专题4 方程(组)与不等式在实际生活中的应用-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（沪科版2024）

31 专题四　方程（组）与不等式在 实际生活中的应用 利用等量关系和不等关系建立方程(组)与不等式模型,从而把实际问题转化为数学问题,最 终使问题得到解决.建立方程(组)或不等式模型的难点是如何根据问题的描述剖析其中的数量 关系,挖掘出题目中的隐含条件,从而建立相等关系和不等关系. 类型一 方程（组）模型 1. 新考向 数学文化 (广西中考)《九章算术》 是我国古代重要的数学著作,其中记载了一 个问题,大意如下:现有田出租,第一年3亩 1钱,第二年4亩1钱,第三年5亩1钱.三 年共得100钱.问:出租的田有多少亩? 设出 租的田有x亩,则可列方程为 ( ) A. x 3+ x 4+ x 5=1 B. x 3+ x 4+ x 5=100 C. 3x+4x+5x=1 D. 3x+4x+5x=100 2. 新考向 数学文化 “孔子周游列国”是流传 很广的故事.有一次他和学生到离他们住的 驿站30里的书院参观,学生步行出发1小时 后,孔子坐牛车出发,牛车的速度是学生步 行速度的1.5倍,孔子和学生同时到达书院, 设学生步行的速度为每小时x里,则可列方 程为 ( ) A. 30 x= 30 1.5x+1 B. 30 x= 30 1.5x+1 C. 30 x= 30 1.5x-1 D. 30 x= 30 1.5x-1 3. (宜宾中考)某果农将采摘的荔枝分装为大 箱和小箱销售,其中每个大箱装4千克荔 枝,每个小箱装3千克荔枝.该果农现采摘 共32千克荔枝,根据市场销售需求,大、小 箱都要装满,则最多装 ( ) A. 8箱 B. 9箱 C. 10箱 D. 11箱 4. 在学校组织的一次汉字打字比赛中,“阳光” 中队的小聪输入1000个字的时间比小明输 入1200个字的时间少2分钟,小聪与小明 平均每分钟打字个数之比是5∶4.设小聪平 均每分钟打字5x个,根据题意,可列方程为 . 5. (扬州中考)《九章算术》中记载了一个追 及问题,大意如下:速度快的人每分钟走 100米,速度慢的人每分钟走60米,现在速 度慢的人先走100米,速度快的人去追他, 则速度快的人追上他需要 分钟. 6. 新情境 日常生活 (陕西中考)小红在一家 文具店买了一种大笔记本4本和一种小笔记 本6本,共用了62元.已知她买的大笔记本 每本的价格比小笔记本每本的价格贵3元, 求这家文具店中这种大笔记本每本的价格. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 32 7. 在某段高速公路修建中,需要打通一条隧 道,施工方有甲、乙两个工程队可供选择.若 甲工程队单独施工,则恰好能在规定的时间 内完成;若乙工程队单独施工,则需要的天 数是甲工程队的1.5倍;若甲、乙两个工程 队合作15天,余下的任务甲工程队单独完 成,则仍需要5天. (1) 乙工程队单独完成此项工程需要多 少天? (2) 经过预算,甲工程队每天的施工费用 是7000元,乙工程队每天的施工费用是 4000元,为了尽可能缩短施工时间,施工方 打算让两个工程队合作完成,那么打通这条 隧道的施工费用是多少? 答案讲解 8. ★ 新情境 日常生活 为了锻炼, 很多同学准备购买足球、跳绳. (1) 某校七(1)班有部分同学准备 统一购买足球和跳绳.经班长统计,需要购 买足球的有12名同学,需要购买跳绳的有 10名同学.请你根据如图所示的对话信息分 别求出足球和跳绳的单价. (2) 由于足球和跳绳的需求量增大,体育用 品商店计划再次购进足球a 个和跳绳b根 (其中a>15),恰好用了1800元,其中每个 足球的进价为80元,每根跳绳的进价为15元, 则有哪几种购进方案? (3) 假如(2)中所购进的足球和跳绳全部售 出,且售价与(1)中的单价相同,为了获利最 多,应选择哪种购进方案? 第8题 类型二 不等式模型 9. (丽水中考)小霞原有存款52元,小明原有存 款70元.从这个月开始,小霞每月存15元零 花钱,小明每月存12元零花钱,设经过n个 月后小霞的存款超过小明,可列不等式为 ( ) A. 52+15n>70+12n B. 52+15n<70+12n C. 52+12n>70+15n D. 52+12n<70+15n 答案讲解 10. 某单位为响应政府号召,需要购 买6个分类垃圾桶,市场上有A型 和B型两种分类垃圾桶,A型分类 垃圾桶为500元/个,B型分类垃圾桶为 550元/个,总费用不超过3100元,则不同 的购买方式有 ( ) A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级 33 11. (广东中考)某商品的进价为4元/件,标价 5元/件出售,商家准备打折销售,但其利润 率不能少于10%,则最多可打 折. 12. (山西中考)为加强校园消防安全,学校计 划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火 器共50个.其中水基灭火器的价格为 540元/个,干粉灭火器的价格为380元/个. 若学校购买这两种灭火器的总价不超过 21000元,则最多可购买这种型号的水基 灭火器多少个? 13. 某校利用课后服务时间,在八年级开展班 级篮球赛,共16个班级参加. (1) 比赛积分规定:每场比赛都要分出胜 负,胜一场积3分,负一场积1分.某班在 15场比赛中获得的总积分为39分,则该班 胜多少场? 负多少场? (2) 投篮评分规则如下:在3分线外投篮, 投中一球可得3分,在3分线内(含3分线) 投篮,投中一球可得2分.某班在其中一场 比赛中,共投中27个球,所得总分不低于 58分,则该班在这场比赛中至少投中了多 少个3分球? 答案讲解 14. 新情境 日常生活 某治污公司决 定购买10台污水处理设备.现有 A,B两种型号的设备,其中每台的 价格及月处理污水量如下表: 型 号 A型 B型 每台的价格/万元 a b 月处理污水量/吨 240 200 经调查:购买1台 A型设备比购买1台 B型设备贵2万元,购买2台A型设备比购 买3台B型设备便宜6万元. (1) 求a,b的值. (2) 经预算,该治污公司购买污水处理设备 的资金不超过105万元,该治污公司有哪几 种购买方案? (3) 在(2)的条件下,若每月要求处理的污 水量不少于2040吨,为了节约资金,请你 为该治污公司设计一种最省钱的购买 方案. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 9 专题四　方程（组）与不等式 在实际生活中的应用 1. B 2. A 3. C 4. 1000 5x +2= 1200 4x 5. 2.5 6. 设这家文具店中这种大笔记本每本的价格是x 元,则 小笔记本每本的价格是(x-3)元.根据题意,得4x+ 6(x-3)=62,解得x=8.所以这家文具店中这种大笔记 本每本的价格是8元. 7. (1) 设甲工程队单独完成此项工程需要x天.由题意, 得 1 x+ 1 1.5x ×15+5x=1,解得x=30.经检验,x= 30是原方程的解,且符合题意.所以1.5x=45.所以乙 工程队单独完成此项工程需要45天.(2) 甲、乙两个工 程队合作完成,需要1÷ 130+ 1 45 =18(天),(7000+ 4000)×18=198000(元).所以打通这条隧道的施工费用 是198000元. 8. (1) 设足球和跳绳的单价分别为x 元、y 元.由题意, 得 12x+10y=1400, 10x+12y=1240, 解得 x=100 , y=20. 所以足球和跳绳的 单价分别为100元、20元.(2) 由题意,得80a+15b= 1800(a>15),因为180080 =22.5 ,所以易得15<a≤22.当 a=16时,b=1043 (不合题意,舍去);当a=17时,b= 88 3 (不合题意,舍去);当a=18时,b=24;当a=19时, b=563 (不合题意,舍去);当a=20时,b=403 (不合题意, 舍去);当a=21时,b=8;当a=22时,b=83 (不合题意, 舍去).所以有两种方案,方案一:购进足球18个,跳绳 24根;方案二:购进足球21个,跳绳8根.(3) 方案一的利 润为(100-80)×18+(20-15)×24=480(元),方案二的 利润为(100-80)×21+(20-15)×8=460(元).因为 480>460,所以为了获利最多,应选择方案一,即购进足球 18个,跳绳24根. 利用枚举法求二元一次方程的整数解 二元一次方程的解有无数组,但在限定条件下往 往可以求出其整数解.求二元一次方程的整数解,在问 题不是特别复杂的情况下,可以采用枚举法,即将其中 的一个未知数可以取的整数一一列举出来,求出对应 的另一个未知数的值,并找出符合题意的整数解.本题 就是在已知a的取值范围的条件下,列举出所有符合 条件的整数值,通过计算求出b的值,最后选取a,b均 是整数的解. 9. A 10. B 11. 8.8 12. 设购买这种型号的水基灭火器x个,则购买这种型号 的干 粉 灭 火 器 (50-x)个.根 据 题 意,得 540x+ 380(50-x)≤21000,解得x≤12.5.因为 x 为整数, 所以 x的最大值为12.所以最多可购买这种型号的水基 灭火器12个. 13. (1) 设该班胜x场,负y场.根据题意,得 x+y=15, 3x+y=39, 解得 x=12, y=3. 答:该班胜12场,负3场.(2) 设该班在这场 比赛中投中了m 个3分球,则投中(27-m)个2分球.根 据题意,得3m+2(27-m)≥58,解得m≥4.所以m 的最 小值为4.答:该班在这场比赛中至少投中了4个3分球. 14. (1) 根据题意,得 a-b=2, 3b-2a=6, 所以 a=12 , b=10. (2) 设购 买A型设备x 台,则购买B型设备(10-x)台.所以 12x+10(10-x)≤105,解得x≤2.5.因为x 取非负整 数,所以x=0或1或2.所以有三种购买方案:① A型设 备0台,B型设备10台;② A型设备1台,B型设备9台; ③ A型设备2台,B型设备8台.(3) 由题意,得240x+ 200(10-x)≥2040,所以x≥1.又因为x≤2.5,x取非负 整数,所以x=1或2.当x=1时,购买资金为12×1+ 10×9=102(万元);当x=2时,购买资金为12×2+10× 8=104(万元).因为102<104,所以为了节约资金,应购 买A型设备1台,B型设备9台. 专题五　整式的化简求值 1. (1) 原式=5a2+2a-1-12+32a-8a2=-3a2+ 34a-13.因为a是最大的负整数,所以a=-1.当a= -1时,原式=-3×(-1)2+34×(-1)-13=-50. (2) 原式=32m- 5 2m+1+12-3m=-4m+13. 因为m 的倒数等于它本身,所以m=±1.当m=1时,原式= -4×1+13=-4+13=9;当m=-1时,原式=-4× (-1)+13=4+13=17.(3) 原式=a2-4b2+a2+4ab+ 4b2-2a2+3ab=7ab.当a=15 ,b=3时,原式=7×15× 3=215. (4) 原式=4x2-4x+1-(9x2-1)+5x2+5x= 4x2-4x+1-9x2+1+5x2+5x=x+2.选取的数不唯 一,如当x=1时,原式=1+2=3. 2. 因为|x|=2y,y= 1 2 ,且xy<0,所以x=-1.原式= 8x2y-4xy2-4xy2-6x2y=2x2y-8xy2.当x=-1, y= 1 2 时,原式=2×(-1)2×12-8× (-1)× 12 2 = 1+2=3. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈