江苏省南京市秦淮中学2025年高一暑假作业之平面向量综合复习

2025年南京市秦淮中学高一暑假作业之 平面向量综合复习 一：单选题 1.如图，在中，令，，D，E分别是BC，AC上的点，且满足，则（       ） A．4 B．3 C．2 D．1 2.已知，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3.非零向量，夹角为，且，则的最大值为（       ） A．2 B．1 C． D． 4. 设，是平面内的一组基底，，，，则共线的三点为（ ） A. B. C. D. 5.已知平面向量，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，若在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. 60° B. 120° C. 135° D. 150° 7.如图，在等边中，，点P为边BC上的一动点，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. （第7题图） （第8题图） 8.如图，为等腰直角三角形，为斜边上的高，点在射线上，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 9.在平面四边形中，，若点为边上的动点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 10.若平面向量两两夹角相等，且，则（ ） A. 2 B. 5 C. 2或5 D. 或 11.以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为“勒洛三角形”．在如图所示的勒洛三角形中，已知，点P在上，且，则（ ） A. B. C. D. 12.在中，，，，P为线段AB上的动点，且，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题 13. 已知向量，，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则与的夹角为钝角 D. 当时，则在上的投影向量的坐标为 14.设是三个非零向量，则下列命题正确的有（ ） A. B. C. 不与垂直 D. 15. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 三：填空题 16. 已知向量，的夹角为，，，则______. 17.已知在△ABC中，点M满足，若存在实数m使得成 立，则m＝________. 18. 已知，平面上动点满足对任意恒成立，则的最小值为______，此时______. 四：解答题 19.已知平面向量，．（1）若，求实数的值； （2）若，求与的夹角． 20. 已知，，与的夹角为.（1）若与共线，求实数的值；（2）求的值；（3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 21.已知是坐标原点，向量，，．（1）若，求实数的值；（2）当取最小值时，求的面积． 22.如图，在梯形中，为线段中点，记（1）用表示向量；（2）求的值；（3）求与夹角的余弦值. 23.在中，．（1）若，求的值；（2）设向量，，且，求的值． 平面向量综合复习（高一暑假作业） 1.如图，在中，令，，D，E分别是BC，AC上的点，且满足，则（       ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】设， 则，，， ，又，所以，解得，所以 2.已知，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设与的夹角为，，因为，， 所以， 解得：，因为，所以.故选：A. 3.非零向量，夹角为，且，则的最大值为（       ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】由可得，即， ，可得，当且仅当时取等；又，故的最大值为. 4. 设，是平面内的一组基底，，，，则共线的三点为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，是平面内的一组基底，，，， 因为，，，则与，与，与不共线， 所以不共线，不共线，不共线，故排除ABC， 注意到， 即，所以点是线段的中点，故D符合题意.故选：D. 5.已知平面向量，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】】，，则，， 故在方向上的投影向量为：.故选：B 6. 已知，，若在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. 60° B. 120° C. 135° D. 150° 【答案】B 【解析】易知在上的投影向量为， 而，所以与的夹角为.故选：B 7.如图，在等边中，，点P为边BC上的一动点，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意在等边中，，设， 则 ， 当时，取到最小值，故选：B 8.如图，为等腰直角三角形，为斜边上的高，点在射线上，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，设，则， 所以当时，取得的最小值为.故选：B . 9.在平面四边形中，，若点为边上的动点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因，则以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图， 过点C作于G，作于F，因，则， 即，于是有，，则， 而，则有，设， ，，当时，，所以的最小值为.故选：A 10.若平面向量两两夹角相等，且，则（ ） A. 2 B. 5 C. 2或5 D. 或 【答案】C 【解析】因为平面向量，，两两的夹角相等，所以夹角有两种情况，即，，两两的夹角为或,当夹角为时，； 当夹角为时， ； 综上所述：或.故选：C． 11.以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为“勒洛三角形”．在如图所示的勒洛三角形中，已知，点P在上，且，则    A. B. C. D. 【答案】A  【解析】如图，以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，垂直于BC方向为y轴，建立平面直角坐标系，因为，，所以，即，且，所以， 所以故选： 12.在中，，，，P为线段AB上的动点，且，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】设，，因为，由正弦定理可得，的面积为，因此，解得，，，， ，， 又、P、B三点共线，，且P为线段AB上的动点，可知，， ，当且仅当，即时，等号成立，的最小值为故选： 二、多选题 13. 已知向量，，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则与的夹角为钝角 D. 当时，则在上的投影向量的坐标为 【答案】BD 【解析】向量，，对于A，由，得，解得，A错误； 对于B，由，得，解得，B正确； 对于C，当时，反向共线，夹角为，此时与的夹角不为钝角，C错误； 对于D，当时，，， 因此在上的投影向量为，D正确.故选：BD 14.设是三个非零向量，则下列命题正确的有（ ） A. B. C. 不与垂直 D. 【答案】BD 【解析】对于A：因为表示与共线的向量，表示与共线的向量， 当与不共线，且时，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C，， 所以与垂直，故C错误； 对于D：当、不共线时，所以、、组成三角形的三边，所以， 当、同向时，当、反向时， 又，，所以，故D正确.故选：BD. 15. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】AD 【解析】，，故A正确； ， ，即， 相加得， 解得，， ， 故BC错误； , 在上的投影向量为,故D正确； 故选：AD. 三：填空题 16. 已知向量，的夹角为，，，则______. 【答案】 【解析】 . 17.已知在△ABC中，点M满足，若存在实数m使得成 立，则m＝________. 【答案】3 【解析】 方法一　∵∴点M是△ABC的重心．∴，∴m＝3. 方法二　在△ABC中，，，若成立，则(－)＋(－)＝m成立，整理得，＋＋(m－2)＝0，由已知可得，m－2＝1，即m＝3. 18. 已知，平面上动点满足对任意恒成立，则的最小值为______，此时______. 【答案】 ①. 7 ②. 8 【解析】 设直线上有一动点，满足，则， 由此可得点到直线的距离为，再由极化恒等式，取中点为，可得，此时如图：，则，故答案为：①,② 四：解答题 19.已知平面向量，．（1）若，求实数的值； （2）若，求与的夹角． 【详解】（1），， ，，，解得； （2）时，，，， 设与的夹角为，则，且，，． 20. 已知，，与的夹角为.（1）若与共线，求实数的值；（2）求的值；（3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【解析】【小问1详解】因为与共线，所以存在实数使得，所以，解得，所以； 【小问2详解】因为，，与的夹角为， 所以， 所以，则； 【小问3详解】向量与的夹角是锐角， 可得，且与不同向共线， 即为，即有，解得， 由与共线，可得，解得，当时，两者同向共线，则实数的取值范围为. 21.已知是坐标原点，向量，，．（1）若，求实数的值；（2）当取最小值时，求的面积． 【答案】见解析 【详解】（1）因为，，，所以，， 又因为，所以，即， 也即，解得或，则所求实数的值为3或5． （2）由（1）知， 当时，取最小值，此时，，则，又在中，， 则， 则的面积为． 22.如图，在梯形中，为线段中点，记（1）用表示向量；（2）求的值；（3）求与夹角的余弦值. 【答案】（1）. （2）由于，可得，又有， 所以. （3）由于，可得，又有， 所以， 由，可得，. 23.在中，．（1）若，求的值；（2）设向量，，且，求的值． 【详解】（1），因为，所以， 所以． 因为，所以， 设三个内角，，所对的边分别为，，，则，又，故，由正弦定理可得，等式两边同时除以得，则， 解得或．当时，，则， 又，矛盾．所以． （2）因为，所以， 所以， 所以，即，又，所以或， 当时，由 1 知，由正切函数单调性可得， 所以，又，于是，矛盾．所以， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $$