专题5 整式的化简求值-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（沪科版2024）

34 专题五　整式的化简求值 整式的化简求值题,一般情况下应先化简,再代值.代值时,若直接给定字母的值,则直接代 入求值;若给定某个式子的值,则往往需整体代入求值,或者将所给式子化简变形后,再直接或整 体代入求值. 类型一 先化简、再直接代入求值 1. 先化简,再求值: (1) (5a2+2a-1)-4(3-8a+2a2),其中a 是最大的负整数; (2) 3 2m- 5 2m-1 +3(4-m),其中m 的 倒数等于它本身; (3) (a+2b)(a-2b)+(a+2b)2-a(2a- 3b),其中a=15 ,b=3; (4) (2x-1)2-(3x+1)(3x-1)+5x(x+ 1),选取一个你喜欢的数作为x 的值代入 求值. 2. 已知|x|=2y,y= 1 2 ,且xy<0,求代数式 4(2x2y-xy2)-2(2xy2+3x2y)的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级 拍 照 批 改 35 3. 已知|a-3|+(b+1)2=0,求代数式(a- 3b)(3a+2b)-2b(5a-3b)的值. 4. 已知单项式-2xm+4y2和x3y的积与7x6y3 是同类项,求2m2(3-m)-2(m2-m3)+1 的值. 类型二 先化简、再整体代入求值 5. 先化简,再求值:(a-2)2+b(b-2a)+ 4(a-1),其中(a-b)2=2. 6. 已知2x-8y=1,xy=5,求(6xy+9y)- [8x-(5xy-y+6x)]的值. 7. 先化简,再求值:2xy(x3y+3x)+xy· (x3y-x),其中x2y=3. 8. 先化简,再求值:(x+4)(x-4)+(x-3)2, 其中x2-3x+1=0. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 36 类型三 化简说理 9. 有一道题:计算(2x3-3x2y-2xy2)- (x3-2xy2+y2)+(3x2y-x3-y2)的值, 其中x=12 ,y=-2.在计算的过程中,小芳 错把“x=12 ”写成“x=2”;小玲错把“y= -2”写成“y=2”,但她们的计算结果却都是 正确的,你能找出其中的原因吗? 答案讲解 10. 新考法 探究题 我们知道,关于 x,y 的多项式(ax2-3x+by- 1)-23-y- 3 2x+x 2 中,a,b分 别是ax2 项和by 项的系数.一般情况下, 当给定a,b的值之后,这个多项式的值由 x,y的取值确定. (1) 给定a=3,b=2,当x=y=1时,求这 个多项式的值. (2) 是否存在实数a,b,不管x,y 取何值, 该多项式的值始终是一个常数? 如果存 在,请求出a,b的值;如果不存在,请说明 理由. 11. 已知多项式P=(x+2)2+x(1-x)-9(x 为整数).试说明:多项式P 能被5整除. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级 9 专题四　方程（组）与不等式 在实际生活中的应用 1. B 2. A 3. C 4. 1000 5x +2= 1200 4x 5. 2.5 6. 设这家文具店中这种大笔记本每本的价格是x 元,则 小笔记本每本的价格是(x-3)元.根据题意,得4x+ 6(x-3)=62,解得x=8.所以这家文具店中这种大笔记 本每本的价格是8元. 7. (1) 设甲工程队单独完成此项工程需要x天.由题意, 得 1 x+ 1 1.5x ×15+5x=1,解得x=30.经检验,x= 30是原方程的解,且符合题意.所以1.5x=45.所以乙 工程队单独完成此项工程需要45天.(2) 甲、乙两个工 程队合作完成,需要1÷ 130+ 1 45 =18(天),(7000+ 4000)×18=198000(元).所以打通这条隧道的施工费用 是198000元. 8. (1) 设足球和跳绳的单价分别为x 元、y 元.由题意, 得 12x+10y=1400, 10x+12y=1240, 解得 x=100 , y=20. 所以足球和跳绳的 单价分别为100元、20元.(2) 由题意,得80a+15b= 1800(a>15),因为180080 =22.5 ,所以易得15<a≤22.当 a=16时,b=1043 (不合题意,舍去);当a=17时,b= 88 3 (不合题意,舍去);当a=18时,b=24;当a=19时, b=563 (不合题意,舍去);当a=20时,b=403 (不合题意, 舍去);当a=21时,b=8;当a=22时,b=83 (不合题意, 舍去).所以有两种方案,方案一:购进足球18个,跳绳 24根;方案二:购进足球21个,跳绳8根.(3) 方案一的利 润为(100-80)×18+(20-15)×24=480(元),方案二的 利润为(100-80)×21+(20-15)×8=460(元).因为 480>460,所以为了获利最多,应选择方案一,即购进足球 18个,跳绳24根. 利用枚举法求二元一次方程的整数解 二元一次方程的解有无数组,但在限定条件下往 往可以求出其整数解.求二元一次方程的整数解,在问 题不是特别复杂的情况下,可以采用枚举法,即将其中 的一个未知数可以取的整数一一列举出来,求出对应 的另一个未知数的值,并找出符合题意的整数解.本题 就是在已知a的取值范围的条件下,列举出所有符合 条件的整数值,通过计算求出b的值,最后选取a,b均 是整数的解. 9. A 10. B 11. 8.8 12. 设购买这种型号的水基灭火器x个,则购买这种型号 的干 粉 灭 火 器 (50-x)个.根 据 题 意,得 540x+ 380(50-x)≤21000,解得x≤12.5.因为 x 为整数, 所以 x的最大值为12.所以最多可购买这种型号的水基 灭火器12个. 13. (1) 设该班胜x场,负y场.根据题意,得 x+y=15, 3x+y=39, 解得 x=12, y=3. 答:该班胜12场,负3场.(2) 设该班在这场 比赛中投中了m 个3分球,则投中(27-m)个2分球.根 据题意,得3m+2(27-m)≥58,解得m≥4.所以m 的最 小值为4.答:该班在这场比赛中至少投中了4个3分球. 14. (1) 根据题意,得 a-b=2, 3b-2a=6, 所以 a=12 , b=10. (2) 设购 买A型设备x 台,则购买B型设备(10-x)台.所以 12x+10(10-x)≤105,解得x≤2.5.因为x 取非负整 数,所以x=0或1或2.所以有三种购买方案:① A型设 备0台,B型设备10台;② A型设备1台,B型设备9台; ③ A型设备2台,B型设备8台.(3) 由题意,得240x+ 200(10-x)≥2040,所以x≥1.又因为x≤2.5,x取非负 整数,所以x=1或2.当x=1时,购买资金为12×1+ 10×9=102(万元);当x=2时,购买资金为12×2+10× 8=104(万元).因为102<104,所以为了节约资金,应购 买A型设备1台,B型设备9台. 专题五　整式的化简求值 1. (1) 原式=5a2+2a-1-12+32a-8a2=-3a2+ 34a-13.因为a是最大的负整数,所以a=-1.当a= -1时,原式=-3×(-1)2+34×(-1)-13=-50. (2) 原式=32m- 5 2m+1+12-3m=-4m+13. 因为m 的倒数等于它本身,所以m=±1.当m=1时,原式= -4×1+13=-4+13=9;当m=-1时,原式=-4× (-1)+13=4+13=17.(3) 原式=a2-4b2+a2+4ab+ 4b2-2a2+3ab=7ab.当a=15 ,b=3时,原式=7×15× 3=215. (4) 原式=4x2-4x+1-(9x2-1)+5x2+5x= 4x2-4x+1-9x2+1+5x2+5x=x+2.选取的数不唯 一,如当x=1时,原式=1+2=3. 2. 因为|x|=2y,y= 1 2 ,且xy<0,所以x=-1.原式= 8x2y-4xy2-4xy2-6x2y=2x2y-8xy2.当x=-1, y= 1 2 时,原式=2×(-1)2×12-8× (-1)× 12 2 = 1+2=3. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 10 3. 因为|a-3|+(b+1)2=0,所以a-3=0,b+1=0. 所以a=3,b=-1.原式=3a2+2ab-9ab-6b2-10ab+ 6b2=3a2-17ab.当a=3,b=-1时,原式=3×32-17× 3×(-1)=78. 4. 原式=6m2-2m3-2m2+2m3+1=4m2+1.因为单 项式-2xm+4y2 和 x3y 的积与7x6y3 是同类项,且 -2xm+4y2·x3y=-2xm+7y3,所以 m+7=6,解得 m=-1.所以原式=4×(-1)2+1=4+1=5. 5. 原式=a2-4a+4+b2-2ab+4a-4=a2+b2- 2ab.因为(a-b)2=2,即a2+b2-2ab=2,所以原式=2. 6. 原式=6xy+9y-8x+5xy-y+6x=11xy-2x+ 8y.因为2x-8y=1,xy=5,所以原式=11×5-1=55- 1=54. 7. 原式=2x4y2+6x2y+x4y2-x2y=3x4y2+5x2y.当 x2y=3时,原式=3(x2y)2+5x2y=3×32+5×3=42. 8. 原式=x2-16+x2-6x+9=2x2-6x-7.因为x2- 3x+1=0,所以x2-3x=-1,即2x2-6x=-2.所以原 式=-2-7=-9. 9. 原式=2x3-3x2y-2xy2-x3+2xy2-y2+3x2y- x3-y2=-2y2.因为结果中不含x,所以结果与x 的取 值无关.当y=±2时,-2y2=-8,结果不变. 10. (1) a=3,b=2时,这个多项式可化简为x2+4y-7, 当x=y=1时,多项式的值为-2.(2) 存在.该多项式可 化简为(a-2)x2+(b+2)y-7.由题意,得a-2=0,b+ 2=0,解得a=2,b=-2.所以存在实数a,b,即当a=2, b=-2时,不管x,y 取何值,该多项式的值始终是常 数-7. 11. P=(x+2)2+x(1-x)-9=x2+4x+4+x-x2- 9=5x-5=5(x-1).因为x为整数,所以多项式P 能被 5整除. 专题六　因式分解的方法技巧 1. A 在提取公因式时,常出现符号错误 用提公因式法分解因式时,在提取公因式后,确定 余下的因式时常出现符号错误,一般先确定好公因式, 把公因式提出来,再对各项余下的因式进行变形、化 简、计算,确定余下的因式. 2. 10 3. -31 解析:(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)= (3x-7)(2x-21-x+13)=(3x-7)(x-8).因为把 (2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)分解因式的结果 为(3x+a)(x+b),所以(3x-7)(x-8)=(3x+a)(x+ b).所以a=-7,b=-8.所以a+3b=-7+3× (-8)=-31. 4. (1) 原式=-4xy(6x2-3x+7).(2) 原式=6(m- n)2(1-2m+2n).(3) 原式=2x(a-b)-3y(a-b)= (2x-3y)(a-b). 5. C 6. -(m+2n)2(m-2n)2 解析:原式=(4mn)2-(m2+ 4n2)2=(4mn+m2+4n2)(4mn-m2-4n2)=-(m+ 2n)2(m-2n)2. 7. 原式=[(x2+16y2)+8xy][(x2+16y2)-8xy]= (x+4y)2(x-4y)2. 8. 原式=ab(a+b)2.当a+b=3,ab=2时,原式=18. 9. C 10. (1) m2+2mn+n2+ma+na=(m2+2mn+n2)+ (ma+na)=(m+n)2+a(m+n)=(m+n+a)(m+ n).(2) x3+x2y-xy2-y3=(x3-xy2)+(x2y-y3)= x(x2-y2)+y(x2-y2)=(x+y)(x+y)(x-y)= (x+y)2(x-y).因为x+y=14,且x3+x2y-xy2- y3=0,所以142×(x-y)=0.所以x-y=0. 11. B 12. x(x+3)(x-1) 13. (a2+1)(a+2)(a-2) 14. (1) x2+6x-27=(x+9)(x-3).(2) 6x2-7x- 3=(3x+1)(2x-3).(3) 20(x+y)2+7(x+y)-6= [4(x+y)+3][5(x+y)-2]=(4x+4y+3)(5x+5y-2). 15. (m+n-7)2 16. 设x2-4x+2=y,则原式=y(y+4)+4=y2+4y+ 4=(y+2)2=(x2-4x+2+2)2=[(x-2)2]2=(x-2)4. 17. (x+2)(x-1)2 解析:原式=x3-4x+x+2= x(x+2)(x-2)+(x+2)=(x+2)(x2-2x+1)=(x+ 2)(x-1)2. 18. (1) x4+4y4=(x4+4x2y2+4y4)-4x2y2=(x2+ 2y2)2-4x2y2=(x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy). (2) a4+a2b2+b4=(a4+2a2b2+b4)-a2b2=(a2+ b2)2-(ab)2=(a2+b2+ab)(a2+b2-ab). 专题七　分式方程的增根问题 1. A 2. A 3. B 解析:因为关于x 的方程 6(x+1)(x-1)- m x-1= 1有增根,所以x+1=0或x-1=0,解得x=-1或x= 1.原方程去分母,得6-m(x+1)=(x+1)(x-1).因 为易得x=-1不是这个整式方程的根,所以只有x= 1是分式方程的增根. 4. (1) x=2.(2) 因为原分式方程的最简公分母为 2(x2+1),而2(x2+1)>0,所以解这个分式方程不会产 生增根.(3) 方程两边同乘以(x-1)(x+1),得2(x+ 1)+(x-1)=4,解得x=1.检验:当x=1时,(x-1)· (x+1)=0,所以x=1是原分式方程的增根.所以原分式 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈