8.1.1 函数的零点课件-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

8.1.1 函数的零点 第八章 课程标准 新课标解读 学习目标 核心素养 1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系. 2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理. 1.理解函数的零点的概念以及函数的零点与方程根的关系.(重点) 2.会求函数的零点.(重点、难点) 3.掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数.(难点) 通过学习本节内容,提升学生的数学运算和逻辑推理的数学核心素养. 函数的零点是什么 函数的零点是沟通函数、方程、图像的一个重要媒介,渗透着等价转化、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,是一个考察学生综合素质的知识点.近几年的数学高考中频频出现零点问题,其形式逐渐趋于多样化。 导入 0 实数解 横坐标 x 4 新课 4 例 求下列函数的零点: 1. y = – 3x – 2 2. y = x2 – 5x + 4 3. y = x3 – 8x 结论: 由于函数的零点是对应方程的根,所以求函数的零点就是解与函数相对应的方程, 一元一次方程可直接移项求解, 一元二次方程可用求根公式, 简单的高次方程可用因式分解去求. 课堂检测 思考问题:给了我们一个函数怎样去求它的零点? 6 新课 函数零点存在性定理 6 7 新课 f(a)f(b)<0 (a,b) 思考: 1、如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,则 命题 函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点 是 命题 f(a) f(b)<0 的什么条件? 2、零点周围函数值是否一定变号? 7 典例 例 证明:函数f(x)=x3+x2+1在区间(-2,-1)上存在零点. 证明 因为f(-2)=(-2)3+(-2)2+1=3<0, f(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1>0, 且函数f(x)在区间[-2,-1]上的图象是不间断的, 所以函数f(x)在区间(-2,-1)上存在零点. 9 交流研讨 思考 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,并且有f(a) f(b)<0,满足了上述两个条件后,函数的零点是唯一的吗?还要添加什么条件可以保证函数有唯一零点? 9 展示提升 1 2 展示提升 展示提升 (3)已知关于x的一元二次方程(x-1)(3-x)=a-x(a∈R),试讨论方程实数根的个数. 展示提升 14 展示提升 14 15 展示提升 15 16 小结 16 课堂小结 1、学习了零点的定义及其求法,利用函数的零点作出函数的简图. 2、学习了函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数. 3、思想方法:主要有转化思想,数形结合的思想. 回忆总结: 1、本节课学习哪些知识? 2、在学习中你体会到了哪些数学思想方法? 1.函数的零点的定义 一般地,我们把使函数y=f(x)的值为 的实数x称为函数y=f(x)的零点. 2.方程、函数、图象之间的关系(数形结合) (1)函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的 . (2)函数y=f(x)的零点就是它的图象与 轴交点的 . 例1 判断函数f(x)=x2-2x-1在区间(2,3)上是否存在零点. 【解析】 如图所示,因为f(2)=-1<0,f(3)=2>0,而二次函数f(x)=x2-2x-1在区间[2,3]上的图象是不间断的,这表明此函数图象在区间(2,3)上一定穿过x轴,即函数在区间(2,3)上存在零点. 零点存在性定理 若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,且_,则函数y=f(x)在区间 上有零点. 【解析】 函数零点不一定唯一,由下图可知,还需添加函数y=f(x)在区间[a,b]上单调. (1)函数f(x)=ex-3的零点个数为_. (2)函数f(x)=ln x-eq \f(1,x-1)的零点个数为_. (2)在同一坐标系中画出y=ln x与y=eq \f(1,x-1)的图象,如图所示,函数y=ln x与y=eq \f(1,x-1)的图象有两个交点,所以函数f(x)=ln x-eq \f(1,x-1)的零点个数为2. (3)[解] 法一:原方程化为-x2+5x-3=a. 令f(x)=-x2+5x-3,g(x)=a. 作函数f(x)=-x2+5x-3的图象,抛物线的开口向下,顶点的纵坐标为eq \f(12-25,4 -1 )=eq \f(13,4),画出如图所示的简图: 由图象可以看出: ①当a>eq \f(13,4)时,方程没有实数根; ②当a=eq \f(13,4)时,方程有两个相等的实数根; ③当a<eq \f(13,4)时,方程有两个不相等的实数根. 法二:原方程化为x2-5x+3+a=0. =25-4(3+a)=-4a+13. ①当 <0,即a>eq \f(13,4)时,方程没有实数根; ②当 =0,即a=eq \f(13,4)时,方程有两个相等的实数根; ③当 >0,即a<eq \f(13,4)时,方程有两个不相等的实数根. 求函数零点个数的常用方法: (1) 解方程f(x)=0,方程f(x)=0解的个数就是函数f(x)零点的个数. (2) 直接作出函数f(x)的图象,图象与x轴交点的个数就是函数f(x)零点的个数. (3) 化函数的零点个数问题为方程g(x)=h(x)的解的个数问题,在同一坐标系下作出y=g(x)和y=h(x)的图象,利用图象判定方程根的个数. (4) 若证明一个函数的零点唯一,也可先由零点存在性定理判断出函数有零点,再证明该函数在定义域内单调. $$