精品解析：上海市延安实验初级中学2024-2025学年八年级下学期数学期中试卷

2024学年第二学期初二年级数学学科期中试卷 一、选择题{每题3分，共18分} 1. 函数的图像不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 如图，平行四边形中，两对角线交于点，，，，则对角线的长为（ ） A. B. C. D. 3. 化简的结果等于（ ） A. B. C. D. 4. 菱形的对角线、相交于，下列条件能判断菱形是正方形的是（ ） A. B. C. D. 5. 顺次联结一个四边形的四条边的中点得到一个菱形，那么原四边形可能是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 梯形 6. 我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比值叫做梯形的纵横比．如果一个腰长为13的等腰梯形，底差等于10，面积为108，那么这个等腰梯形的纵横比等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（每题2分，共24分） 7. 直线在y轴上的截距是________________. 8. 在一次函数中，随的增大而增大，的取值范围是________． 9. 若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为___________度． 10. 一次函数的图象如图所示，那么不等式的解集为________． 11. 如图，矩形中，对角线、相交于，那么图中的相反向量是________． 12. 某城市出租汽车收费标准为；3千米以内（含3千米）收14元，超出3千米的部分，每千米收费1.6元．那么车费元与行驶路程千米之间的函数关系式为________． 13. 已知一菱形的两条对角线长分别是方程的两根，则菱形的面积是_________． 14. 如果直线与两坐标轴所围成的三角形面积是4，则的值为_____． 15. 如图，是平行四边形的对角线，点、在上，要使四边形是平行四边形，还需要增加的一个条件是________（只要填写一种情况）． 16. 如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，那么图中阴影部分的面积是________． 17. 如图：菱形的顶点坐标为，顶点在轴的正半轴上，反比例函数的图像经过顶点，则的值为________． 18. 如图，在中，，，，点在边上，过点作于，交边于点，将沿直线翻折，点、分别与点、对应，如果四边形是平行四边形，那么的长是________． 三、简答题（第19、20、21每题6分，第22、23每题7分，共32分） 19. 如图，在平行四边形中． （1）作的平分线交于E；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）． （2）按（1）作图所示，若，，求的长． 20. 已知，直线与直线平行，且经过点，直线交轴于点． （1）求直线的表达式． （2）轴上一点，若为等腰三角形，求点的坐标． 21. 如图，在四边形中，，点是对角线的中点，的延长线与相交于点，设，，． （1）试用向量，，表示下列向量：________；________； （2）求作：．（保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法） 22. “双十一”甲、乙两家商店为招揽顾客推出优惠活动；甲商店所购商品全按原价打八折；乙商店所购商品接原价每满200元减50元．设顾客在甲、乙两家商店购买商品原价都为元， （1）请直接写出当时，顾客在乙商店实际付款金额元与原价元之间函数关系式为_____． （2）若顾客购买原价在350元以下的商品时，如果分别选择甲、乙两家商店的优惠活动后，实际付款金额相等，求的值． （3）若顾客购买原价在600元以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求的取值范围． 23. 如图，已知在梯形中，，，，． （1）如果，求证：四边形是等腰梯形； （2）求的长． 四、解答题（24题8分，25题9分，26题9分，共26分） 24. 如图，已知在平行四边形中，点，分别是，的中点，，与对角线分别相交于点，，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，求证：四边形是菱形． 25. 如图，点A的坐标为，点B、C在x轴上，且轴，，直线与y轴交于点D，E是直线上的一个动点． （1）求直线的表达式； （2）当点E在线段上，联结，如果的面积是面积的一半，求点E的坐标； （3）设点F是平面内一点，如果以A、E、B、F为顶点的四边形为正方形，试求出点F的坐标． 26. 已知等边中，，点为射线上一动点，以为边作等边，且点与点在直线的同侧，过点作，与直线、分别相交于点、． （1）若在边上时 ①求证：四边形是平行四边形； ②设，，求关于的函数解析式，（不需要写出函数定义域）； （2）当时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期初二年级数学学科期中试卷 一、选择题{每题3分，共18分} 1. 函数的图像不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，根据k与b的值求出该一次函数的图像的位置是解题的关键． 根据一次函数的k与b的值即可知道该一次函数的图像经过哪些象限． 【详解】解：由题意可知：，， ，， 该一次函数的图像经过第一、三、四象限，即不经过第二象限， 故选：B． 2. 如图，平行四边形中，两对角线交于点，，，，则对角线的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，先根据平行四边形的性质得，，，再运用勾股定理算出，以及，进行作答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， 则， 在中，， ∴， 故选：D 3. 化简的结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了的向量的加减，解题的关键是掌握向量的加减运算法则． 根据向量的加减运算法则进行计算即可． 【详解】 ， ， ， 故选：D． 4. 菱形的对角线、相交于，下列条件能判断菱形是正方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，正方形的判定，对角线相等的菱形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形，据此结合菱形的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、，则，此时并不能证明菱形是正方形，不符合题意； B、，可得，此时并不能证明菱形是正方形，不符合题意； C、，本身是菱形具有的性质，此时并不能证明菱形是正方形，不符合题意； D、，由菱形的性质可得，则，则，能证明菱形是正方形，符合题意； 故选：D． 5. 顺次联结一个四边形的四条边的中点得到一个菱形，那么原四边形可能是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 梯形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，菱形和矩形的性质．根据三角形中位线定理以及菱形的性质，可得原四边形的对角线相等，即可求解． 【详解】解：如图，四边形的四边中点分别为，且四边形为菱形，连接四边形对角线， ∵中点分别为， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， 即原四边形的对角线相等， 故符合题意的是矩形． 故选：C 6. 我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比值叫做梯形的纵横比．如果一个腰长为13的等腰梯形，底差等于10，面积为108，那么这个等腰梯形的纵横比等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查勾股定理，矩形的判定和性质、梯形中位线定理，正确理解题意确定各线之间的数量及关系是解题的关键． 作于E，于F，根据底差等于10求出，利用勾股定理求出高的长，利用梯形面积公式求出，由此得到梯形中位线的长，即可得到答案． 【详解】解：如图，由题意得：在等腰梯形中，，， 作于E，于F，则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵梯形面积， ∴， ∴， ∴梯形的中位线， ∴这个等腰梯形的纵横比=， 故选：B． 二、填空题：（每题2分，共24分） 7. 直线在y轴上的截距是________________. 【答案】 【解析】 【分析】求出直线与y轴交点坐标，纵坐标即为在y轴上的截距． 【详解】解：时，，直线与y轴交于点，故在y轴上的截距为； 故答案为： 【点睛】本题考查截距的定义，确定直线与坐标轴交点坐标；运用方程确定直线与坐标轴交点坐标是解题的关键． 8. 在一次函数中，随的增大而增大，的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键．根据一次函数的增减性可得，由此即可得． 【详解】解：∵在一次函数中，随的增大而增大， ∴， 解得， 故答案为：． 9. 若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为___________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和、多边形的外角和，首先根据正多边形的每个外角都相等都是，可以求出多边形的边数是，再根据多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：多边形的外角和是，正多边形的每个外角都相等， 多边形的边数为， 这是一个正边形， 这个正多边形的内角和为． 故答案为：. 10. 一次函数的图象如图所示，那么不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．不等式表示的是一次函数的图象位于轴的下方，结合函数图象求解即可得． 【详解】解：不等式表示的是一次函数的图象位于轴的下方， 结合函数图象可知，不等式的解集为， 故答案为：． 11. 如图，矩形中，对角线、相交于，那么图中的相反向量是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面向量，矩形的性质，根据矩形的性质推知即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：在矩形中，．则图中与相反向量是． 故答案为：． 12. 某城市出租汽车收费标准为；3千米以内（含3千米）收14元，超出3千米的部分，每千米收费1.6元．那么车费元与行驶路程千米之间的函数关系式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求函数解析式，熟练掌握函数的概念并找出相应的等量关系是解题的关键． 由题意可直接列出车费与行驶路程x千米之间的函数关系式，化简即可． 【详解】解：由题意可知，当行驶路程千米时，车费与行驶路程x千米之间的函数关系式为：， 故答案为：． 13. 已知一菱形的两条对角线长分别是方程的两根，则菱形的面积是_________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握菱形的面积等于两对角线乘积的一半是解题的关键． 设菱形的两条对角线长分别是a、b，根据一元二次方程根与系数的关系得出，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可求解． 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别是a、b， ∵菱形的两条对角线长分别是方程的两实根， ∴， ∴菱形的面积． 故答案为：10． 14. 如果直线与两坐标轴所围成的三角形面积是4，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴围成图形的面积，掌握一次函数图象与坐标轴的交点的计算，图形面积的计算是关键．根据一次函数与坐标轴的交点得到当时，，当时，，结合图形面积的计算即可求解． 【详解】解：直线， 当时，，当时，， 直线与两坐标轴所围成的三角形面积是4， 当时，， 解得，， ∴， 当时，， 解得，， ∴， 综上所述，， 故答案为： ． 15. 如图，是平行四边形的对角线，点、在上，要使四边形是平行四边形，还需要增加的一个条件是________（只要填写一种情况）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形即可解答． 【详解】解：还需要增加的一个条件是，理由为： 连接，交于， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：． 16. 如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，那么图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，等角对等边的运用，掌握矩形的性质是关键． 如图所示，设交于点，可证，设，则，在中，由勾股定理得到，代入计算得到，再根据面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故答案为： ． 17. 如图：菱形的顶点坐标为，顶点在轴的正半轴上，反比例函数的图像经过顶点，则的值为________． 【答案】216 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何应用、菱形的性质等知识，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键．先根据菱形的性质可得，再求出，代入反比例函数的解析式即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵顶点在轴的正半轴上， ∴，即， ∵反比例函数的图像经过顶点， ∴， 故答案为：216． 18. 如图，在中，，，，点在边上，过点作于，交边于点，将沿直线翻折，点、分别与点、对应，如果四边形是平行四边形，那么的长是________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，折叠的性质，平行四边形的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据题意作图，由含30度角的直角三角形的性质得到，折叠的性质，平行四边形的性质，结合三角形外角的性质得到，由即可求解． 【详解】解：根据题意作图如下， ∵在中，，，， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴相互平分，交于点， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6 ． 三、简答题（第19、20、21每题6分，第22、23每题7分，共32分） 19. 如图，在平行四边形中． （1）作的平分线交于E；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）． （2）按（1）作图所示，若，，求的长． 【答案】（1） 线段即为所求； （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等角，角平分线的尺规作图： （1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）先由角平分线的定义得到，再由平行四边形的性质得到，证明，得到，则． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长是4． 20. 已知，直线与直线平行，且经过点，直线交轴于点． （1）求直线的表达式． （2）轴上一点，若为等腰三角形，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或或或 【解析】 【分析】本题考查求一次函数的解析式，等腰三角形的定义，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）分为，或三种情况，利用等腰三角形的性质和两点间距离公式解答即可． 【小问1详解】 解：∵直线与直线平行， ∴， 把代入得， 解得， ∴直线l的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴点B的坐标为，， 当时， ∴， ∴点C的坐标为或； 当时，过点A作轴于点D， ∴， ∴点C的坐标为； 当时，设点C的坐标为， 则， 解得， ∴点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标或或或． 21. 如图，在四边形中，，点是对角线的中点，的延长线与相交于点，设，，． （1）试用向量，，表示下列向量：________；________； （2）求作：．（保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法） 【答案】（1）， （2） 解：如图所示：． 【解析】 【分析】本题主要考查向量的和差，平行四边形的判定和性质，掌握向量的计算是关键． （1）根据向量和差计算，结合题意得到四边形是平行四边形，由向量和差计算即可； （2）根据平行四边形的性质，向量的和差计算即可． 【小问1详解】 解：设，，，则， ∴， 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵点是对角线的中点， ∴，且， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； 【小问2详解】 根据尺规作平行线分别作的平行线，交于点，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 22. “双十一”甲、乙两家商店为招揽顾客推出优惠活动；甲商店所购商品全按原价打八折；乙商店所购商品接原价每满200元减50元．设顾客在甲、乙两家商店购买商品原价都为元， （1）请直接写出当时，顾客在乙商店实际付款金额元与原价元之间函数关系式为_____． （2）若顾客购买原价在350元以下的商品时，如果分别选择甲、乙两家商店的优惠活动后，实际付款金额相等，求的值． （3）若顾客购买原价在600元以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）当时，或当时，选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算 【解析】 【分析】本题主要考查不等式，函数关系的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）根据乙家优惠活动计算即可； （2）根据题意，分别得到甲家付款金额，乙家付款金额，由此列式求解即可； （3）根据两家的优惠方法，分类讨论即可求解． 【小问1详解】 解：乙商店所购商品接原价每满200元减50元，购买商品原价为元，， ∴； 【小问2详解】 解：顾客购买原价在350元以下的商品， ∴在甲家付款金额为元，在乙家付款金额为元， ∴， 解得，， ∴顾客购买原价为元； 【小问3详解】 解：顾客购买原价在600元以下的商品， ∴在甲家付款金额为元， 当时，在乙家付款金额为元， 当时，在乙家付款金额为元， 当时，在乙家付款金额为元， ①∵，即在乙家付款大于甲家付款， ∴，不符合题意； ②当时，， 解得，， ∴； ③当时，， 解得，， ∴； 综上所述，当时，或当时，选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算． 23. 如图，已知在梯形中，，，，． （1）如果，求证：四边形是等腰梯形； （2）求的长． 【答案】（1） 解：∵， ， ， ∴， ， ， ， 梯形 是等腰梯形． （2）20 【解析】 【分析】（1）证明梯形的两个底角相等即可得到结论； （2）作 于点 ， 于点 ，进一步利用轴对称图形的性质与矩形的判定与性质，勾股定理的应用可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作 于点 ， 于点 ， 梯形 为等腰梯形， ，四边形是矩形； ∴， 在 中，，，， ∴，， ． 【点睛】本题考查的是等腰梯形的判定，轴对称图形的性质，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握等腰梯形的性质与判定是解本题的关键． 四、解答题（24题8分，25题9分，26题9分，共26分） 24. 如图，已知在平行四边形中，点，分别是，的中点，，与对角线分别相交于点，，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：连接，交于点，如图： ，，点，分别是， 的中点， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形． （2） 证明：由（）知，四边形 是平行四边形， 点， 分别是， 的中点， ， ， ， 平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）连接，交于点O，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明四边形是平行四边形； （2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可求证． 本题主要考查了平行线分线段成比例定理，以及平行四边形和菱形的判定，正确理解定理是解决本题的关键． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 25. 如图，点A的坐标为，点B、C在x轴上，且轴，，直线与y轴交于点D，E是直线上的一个动点． （1）求直线的表达式； （2）当点E在线段上，联结，如果的面积是面积的一半，求点E的坐标； （3）设点F是平面内一点，如果以A、E、B、F为顶点的四边形为正方形，试求出点F的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）求出点C的坐标，由待定系数法求出直线的表达式即可； （2）求出点D的坐标是，得到，设点E的坐标是，由的面积是面积的一半列出关于t的方程，求出t的值，即可得点E的坐标； （3）根据点E的位置，利用正方形的性质分两种情况求出点F的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵点A的坐标为，且轴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴点C的坐标是， 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 当时，， ∴点D的坐标是， ∴， ∵点E在线段上， ∴可设点E的坐标是， ∵的面积是面积的一半， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴点E的坐标是； 【小问3详解】 ∵E是直线上的一个动点．是等腰直角三角形， ∴当点E与点C重合时，四边形是正方形， 此时， ∴，， ∴点F的坐标是， 当点E为线段的中点时，是等腰直角三角形， 此时点E的坐标为，四边形是正方形，则有与互相垂直平分且相等， ∴，， ∴轴， ∴点F的坐标是， ∴点F的坐标是或． 【点睛】此题是一次函数和几何综合题，考查了一次函数的图象和性质、正方形的性质、待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． 26. 已知等边中，，点为射线上一动点，以为边作等边，且点与点在直线的同侧，过点作，与直线、分别相交于点、． （1）若在边上时 ①求证：四边形是平行四边形； ②设，，求关于的函数解析式，（不需要写出函数定义域）； （2）当时，求的面积． 【答案】（1） ①∵和都是等边三角形， ∴, ∴， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； ② （2） 【解析】 【分析】（1）①由等边三角形性质，得,∴得，得,得，可得，得，可得四边形是平行四边形；②由等边三角形定义得，由平行四边形性质 得，可得是等边三角形，得，由，得，由，即得； （2）当点D在边上时，过点A作于点H，则，证明， ，，结合，得是等边三角形，求出，得；当点D在延长线上时，过点A作于点M，则，证明,得，，可得，得，可得 四边形是平行四边形，得，可得是等边三角形，得，得，得，证明是等边三角形，求出，得． 【小问1详解】 ②∵等边中，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：当点D在边上时，过点A作于点H， 则， 由（1）知，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴, ∴； 当点D在延长线上时，过点A作于点M， 则， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴, ∴． 综上，． 【点睛】此题考查了等边三角形的．熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，一次函数与线段综合，勾股定理，分类讨论，是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $