2 一次函数 第1课时　正比例函数的图象与性质 知识梳理 1. kx+b 2. kx 3. 原点 y=kx 一、三 二、四 5. 增大 上升 减小 下降 典例演练 典例1 (1) 由一次函数的定义,得2-|m|=1,解得 m=±1.又因为m+1≠0,所以m≠-1.所以当m=1,n 为任意实数时,此函数是一次函数.(2) 由正比例函数的 定义,得2-|m|=1,n+4=0,解得m=±1,n=-4.又 因为m+1≠0,所以m≠-1.所以当m=1,n=-4时,此 函数是正比例函数. 典例2 (1) 把(-1,2)代入y=kx,得2=-k,解得 k=-2.所以该正比例函数的表达式为y=-2x.(2) 把 x=2代入y=-2x,得y=-4.因为-4≠-2,所以点 (2,-2)不在此函数的图象上. 预学训练 1. D 2. A 3. C 4. C 5. C 6. A 7. D 8. B 9. D 10. B 解析:因为3>0,所以点A(3,m)在第一或第四象 限.因为-2<0,所以点B(n,-2)在第三或第四象限. 因为点A(3,m),B(n,-2)在不同的象限,所以点A,B 分别在第一、三象限.所以m>0,n<0. 11. -3 12. -2 13. 3 14. > 15. -8≤y≤6 解析:把(2,-4)代入y=kx,得-4= 2k,解得k=-2.所以正比例函数的表达式为y= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈