2.2 培优课 活用基本不等式求最值（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

重点解读 1.会根据题目特征选用常数代换法、分式分离法、消元法求最值（逻辑推理、数学运算）. 2.会利用基本不等式求参数的值（范围）（逻辑推理、数学运算）. 一、常数代换法求最值 【例1】　（1）已知x＞0，y＞0，且4x＋y＝1，则＋的最小值为（　A　） A.5 B.4 C.4 D.2 解析：因为x＞0，y＞0，且4x＋y＝1，所以＋＝＋＝＋＋1≥2＋1＝5.当且仅当即时等号成立，故＋的最小值为5.故选A. （2）已知正实数a，b满足a＋4b＝ab，则a＋b的最小值为（　B　） A.4 B.9 C.10 D.20 解析：因为a，b为正实数，方程a＋4b＝ab两边同时乘以得＋＝1，所以a＋b＝（a＋b）＝＋4＋1＋≥2＋5＝9，当且仅当即时等号成立，故a＋b的最小值为9.故选B. 【规律方法】 常数代换法的应用技巧 　　常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“常数”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商. 训练1　（1）已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值； 解：因为＋＝1，所以x＋y＝（x＋y）＝10＋＋. 因为x＞0，y＞0， 所以＋≥2＝6，当且仅当＝，即y＝3x时，等号成立. 因为＋＝1， 所以当x＝4，y＝12时，（x＋y）min＝16，所以x＋y的最小值为16. （2）已知a＞0，b＞0，若a＋b＝2，求＋的最小值. 解：因为a＞0，b＞0，且a＋b＝2， 则＋＝（a＋b）＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当b＝2a即a＝，b＝时，等号成立，因此＋的最小值为18. 二、分式分离法求最值 【例2】　函数y＝（x＞－1）的最小值是（　　） A.10 B.12 C.13 D.14 解析：A　法一　y＝＝＝（x＋1）＋＋4≥2＋4＝10，当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立. 法二　令x＋1＝t＞0，所以x＝t－1，所以y＝＝＝＝t＋＋4≥2＋4＝10，当且仅当t＝，t＝3，即x＝2时，等号成立.故选A. 【规律方法】 　　分式分离法是指对分子的次数不低于分母的次数的分式进行整式分离——将分式分离为整式与“真分式”的和，再根据分式分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式求最值创造条件，进而求出最值. 训练2　已知x＞1，则的最大值为（　　） A. B. C. D. 解析：A　因为x＞1，所以x－1＞0，＝＝≤＝，当且仅当x－1＝，即x＝3时取等号.故选A. 三、消元法求最值 【例3】　已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，求x＋2y的最小值. 解：由x＋2y＋2xy＝8，可知y＝， 因为x＞0，y＞0，所以0＜x＜8. 所以x＋2y＝x＋＝x＋＝x＋－1＝x＋1＋－2≥2－2＝4， 当且仅当x＋1＝，即x＝2时等号成立. 所以x＋2y的最小值为4. 【规律方法】 消元法求最值的思路 　　对含有多个变量的最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个变量，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题. 训练3　已知a＞0，且a2－b＋4＝0，则（　　） A.有最大值 B.有最大值 C.有最小值 D.有最小值 解析：D　因为a2－b＋4＝0，所以b＝a2＋4，所以＝3－＝3－＝3－≥3－＝，当且仅当a＝2，b＝8时取等号，所以有最小值，故选D. 四、利用基本不等式求参数的值（范围） 【例4】　已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为（　　） A.10 B.9 C.8 D.7 解析：B　因为a＞0，b＞0，所以2a＋b＞0，所以要使＋≥恒成立，只需m≤（2a＋b）·恒成立，又（2a＋b）＝4＋＋＋1≥5＋4＝9，当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9，故实数m的最大值为9. 【规律方法】 求参数的值或取值范围的一般方法 （1）分离参数，转化为求代数式的最值问题； （2）观察题目特点，利用基本不等式确定成立条件，从而求得参数的值或取值范围； （3）注意等号的取舍，防止失误. 训练4　若两个正实数x，y满足＋＝1，并且x＋2y＞4＋2m恒成立，则实数m的取值范围是m＜2.　 解析：∵x＞0，y＞0，且＋＝1，∴x＋2y＝（x＋2y）＝2＋＋＋2≥4＋2＝8，当且仅当＝，即4y2＝x2时等号成立.由x＋2y＞4＋2m恒成立，可知4＋2m＜8，解得m＜2. 基本不等式链的探究与证明 （链接教材P46练习1题）“已知a，b∈R，求证ab≤”是基本不等式的变形，此变形在求最值中经常用到. 【问题探究】 基本不等式可进一步变式，≥≥ab（a，b∈R），也可表示为≥≥（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时，等号成立，即为基本不等式链. 证明：若a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时等式成立. 所以≥ab，即≥ab， 又因为－＝≥0， 所以≥≥ab. 【迁移应用】 〔多选〕设正实数x，y满足x＋y＝2，则下列说法正确的是（　　） A.xy的最小值为1 B.＋的最小值为2 C.＋的最大值为4 D.x2＋y2的最小值为2 解析：BD　xy≤＝1，∵x＞0，y＞0，x＋y＝2，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，即xy的最大值为1，故选项A错误；∵x＋y＝2，∴（x＋y）＝1.∴＋＝（x＋y）＝＝1＋（＋）≥1＋×2＝2.当且仅当x＝y＝1时等号成立，故选项B正确；∵≤＝1.∴＋≤2，当且仅当x＝y＝1时等号成立，即＋的最大值为2，故选项C错误；由≤得x2＋y2≥＝2，当且仅当x＝y＝1时等号成立，即x2＋y2的最小值为2，故选项D正确.故选B、D. 1.已知a＞0，b＞0，ab＝1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 解析：B　∵a＞0，b＞0，ab＝1，∴m＋n＝b＋＋a＋＝2a＋2b≥2＝4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故m＋n的最小值为4. 2.设m＞0，n＞0，且m＋2n＝1，则＋的最小值为（　　） A.4 B.3＋ C.3＋2 D.6 解析：C　由＋＝（m＋2n）＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当m＝n＝－1时等号成立. 3.若正数x，y满足x2＋xy－2＝0，则3x＋y的最小值是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：D　因为x2＋xy－2＝0，所以y＝＝－x，所以3x＋y＝3x＋－x＝2x＋≥4，当且仅当x＝1时，等号成立，所以3x＋y的最小值是4. 4.已知a＞0，b＞0，若＋≥恒成立，则实数λ的取值范围为（　　） A.λ≥5 B.λ≥9 C.λ≤5 D.λ≤9 解析：D　因为a＞0，b＞0，由已知可得λ≤（a＋b）·，因为（a＋b）＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当b＝2a时等号成立，故实数λ的取值范围为λ≤9.故选D. 5.已知x＞0，y＞0，x＋y＝1，则的最小值为（　　） A.4 B. C.＋2 D.2＋1 解析：D　因为x＞0，y＞0，x＋y＝1，所以原式＝＝＝＋＋1≥2＋1＝2＋1，当且仅当＝且x＋y＝1，即x＝－1，y＝2－时取等号，所以的最小值为2＋1.故选D. 6.〔多选〕若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是（　　） A.≥ B.＋≥1 C.≥2 D.a2＋b2≥8 解析：ABD　∵a＞0，b＞0，a＋b＝4，∴≤＝2（当且仅当a＝b＝2时取“＝”），∴ab≤4，∴≥，∴A正确，C错误；由以上分析得＋＝＝≥＝1，∴B正确；∵2（a2＋b2）≥（a＋b）2＝16，∴a2＋b2≥8，当且仅当a＝b＝2时取等号，∴D正确.故选A、B、D. 7.〔多选〕已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，则下列结论正确的是（　　） A.ab的最小值为 B.＋的最小值为8 C.＋的最大值为 D.（a＋1）（b＋1）的最大值为2 解析：BC　∵a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，∴由基本不等式可得，1＝2a＋b≥2，解得ab≤，当且仅当2a＝b＝，即a＝，b＝时等号成立，故A错误；＋＝（2a＋b）＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，故B正确；∵a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，∴1＝2a＋b≥2，＋＞0，∴（＋）2＝2a＋b＋2≤2a＋b＋2a＋b＝2，∴＋≤，当且仅当2a＝b＝，即a＝，b＝时等号成立，∴＋的最大值为，故C正确；（a＋1）（b＋1）＝（a＋2a＋b）（b＋2a＋b）＝2（3a＋b）（a＋b）＝2（3a2＋4ab＋b2）＝2[（2a＋b）2－a2]＝2（1－a2）＜2，故D错误.故选B、C. 8.已知x＞0，则的最大值为. 解析：因为＝，x＋≥4，当且仅当x＝2时取等号，所以的最大值为. 9.若实数a，b满足ab＞0，则a2＋4b2＋的最小值为4. 解析：实数a，b满足ab＞0，则a2＋4b2＋≥4ab＋≥4，当且仅当a＝2b且ab＝时等号成立. 10.已知x＞－1，则的最小值为16. 解析： ＝ ＝＝（x＋1）＋＋10，因为x＞－1，所以x＋1＞0，所以（x＋1）＋＋10≥2＋10＝16，当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立. 11.已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求： （1）xy的最小值； （2）x＋y的最小值. 解：（1）由2x＋8y－xy＝0， 得＋＝1，又x＞0，y＞0， 则1＝＋≥2＝，得xy≥64， 当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立. 所以xy的最小值为64. （2）由2x＋8y－xy＝0， 得＋＝1， 则x＋y＝·（x＋y）＝10＋＋≥10＋2＝18， 当且仅当x＝12，y＝6时等号成立，所以x＋y的最小值为18. 12.已知x＞0，y＞0，4x2＋y2＋xy＝1，求： （1）4x2＋y2的最小值； （2）2x＋y的最大值. 解：（1）∵x＞0，y＞0， ∴4x2＋y2≥2＝4xy＝4[1－（4x2＋y2）]， ∴4x2＋y2≥，当且仅当x＝，y＝时等号成立， ∴4x2＋y2的最小值是. （2）由x＞0，y＞0，且4x2＋y2＋xy＝1，得（2x＋y）2－1＝3xy＝·2x·y≤×， ∴（2x＋y）2≤， ∴2x＋y≤， 当且仅当x＝，y＝时等号成立， ∴2x＋y的最大值是. 13.设x＞0，y＞0. （1）若x＋y＝2，求＋的最大值； （2）若x2＋＝1，求x的最大值. 解：（1）因为（＋）2＝（x＋1）＋（y＋1）＋2≤（x＋1）＋（y＋1）＋（x＋1）＋（y＋1）＝2（x＋y）＋4＝8，所以＋≤2，当且仅当x＋1＝y＋1，即x＝y＝1时等号成立，所以＋的最大值为2. （2）法一　因为x＞0，y＞0，x2＋＝1，所以x＝≤·＝， 当且仅当x2＝＋，即x＝，y＝时，等号成立，所以x的最大值为. 法二　因为x2＋＝1，所以y2＝2－2x2. 因为x＞0，y＞0，所以解得0＜x＜1. 故x＝x＝x＝≤×＝， 当且仅当2x2＝3－2x2，即x＝时，等号成立， 故x的最大值为. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $