11.1 平面内点的坐标-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（沪科版2024）

14 ∠AED=2.综上所述,∠ACD∶∠AED 的值为23 或2. 第19题 20. (1) 两直线平行,内错角相等;平行于同一条直线的 两条直线平行;∠CPH;∠APH,∠CPH.(2) ① 成 立.理由:如图①,过点P 作PO∥AB,过点Q 作QG∥ AB.因为AB∥CD,所以AB∥CD∥PO∥QG.所以∠A= ∠APO,∠C=∠CQG,∠OPQ+∠GQP=180°.所以 ∠APQ + ∠PQC = ∠APO + ∠OPQ + ∠GQP + ∠CQG=∠A+∠C+180°. ② 3∠PMQ+∠A+∠C=360°. 解析:如图②,过点P 作PK∥AB,过点Q 作QL∥AB,过点 M 作MN∥AB. 因为 AB∥CD,所以 AB∥CD∥PK∥QL∥MN.所以 ∠A=∠APK,∠C=∠CQL,∠KPQ+∠LQP=180°, ∠KPM=∠PMN,∠LQM=∠QMN.所以∠PMQ= ∠KPM+∠LQM.因为∠APM=2∠MPQ,∠CQM= 2∠PQM,∠PMQ + ∠MPQ + ∠PQM =180°,所 以 ∠APM + ∠CQM = ∠APK + ∠CQL + ∠KPM + ∠LQM=∠A+∠C+∠PMQ=2∠MPQ+2∠PQM= 2(180°-∠PMQ),即∠A+∠C+∠PMQ=360°- 2∠PMQ.所以3∠PMQ+∠A+∠C=360°. 第20题 3 预学储备 第11章　平面直角坐标系 11.1 平面内点的坐标 知识梳理 1. 互相垂直 原点 水平 右 竖直 上 交点 2. 一对有序实数 3. |b| |a| 4. 有序实数对 5. 纵 横 6. (+,+) (-,+) (-,-) (+,-) 7. (x,0) (0,y) (0,0) 任何一个 典例演练 典例1 D 典例2 B 典例3 (1) 因为点 M 在x 轴上,所以a+6=0,解得 a=-6.所以3a-2=3×(-6)-2=-20.所以点M 的 坐标为(-20,0).(2) 因为直线MN∥x 轴,所以a+6= 5且3a-2≠2,解得a=-1.所以3a-2=3×(-1)- 2=-5.所以点M 的坐标为(-5,5). 预学训练 1. B 2. D 3. D 4. C 5. B 6. C 7. (2,-3) 8. (2,1) 9. 6 5 或-45 解析:当点P 在第一象限时, 2x>0, 3x-1>0, 解得x>13. 由题意,得2x+3x-1=5,解得x=65 ,符 合题意.当点P 在第二象限时, 2x<0, 3x-1>0, 此不等式组 无解,不符合题意.当点P 在第三象限时, 2x<0, 3x-1<0, 解 得x<0.由题意,得-2x+1-3x=5,解得x=-45 ,符 合题意.当点P 在第四象限时, 2x>0, 3x-1<0, 解得0<x< 1 3. 由题意,得2x+1-3x=5,解得x=-4,不符合题 意.当点P 在x 轴上时,3x-1=0,解得x=13. 所以 2x=23. 所以点P 到两坐标轴的距离之和为0+23= 2 3≠5 ,不符合题意.当点P 在y轴上时,2x=0,解得x= 0.所以3x-1=-1.所以点P 到两坐标轴的距离之和 为0+1=1≠5,不符合题意.综上所述,x 的值为65 或-45. 10. (1) 因为点P 在y 轴上,所以2m-6=0,解得m= 3.所以m+1=4.所以P(0,4).(2) 因为点P 的纵坐标比 横坐标大5,所以m+1-(2m-6)=5,解得m=2.所 以2m-6=-2,m+1=3.所以点P 的坐标为(-2, 3).(3) 因为点P 到x 轴的距离与到y 轴的距离相等, 所以|2m-6|=|m+1|.所以2m-6=m+1或2m- 6=-m-1,解得m=7或m=53. 当m=7时,2m-6= 8,m+1=8,即点P 的坐标为(8,8);当m=53 时,2m- 6=-83 ,m+1=83 ,即点P 的坐标为 -83 ,8 3 .所 以点P 的坐标为(8,8)或 -83 ,8 3 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 15 11. (1) ① E,F.② (-3,3). 解析:① 因为点A(-3, 1)到x轴、y轴的距离中的最大值为3,所以与点A 为“等 距点”的是点E,F.② 因为点A(-3,1)到x轴、y轴的距 离中的最大值为3,A,B 两点为“等距点”,所以点B 到 x轴、y轴的距离中的最大值为3.当|m|=3时,可得点 B(3,9)或(-3,3).当|m+6|=3时,可得点B(-9, -3)或(-3,3).因为这些点中只有点(-3,3)符合要求, 所以点B 的坐标为(-3,3). (2) 因为T1(-1,-k-3),T2(4,4k-3)两点为“等距 点”,所以分两种情况讨论:① 若|4k-3|≤4,则-k-3= 4或-k-3=-4.所以k=-7(不合题意,舍去)或k= 1.② 若|4k-3|>4,则|4k-3|=|-k-3|,即4k- 3=-k-3或4k-3=k+3.所以k=0(不合题意,舍 去)或k=2.综上所述,k的值是1或2. 11.2 图形在坐标系中的平移 知识梳理 1. x+a x-a 2. y+a y-a 3. (1) 不变 减去 加上 (2) 不变 减去 加上 典例演练 典例1 B 典例2 (1) 如图,三角形A1B1C1即为所求作.(2) 把三 角形ABC向右平移5个单位长度,向下平移3个单位长 度得到三角形A1B1C1.点C1 的坐标为(2,-2).(3) 三 角形A1B1C1的面积为3×2- 1 2×1×2- 1 2×1×3- 1 2×1×2= 5 2. 典例2图 预学训练 1. C 2. C 3. C 4. D 5. D 解析:根据图中点的平移规律,可知A1(1,1), A2(3,2),A3(7,4),A4(15,8),…,所以横坐标依次为1= 21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1,…,纵坐标依次 为1=21-1,2=22-1,4=23-1,8=24-1,….所以点An 的 坐标为(2n-1,2n-1). 6. (2,2) 7. 3 8. (2,-3)或(-2,-3) 解析:因为点C 在x轴上,所 以点C的纵坐标为0.因为点D到y轴的距离为2,所以点D 的横坐标为±2.因为A(1,5),B(4,2),将线段AB 平移至 CD,所以点纵坐标的变化规律是减去5.所以点D 的纵坐 标为2-5=-3.所以点D 的坐标为(2,-3)或(-2,-3). 9. (4,0)或(0,6) 10. (1) 如图,三角形A1B1C1 即为所求作.坐标分别 为A1(0,4),B1(2,0),C1(4,1).(2) 设点P 的坐标为(0, t).因为以P,A1,C1 为顶点的三角形的面积为4,所以 1 2×|t-4|×4=4 ,解得t=6或t=2.所以点P 的坐标 为(0,6)或(0,2). 第10题 11. (1) A1(3,1),B1(1,-1),C1(4,-2).(2) 如图,三角 形A1B1C1 即为所求作.(3) 如图,三角形AOA1 的面 积=6×3-12×3×3- 1 2×3×1- 1 2×6×2=18- 9 2- 3 2-6=6. (4) 设点Q 的坐标为(0,t).因为B(-5, 1),A1(3,1),所以BA1=3-(-5)=8,且BA1∥x 轴. 因为以B,A1,Q 为顶点的三角形的面积为8,所以 1 2× 8×|t-1|=8,解得t=-1或t=3.所以点Q 的坐标 为(0,-1)或(0,3). 第11题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 50 第11章　平面直角坐标系 11.1　平面内点的坐标 1. 数学中,为了确定平面内一个点的位置,我们 可以先在平面内画两条 (通常一条 水平,一条竖直)并且 重合的数轴, 的数轴叫作 x 轴或横轴,取向 为正方向; 的数轴叫作y 轴或 纵轴,取向 为正方向;两轴 O 为原点.这样就建立了平面直角坐标系, 记作平面直角坐标系xOy,这个平面叫作坐 标平面. 2. 有了平面直角坐标系,平面内的点就可以用 来表示了.一般地,如果平面直角 坐标系内点P 的横坐标为x,纵坐标为y,我 们就说有序实数对(x,y)是点P 在平面直 角坐标系中的坐标,记作P(x,y). 3. 点P(a,b)到x 轴的距离为 ,到 y轴的距离为 . 4. 平面内的点与 一一对应. 5. 平行于x 轴的直线上的点的 坐标 相同,平行于y 轴的直线上的点的 坐标相同. 6. 坐标平面被两条坐标轴分成四个部分,这四 个部分分别叫作第一象限、第二象限、第三 象限、第四象限,这四个象限内的点的坐标 符号分别为 、 、 、 . 7. x 轴上的点记作 ,y 轴上的点记作 ,坐标原点记作 .x 轴、 y轴上的点不属于 象限. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 下列表述中,不能确定位置的是 ( ) A. 教室内的第4排第2列 B. 东经100°,北纬45° C. 包河大道12号 D. 南偏西40° 确定平面上点的位置需要两个数据,缺一 不可. 解答: 解有所悟:确定平面上点的位置的基本方法如下: ① 排号定位法,如几排几列等;② 区域定位法,如 B3,E4等;③ 方位角、距离定位法,如北偏东30° 10 km处等;④ 经纬度定位法,如东经117°,北纬 32°等.确定平面内点的位置要两个数据,单独一个 数据不能确定平面内点的位置. 典例2(教材P12习题11.1第4题变式)(攀枝 花中考)若点A(-a,b)在第一象限,则点B(a, b)在 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 由点A 在第一象限,可得-a>0,且b> 0,进而可得a,b的符号,再由a,b的符号即可 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级 拍 照 批 改 51 判断点B 所在的象限. 解答: 解有所悟:当两点的坐标含有相同的字母时,可由 一点所在象限判断另一点所在象限.这时,可先由 一点所在象限的坐标特征列出不等式(组)求出字 母的取值范围,再由这个取值范围,确定另一点所 在象限. 典例3 已知点M(3a-2,a+6). (1) 若点M 在x轴上,求点M 的坐标; (2) 若点 N 的坐标为(2,5),且直线 MN∥ x轴,求点M 的坐标. (1) 根据x 轴上的点的坐标特征列方程 求解;(2) 根据平行于x 轴的直线上的点的坐 标特征列方程求解. 解答: 解有所悟:(1) 若点在x 轴上,则纵坐标为0;若点 在y轴上,则横坐标为0.(2) 若直线平行于x 轴, 则此直线上的点的纵坐标相等;若直线平行于y轴, 则此直线上的点的横坐标相等. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 如果会议室“4 排 6 号”记作(4,6),那么 “3排2号”记作 ( ) A. (2,3) B. (3,2) C. (-2,-3) D. (-3,-2) 2. 在平面直角坐标系中,点M(2024,-2025) 位于 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 褐马鸡是我国的珍稀鸟类,如图是保护褐马 鸡宣传牌上利用网格画出的褐马鸡的示意 图.若建立适当的平面直角坐标系,表示嘴 部点A 的坐标为(-3,2),表示尾部点B 的 坐标为(2,0),则表示足部点C 的坐标为 ( ) 第3题 A. (0,1) B. (-1,-1) C. (0,-2) D. (0,-1) 4. 在平面直角坐标系中,AB∥y轴,AB=5,点 A 的坐标为(-5,3),则点B 的坐标为 ( ) A. (-5,8) B. (0,3) C. (-5,8)或(-5,-2) D. (0,3)或(-10,3) 5. (教材P10例4变式)如图,学校在李老师家 的南偏东30°方向,距离是500m,则李老师 家在学校的 ( ) 第5题 A. 北偏东30°方向,相距500m处 B. 北偏西30°方向,相距500m处 C. 北偏东60°方向,相距500m处 D. 北偏西60°方向,相距500m处 6. 在平面直角坐标系中,一个长方形三个顶点 的坐标分别为(-2,2),(-2,1),(3,2),则 第四个顶点的坐标为 ( ) A. (2,3) B. (3,-1) C. (3,1) D. (5,-1) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 52 7. 已知点P 在第四象限,且到x 轴的距离是 3,到y 轴的距离是2,则点 P 的坐标为 . 8. 小英将“传”“承”“文”“明”四个字写在如图 所示的方格纸中,若建立平面直角坐标系 后,“传”“明”的坐标分别为(-1,1),(1,0), 则“文”的坐标为 . 第8题 答案讲解 9. 若点P(2x,3x-1)到两坐标轴的 距离之和为5,则x= . 10. 已知点P(2m-6,m+1),试分别根据下列 条件写出点P 的坐标. (1) 点P 在y轴上; (2) 点P 的纵坐标比横坐标大5; (3) 点P 到x 轴的距离与到y 轴的距离 相等. [综合提升] 答案讲解 11. 在平面直角坐标系中,对于P,Q 两点给出如下定义:若点 P 到 x轴、y 轴的距离中的最大值等于 点Q 到x轴、y轴的距离中的最大值,则称 P,Q 两点为“等距点”.如P(3,3),Q(-3, -2)两点即为“等距点”. (1) 已知点A 的坐标为(-3,1). ① 在点E(0,3),F(3,-3),G(2,-5)中, 与点A 为“等距点”的是点 ; ② 若点B 的坐标为(m,m+6),且A,B 两 点为“等距点”,则点B的坐标为 . (2) 若T1(-1,-k-3),T2(4,4k-3)两 点为“等距点”,求k的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级