专题2.1 等式性质与不等式性质（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

专题2.1 等式性质与不等式性质（举一反三讲义） 【人教A版（2019）】 【题型1 用不等式表示不等关系】 1 【题型2 由不等式的性质比较数（式）大小】 3 【题型3 利用作差法比较大小】 3 【题型4 利用作商法比较大小】 4 【题型5 作差法比较代数式的大小的应用】 4 【题型6 利用不等式的性质判断正误】 6 【题型7 由不等式的性质证明不等式】 7 【题型8 利用不等式求值或取值范围】 8 知识点1 不等关系 1．不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式. 2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、 不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 【题型1 用不等式表示不等关系】 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 【变式1-1】（24-25高一上·全国·课后作业）一个工厂原来每天可以加工件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多件，且天加工的商品将超过件，这一关系可用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·河南·阶段练习）在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 知识点2 比较大小 1．两个实数大小的比较 如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【题型2 由不等式的性质比较数（式）大小】 【例2】（24-25高一上·陕西宝鸡·阶段练习）已知，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 【变式2-1】（24-25高一上·上海·期末）若，，则一定有（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·吉林延边·期末）已知，，，则下列说法中错误的是（   ） A．， B．， C． D． 【变式2-3】（24-25高一上·上海闵行·期末）设、、、为实数，下列命题中成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【题型3 利用作差法比较大小】 【例3】（24-25高一上·四川南充·阶段练习）设，，则，的大小关系为（ 　） A． B．M≤N C． D．无法确定 【变式3-1】（24-25高一上·全国·课后作业）若，，其中，则的大小关系是（　　） A． B． C． D．不确定 【变式3-2】（24-25高一上·福建泉州·期末）互不相等的实数满足：且，则下列关系成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一上·全国·课后作业）若规定（，且），则与的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【题型4 利用作商法比较大小】 【例4】（2025高二下·全国·专题练习）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【变式4-1】（2025·山西晋城·一模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一·全国·课后作业）设，且，比较：与的大小 【变式4-3】（24-25高一上·上海徐汇·阶段练习）已知，试比较与的大小. 【题型5 作差法比较代数式的大小的应用】 【例5】（24-25高一上·广西玉林·期中）小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（   ） A．一样多 B．小齐低 C．小港低 D．无法比较 【变式5-1】（24-25高一上·北京·期中）司机甲和乙的加油习惯不同，甲每次加固定量的油，乙每次加固定钱数的油.恰有两次甲和乙所加油的单价相同，而这两次的油价不同，若从这两次加油的均价角度分析，则（   ） A．甲更低 B．乙更低 C．甲和乙一样高 D．不能判断谁更高 【变式5-2】（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）购买黄金是一种常见的投资方式，现有两种不同的投资策略：第一种是每次购买黄金定量为克，第二种是每次购买黄金定额为万元；在黄金价格有波动的情况下，选择一种策略购买黄金两次，以平均单价衡量，哪种购买方式更有利于控制投资成本？ 【变式5-3】（24-25高一上·四川广元·阶段练习）已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 知识点3 等式性质与不等式性质 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 3．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 ； ②假分数的性质 . 【方法技巧与总结】 1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 【题型6 利用不等式的性质判断正误】 【例6】（24-25高一上·浙江温州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式6-1】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）下面不等式成立的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【变式6-2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．苦，那么 D．若，则 【题型7 由不等式的性质证明不等式】 【例7】（24-25高一上·全国·课后作业）设，，，证明：． 【变式7-1】（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【变式7-2】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明糖水不等式； (2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 【变式7-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【题型8 利用不等式求值或取值范围】 【例8】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知实数x，y满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025高一·全国·专题练习）实数、满足，. (1)求实数、的取值范围； (2)求的取值范围． 【变式8-3】（24-25高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知，， (1)求及的范围 (2)求的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 等式性质与不等式性质（举一反三讲义） 【人教A版（2019）】 【题型1 用不等式表示不等关系】 1 【题型2 由不等式的性质比较数（式）大小】 3 【题型3 利用作差法比较大小】 5 【题型4 利用作商法比较大小】 6 【题型5 作差法比较代数式的大小的应用】 8 【题型6 利用不等式的性质判断正误】 11 【题型7 由不等式的性质证明不等式】 13 【题型8 利用不等式求值或取值范围】 15 知识点1 不等关系 1．不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式. 2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、 不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 【题型1 用不等式表示不等关系】 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 【答案】C 【解题思路】人跑开的路程应大于100米，可得结论. 【解答过程】导火线燃烧的时间为s，人在这段时间跑的路程为4×m． 由题意可得4×＞100. 故选：C. 【变式1-1】（24-25高一上·全国·课后作业）一个工厂原来每天可以加工件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多件，且天加工的商品将超过件，这一关系可用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题设可得每天加工的商品数为件，即可求出结果. 【解答过程】由题意得现在工厂每天加工的商品数为件，则该工厂30天加工的商品数为件， 所以题中关系表示为. 故选：B. 【变式1-2】（24-25高一上·河南·阶段练习）在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意列出不等关系即可. 【解答过程】由题意得. 故选：D. 【变式1-3】（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据总时长小于1列不等式，即汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时即得． 【解答过程】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即， 故选：D． 知识点2 比较大小 1．两个实数大小的比较 如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【题型2 由不等式的性质比较数（式）大小】 【例2】（24-25高一上·陕西宝鸡·阶段练习）已知，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 【解题思路】ABC选项可以根据特殊值排除，D选项利用不等式的性质证明. 【解答过程】A选项，，但，A选项错误； B选项，时，，B选项错误； C选项，，但，C选项错误； D选项，， 由可知，， 于是，即，D选项正确. 故选：D. 【变式2-1】（24-25高一上·上海·期末）若，，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用不等式的基本性质即可判断． 【解答过程】因为，所以，又， 所以，所以：. 故选：C. 【变式2-2】（24-25高一上·吉林延边·期末）已知，，，则下列说法中错误的是（   ） A．， B．， C． D． 【答案】C 【解题思路】根据不等式的性质进行判断. 【解答过程】对于A，，不等式两边同时除以可得，A正确； 对于B，，不等式两边同时乘以，可得，B正确； 对于C，因为，所以，所以，C错误； 对于D，，，所以，D正确. 故选：C. 【变式2-3】（24-25高一上·上海闵行·期末）设、、、为实数，下列命题中成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【答案】A 【解题思路】对于A、B选项，利用不等式的性质可判断原命题的真假；对于C、D选项，取特殊值可判断原命题的真假. 【解答过程】对于A，若，则，显然成立，选项A正确； 对于B，若，当时，，当时，，选项B错误； 对于C，令，满足，，但是， 不满足，选项C错误； 对于D，令，满足，，但是， 不满足，选项D错误， 故选：A. 【题型3 利用作差法比较大小】 【例3】（24-25高一上·四川南充·阶段练习）设，，则，的大小关系为（ 　） A． B．M≤N C． D．无法确定 【答案】A 【解题思路】作差并与0比较大小得解. 【解答过程】依题意，， 所以. 故选：A. 【变式3-1】（24-25高一上·全国·课后作业）若，，其中，则的大小关系是（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【解题思路】利用作差比较大小可得答案. 【解答过程】由题意知， ， 因为，， 所以， 即， 所以， 故. 故选：A. 【变式3-2】（24-25高一上·福建泉州·期末）互不相等的实数满足：且，则下列关系成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用作差法先比较的大小关系，再利用作差和配方法求得的大小关系，从而得到正确选项. 【解答过程】因为， 又因为实数互不相等，故，即； 又因为，所以， 即，故. 综上： 故选：D. 【变式3-3】（24-25高一上·全国·课后作业）若规定（，且），则与的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据新定义表示，利用作差法即可比较大小. 【解答过程】由题意得，，， ∴， ∵，∴，即. 故选：B. 【题型4 利用作商法比较大小】 【例4】（2025高二下·全国·专题练习）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【答案】C 【解题思路】应用作商法比较的大小关系即可. 【解答过程】由题设，易知x，y＞0，又， ∴x＜y. 故选：C. 【变式4-1】（2025·山西晋城·一模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据作商法比较大小，即可得出结果. 【解答过程】因为实数，，满足，，， 所以， ∴； 又， ∴； ∴． 故选：A． 【变式4-2】（24-25高一·全国·课后作业）设，且，比较：与的大小 【答案】. 【解题思路】用作商法，结合已知条件，利用不等式性质即可判断大小. 【解答过程】， ，， ，， ， 故. 【变式4-3】（24-25高一上·上海徐汇·阶段练习）已知，试比较与的大小. 【答案】 【解题思路】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可. 【解答过程】， ，. 两数作商 ， . 【题型5 作差法比较代数式的大小的应用】 【例5】（24-25高一上·广西玉林·期中）小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（   ） A．一样多 B．小齐低 C．小港低 D．无法比较 【答案】C 【解题思路】设两次葡萄的单价分别为，分别计算出小齐和小港两次购买葡萄的平均价格，作差比较大小，得到答案. 【解答过程】设两次葡萄的单价分别为， 则小齐两次购买葡萄的平均价格是， 小港两次购买葡萄的平均价格是， ， 故，小港两次购买葡萄的平均价格低. 故选：C. 【变式5-1】（24-25高一上·北京·期中）司机甲和乙的加油习惯不同，甲每次加固定量的油，乙每次加固定钱数的油.恰有两次甲和乙所加油的单价相同，而这两次的油价不同，若从这两次加油的均价角度分析，则（   ） A．甲更低 B．乙更低 C．甲和乙一样高 D．不能判断谁更高 【答案】B 【解题思路】设甲每次的加油量为，乙每次得加油费为，先后两次油的单价分别为,依题意，计算甲与乙加油的均价，再作差比较，即可判断. 【解答过程】设甲每次的加油量为，乙每次得加油费为，先后两次油的单价分别为， 则甲两次加油的均价为：；而乙两次加油的均价为：， 由，因且，故得， 即乙两次加油的均价更低. 故选：B. 【变式5-2】（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）购买黄金是一种常见的投资方式，现有两种不同的投资策略：第一种是每次购买黄金定量为克，第二种是每次购买黄金定额为万元；在黄金价格有波动的情况下，选择一种策略购买黄金两次，以平均单价衡量，哪种购买方式更有利于控制投资成本？ 【答案】第二种购买方式更有利于控制投资成本. 【解题思路】分别求出两种投资方式的黄金平均单价，利用作差法比较它们的大小，可得结论. 【解答过程】设两次黄金的单价分别为，（，，）. 第一种购买方式，黄金的平均单价为：； 第二种购买方式，黄金的平均单价为：. 由，因为，，， 所以，即第二种购买方式，黄金的平均单价较低. 故第二种购买方式更有利于控制投资成本. 【变式5-3】（24-25高一上·四川广元·阶段练习）已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据题意，得到不等式，结合作差比较法，即可得证； （2）根据题意，化简，利用上述结论，即可求解； （3）由（1）中的结论，得到，证得，再由，进而证得，即可得证. 【解答过程】（1）解：由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. （2）解：由， 由（1）中的结论，可得，即. （3）证明：因为， 由（1）中的结论，可得， 所以， 又由，同理可得， 则， 由上述结论，可得，所以， 综上可得. 知识点3 等式性质与不等式性质 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 3．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 ； ②假分数的性质 . 【方法技巧与总结】 1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 【题型6 利用不等式的性质判断正误】 【例6】（24-25高一上·浙江温州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解题思路】根据不等式的性质逐项分析即可. 【解答过程】对A，当时，，故A错误； 对B，，，故B正确； 对C，若，则，则，即，故C错误； 对D，当时，，则，故D错误. 故选：B. 【变式6-1】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）下面不等式成立的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】B 【解题思路】AC选项，举出反例；B选项，由不等式性质得到；D选项，先得到，结合得到，. 【解答过程】对于A，取，，，，满足，，而，A错误； 对于B，由，，故，即，B正确； 对于C，取，，满足，而，C错误； 对于D，由，得，则，而， 于是，，错误． 故选：B. 【变式6-2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据不等式的性质即可求解ABC，作差即可求解D. 【解答过程】对于A,由于，故，进而可得，A正确， 对于B，由于，故，B错误， 对于C，当时，，故C错误， 对于D，，由于，故， 但由于的值不确定，无法确定的符号，故D错误， 故选：A. 【变式6-3】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．苦，那么 D．若，则 【答案】B 【解题思路】利用不等式的性质以及作差法比较大小一一判断求解. 【解答过程】对A，取，满足，但，A错误； 对B，因为，所以，所以，所以，B正确； 对C，取，满足，但不成立，C错误； 对D，， 因为，所以，即，D错误； 故选:B. 【题型7 由不等式的性质证明不等式】 【例7】（24-25高一上·全国·课后作业）设，，，证明：． 【答案】证明见解析 【解题思路】由，，和，，证明即可. 【解答过程】由题意知，，， 则有，，，① ，，， 所以． 又根据①的结论可知，，， 所以． 综上所述，. 【变式7-1】（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【解答过程】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 【变式7-2】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明糖水不等式； (2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）由作差法证明； （2）由糖水不等式变形证明． 【解答过程】（1）， 因为，所以， 所以，即． （2）因为是三角形的三边，所以， 由（1）知， 同理， 所以， 又， 所以 所以原不等式成立． 【变式7-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解题思路】（1）利用不等式性质4，5得出，再取倒数，再利用性质6即可证明； （2）对不等式进行等价变形，利用分析法的思路来转化证明不等式． 【解答过程】证明：（1）因为，所以． 又．所以，所以． 又因为， 所以． （2）因为，要证，只需证明， 展开得， 即， 因为成立， 所以成立． 【题型8 利用不等式求值或取值范围】 【例8】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知实数x，y满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用待定系数法求得，然后利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【解答过程】设，则， 所以，，解得，即， ，则， 因此，. 故选：D. 【变式8-1】（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先由题意得，进而求得即可求解. 【解答过程】因为，所以，即， 所以，则， 所以. 故选：D. 【变式8-2】（2025高一·全国·专题练习）实数、满足，. (1)求实数、的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】由不等式的性质求解． 【解答过程】（1）由，， 则，所以， 所以，即， 即实数的取值范围为． 因为， 由， 所以，所以， 所以， ∴， 即实数的取值范围为． （2）设， 则，解得， ∴， ∵，． ∴，， ∴， 即的取值范围为． 【变式8-3】（24-25高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知，， (1)求及的范围 (2)求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）先求出的范围，再结合a的范围以及不等式的性质即可得出； （2）对于，可先求出的范围，然后再结合a的范围以及不等式的性质即可得出. 【解答过程】（1），，， 又， 所以，即， ，即， 综上，，. （2）∵，∴， 又∵，∴， 即. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$