2.1 等式性质与不等式性质 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.1等式性质与不等式性质 讲解目录 【知识点1】不等关系与不等式 1 【知识点2】不等式比较大小 2 【知识点3】等式与不等式的性质 3 【题型1】不等式组表示生活中的问题 4 【题型2】作差法比较大小(分式型) 5 【题型3】作差法比较大小的实际应用 5 【题型4】作差法比较大小(配方法) 7 【题型5】不等式性质比较大小(特殊值法) 7 【题型6】已知不等式性质(双变量)求参数范围 8 【题型7】不等式性质的综合问题 9 【题型8】作差法比较大小(因式法) 9 【题型9】不等式性质的综合应用 10 【题型10】利用不等式性质(可乘性)判断大小 10 【题型11】用不等式表示数学问题 11 【题型12】用不等式表示生活问题 12 【题型13】不等式性质比较大小(综合问题) 13 【题型14】已知不等式性质(单变量范围)求取值范围 14 【题型15】不等式在生活中的应用 14 【题型16】不等式性质比较大小 16 【题型17】不等式性质比较大小(分析法) 16 知识讲解 【知识点1】不等关系与不等式 不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a-b＞0就是不等式． 不等式定理 ①对任意的a，b，有a＞b⇔a-b＞0；a=b⇒a-b=0；a＜b⇔a-b＜0，这三条性质是做差比较法的依据． ②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a． ③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c． 推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d． ④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc． 例1：解不等式：sinx≥． 解：∵sinx≥， ∴2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z）， ∴不等式sinx≥的解集为{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}． 这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解． 例2：当ab＞0时，a＞b⇔． 证明：由ab＞0，知＞0． 又∵a＞b，∴a＞b，即； 若，则 ∴a＞b． 这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广． 【知识点2】不等式比较大小 不等式大小比较的常用方法 （1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； （2）作商（常用于分数指数幂的代数式）； （3）分析法； （4）平方法； （5）分子（或分母）有理化； （6）利用函数的单调性； （7）寻找中间量或放缩法； （8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法． 方法一：作差法 典例1：若a＜0，b＜0，则p=与q=a+b的大小关系为（　　） A．p＜q    B．p≤q   C．p＞q    D．p≥q 解：p-q=-a-b==（b2-a2）=， ∵a＜0，b＜0，∴a+b＜0，ab＞0， 若a=b，则p-q=0，此时p=q， 若a≠b，则p-q＜0，此时p＜q， 综上p≤q， 故选：B 方法二：利用函数的单调性 典例2：三个数，，的大小顺序是（　　） A．＜＜  B．＜＜  C．＜＜    D．＜＜ 解：由指数函数的单调性可知，＞， 由幂函数的单调性可知，＞， 则＞＞， 故＜＜， 故选：B． 【知识点3】等式与不等式的性质 1．不等式的基本性质 （1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立： ①a＞b⇔a-b＞0； ②a＜b⇔a-b＜0； ③a=b⇔a-b=0． （2）不等式的基本性质 ①对称性：a＞b⇔b＜a；   ②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； ③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c． ④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d； ⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc； ⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； ⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）； ⑧开方法则：a＞b＞0⇒（ n∈N，且n＞1）． 题型专练 【题型1】不等式组表示生活中的问题 【典型例题】如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放语文书和英语书，已知每本英语书厚，每本语文书厚，语文书和英语书共84本恰好摆满该书架，则书架上英语书的本数为（ ） A. 38 B. 39 C. 41 D. 42 【举一反三1】A，B，C，D四名学生的年龄关系如下.A，C的年龄之和与B，D的年龄之和相同，C，D的年龄之和大于A，B的年龄之和，B的年龄大于A，D的年龄之和，则A，B，C，D的年龄关系是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写出不等式为______________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为______________． 【举一反三3】一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的；白球与黑球的个数之和至少为55，则用不等式(组)将题中的不等关系表示为________________． 【举一反三4】某班有48人，计划于元旦乘出租车前往某景区游玩，现需从A，B两种型号的出租车中选择一种，已知A型号的出租车比B型号的少5辆，若选择A型号出租车，每辆车乘坐4人，则出租车不够，每辆车乘坐5人，则有一辆车没有坐满但不空；若选择B型号出租车，每辆车乘坐3人，则出租车不够，每辆车乘坐4人，则出租车有剩余，设A型号的出租车有x辆，用不等式将题目中的不等关系表示出来． 【题型2】作差法比较大小(分式型) 【典型例题】若a，b，m都是正数，则不等式＞成立的条件是(　　) A.a＞b B.b＞a C.a＞m D.m＞b 【举一反三1】设，，则（    ）． A. B. C. D. 【举一反三2】若，则、、、中最小的是          . 【举一反三3】已知c>a>b>0，求证：>. 【举一反三4】已知a>b>0，比较aabb与abba的大小. 【题型3】作差法比较大小的实际应用 【典型例题】购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱一定.假设连续两天购买该物品，第一天物品的价格为，第二天物品的价格为，且，则以下选项正确的为(   ) A.第一种方式购买物品的单价为 B.第二种方式购买物品的单价为 C.第一种方式购买物品所用单价更低 D.第二种方式购买物品所用单价更低 【举一反三1】某体育器材公司投资一项新产品，先投入本金元，得到的利润是元．收益率为，假设在该投资的基础上，此公司再追加投资元，得到的利润也增加了x元，若使得该项投资的总收益率是增加的，则(    ) A. B. C. D. 【举一反三2】同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同.爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”这个时候小明若有所思，如果爸爸､妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x元/升，第二次加油汽油单价是y元/升，妈妈每次加满油箱，需加油a升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸､妈妈谁更合算呢？(    ) A.爸爸 B.妈妈 C.一样 D.不确定 【举一反三3】某次全程为的长跑比赛中，选手甲总共用时为，前一半时间以速度匀速跑，后一半时间以速度匀速跑：乙前一半路程以速度匀速跑，后一半路程以速度匀速跑：若，则          先到达终点(填“甲”或“乙”). 【举一反三4】矩形的一组邻边长为，，矩形的一组邻边长为，.按如图所示的方式重叠后两阴影部分的面积分别为、，则      (填“或”).    【举一反三5】 “高质量发展”已逐渐成为人们的共识.发展的同时更要重视生态环境的保护，2020年起，某政府对环保不达标的养鸡场进行限期整改或勒令关闭.一段时间内，鸡蛋的价格起伏较大(不同周价格不同).假设第一周、第二周鸡蛋的价格分别为x，y(单位：元/kg)；甲、乙两人的购买方式不同：甲每周购买4kg鸡蛋，乙每周购买12元钱鸡蛋． (1)若x＝8，y＝12，求甲、乙两周购买鸡蛋的平均价格； (2)判断甲、乙两人谁的购买方式更实惠(平均价格低视为实惠)，并说明理由． 【举一反三6】(1)已知克糖水中含有克糖，再添加克糖(假设全部溶解)，糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立． (2)东东和华华拿着钱去超市买糖，超市里面提供两种糖：种糖每千克元，种糖每千克元(两种糖价格不相等).东东买了相同质量的两种糖，华华买了相同价钱的两种糖.请问两人买到糖的平均价格分别是多少？谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.(物品的平均价格物品的总价钱物品的总质量) 【题型4】作差法比较大小(配方法) 【典型例题】若m＝3x2－x＋1，n＝2x2＋x－1，则m与n的大小关系是(　　) A.m>n B.m≥n C.m<n D.m≤n 【举一反三1】已知，，则，的大小关系是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】设，则（    ） A. B. C. D.P与Q的大小关系不确定 【举一反三3】已知，则       ．（用“>”或“<”填空） 【举一反三4】已知a＞0，求证：a＋≥2. 【举一反三5】已知等式 (1)若x、y均为正整数，求x、y的值； (2)设，，、分别是等式中的x取（）时y所对应的值，试比较p、q的大小，说明理由. 【题型5】不等式性质比较大小(特殊值法) 【典型例题】已知，则下列不等式一定正确的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】若a，b，c，d∈R，则下列说法正确的是（    ） A.若，，则 B.若，则 C.若，，则 D.若，则 【举一反三2】下列命题中的真命题是（    ） A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 【举一反三3】已知R，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A. B. C. D. 【题型6】已知不等式性质(双变量)求参数范围 【典型例题】若存在，使不等式成立，则实数a的（ ） A.最大值是－2 B.最小值是6 C.最小值是－2 D.最大值是6 【举一反三1】若不等式，，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 【举一反三2】已知集合，若是的必要条件，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【举一反三3】若－10＜a＜b＜8，则a＋b的取值范围是________，|a|＋b的取值范围是________． 【举一反三4】（2023·云南省曲靖市第一中学月考）已知，则的取值集合是__________. 【举一反三5】已知－2＜a≤3，1≤b＜2，求下列代数式的取值范围： (1)a＋b； (2)2a－3b. 【题型7】不等式性质的综合问题 【典型例题】下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【举一反三1】下列命题中，正确的是(　　) A.若a>b，c>d，则ac>bd B.若ac>bc，则a<b C.若a>b，c>d，则a－c>b－d D.若<，则a<b 【举一反三2】已知有理数a，b满足，则的值为（ ） A. B. C. 或0 D. 或0 【举一反三3】某高校在2023年9月初共有m名在校学生，其中有n(m>n)名大一新生，在9月底，又补录了b名学生，则新生占学生的比例____________(选填“变大”“变小”或“不变”)，其理论论据用数学形式表达为 ________________________________. 【举一反三4】已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值范围． 【题型8】作差法比较大小(因式法) 【典型例题】“”是“”的（    ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【举一反三1】已知a>b>c>0，m=b-ca，n=a-cb，则（    ） A.m≥n B.m>n C.m≤n D.m<n 【举一反三2】已知，则下列结论正确的是（    ） A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 【举一反三3】已知：，则大小关系是         ． 【举一反三4】已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，试比较x与y的大小． 【举一反三5】（1）若，试比较和的大小； （2）若，求证：. 【题型9】不等式性质的综合应用 【典型例题】如果，，那么下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【举一反三1】已知条件甲：a>0，条件乙：a>b且>，则甲是乙的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【举一反三2】已知，则的取值范围是______． 【举一反三3】判断下列各命题的真假，并说明理由. (1)若a<b，c<0，则<； (2)若ac3<bc3，则a>b； (3)若a>b，且k∈N*，则ak>bk； (4)若a>b，b>c，则a－b>b－c. 【题型10】利用不等式性质(可乘性)判断大小 【典型例题】（2023·甘肃省庆阳市第一中学期中）若，，且，则（ ） A. B. C. D. 【举一反三1】（2023·四川省宜宾市兴文第二中期中）若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【举一反三2】已知a＋b<0，且a>0，则(　　) A.a2<－ab<b2 B.b2<－ab<a2 C.a2<b2<－ab D.－ab<b2<a2 【举一反三3】（2023·江西省上饶市广丰中学月考）根据条件：a，b，c满足，且，有如下推理：① ② ③ ④其中正确的是（ ） A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 【举一反三4】已知a，b是实数，且a＞b，则－a        －b（填“＞”或“＜”）． 【举一反三5】若，那么    .(用“>或<或=”填空) 【举一反三6】已知a，b是实数，且a＞b，则－a        －b（填“＞”或“＜”）． 【题型11】用不等式表示数学问题 【典型例题】下列能表示“a不比b小”的不等关系的是(　　) A.a－b＞0 B.a－b＜0 C.a－b≥0 D.a－b≤0 【举一反三1】设，定义运算“”和“”如下：，若正数m，n，p，q满足，则（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】设，定义运算“”和“”如下：，若正数m，n，p，q满足，则（    ） A. B. C. D. 【举一反三3】下列能表示“a不比b小”的不等关系的是(　　) A.a－b＞0 B.a－b＜0 C.a－b≥0 D.a－b≤0 【举一反三4】某次数学智力测验，共有20道试题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得0分．某同学有一题未答，设这个学生至少答对x道题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系________(不用化简)． 【举一反三5】(2023·甘肃省白银市第四中学月考)用描述法表示如图中阴影部分点(含边界)的集合：________． 【举一反三6】某次数学智力测验，共有20道试题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得0分．某同学有一题未答，设这个学生至少答对x道题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系________(不用化简)． 【举一反三7】(2023·甘肃省白银市第四中学月考)用描述法表示如图中阴影部分点(含边界)的集合：________． 【题型12】用不等式表示生活问题 【典型例题】铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为a，b，c(单位：cm)，这个规定用数学关系式可表示为(　　) A.a＋b＋c>130 B.a＋b＋c<130 C.a＋b＋c≥130 D.a＋b＋c≤130 【举一反三1】某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为(　　) A.v≤120 km/h且d≥10 m B.v≤120 km/h或d≥10 m C.v≤120 km/h D.d≥10 m 【举一反三2】某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h（米）满足      . 【举一反三3】用不等式或不等式组表示下面的不等关系： (1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)从地面算起不能超过4 m; (2)a与b的和是非负实数； (3)如图，在一个面积小于350 m²的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位:m)的4倍. 【题型13】不等式性质比较大小(综合问题) 【典型例题】如果，则正确的是(    ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 【举一反三1】若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【举一反三2】已知，有四个推理：①；②；③；④，其中正确的序号是     ． 【举一反三3】已知，证明：若，则或. 【举一反三4】(1)设，，比较，的大小； (2)若，根据性质“如果，，那么”，证明：. 【题型14】已知不等式性质(单变量范围)求取值范围 【典型例题】若1<a<3，－4<b<2，则a－|b|的取值范围是(　　) A.{ a－|b||－3<a－|b|≤3} B.{ a－|b||－3<a－|b|<5} C.{ a－|b||－3<a－|b|<3} D.{ a－|b||1<a－|b|<4} 【举一反三1】若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是(　　) A.－2<α－β<0 B.－2<α－β<－1 C.－1<α－β<0 D.－1<α－β<1 【举一反三2】若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是(　　) A.－2<α－β<0 B.－2<α－β<－1 C.－1<α－β<0 D.－1<α－β<1 【举一反三3】若1<a<3，－4<b<2，则a－|b|的取值范围是(　　) A.{ a－|b||－3<a－|b|≤3} B.{ a－|b||－3<a－|b|<5} C.{ a－|b||－3<a－|b|<3} D.{ a－|b||1<a－|b|<4} 【举一反三4】若3≤x≤5，－2≤y≤－1，则x－y的取值范围是________，xy的取值范围是______． 【举一反三5】已知12<a<60,15<b<36，则的取值范围为________． 【举一反三6】已知，，设，则的取值范围是______. 【题型15】不等式在生活中的应用 【典型例题】李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是(　　) A.3x－6≥40 B.3x＋6≥40 C.3x－6≤40 D.3x＋4≤40 【举一反三1】将一根长5 m的绳子截成两段，已知其中一段绳子的长度为x m，若两段绳子长度之差不小于1 m，则x所满足的不等关系为(　　) A. B. C.2x－5≥1或5－2x≥1 D. 【举一反三2】在日常生活中有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜.已知克糖水中含有克糖()，再添加克糖()(假设全部溶解)，可将糖水变甜这一事实表示为下列哪一个不等式 A. B. C. D. 【举一反三3】甲､乙两人连续两天在同一个水果店购买了同一品种的砂糖橘，两天的价格不同，两人购买的方式不同，每人每天购买1次，甲每次总是买5斤，乙每次总是买20元的，设甲两次购买的平均价格为x元斤，乙两次购买的平均价格为y元斤，则下列关系式一定成立的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三4】有学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，则宿舍间数为________． 【举一反三5】有学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，则宿舍间数为________． 【举一反三6】 某校学生积极参加社团活动，高一年级共有名学生，其中参加合唱社团的学生有名，参加科技社团的学生有名（并非每个学生必须参加某个社团）.在高一年级的学生中，同时参加合唱社团和科技社团的最多有_______名学生，最少有__________名学生. 【题型16】不等式性质比较大小 【典型例题】已知、、，则“”是“”的（    ）条件 A.充要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.既非充分也非必要 【举一反三1】已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是(　　) A.a>>   B.>>a C.>a>   D.>>a 【举一反三2】给出四个条件：①； ②；③； ④．其中能成为的充分条件的有（    ） A.① B.② C.③ D.④ 【举一反三3】对于任意实数，，，，命题 ①若 ，，则 ；②若 ，则；③若 ，则 ；④若 ，则 ；⑤若 ，，则．其中真命题的个数是 （    ） A.1 B.2 C.3 D.4 【举一反三4】用不等号“>”或“<”填空: (1)如果a>b,c<d,那么a-c       b-d; (2)如果a>b>0,c<d<0,那么ac       bd; (3)如果a>b>0,那么____； (4)如果a>b>c>0,那么___. 【举一反三5】设m＝－，n＝－，p＝－，则m，n，p的大小顺序为________． 【举一反三6】设m＝－，n＝－，p＝－，则m，n，p的大小顺序为________． 【举一反三7】已知，且，则        （填“>”或“<”）. 【题型17】不等式性质比较大小(分析法) 【典型例题】设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a 【举一反三1】若a＝1，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a 【举一反三2】下列说法中正确的是（） A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 【举一反三3】设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a 【举一反三4】已知x∈R且x≠－1，比较与1－x的大小． 【举一反三5】（1）已知，求证； （2）利用（1）的结论，证明：（且）. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1等式性质与不等式性质 讲解目录 【知识点1】不等关系与不等式 1 【知识点2】不等式比较大小 2 【知识点3】等式与不等式的性质 3 【题型1】不等式组表示生活中的问题 4 【题型2】作差法比较大小(分式型) 6 【题型3】作差法比较大小的实际应用 8 【题型4】作差法比较大小(配方法) 11 【题型5】不等式性质比较大小(特殊值法) 13 【题型6】已知不等式性质(双变量)求参数范围 15 【题型7】不等式性质的综合问题 17 【题型8】作差法比较大小(因式法) 19 【题型9】不等式性质的综合应用 21 【题型10】利用不等式性质(可乘性)判断大小 22 【题型11】用不等式表示数学问题 24 【题型12】用不等式表示生活问题 27 【题型13】不等式性质比较大小(综合问题) 28 【题型14】已知不等式性质(单变量范围)求取值范围 30 【题型15】不等式在生活中的应用 32 【题型16】不等式性质比较大小 34 【题型17】不等式性质比较大小(分析法) 36 知识讲解 【知识点1】不等关系与不等式 不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a-b＞0就是不等式． 不等式定理 ①对任意的a，b，有a＞b⇔a-b＞0；a=b⇒a-b=0；a＜b⇔a-b＜0，这三条性质是做差比较法的依据． ②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a． ③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c． 推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d． ④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc． 例1：解不等式：sinx≥． 解：∵sinx≥， ∴2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z）， ∴不等式sinx≥的解集为{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}． 这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解． 例2：当ab＞0时，a＞b⇔． 证明：由ab＞0，知＞0． 又∵a＞b，∴a＞b，即； 若，则 ∴a＞b． 这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广． 【知识点2】不等式比较大小 不等式大小比较的常用方法 （1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； （2）作商（常用于分数指数幂的代数式）； （3）分析法； （4）平方法； （5）分子（或分母）有理化； （6）利用函数的单调性； （7）寻找中间量或放缩法； （8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法． 方法一：作差法 典例1：若a＜0，b＜0，则p=与q=a+b的大小关系为（　　） A．p＜q    B．p≤q   C．p＞q    D．p≥q 解：p-q=-a-b==（b2-a2）=， ∵a＜0，b＜0，∴a+b＜0，ab＞0， 若a=b，则p-q=0，此时p=q， 若a≠b，则p-q＜0，此时p＜q， 综上p≤q， 故选：B 方法二：利用函数的单调性 典例2：三个数，，的大小顺序是（　　） A．＜＜  B．＜＜  C．＜＜    D．＜＜ 解：由指数函数的单调性可知，＞， 由幂函数的单调性可知，＞， 则＞＞， 故＜＜， 故选：B． 【知识点3】等式与不等式的性质 1．不等式的基本性质 （1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立： ①a＞b⇔a-b＞0； ②a＜b⇔a-b＜0； ③a=b⇔a-b=0． （2）不等式的基本性质 ①对称性：a＞b⇔b＜a；   ②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； ③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c． ④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d； ⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc； ⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； ⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）； ⑧开方法则：a＞b＞0⇒（ n∈N，且n＞1）． 题型专练 【题型1】不等式组表示生活中的问题 【典型例题】如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放语文书和英语书，已知每本英语书厚，每本语文书厚，语文书和英语书共84本恰好摆满该书架，则书架上英语书的本数为（ ） A. 38 B. 39 C. 41 D. 42 【答案】D 【解析】设书架上有本英语书，本语文书， 所以，解之得，所以选择D. 【举一反三1】A，B，C，D四名学生的年龄关系如下.A，C的年龄之和与B，D的年龄之和相同，C，D的年龄之和大于A，B的年龄之和，B的年龄大于A，D的年龄之和，则A，B，C，D的年龄关系是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】为简便起见，复用表示四个同学的年龄，则 则：①，②,③. ①+②得,①+③得，②+③得,由于,,故由③得,, 由①得，∵,∴，∴,∴, 综上. 故选：D. 【举一反三2】一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写出不等式为______________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为______________． 【答案】8(x＋19)>2 200　>9 【解析】由题意知，汽车原来每天行驶x km,8天内它的行程超过2 200 km，则8(x＋19)>2 200.若每天行驶的路程比原来少12 km，原来行驶8天的路程就要用9天多，即>9. 【举一反三3】一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的；白球与黑球的个数之和至少为55，则用不等式(组)将题中的不等关系表示为________________． 【答案】(x，y，z∈N*) 【解析】由题意可得 (x，y，z∈N*)． 【举一反三4】某班有48人，计划于元旦乘出租车前往某景区游玩，现需从A，B两种型号的出租车中选择一种，已知A型号的出租车比B型号的少5辆，若选择A型号出租车，每辆车乘坐4人，则出租车不够，每辆车乘坐5人，则有一辆车没有坐满但不空；若选择B型号出租车，每辆车乘坐3人，则出租车不够，每辆车乘坐4人，则出租车有剩余，设A型号的出租车有x辆，用不等式将题目中的不等关系表示出来． 【答案】解　由已知得，A型号的出租车有x辆，则B型号出租车有(x＋5)辆， 则 【题型2】作差法比较大小(分式型) 【典型例题】若a，b，m都是正数，则不等式＞成立的条件是(　　) A.a＞b B.b＞a C.a＞m D.m＞b 【答案】B 【解析】＞⇒－＞0⇒－＝＞0， 因为a，b，m都是正数，所以要想使不等式成立，只需b－a＞0，即b＞a. 【举一反三1】设，，则（    ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D. 【举一反三2】若，则、、、中最小的是          . 【答案】 【解析】因为，所以，，， 因为，，所以，， 即， 故答案为：. 【举一反三3】已知c>a>b>0，求证：>. 【答案】证明　方法一　因为c>a>b>0， 所以0<c－a<c－b， 所以(c－a)(c－b)>0， 所以0<·(c－a)<·(c－b)， 即0<<， 即>>0， 又因为a>b>0，所以>. 方法二　因为a>b>0，所以<， 因为c>0，所以<， 所以－1<－1，即<， 因为c>a>b>0，所以c－a>0，c－b>0. 所以>. 方法三　－＝ ＝＝， 因为c>a>b>0， 所以a－b>0，c－a>0，c－b>0， 所以>. 【举一反三4】已知a>b>0，比较aabb与abba的大小. 【答案】解　∵＝＝a－b， 又a>b>0，故>1，a－b>0， ∴a－b>1，即>1， 又abba>0，∴aabb>abba， ∴aabb与abba的大小关系为aabb>abba. 【题型3】作差法比较大小的实际应用 【典型例题】购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱一定.假设连续两天购买该物品，第一天物品的价格为，第二天物品的价格为，且，则以下选项正确的为(   ) A.第一种方式购买物品的单价为 B.第二种方式购买物品的单价为 C.第一种方式购买物品所用单价更低 D.第二种方式购买物品所用单价更低 【答案】D 【解析】第一种策略：设每次购买这种物品的数量均为， 则平均价格为，故A不正确； 第二种策略：设每次购买这种物品所花的钱为， 第一次能购得该物品的数量为，第二次能购得该物品的数量为， 则平均价格为，B错误； 因为， 所以，C错误，D正确. 故选：D. 【举一反三1】某体育器材公司投资一项新产品，先投入本金元，得到的利润是元．收益率为，假设在该投资的基础上，此公司再追加投资元，得到的利润也增加了x元，若使得该项投资的总收益率是增加的，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】依题意，公司再追加投资元后的的总收益率是，而， 则由得，即， 所以有. 故选：D. 【举一反三2】同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同.爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”这个时候小明若有所思，如果爸爸､妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x元/升，第二次加油汽油单价是y元/升，妈妈每次加满油箱，需加油a升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸､妈妈谁更合算呢？(    ) A.爸爸 B.妈妈 C.一样 D.不确定 【答案】A 【解析】由题意，妈妈两次加油共需付款元，爸爸两次能加升油 设爸爸两次加油的平均单价为元/升，妈妈两次加油的平均单价为元/升 则，且 ∴， 所以爸爸的加油方式更合算， 故选：A. 【举一反三3】某次全程为的长跑比赛中，选手甲总共用时为，前一半时间以速度匀速跑，后一半时间以速度匀速跑：乙前一半路程以速度匀速跑，后一半路程以速度匀速跑：若，则          先到达终点(填“甲”或“乙”). 【答案】甲 【解析】由题意可知对于选手甲，，则，， 设选手乙总共用时，则对于选手乙，，则， ， 即，即甲先到达终点， 故答案为：甲. 【举一反三4】矩形的一组邻边长为，，矩形的一组邻边长为，.按如图所示的方式重叠后两阴影部分的面积分别为、，则      (填“或”).    【答案】 【解析】设空白处面积为，，， 因为， 所以. 故答案为：. 【举一反三5】 “高质量发展”已逐渐成为人们的共识.发展的同时更要重视生态环境的保护，2020年起，某政府对环保不达标的养鸡场进行限期整改或勒令关闭.一段时间内，鸡蛋的价格起伏较大(不同周价格不同).假设第一周、第二周鸡蛋的价格分别为x，y(单位：元/kg)；甲、乙两人的购买方式不同：甲每周购买4kg鸡蛋，乙每周购买12元钱鸡蛋． (1)若x＝8，y＝12，求甲、乙两周购买鸡蛋的平均价格； (2)判断甲、乙两人谁的购买方式更实惠(平均价格低视为实惠)，并说明理由． 【答案】解　(1)甲两周购买鸡蛋的平均价格为元;   乙两周购买鸡蛋的平均价格为元. (2)甲两周购买鸡蛋的平均价格为       乙两周购买鸡蛋的平均价格为             因为 所以, 即，所以乙的购买方式更实惠. 【举一反三6】(1)已知克糖水中含有克糖，再添加克糖(假设全部溶解)，糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立． (2)东东和华华拿着钱去超市买糖，超市里面提供两种糖：种糖每千克元，种糖每千克元(两种糖价格不相等).东东买了相同质量的两种糖，华华买了相同价钱的两种糖.请问两人买到糖的平均价格分别是多少？谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.(物品的平均价格物品的总价钱物品的总质量) 【答案】解　(1)克糖水中含有克糖，则糖在糖水中所占的比例为， 再添加克糖(假设全部溶解)，则糖在糖水中所占的比例， 糖水变甜了，说明加糖后，糖在糖水中所占的比例变大了，即有，证明如下： ，则； (2)对于东东而言，他买到的糖的平均价格为(元/千克)， 对于华华而言，设华华买两种糖的费用均为元，则他买到的糖的总质量为千克， 故华华买到的糖的平均价格为(元/千克)， ，即东东买到的糖的平均价格较高. 【题型4】作差法比较大小(配方法) 【典型例题】若m＝3x2－x＋1，n＝2x2＋x－1，则m与n的大小关系是(　　) A.m>n B.m≥n C.m<n D.m≤n 【答案】A 【解析】m－n＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，因此m>n. 【举一反三1】已知，，则，的大小关系是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵，当且仅当时取等号， ∴. 故选：D. 【举一反三2】设，则（    ） A. B. C. D.P与Q的大小关系不确定 【答案】A 【解析】因为 所以 故. 故选：A. 【举一反三3】已知，则       ．（用“>”或“<”填空） 【答案】> 【解析】因为, 又，，所以，所以， 故答案为：>. 【举一反三4】已知a＞0，求证：a＋≥2. 【答案】证明　因为a＞0， 所以a＋－2＝()2＋2－2＝2≥0，所以a＋≥2. 【举一反三5】已知等式 (1)若x、y均为正整数，求x、y的值； (2)设，，、分别是等式中的x取（）时y所对应的值，试比较p、q的大小，说明理由. 【答案】解　(1)由得：，即， ∵x，y为正整数，∴可知y只能为1或2， ∴当时，，当时，，即x，y的值为：或； (2)，理由如下： 由题设条件可知，， ∵，∴， 设，， ∵，∴，即， ∵，， 即，，即， 由 ∵，，即， ∴. 【题型5】不等式性质比较大小(特殊值法) 【典型例题】已知，则下列不等式一定正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为，所以，故D正确； 对于A：若，，满足，此时，故A错误； 对于B：若，，满足，此时，故B错误； 对于C：因为，所以，故C错误； 故选：D. 【举一反三1】若a，b，c，d∈R，则下列说法正确的是（    ） A.若，，则 B.若，则 C.若，，则 D.若，则 【答案】D 【解析】对于A选项，由可得，因，故不能判断的值正负，故A项错误； 对于B选项，因时，，故B项错误； 对于C选项，取满足，， 但是有，故C项错误； 对于D选项，因a>b>0因，故， 由不等式的同向皆正可乘性可得：，移项得：，故D项正确. 故选：D. 【举一反三2】下列命题中的真命题是（    ） A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 【答案】D 【解析】对A：若，当时，，故A错误； 对B：若，，设，，，， 则，故B错误； 对C：若，当时，，故C错误； 对D：若，则得，故D正确. 故选：D. 【举一反三3】已知R，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】对于A：当时，，A错误； 对于B：，，所以，B正确； 对于C：当时，满足，但，C错误； 对于D：当时，满足，，D错误. 故选：B. 【题型6】已知不等式性质(双变量)求参数范围 【典型例题】若存在，使不等式成立，则实数a的（ ） A.最大值是－2 B.最小值是6 C.最小值是－2 D.最大值是6 【答案】A 【解析】因为存在，使不等式， 所以. 时，，所以， 由均值不等式知，当且仅当时取等号， 故，. 【举一反三1】若不等式，，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】，又， 故选：B. 【举一反三2】已知集合，若是的必要条件，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为是的必要条件，所以， 等价于成立. 构造函数，即在恒成立， 所以，代入得，等价于， 又因为， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故选：D. 【举一反三3】若－10＜a＜b＜8，则a＋b的取值范围是________，|a|＋b的取值范围是________． 【答案】－20＜a＋b＜16　0＜|a|＋b＜18 【解析】(1)当a≥0时，0≤a＜8，0＜b＜8，故0＜a＋b＜16，而|a|＋b＝a＋b，所以0＜|a|＋b＜16； (2)当a＜0时，－10＜a＜0，故0＜|a|＝－a＜10， 又－10＜b＜8，所以－20＜a＋b＜8，－10＜|a|＋b＜18，又a＜b，所以|a|＋b＞0，所以0＜|a|＋b＜18. 综上，a＋b的取值范围是－20＜a＋b＜16，|a|＋b的取值范围是0＜|a|＋b＜18. 【举一反三4】（2023·云南省曲靖市第一中学月考）已知，则的取值集合是__________. 【答案】 【解析】由，可得， 因为， 所以，故的取值集合是. 故答案为：. 【举一反三5】已知－2＜a≤3，1≤b＜2，求下列代数式的取值范围： (1)a＋b； (2)2a－3b. 【答案】解　(1)由－2＜a≤3，1≤b＜2，得－1＜a＋b＜5. 所以a＋b的取值范围是{a＋b|－1＜a＋b＜5}． (2)由－2＜a≤3得－4＜2a≤6.① 由1≤b＜2得－6＜－3b≤－3.② 由①＋②得，－10＜2a－3b≤3. 所以2a－3b的取值范围是{2a－3b|－10＜2a－3b≤3}． 【题型7】不等式性质的综合问题 【典型例题】下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】对于选项A.当时，则有，故A错误； 对于选项B.若，，，，则不成立，故B错误； 对于选项C.由，可得；又因为，两个不等式相加可得，即，故C错误； 对于选项D.因为，所以；又因为，则； 不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变， 所以，即，故D正确. 【举一反三1】下列命题中，正确的是(　　) A.若a>b，c>d，则ac>bd B.若ac>bc，则a<b C.若a>b，c>d，则a－c>b－d D.若<，则a<b 【答案】D 【解析】选项A中，当a>b>0，c>d>0时，ac>bd成立，但是当a，c均为负值时不成立，故A不正确； 选项B中，当c<0时，ac>bc可推出a<b.当c>0时，ac>bc可推出a>b，故B不正确； 选项C中，由a>b，c>d，可得a－d>b－c，故C不正确； 选项D中，若<成立，显然c≠0，所以c2>0，根据不等式的性质，不等式两边同乘一个正数，所得的不等式的不等号与原不等式的不等号同向，显然有a<b成立，故D正确． 【举一反三2】已知有理数a，b满足，则的值为（ ） A. B. C. 或0 D. 或0 【答案】C 【解析】因为，所以分为以下四种情况讨论 当，时，原式=； 当，时，原式； 当，时，原式； 当，时，原式． 故选：C． 【举一反三3】某高校在2023年9月初共有m名在校学生，其中有n(m>n)名大一新生，在9月底，又补录了b名学生，则新生占学生的比例____________(选填“变大”“变小”或“不变”)，其理论论据用数学形式表达为 ________________________________. 【答案】变大　若m>n>0，b>0，则< 【解析】由题意补录了b名学生，新生人数增多，而原有学生人数不变，由此知，新生所占的比例必增大． 由于补录后新生人数变为n＋b，在校生人数增加为m＋b， 故所对应的不等式模型是<， 即若m>n>0，b>0，则<. 【举一反三4】已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值范围． 【答案】解　∵1＜a＜4，2＜b＜8，∴2＜2a＜8，6＜3b＜24. ∴8＜2a＋3b＜32. ∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2. 又∵1＜a＜4，∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)， 即－7＜a－b＜2. 故2a＋3b的取值范围是8<2a＋3b<32，a－b的取值范围是－7<a－b<2. 【题型8】作差法比较大小(因式法) 【典型例题】“”是“”的（    ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 ， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 【举一反三1】已知a>b>c>0，m=b-ca，n=a-cb，则（    ） A.m≥n B.m>n C.m≤n D.m<n 【答案】D 【解析】作差可得： ， 因为a>b>c>0， 所以， 所以，所以. 故选：D. 【举一反三2】已知，则下列结论正确的是（    ） A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 【答案】D 【解析】对于A中，当时，可得，所以A错误； 对于B中，由，可得，所以，所以B错误； 对于C中，由， 因为，所以，，，所以， 所以，所以C错误； 对于D中，由， 因为，所以，所以，所以D正确． 故选：D. 【举一反三3】已知：，则大小关系是         ． 【答案】 【解析】由，得，因此， 显然，则， 所以大小关系是. 故答案为：. 【举一反三4】已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，试比较x与y的大小． 【答案】解　x－y＝a3－b－a2b＋a＝a2(a－b)＋a－b＝(a－b)(a2＋1)， 当a>b时，a－b>0，即x－y>0，所以x>y； 当a＝b时，a－b＝0，即x－y＝0，所以x＝y； 当a<b时，a－b<0，即x－y<0，所以x<y. 【举一反三5】（1）若，试比较和的大小； （2）若，求证：. 【答案】（1）解　作差得：； 所以当时，； 当时，； 当时，； （2）证明　作商得：， ∵，∴，且， ∴，因此. 【题型9】不等式性质的综合应用 【典型例题】如果，，那么下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】对于A、当，，则不成立，故A错误； 对于B，当，，则不成立，故B错误； 对于C，当，，则不成立，故C错误； 对于D，因为，，所以，故D正确. 故选：D. 【举一反三1】已知条件甲：a>0，条件乙：a>b且>，则甲是乙的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为a>0不能推出a>b，所以充分性不成立；若a>b且>，即a>b且>0，可得b－a<0且ab<0，则a>0，b<0，即a>b且>，能推出a>0，所以必要性成立.所以可得甲是乙的必要不充分条件． 【举一反三2】已知，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】将两边同时乘2可得，将与同时相加可得，故的取值范围是. 【举一反三3】判断下列各命题的真假，并说明理由. (1)若a<b，c<0，则<； (2)若ac3<bc3，则a>b； (3)若a>b，且k∈N*，则ak>bk； (4)若a>b，b>c，则a－b>b－c. 【答案】解　(1)∵a<b，不一定有ab>0，∴>不一定成立，∴推不出<，∴是假命题. (2)当c>0时，c3>0，∴a<b，∴是假命题. (3)当a＝1，b＝－2，k＝2时，显然命题不成立，∴是假命题. (4)当a＝2，b＝0，c＝－3时，满足a>b，b>c这两个条件，但是a－b＝2<b－c＝3，∴是假命题. 【题型10】利用不等式性质(可乘性)判断大小 【典型例题】（2023·甘肃省庆阳市第一中学期中）若，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】对于A，当时，，故A错误； 对于B，取，，∴，，∴，故B错误； 对于C，∵，∴，故C正确； 对于D，取，，则，故D错误. 故选：C. 【举一反三1】（2023·四川省宜宾市兴文第二中期中）若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】对于A选项，若，则，故A错误； 对于B选项，取，，满足，但此时， 故B错误； 对于C选项，∵，在不等式同时乘以，得， 另一方面在不等式两边同时乘以b，得，∴，故C正确； 对于D选项，，则，所以，即，故D错误. 故选：C. 【举一反三2】已知a＋b<0，且a>0，则(　　) A.a2<－ab<b2 B.b2<－ab<a2 C.a2<b2<－ab D.－ab<b2<a2 【答案】A 【解析】由a＋b<0，且a>0，得0<a<－b. ∴a2<－ab，且－ab<(－b)2＝b2， 因此a2<－ab<b2. 【举一反三3】（2023·江西省上饶市广丰中学月考）根据条件：a，b，c满足，且，有如下推理：① ② ③ ④其中正确的是（ ） A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 【答案】B 【解析】由，因为，所以， 对于b的值可正可负也可为0， 因为，而，所以，所以①错误； 因为，，从而，所以②错误； 因为，当时，， 当时，由，所以③正确； 因为，，④正确； 综上可知，③④正确. 故选：B． 【举一反三4】已知a，b是实数，且a＞b，则－a        －b（填“＞”或“＜”）． 【答案】＜ 【解析】因为，所以， 故答案为：. 【举一反三5】若，那么    .(用“>或<或=”填空) 【答案】 【解析】因为，所以， 所以，即， 因为，所以，即， 故答案为：. 【举一反三6】已知a，b是实数，且a＞b，则－a        －b（填“＞”或“＜”）． 【答案】＜ 【解析】因为，所以， 故答案为：. 【题型11】用不等式表示数学问题 【典型例题】下列能表示“a不比b小”的不等关系的是(　　) A.a－b＞0 B.a－b＜0 C.a－b≥0 D.a－b≤0 【答案】C 【举一反三1】设，定义运算“”和“”如下：，若正数m，n，p，q满足，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】对于AC，不妨取，则，排除AC； 对于B，取，则，可排除B； 对于D，假设且，则（矛盾）， 故m，n至少有一个大于等于2，所以. 假设且，则（矛盾）， 故p，q至少又一个小于等于2，故. 综上，D正确. 故选：D. 【举一反三2】设，定义运算“”和“”如下：，若正数m，n，p，q满足，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】对于AC，不妨取，则，排除AC； 对于B，取，则，可排除B； 对于D，假设且，则（矛盾）， 故m，n至少有一个大于等于2，所以. 假设且，则（矛盾）， 故p，q至少又一个小于等于2，故. 综上，D正确. 故选：D. 【举一反三3】下列能表示“a不比b小”的不等关系的是(　　) A.a－b＞0 B.a－b＜0 C.a－b≥0 D.a－b≤0 【答案】C 【举一反三4】某次数学智力测验，共有20道试题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得0分．某同学有一题未答，设这个学生至少答对x道题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系________(不用化简)． 【答案】5x－2(19－x)≥80，x∈N* 【解析】这个学生至少答对x道题，有一题未答，故答错(19－x) 道题，不等关系为5x－2(19－x)≥80，x∈N*. 【举一反三5】(2023·甘肃省白银市第四中学月考)用描述法表示如图中阴影部分点(含边界)的集合：________． 【答案】 【解析】依题意图中阴影部分的点(含边界)的集合为. 故答案为：. 【举一反三6】某次数学智力测验，共有20道试题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得0分．某同学有一题未答，设这个学生至少答对x道题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系________(不用化简)． 【答案】5x－2(19－x)≥80，x∈N* 【解析】这个学生至少答对x道题，有一题未答，故答错(19－x) 道题，不等关系为5x－2(19－x)≥80，x∈N*. 【举一反三7】(2023·甘肃省白银市第四中学月考)用描述法表示如图中阴影部分点(含边界)的集合：________． 【答案】 【解析】依题意图中阴影部分的点(含边界)的集合为. 故答案为：. 【题型12】用不等式表示生活问题 【典型例题】铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为a，b，c(单位：cm)，这个规定用数学关系式可表示为(　　) A.a＋b＋c>130 B.a＋b＋c<130 C.a＋b＋c≥130 D.a＋b＋c≤130 【答案】D 【解析】根据乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm可知，a＋b＋c≤130. 【举一反三1】某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为(　　) A.v≤120 km/h且d≥10 m B.v≤120 km/h或d≥10 m C.v≤120 km/h D.d≥10 m 【答案】A 【解析】v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m.二者需同时满足，故用“且”连接。 【举一反三2】某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h（米）满足      . 【答案】 【解析】司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h（米）满足. 【举一反三3】用不等式或不等式组表示下面的不等关系： (1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)从地面算起不能超过4 m; (2)a与b的和是非负实数； (3)如图，在一个面积小于350 m²的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位:m)的4倍. 【答案】解　(1)0<h≤4. (2)a+b≥0. 【题型13】不等式性质比较大小(综合问题) 【典型例题】如果，则正确的是(    ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 【答案】C 【解析】因为，所以 对于A，不妨令，则有，但，故A错误； 对于B，令，则虽有，但，故B错误； 对于C，因为，所以， 又，所以两式相加得，故C正确； 对于D，不妨令，则有，但，故D错误. 故选：C. 【举一反三1】若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由，得，A错误. 由，得，则，B错误. 由，得，，C正确. 由，得，，D错误. 【举一反三2】已知，有四个推理：①；②；③；④，其中正确的序号是     ． 【答案】③ 【解析】对于①，当时，显然不等式不成立，故①错误； 对于②，当时，满足，不满足，故②错误； 对于③，由，则，即，故③正确； 对于④，由得同号，故当时，等价于，故，故④错误. 故答案为：③. 【举一反三3】已知，证明：若，则或. 【答案】证明　假设且，则，与已知矛盾， 所以假设不成立，故或. 【举一反三4】(1)设，，比较，的大小； (2)若，根据性质“如果，，那么”，证明：. 【答案】(1)解　， 所以. (2)证明　因为，，所以， 所以，即. 又因为，所以. 【题型14】已知不等式性质(单变量范围)求取值范围 【典型例题】若1<a<3，－4<b<2，则a－|b|的取值范围是(　　) A.{ a－|b||－3<a－|b|≤3} B.{ a－|b||－3<a－|b|<5} C.{ a－|b||－3<a－|b|<3} D.{ a－|b||1<a－|b|<4} 【答案】C 【解析】∵－4<b<2，∴0≤|b|<4， ∴－4<－|b|≤0. 又∵1<a<3，∴－3<a－|b|<3. 【举一反三1】若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是(　　) A.－2<α－β<0 B.－2<α－β<－1 C.－1<α－β<0 D.－1<α－β<1 【答案】A 【解析】由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1.∴－2<α－β<2，又因为α<β.所以－2<α－β<0.故选A. 【举一反三2】若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是(　　) A.－2<α－β<0 B.－2<α－β<－1 C.－1<α－β<0 D.－1<α－β<1 【答案】A 【解析】由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1.∴－2<α－β<2，又因为α<β.所以－2<α－β<0.故选A. 【举一反三3】若1<a<3，－4<b<2，则a－|b|的取值范围是(　　) A.{ a－|b||－3<a－|b|≤3} B.{ a－|b||－3<a－|b|<5} C.{ a－|b||－3<a－|b|<3} D.{ a－|b||1<a－|b|<4} 【答案】C 【解析】∵－4<b<2，∴0≤|b|<4， ∴－4<－|b|≤0. 又∵1<a<3，∴－3<a－|b|<3. 【举一反三4】若3≤x≤5，－2≤y≤－1，则x－y的取值范围是________，xy的取值范围是______． 【答案】{x－y|4≤x－y≤7}　{xy|－10≤xy≤－3} 【解析】∵3≤x≤5，－2≤y≤－1，∴1≤－y≤2，∴4≤x－y≤7，∴3≤x(－y)≤10，∴－10≤xy≤－3. 【举一反三5】已知12<a<60,15<b<36，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】∵15<b<36，∴<<<，而12<a<60，根据不等式的性质可得12×<a·<×60，即<<4，所以的取值范围为{|<<4}. 【举一反三6】已知，，设，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】设 对照系数可得， 解得，，所以. 又，所以①. 又，所以②， +②可得，故. 【题型15】不等式在生活中的应用 【典型例题】李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是(　　) A.3x－6≥40 B.3x＋6≥40 C.3x－6≤40 D.3x＋4≤40 【答案】B 【解析】x月后他至少有400元，可表示成30x＋60≥400，即3x＋6≥40. 【举一反三1】将一根长5 m的绳子截成两段，已知其中一段绳子的长度为x m，若两段绳子长度之差不小于1 m，则x所满足的不等关系为(　　) A. B. C.2x－5≥1或5－2x≥1 D. 【答案】D 【解析】由题意知，若其中一段绳子的长度为xcm，则另一段绳子的长度为(5－x)m， 因为两段绳子的长度之差不小于1 m， 所以即 【举一反三2】在日常生活中有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜.已知克糖水中含有克糖()，再添加克糖()(假设全部溶解)，可将糖水变甜这一事实表示为下列哪一个不等式 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：根据不等式中两个重要不等式判定得，， 糖水变甜说明加糖后分式的值变大了，只有符合. 故选：B. 【举一反三3】甲､乙两人连续两天在同一个水果店购买了同一品种的砂糖橘，两天的价格不同，两人购买的方式不同，每人每天购买1次，甲每次总是买5斤，乙每次总是买20元的，设甲两次购买的平均价格为x元斤，乙两次购买的平均价格为y元斤，则下列关系式一定成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设砂糖橘第一天的价格是元/斤，第二天价格是元/斤，，， 则，， ∵，∴，即， ∴，，A错；；B错； 在上不是单调函数，C错； ，∴，D正确． 故选：D． 【举一反三4】有学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，则宿舍间数为________． 【答案】10，11或12 【解析】设宿舍有x间，则学生有(4x＋19)人，依题意，解得＜x＜.∵x∈N*，∴x＝10，11或12. 【举一反三5】有学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，则宿舍间数为________． 【答案】10，11或12 【解析】设宿舍有x间，则学生有(4x＋19)人，依题意，解得＜x＜.∵x∈N*，∴x＝10，11或12. 【举一反三6】 某校学生积极参加社团活动，高一年级共有名学生，其中参加合唱社团的学生有名，参加科技社团的学生有名（并非每个学生必须参加某个社团）.在高一年级的学生中，同时参加合唱社团和科技社团的最多有_______名学生，最少有__________名学生. 【答案】 【解析】画出韦恩图，设同时参加合唱社团和科技社团的学生人数为，则， 由题意可得，解得，故， 故同时参加合唱社团和科技社团的最多有个学生，最少有个学生. 【题型16】不等式性质比较大小 【典型例题】已知、、，则“”是“”的（    ）条件 A.充要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.既非充分也非必要 【答案】C 【解析】因为、、，当时，则，即“”“”， 若，则，由不等式的基本性质可得，即“”“”， 因此，“”是“”的必要非充分条件. 故选：C. 【举一反三1】已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是(　　) A.a>>   B.>>a C.>a>   D.>>a 【答案】D 【解析】由题意知>0，b2>1，∴0<<1，又a<0， ∴a<<0， ∴>>a. 【举一反三2】给出四个条件：①； ②；③； ④．其中能成为的充分条件的有（    ） A.① B.② C.③ D.④ 【答案】A 【解析】对于①，因为，所以，所以， 所以能成为的充分条件； 对于②，当时，由，得， 所以不能成为的充分条件； 对于③，当时，， 所以不能成为的充分条件； 对于④，当时，， 所以不能成为的充分条件. 故选：A. 【举一反三3】对于任意实数，，，，命题 ①若 ，，则 ；②若 ，则；③若 ，则 ；④若 ，则 ；⑤若 ，，则．其中真命题的个数是 （    ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【解析】命题①若 ，，当时， ，故命题①为假命题； 命题②若 ，当时，则，故命题②为假命题； 命题③若 ，则，正确，故命题③为真命题； 命题④若 ，当时，，故命题④为假命题； 命题⑤若 ，，当，，，时，则，故命题⑤为假命题; 有1条真命题. 故选：A. 【举一反三4】用不等号“>”或“<”填空: (1)如果a>b,c<d,那么a-c       b-d; (2)如果a>b>0,c<d<0,那么ac       bd; (3)如果a>b>0,那么____； (4)如果a>b>c>0,那么___. 【答案】(1)> (2)< (3)< (4)< 【举一反三5】设m＝－，n＝－，p＝－，则m，n，p的大小顺序为________． 【答案】m>n>p 【解析】m＝＝＝， n＝＝＝， p＝＝＝， ∵0<＋<＋<＋， ∴>>>0， ∴m>n>p. 【举一反三6】设m＝－，n＝－，p＝－，则m，n，p的大小顺序为________． 【答案】m>n>p 【解析】m＝＝＝， n＝＝＝， p＝＝＝， ∵0<＋<＋<＋， ∴>>>0， ∴m>n>p. 【举一反三7】已知，且，则        （填“>”或“<”）. 【答案】< 【解析】由题意知，，则， 所以，即. 故答案为：<. 【题型17】不等式性质比较大小(分析法) 【典型例题】设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a 【答案】B 【解析】因为b＝－＝，c＝－＝. ＋>＋， 所以<，所以b<c. 因为(＋)＝2＋2>4， 所以<，即c<a. 综上可得a>c>b. 【举一反三1】若a＝1，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a 【答案】A 【解析】由b＝－＝，c＝－＝，而＋<＋，得>，所以b>c，又b<1，c<1，综上，a>b>c，故选A. 【举一反三2】下列说法中正确的是（） A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 【答案】B 【解析】A选项：当时，，A错误. B选项：若，则，根据绝对值性质，，，所以，B正确. C选项：当时，，不成立，C错误. D选项：若，当时，，D错误. 综上，选B. 【举一反三3】设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a 【答案】B 【解析】因为b＝－＝，c＝－＝. ＋>＋， 所以<，所以b<c. 因为(＋)＝2＋2>4， 所以<，即c<a. 综上可得a>c>b. 【举一反三4】已知x∈R且x≠－1，比较与1－x的大小． 【答案】解　因为－(1－x)＝＝， 当x＝0时，＝1－x； 当1＋x＜0，即x＜－1时，＜0，所以＜1－x； 当1＋x＞0且x≠0，即－1＜x＜0或x＞0时，＞0，所以＞1－x. 【举一反三5】（1）已知，求证； （2）利用（1）的结论，证明：（且）. 【答案】证明　（1）因为，所以， 于是. （2）即证（且）， 由（1）式可知，， 故 （且）， （且）， 即（且），原式得证. 学科网（北京）股份有限公司 $