2.1 直线的倾斜角与斜率（思维导图+5大知识点+7大题型）（讲义）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

本讲义聚焦高中数学“直线的倾斜角与斜率”核心知识点，从倾斜角定义（范围[0,π)）切入，衔接斜率概念（倾斜角正切值，α=π/2时斜率不存在），推导斜率公式（两点坐标求斜率），进而延伸至两直线平行（斜率相等）和垂直（斜率乘积为-1）的条件，构建几何直观到代数运算的学习支架。 资料含思维导图可视化知识脉络，知识点诠释细化定义内涵与关系，7类题型（如直线与线段相交问题）配备例题、变式及方法总结，结合数形结合培养数学眼光与思维。课中助教师系统授课，课后学生可借变式题巩固，查漏补缺，提升应用能力。

2．1 直线的倾斜角与斜率 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：直线的倾斜角 4 知识点二：直线的斜率 4 知识点三：斜率公式 5 知识点四：两直线平行的条件 5 知识点五：两直线垂直的条件 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：倾斜角与斜率的定义 6 题型二：斜率与倾斜角的关系 8 题型三：求参数问题 10 题型四：直线与线段的相交问题 12 题型五：直线平行 15 题型六：直线垂直 17 题型七：直线平行、垂直的综合应用 18 知识点一：直线的倾斜角 平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角． 规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是． 知识点诠释： 1、要清楚定义中含有的三个条件 ①直线向上方向； ②轴正向； ③小于的角． 2、从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角． 3、倾斜角的范围是．当时，直线与x轴平行或与x轴重合． 4、直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应． 5、已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置． 知识点二：直线的斜率 1、定义： 倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即． 知识点诠释： （1）当直线与x轴平行或重合时，，； （2）直线与x轴垂直时，，k不存在． 由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在． 2、直线的倾斜角与斜率之间的关系 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 知识点三：斜率公式 已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式． 知识点诠释： 1、对于上面的斜率公式要注意下面五点： （1）当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直； （2）与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换； （3）斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得； （4）当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合； （5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． 2、斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题： （1）由、点的坐标求的值； （2）已知及中的三个量可求第四个量； （3）已知及、的横坐标（或纵坐标）可求； （4）证明三点共线． 知识点四：两直线平行的条件 设两条不重合的直线的斜率分别为．若，则与的倾斜角与相等．由，可得，即． 因此，若，则． 反之，若，则． 知识点五：两直线垂直的条件 设两条直线的斜率分别为．若，则． 知识点诠释： 1、公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在； 2、当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直． 题型一：倾斜角与斜率的定义 【例题1】（2025·高二·江苏无锡·月考）直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得：， 所以直线的斜率为， 直线的倾斜角为. 故选：D 【例题2】（2025·高二·浙江温州·月考）设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角为（   ） A． B． C． D．当时，倾斜角为；当时，倾斜角为 【答案】D 【解析】根据题意，画出图形，如图所示： 因为，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意， 通过画图（如图所示）可知： 当时，的倾斜角为； 当时，的倾斜角为． 故选：D． 【方法技巧与总结】 （1）倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角． （2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度． （3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等． （4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可． 【变式1】（2025·高二·广东梅州·月考）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得， 所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为， 则，解得. 故选：D 【变式2】（2025·高一·上海宝山·期末）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 B．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 C．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 D．直线的倾斜角的取值范围是 【答案】D 【解析】对于A，直线的斜率为1，而，显然不是直线的倾斜角，A错误； 对于B，直线的倾斜角为，而直线的斜率不存在，B错误； 对于C，坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角，而垂直于x轴的直线没有斜率，C错误； 对于D，直线的倾斜角的取值范围是，D正确. 故选：D 【变式3】（2025·高二·全国·单元测试）下列命题中正确的是（    ）． A．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 B．若直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．平行于x轴的直线的倾斜角为 D．若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为 【答案】D 【解析】对于A，当时，直线的斜率不存在，故A不正确； 对于B，当时，斜率为，倾斜角为，故B不正确； 对于C，平行于x轴的直线的倾斜角为，故C不正确； 对于D，若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为是正确的. 故选：D 题型二：斜率与倾斜角的关系 【例题3】（2025·高二·安徽阜阳·月考）如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线，，的倾斜角分别为，，， 则根据图象可得：， 再由正切函数的单调性可知：， 即有， 故选：D. 【例题4】（2025·高二·福建福州·期末）已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意得，，，， 而在和上单调递增，且在上，， 在上，所以，即. 故选：D 【方法技巧与总结】 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 【变式4】（2025·高二·湖南衡阳·期末）已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数在上单调递增， 又，， 故的取值范围是. 故选：C 【变式5】（2025·高二·辽宁·期中）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，方程为，倾斜角为 当时，直线的斜率， 因为，则， 所以； 综上所述：线的倾斜角的范围是. 故选：C． 【变式6】（2025·高二·山西·开学考试）直线，，，的图象如图所示，则斜率最小的直线是（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图知：，故斜率最小的直线是. 故选：B 题型三：求参数问题 【例题5】（2025·高一·吉林松原·期末）过两点的直线的倾斜角为，求的值为 ． 【答案】． 【解析】因为直线的倾斜角为， 所以直线的斜率， 又，整理得， 解得或， 当时，，不符合， 当时，，符合， 综上：． 故答案为： 【例题6】（2025·高一·上海嘉定·期中）设，若三个不同的点，都在直线l上，则m的值为 ． 【答案】 【解析】当时，为同一点，不合题意， 当，则，可得，此时满足题意， 所以. 故答案为： 【方法技巧与总结】 由于直线上任意两点的斜率都相等，因此A，B，C三点共线A，B，C中任意两点的斜率相等（如）． 斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因． 【变式7】（2025·高二·上海普陀·期末）已知直线l经过点．直线l的倾斜角是 ． 【答案】/ 【解析】因为过两点的直线的斜率为：， 因为，是直线的倾斜角，且 所以直线的倾斜角为：． 故答案为：. 【变式8】（2025·高一·重庆合川·月考）若三点共线，则a的值为 ． 【答案】 【解析】由三点共线 故 故答案为：. 【变式9】（2025·高二·上海杨浦·期中）设，若直线l经过点､，则直线l的斜率是 . 【答案】1 【解析】因为直线l经过点､， 所以直线l的斜率是， 故答案为：1 题型四：直线与线段的相交问题 【例题7】（2025·高一·福建厦门·开学考试）在平面直角坐标系中有两点，，函数的图象与线段延长线相交（交点不包括，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】函数过定点.可以旋转（调整斜率， 可知临界点是与直线平行，此时斜率为：； 另一个临界点是两点所在直线的斜率：. 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【例题8】若点在一次函数的图像上，当时，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】如图， 函数，表示线段其中，， 的几何意义为线段上的动点与定点连线的斜率的倍， ，， 的取值范围是； 故答案为： 【方法技巧与总结】 直线的倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而直线的斜率及斜率公式则从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，把二者紧密地结合在一起就是数形结合．利用它可以较为简便地解决一些综合问题，如过定点的直线与已知线段是否有公共点的问题，可先作出草图，再结合图形考虑． 一般地，若已知，，，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边． 【变式10】已知过点的直线l与以点，为端点的线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围为 . 【答案】 【解析】设点，依题意，． 因为直线与线段有交点， 由图可知直线的斜率的取值范围是． 故答案为：． 【变式11】（2025·高二·江苏南通·月考）已知点，，直线过点且与线段有交点，则直线的斜率的取值范围为 . 【答案】 【解析】如图所示：，. 直线的斜率的取值范围为 故答案为： 【变式12】（2025·高二·天津河北·期中）已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【解析】点，，过点的直线与线段有公共点， 直线的斜率或， 的斜率为，的斜率为， 直线的斜率或，即， 故答案为：． 题型五：直线平行 【例题9】根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 【解析】（1）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 因为，又， 所以，所以A，B，C三点不共线，所以A，B，C，D四点不共线， 所以． （2）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 所以，所以或与重合． 【例题10】（2025·高二·河南驻马店·期末）若直线：与直线：平行，则实数的值为 . 【答案】 【解析】因为，所以，解得， 当时，：与：重合，所以； 当时，：与：平行，所以. 故答案为： 【方法技巧与总结】 判定两条不重合的直线是否平行的依据是：当这两条直线均不与x轴垂直时，只需看它们的斜率是否相等即可，反过来，两条直线平行，则隐含着这两条直线的斜率相等（当这两条直线均不与x轴垂直时）． 判定两条直线是否平行，只要研究两条直线的斜率是否相等即可，但是要注意斜率都不存在的情况，以及两条直线是否重合． 【变式13】（2025·高一·上海浦东新·月考）已知集合、，若，则 ． 【答案】1 【解析】依题知两直线平行，则，解得， 经验证时，两直线不重合，所以. 故答案为：1 【变式14】（2025·高二·安徽合肥·月考）已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相平行，则实数 . 【答案】或1 【解析】若，则直线的斜率为0，此时直线的斜率不存在，那么与不平行，不满足条件， 若，则直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以，即，解得：或. 故答案为：或 【变式15】（2025·高一·陕西渭南·期末）已知直线，若，则的值为 ． 【答案】 【解析】由直线与平行，得，解得， 所以的值为. 故答案为： 题型六：直线垂直 【例题11】（2025·高二·上海杨浦·期中）若两条直线 与 垂直，则 的值为 . 【答案】/ 【解析】根据题意，直线． 若与垂直，必有，解得. 故答案为： 【例题12】（2025·高二·上海松江·月考）若直线：与直线：垂直，则实数的值等于 . 【答案】 【解析】由题意知两直线斜率存在， ，， ， 解得. 故答案为： 【方法技巧与总结】 利用直线平行与垂直的条件解题，主要利用其斜率的关系，当然，在解题时要特别注意斜率不存在的情况，以及分类讨论的思想． 【变式16】（2025·高二·全国·单元测试）已知，直线，且，则的最小值为 . 【答案】8 【解析】因为，所以，即， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故答案为：8 【变式17】（2025·高一·重庆·期末）已知直线和直线垂直，则实数 . 【答案】 【解析】由于，所以， 解得，所以的值为. 故答案为： 【变式18】（2025·高二·山东枣庄·月考）如果直线：与直线：垂直，则 【答案】2 【解析】直线：的斜率为， 直线：的斜率为， 因为，所以，解得. 故答案为：2. 题型七：直线平行、垂直的综合应用 【例题13】（2025·高二·全国·单元测试）已知直线过点，直线与直线的交点在第一象限，点为坐标原点．若为钝角三角形，则直线的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当为直角三角形时，或，此时的斜率或0．如图，设时，与交于点； 时，与交于点． 当从直线开始，绕点顺时针旋转到轴之间时，为钝角三角形，此时；记过点且与平行的直线为， 当从直线开始，绕点逆时针旋转到直线之间时，为钝角三角形，此时1．综上，． 故答案为： 【例题14】（2025·高一·江苏泰州·月考）设两直线，与轴构成三角形，则的取值范围为 . 【答案】且 【解析】当直线，及轴两两不平行，且不共点时，必围成三角形 当时，直线与直线平行； 当时，直线与轴平行； 当时，直线，及轴都过原点； 要使得两直线，与轴构成三角形，则的取值范围为且 故答案为：且 【方法技巧与总结】 解决此类问题的关键是充分利用几何图形的几何性质，并用解析几何中的相关知识解决． 【变式19】若矩形ABCD的中心M在x轴上，点，，则点C的坐标为 ，点D的坐标为 ． 【答案】 【解析】设，由CA中点与BD的中点都在x轴上，得， 解得：， 故答案为(1).     (2). 【变式20】在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    【解析】由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 因为，所以，即； 由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 则直线与的斜率之积为， 所以. 【变式21】在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，其中且.试判断四边形的形状. 【解析】由斜率公式，得， ， ， ， ， . ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形. 又，∴. 又，∴与不垂直， ∴四边形为矩形. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2．1 直线的倾斜角与斜率 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：直线的倾斜角 4 知识点二：直线的斜率 4 知识点三：斜率公式 5 知识点四：两直线平行的条件 5 知识点五：两直线垂直的条件 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：倾斜角与斜率的定义 6 题型二：斜率与倾斜角的关系 7 题型三：求参数问题 8 题型四：直线与线段的相交问题 8 题型五：直线平行 9 题型六：直线垂直 10 题型七：直线平行、垂直的综合应用 10 知识点一：直线的倾斜角 平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角． 规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是． 知识点诠释： 1、要清楚定义中含有的三个条件 ①直线向上方向； ②轴正向； ③小于的角． 2、从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角． 3、倾斜角的范围是．当时，直线与x轴平行或与x轴重合． 4、直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应． 5、已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置． 知识点二：直线的斜率 1、定义： 倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即． 知识点诠释： （1）当直线与x轴平行或重合时，，； （2）直线与x轴垂直时，，k不存在． 由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在． 2、直线的倾斜角与斜率之间的关系 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 知识点三：斜率公式 已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式． 知识点诠释： 1、对于上面的斜率公式要注意下面五点： （1）当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直； （2）与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换； （3）斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得； （4）当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合； （5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． 2、斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题： （1）由、点的坐标求的值； （2）已知及中的三个量可求第四个量； （3）已知及、的横坐标（或纵坐标）可求； （4）证明三点共线． 知识点四：两直线平行的条件 设两条不重合的直线的斜率分别为．若，则与的倾斜角与相等．由，可得，即． 因此，若，则． 反之，若，则． 知识点五：两直线垂直的条件 设两条直线的斜率分别为．若，则． 知识点诠释： 1、公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在； 2、当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直． 题型一：倾斜角与斜率的定义 【例题1】（2025·高二·江苏无锡·月考）直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 【例题2】（2025·高二·浙江温州·月考）设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角为（   ） A． B． C． D．当时，倾斜角为；当时，倾斜角为 【方法技巧与总结】 （1）倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角． （2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度． （3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等． （4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可． 【变式1】（2025·高二·广东梅州·月考）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·高一·上海宝山·期末）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 B．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 C．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 D．直线的倾斜角的取值范围是 【变式3】（2025·高二·全国·单元测试）下列命题中正确的是（    ）． A．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 B．若直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．平行于x轴的直线的倾斜角为 D．若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为 题型二：斜率与倾斜角的关系 【例题3】（2025·高二·安徽阜阳·月考）如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【例题4】（2025·高二·福建福州·期末）已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 【变式4】（2025·高二·湖南衡阳·期末）已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5】（2025·高二·辽宁·期中）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6】（2025·高二·山西·开学考试）直线，，，的图象如图所示，则斜率最小的直线是（    ）      A． B． C． D． 题型三：求参数问题 【例题5】（2025·高一·吉林松原·期末）过两点的直线的倾斜角为，求的值为 ． 【例题6】（2025·高一·上海嘉定·期中）设，若三个不同的点，都在直线l上，则m的值为 ． 【方法技巧与总结】 由于直线上任意两点的斜率都相等，因此A，B，C三点共线A，B，C中任意两点的斜率相等（如）． 斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因． 【变式7】（2025·高二·上海普陀·期末）已知直线l经过点．直线l的倾斜角是 ． 【变式8】（2025·高一·重庆合川·月考）若三点共线，则a的值为 ． 【变式9】（2025·高二·上海杨浦·期中）设，若直线l经过点､，则直线l的斜率是 . 题型四：直线与线段的相交问题 【例题7】（2025·高一·福建厦门·开学考试）在平面直角坐标系中有两点，，函数的图象与线段延长线相交（交点不包括，则实数的取值范围是 . 【例题8】若点在一次函数的图像上，当时，则的取值范围是 ． 【方法技巧与总结】 直线的倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而直线的斜率及斜率公式则从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，把二者紧密地结合在一起就是数形结合．利用它可以较为简便地解决一些综合问题，如过定点的直线与已知线段是否有公共点的问题，可先作出草图，再结合图形考虑． 一般地，若已知，，，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边． 【变式10】已知过点的直线l与以点，为端点的线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围为 . 【变式11】（2025·高二·江苏南通·月考）已知点，，直线过点且与线段有交点，则直线的斜率的取值范围为 . 【变式12】（2025·高二·天津河北·期中）已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是 . 题型五：直线平行 【例题9】根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 【例题10】（2025·高二·河南驻马店·期末）若直线：与直线：平行，则实数的值为 . 【方法技巧与总结】 判定两条不重合的直线是否平行的依据是：当这两条直线均不与x轴垂直时，只需看它们的斜率是否相等即可，反过来，两条直线平行，则隐含着这两条直线的斜率相等（当这两条直线均不与x轴垂直时）． 判定两条直线是否平行，只要研究两条直线的斜率是否相等即可，但是要注意斜率都不存在的情况，以及两条直线是否重合． 【变式13】（2025·高一·上海浦东新·月考）已知集合、，若，则 ． 【变式14】（2025·高二·安徽合肥·月考）已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相平行，则实数 . 【变式15】（2025·高一·陕西渭南·期末）已知直线，若，则的值为 ． 题型六：直线垂直 【例题11】（2025·高二·上海杨浦·期中）若两条直线 与 垂直，则 的值为 . 【例题12】（2025·高二·上海松江·月考）若直线：与直线：垂直，则实数的值等于 . 【方法技巧与总结】 利用直线平行与垂直的条件解题，主要利用其斜率的关系，当然，在解题时要特别注意斜率不存在的情况，以及分类讨论的思想． 【变式16】（2025·高二·全国·单元测试）已知，直线，且，则的最小值为 . 【变式17】（2025·高一·重庆·期末）已知直线和直线垂直，则实数 . 【变式18】（2025·高二·山东枣庄·月考）如果直线：与直线：垂直，则 题型七：直线平行、垂直的综合应用 【例题13】（2025·高二·全国·单元测试）已知直线过点，直线与直线的交点在第一象限，点为坐标原点．若为钝角三角形，则直线的斜率的取值范围是 ． 【例题14】（2025·高一·江苏泰州·月考）设两直线，与轴构成三角形，则的取值范围为 . 【方法技巧与总结】 解决此类问题的关键是充分利用几何图形的几何性质，并用解析几何中的相关知识解决． 【变式19】若矩形ABCD的中心M在x轴上，点，，则点C的坐标为 ，点D的坐标为 ． 【变式20】在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    【变式21】在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，其中且.试判断四边形的形状. 学科网（北京）股份有限公司 $