第11讲 抛物线（八大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（苏教版2019选择性必修第一册）

第11讲 抛物线 【苏教版2019】 模块一 抛物线的标准方程 1．抛物线的定义 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. (2)集合语言表示 设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}. 2．抛物线的标准方程 抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 3．抛物线标准方程的求解 待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 【题型1 抛物线的定义及辨析】 【例1】（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在上.若到直线的距离为8，则=（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【变式1.2】（24-25高二下·江苏南京·期末）已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（   ） A． B．5 C．6 D． 【变式1.3】（24-25高二上·福建三明·期中）已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 【题型2 求抛物线的轨迹方程】 【例2】（24-25高二上·浙江宁波·期中）若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高二上·四川成都·期中）已知点，，直线的斜率为，直线的斜率为，若，则点的轨迹为不包含，两点的（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式2.2】（2025·辽宁沈阳·一模）已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】 【例3】（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知抛物线的方程为，则抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高二上·江苏镇江·期末）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式3.3】（24-25高二上·安徽·期末）已知抛物线的方程为，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【题型4 求抛物线的标准方程】 【例4】（24-25高二上·天津河西·期末）准线方程为的抛物线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二上·贵州贵阳·期末）已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高二上·湖南·期末）若抛物线上一点到其焦点的距离为9，则该抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高二上·重庆·期末）若抛物线过点，则该抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【题型5 根据抛物线的方程求参数】 【例5】（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线上一点，则（   ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若是边长为2的等边三角形，则的值是（     ）. A．1 B． C．2 D． 【变式5.2】（24-25高二下·云南昭通·期中）设第四象限的点为抛物线上一点，为焦点，若，则（    ） A．-4 B． C． D．-32 【变式5.3】（2025·广东佛山·一模）设抛物线的焦点为，准线为是上一点，是与轴的交点，若，则（    ） A． B．2 C． D．4 模块二 抛物线的简单几何性质 1．抛物线的几何性质 抛物线的简单几何性质： 标准 方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 顶点 (0,0) (0,0) 轴 对称轴y=0 对称轴x=0 焦点 准线 离心率 e =1 e=1 开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 焦半径 范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 2．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异 抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异： ①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形； ②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点； ④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是 e=1； ⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线； ⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线. 3．与抛物线有关的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解. 【题型6 抛物线的对称性的应用】 【例6】（24-25高二·全国·课后作业）若点在抛物线上，则下列点中一定在该抛物线上的是（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高二上·浙江温州·期中）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高二下·安徽芜湖·期末）为抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，则为（    ） A． B． C． D． 【变式6.3】（24-25高三下·河南开封·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（    ） A． B．64 C． D．80 【题型7 与抛物线有关的最值问题】 【例7】（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知抛物线，点在抛物线上，点，若P点是抛物线上的动点，则的最小值为(    ) A．8 B． C．9 D．3 【变式7.1】（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知抛物线的焦点为，点，P是抛物线C上的一个动点，则的最小值为（    ） A．8 B．12 C．10 D．16 【变式7.2】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知为曲线上的动点，记到直线和到轴的距离分别为，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 【变式7.3】（24-25高二上·辽宁·期末）已知抛物线的焦点为，P为抛物线上一点，若，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型8 抛物线的实际应用问题】 【例8】（24-25高二上·青海海南·期末）图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽6m，水面上涨1m后，水面宽度为（    ） A． B． C． D．8m 【变式8.1】（2025·海南海口·一模）世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（   ） A．0.25 B．0.5 C．1 D．2 【变式8.2】（2025·河南·模拟预测）清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为，碗盖口直径为，碗体口直径为，碗体深，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（    ）    A． B． C． D． 【变式8.3】（24-25高二上·天津滨海新·期末）如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上.现有一拋物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）抛物线的焦点到准线的距离是（   ） A． B．5 C． D．10 2．（2025·上海徐汇·一模）下列抛物线中，焦点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·北京平谷·期末）以为焦点的抛物线标准方程是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知抛物线的焦点为，点在上，，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·广东梅州·期末）在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·山东烟台·期末）某隧道的垂直剖面图近似为一抛物线，如图所示．已知隧道高为，宽为，隧道内设置两条车道，且隧道内行车不准跨过中间的实线．若载有集装箱的货车要经过此隧道，货车宽度为，集装箱宽度与货车宽度相同，则货车高度（即集装箱最高点距地面的距离）的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·辽宁·期末）已知抛物线的焦点为，点，是抛物线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·广西桂林·期末）抛物线的焦点为，点在上，若.则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·云南·阶段练习）已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·新疆·阶段练习）已知抛物线过点则以下选项正确的是（    ） A．抛物线方程为或 B．抛物线的准线方程可能为 C．这个点到焦点的距离为 D．这个抛物线一定还经过点 三、填空题 12．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）抛物线的准线方程为 ． 13．（24-25高二上·陕西西安·期末）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若，则的值为 ． 14．（24-25高二上·上海·期末）一种卫星接收天线（如下图左所示）曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如下图右所示）.已知接收天线的口径（直径）为4米，深度为0.5米，则该抛物线的焦点到顶点的距离为 米. 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点； (2)焦点在直线上； (3)焦点到准线的距离是4． 16．（24-25高二上·全国·课后作业）某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示.现要求水流最高点B离地面5m，点B到管柱OA所在直线的距离为4m，且水流落在地面上以O为圆心，以9m为半径的圆上，求管柱OA的高度.    17．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知动点与点的距离比其到直线的距离小1. (1)求动点的轨迹方程； (2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标. 18．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知拋物线的顶点在坐标原点，其焦点与双曲线的上焦点重合，A，B为拋物线上两点. (1)求拋物线的标准方程及其准线方程； (2)若，求线段AB的中点到轴的距离. 19．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知抛物线，焦点为. (1)求的坐标及抛物线的准线方程； (2)已知点是抛物线上的一个动点，定点，则当点在抛物线C上移动时，求的最小值. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 抛物线 【苏教版2019】 模块一 抛物线的标准方程 1．抛物线的定义 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. (2)集合语言表示 设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}. 2．抛物线的标准方程 抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 3．抛物线标准方程的求解 待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 【题型1 抛物线的定义及辨析】 【例1】（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据抛物线的定义直接求解即可. 【解答过程】由抛物线的标准方程可得，解得， 所以焦点到准线的距离为， 故选：B. 【变式1.1】（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在上.若到直线的距离为8，则=（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【解题思路】利用抛物线的定义求解即可. 【解答过程】因为抛物线的焦点，准线方程为， 点在上，由到直线的距离为8· 所以到准线的距离为7， 由抛物线的定义可知：到准线的距离等于到焦点的距离， 所以， 故选：A. 【变式1.2】（24-25高二下·江苏南京·期末）已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（   ） A． B．5 C．6 D． 【解题思路】利用抛物线的定义，将点到抛物线焦点的距离转化为点到抛物线准线的距离即得. 【解答过程】依题意，由抛物线的定义知，点到抛物线焦点的距离即点到准线的距离， 即. 故选：B. 【变式1.3】（24-25高二上·福建三明·期中）已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 【解题思路】先求出准线方程，再设点，，根据点P在抛物线上和得到方程组，求出m的值，根据抛物线的定义求出答案. 【解答过程】抛物线的准线方程为， 设，，点P在抛物线上，， 则，解得或（舍去）， 由抛物线定义可得. 故选：B． 【题型2 求抛物线的轨迹方程】 【例2】（24-25高二上·浙江宁波·期中）若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】分析可知点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，即可得解. 【解答过程】因为点到直线和它到点的距离相等， 所以，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 设其方程为，则，可得， 故点的轨迹方程为. 故选：D. 【变式2.1】（24-25高二上·四川成都·期中）已知点，，直线的斜率为，直线的斜率为，若，则点的轨迹为不包含，两点的（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【解题思路】设，根据已知条件列方程，化简后求得正确答案. 【解答过程】设，其中， 则，即， 所以， 所以点的轨迹为不包含，两点的抛物线. 故选：D. 【变式2.2】（2025·辽宁沈阳·一模）已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件可得，再利用数量积的坐标表示求出方程. 【解答过程】由圆心在y轴上的圆E经过点，得线段为圆的直径， 而点在轴上，则，又， 于是，而不重合，即， 所以M点的轨迹方程为. 故选：D. 【变式2.3】（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 【解题思路】设所求点，根据点在直线上可得，根据点在直线上可得，最后根据轴得，化简即可. 【解答过程】设， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为轴，所以，则，故D正确. 故选：D． 【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】 【例3】（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知抛物线的方程为，则抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据抛物线的标准方程可得出该抛物线的焦点坐标. 【解答过程】抛物线的标准方程为，则，可得，， 故抛物线的焦点坐标为. 故选：C. 【变式3.1】（24-25高二上·江苏镇江·期末）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】化为标准方程：，根据准线方程的定义求解． 【解答过程】抛物线的方程为：， 则其焦点坐标为：，准线方程为：． 故选：D. 【变式3.2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】写出抛物线的标准方程，进而得到焦点坐标. 【解答过程】由题设，抛物线的标准方程为，则焦点坐标为. 故选：C. 【变式3.3】（24-25高二上·安徽·期末）已知抛物线的方程为，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】把抛物线方程化为标准方程可得结果. 【解答过程】∵抛物线的方程为， ∴标准方程为， ∴抛物线的准线方程为. 故选：A. 【题型4 求抛物线的标准方程】 【例4】（24-25高二上·天津河西·期末）准线方程为的抛物线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由准线方程求出抛物线的标准方程即可求解. 【解答过程】由题意可知抛物线开口向下，故设抛物线方程为. 因为抛物线的准线方程为，所以，即，所以该抛物线的标准方程为． 故选：D. 【变式4.1】（24-25高二上·贵州贵阳·期末）已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设抛物线的方程为，根据焦点坐标求出，求出抛物线的标准方程. 【解答过程】设抛物线的方程为， 因为抛物线的焦点是， 所以，所以， 所以抛物线的标准方程为. 故选：A. 【变式4.2】（24-25高二上·湖南·期末）若抛物线上一点到其焦点的距离为9，则该抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】将抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离求解. 【解答过程】抛物线的准线方程为， 所以点P到焦点的距离为， 所以，抛物线的方程为. 故选：B. 【变式4.3】（24-25高二上·重庆·期末）若抛物线过点，则该抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】代入点的坐标可得，即可得标准方程求解. 【解答过程】将代入可得，解得， 故抛物线的标准方程为， 故准线方程为， 故选：A. 【题型5 根据抛物线的方程求参数】 【例5】（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线上一点，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】将点坐标代入抛物线的方程，从而求得的值. 【解答过程】点坐标代入抛物线的方程得，解得. 故选：A. 【变式5.1】（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若是边长为2的等边三角形，则的值是（     ）. A．1 B． C．2 D． 【解题思路】利用抛物线定义可知，再由等边三角形的边长为2即可求得. 【解答过程】根据题意，易知，由抛物线定义可得， 设准线与l的交点为，如下图所示：    因此与平行，又是边长为2的等边三角形， 所以，即, 可得，即. 故选：A. 【变式5.2】（24-25高二下·云南昭通·期中）设第四象限的点为抛物线上一点，为焦点，若，则（    ） A．-4 B． C． D．-32 【解题思路】根据焦半径公式求的值，再代入点的坐标，即可求的值. 【解答过程】由抛物线的方程可得焦点坐标为，由抛物线的性质可得，所以， 将的坐标代入抛物线的方程：，所以，又因为在第四象限， 所以. 故选：. 【变式5.3】（2025·广东佛山·一模）设抛物线的焦点为，准线为是上一点，是与轴的交点，若，则（    ） A． B．2 C． D．4 【解题思路】根据抛物线定义和图形中的几何关系直接计算求解即可. 【解答过程】如图所示，作， 由抛物线定义可知，， 在中，， 则在抛物线上， 所以，即，则. 故选：D. 模块二 抛物线的简单几何性质 1．抛物线的几何性质 抛物线的简单几何性质： 标准 方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 顶点 (0,0) (0,0) 轴 对称轴y=0 对称轴x=0 焦点 准线 离心率 e =1 e=1 开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 焦半径 范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 2．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异 抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异： ①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形； ②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点； ④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是 e=1； ⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线； ⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线. 3．与抛物线有关的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解. 【题型6 抛物线的对称性的应用】 【例6】（24-25高二·全国·课后作业）若点在抛物线上，则下列点中一定在该抛物线上的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用抛物线关于x轴对称求解即可 【解答过程】由抛物线关于x轴对称易知，点一定在该抛物线上. 故选：B. 【变式6.1】（24-25高二上·浙江温州·期中）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设另外两个顶点的坐标分别为，由图形的对称性可以得到方程，解此方程得到的值，即可得到答案. 【解答过程】由题意，依据抛物线的对称性，及等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上， 可设另外两个顶点的坐标分别为， ，解得， 故这个等边三角形的边长为. 故选：A. 【变式6.2】（24-25高二下·安徽芜湖·期末）为抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，则为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】在抛物线中可借助直角三角形的正切值的求解.再由对称性求. 【解答过程】 抛物线中时可得，且 则，取（如图）    ， ,又对称性可知. 故选；C. 【变式6.3】（24-25高三下·河南开封·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（    ） A． B．64 C． D．80 【解题思路】线段的垂直平分线交于两点,结合抛物线的对称性可得与互相平分,则四边形为菱形,可设点坐标,通过几何关系求出点坐标,在代入抛物线方程即可求解. 【解答过程】因为线段的垂直平分线交于两点， 所以结合抛物线的对称性可得与互相平分,则四边形为菱形. 设点且则线段的垂直平分线方程为， 令与轴交于点,又，    则在直角三角形中 继而可得， 所以点坐标为， 代入抛物线，可得，解得， 直角三角形中, 所以四边形的周长为. 故选：A. 【题型7 与抛物线有关的最值问题】 【例7】（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知抛物线，点在抛物线上，点，若P点是抛物线上的动点，则的最小值为(    ) A．8 B． C．9 D．3 【解题思路】把点代入抛物线中求出，再设利用两点间距离计算根据二次函数求最值即可. 【解答过程】因为点在抛物线上，所以，解得， 所以抛物线方程为，设， 则， 所以的最小值为. 故选：B. 【变式7.1】（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知抛物线的焦点为，点，P是抛物线C上的一个动点，则的最小值为（    ） A．8 B．12 C．10 D．16 【解题思路】首先求出抛物线的准线方程，过点作垂直于准线，交准线于点，根据抛物线的定义得到，从而求出的最小值. 【解答过程】抛物线的焦点为，准线方程为， 过点作垂直于准线，交准线于点，则， 所以，当且仅当、、三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 【变式7.2】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知为曲线上的动点，记到直线和到轴的距离分别为，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 【解题思路】根据题意画出图形：根据抛物线的定义将问题转化为焦点到直线的距离减去1，利用点到直线的距离公式即可求解. 【解答过程】根据题意画出图形： 抛物线方程为，直线l的方程为， ，准线为， 在抛物线上有一动点到x轴的距离为，到直线的距离为， ∵根据抛物线的定义可知的最小值为焦点到直线的距离减去1， ∴最小值为. 故选：B. 【变式7.3】（24-25高二上·辽宁·期末）已知抛物线的焦点为，P为抛物线上一点，若，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据焦点求得抛物线方程，由抛物线的定义结合图形即得. 【解答过程】因为抛物线的焦点为，则，得， 所以抛物线的方程为，令，则， 设过P作抛物线准线的垂线于点B，可得，则. 故点在抛物线内部，过点A作抛物线准线的垂线交抛物线于点P，此时取得最小值，最小值为. 故选：C. 【题型8 抛物线的实际应用问题】 【例8】（24-25高二上·青海海南·期末）图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽6m，水面上涨1m后，水面宽度为（    ） A． B． C． D．8m 【解题思路】建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，将代入抛物线方程解出，再将代入即可求解. 【解答过程】建立如图所示的平面直角坐标系，则点, 设抛物线的方程为，由点可得，解得，所以, 当时， ，所以水面宽度为． 故选：B. 【变式8.1】（2025·海南海口·一模）世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（   ） A．0.25 B．0.5 C．1 D．2 【解题思路】建立平面直角坐标系，设出抛物线标准方程，根据图形可得抛物线上一点坐标，代入可得p，然后可得. 【解答过程】如图，建立平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 由图可得点在抛物线上，即 ，解得， 故轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为. 故选：A. 【变式8.2】（2025·河南·模拟预测）清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为，碗盖口直径为，碗体口直径为，碗体深，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】如图建立平面直角坐标系，设碗体的抛物线方程为（），将点代入求出，即可得到抛物线方程，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为 ，则两抛物线在第一象限的交点为，代入方程计算可得. 【解答过程】以碗体的最低点为原点，向上方向为轴，建立直角坐标系，如图所示．    设碗体的抛物线方程为（），将点代入，得， 解得，则， 设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为 ， 则两抛物线在第一象限的交点为，代入到，解得，解得． 故选：C. 【变式8.3】（24-25高二上·天津滨海新·期末）如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上.现有一拋物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据在可得，即可求解. 【解答过程】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为， 由题意可知在抛物线上，故， 因此焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为， 故选：D. 一、单选题 1．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）抛物线的焦点到准线的距离是（   ） A． B．5 C． D．10 【解题思路】根据题意，化简抛物线的方程为，结合抛物线的几何性质，即可求解. 【解答过程】由抛物线，可得，则，可得， 所以物线的焦点到准线的距离是. 故选：B. 2．（2025·上海徐汇·一模）下列抛物线中，焦点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出各选项中抛物线的焦点坐标，即可得出答案. 【解答过程】对于抛物线，，可得，故， 所以，抛物线的焦点坐标为， 同理可知，抛物线的焦点坐标为，抛物线的焦点坐标为，， 抛物线的焦点坐标为. 故选：C. 3．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用抛物线的定义求解即可. 【解答过程】由题意可知，动点P到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点P在以为焦点，为准线的抛物线上，其轨迹方程为， 故选：D. 4．（24-25高二上·北京平谷·期末）以为焦点的抛物线标准方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据抛物线焦点位置，设其标准方程，求出的值，即得. 【解答过程】由题意，抛物线方程形如，因，解得， 故以为焦点的抛物线标准方程是. 故选：D. 5．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知抛物线的焦点为，点在上，，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，利用求出，再由抛物线焦半径公式可得答案. 【解答过程】由题意可得，设， ， 因为， 所以，整理 得，又，所以， 解得，（负值舍去）， 所以 故选：A. 6．（24-25高二上·广东梅州·期末）在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】不妨设点，其中，利用平面内两点间的距离公式并结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【解答过程】不妨设点，其中， 则， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故选：A. 7．（24-25高二上·山东烟台·期末）某隧道的垂直剖面图近似为一抛物线，如图所示．已知隧道高为，宽为，隧道内设置两条车道，且隧道内行车不准跨过中间的实线．若载有集装箱的货车要经过此隧道，货车宽度为，集装箱宽度与货车宽度相同，则货车高度（即集装箱最高点距地面的距离）的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】建立如图平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线方程，令得，则即为货车高度的最大值. 【解答过程】以抛物线的顶点为原点，建立如图平面直角坐标系， 设抛物线方程为， 由图可知抛物线过点，代入抛物线方程， 得，解得，所以抛物线方程为. 因为车道宽2米，两车道中间有隔离带，车宽2米， 所以车行驶时，的取值范围为. 当时，， 要使载货最高的货车通过隧道，货车高度的最大值为米. 故选：C. 8．（24-25高二上·辽宁·期末）已知抛物线的焦点为，点，是抛物线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】过点作垂直于准线，垂足为，过点作垂直于准线，垂足为，由抛物线的定义可得，可得出，利用当、、三点共线时，取最小值，即可得解. 【解答过程】由题意得，准线方程为，过点作垂直于准线，垂足为， 过点作垂直于准线，垂足为，由抛物线的定义可得， ． 当且仅当为线段与抛物线的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高二上·广西桂林·期末）抛物线的焦点为，点在上，若.则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据抛物线的定义求得的横坐标，进而求得的坐标. 【解答过程】依题意，抛物线的焦点为， 准线方程为， 由于，根据抛物线的定义可知， 则， 所以的坐标为、. 故选：AB. 10．（24-25高三上·云南·阶段练习）已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】分别对抛物线焦点位置进行分类讨论，求出直线与坐标轴交点即可得出结果. 【解答过程】由于焦点在直线上， 当焦点在y轴上时，令，可得，所以焦点坐标为， 设方程为，由焦点坐标知，所以抛物线的标准方程为； 当焦点在x轴上时，令，可得，所以焦点坐标为， 设方程为，由焦点坐标知，所以抛物线的标准方程为， 故选：BC． 11．（24-25高二上·新疆·阶段练习）已知抛物线过点则以下选项正确的是（    ） A．抛物线方程为或 B．抛物线的准线方程可能为 C．这个点到焦点的距离为 D．这个抛物线一定还经过点 【解题思路】分焦点在轴和在轴上两种情况讨论即可判断A；根据抛物线准线的定义即可判断B；根据抛物线的定义即可判断C；将点代入抛物线方程即可判断D. 【解答过程】对于A，当焦点在轴上时，设抛物线的方程为， 则，解得，所以抛物线方程为， 当焦点在轴上时，设抛物线的方程为， 则，解得，所以抛物线方程为， 综上所述，抛物线方程为或，故A正确； 对于B，当抛物线方程为时，准线方程为，故B正确； 对于C，当抛物线方程为时，点到焦点的距离为， 抛物线方程为时，点到焦点的距离为， 综上所述，点到焦点的距离为，故C正确； 对于D，当抛物线方程为时， ，所以抛物线不经过点，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）抛物线的准线方程为 ． 【解题思路】由抛物线标准方程直接得解. 【解答过程】由题抛物线标准方程为，所以抛物线的准线方程为. 故答案为：. 13．（24-25高二上·陕西西安·期末）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若，则的值为 2 ． 【解题思路】根据抛物线的焦半径公式可求得结果. 【解答过程】因为为抛物线上一点，， 所以，解得. 故答案为：2. 14．（24-25高二上·上海·期末）一种卫星接收天线（如下图左所示）曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如下图右所示）.已知接收天线的口径（直径）为4米，深度为0.5米，则该抛物线的焦点到顶点的距离为 2 米. 【解题思路】由题意建系，设抛物线的方程为，由抛物线经过的点求出的值，则易得焦点到顶点的距离. 【解答过程】 如图建系，设抛物线的方程为，由题意抛物线过点， 代入解得，故拋物线的焦点到顶点的距离为米. 故答案为：2. 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点； (2)焦点在直线上； (3)焦点到准线的距离是4． 【解题思路】（1）分过点的抛物线开口向左或开口向上两种情况设抛物线的标准方程求解即可； （2）由直线与坐标轴的交点为焦点，再由抛物线的性质求解即可； （3）由抛物线的性质求解即可； 【解答过程】（1）由于点在第二象限，所以过点的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在轴上，设其标准方程为． 将点的坐标代入，可得，所以， 所以抛物线的标准方程为； 若抛物线开口向上，焦点在轴上，设其标准方程为． 将点的坐标代入，可得，所以，所以抛物线的标准方程为． 综上所述，所求抛物线的标准方程为或． （2）因为直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点为，所以，解得， 所以抛物线的标准方程为． 因为直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点为，所以，解得， 所以抛物线的标准方程为． 综上所述，所求抛物线的标准方程为或． （3）焦点到准线的距离，焦点可在轴或轴上，故有四种情况，所求抛物线的标准方程为或或或． 16．（24-25高二上·全国·课后作业）某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示.现要求水流最高点B离地面5m，点B到管柱OA所在直线的距离为4m，且水流落在地面上以O为圆心，以9m为半径的圆上，求管柱OA的高度.    【解题思路】建立直角坐标系，利用待定系数法和代入法进行求解即可. 【解答过程】建立如图所示的直角坐标系， 设抛物线的方程为， 把点代入方程中，得， 所以抛物线方程为 把代入方程中，得， 所以， 所以管柱OA的高度为.    17．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知动点与点的距离比其到直线的距离小1. (1)求动点的轨迹方程； (2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标. 【解题思路】（1）利用抛物线的定义得解； （2）设，求出即得解. 【解答过程】（1）由题意知动点到的距离与它到的距离小1即与到直线的距离相等， 所以动点M的轨迹为以为焦点、以直线为准线的抛物线， 因此动点的轨迹方程为. （2）设， 由两点间的距离公式得：， 当，即时，， 即当或时，点与点的距离最小，最小值为. 18．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知拋物线的顶点在坐标原点，其焦点与双曲线的上焦点重合，A，B为拋物线上两点. (1)求拋物线的标准方程及其准线方程； (2)若，求线段AB的中点到轴的距离. 【解题思路】（1）利用双曲线的焦点来求抛物线方程； （2）利用抛物线定义推导的焦半径公式为，即可求解问题. 【解答过程】（1）由题知双曲线, 所以，所以，即双曲线的上焦点为， 由抛物线的焦点为，可设抛物线的标准方程为：， 则，， 所以抛物线的标准方程为：， 其准线方程为：； （2）设，，线段AB的中点记为， 由，结合抛物线的焦半径公式得：， 即，所以， 即线段AB的中点到轴的距离为2. 19．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知抛物线，焦点为. (1)求的坐标及抛物线的准线方程； (2)已知点是抛物线上的一个动点，定点，则当点在抛物线C上移动时，求的最小值. 【解题思路】（1）根据抛物线方程求得焦点坐标以及准线方程. （2）根据抛物线的定义求得正确答案. 【解答过程】（1）将抛物线：化为标准方程得，， 其焦点坐标为，准线方程为. （2）由抛物线的定义知，点P到焦点的距离即为点P到准线的距离， 为点P到定点的距离与点P到准线的距离之和， 要使得最小， 则点P，A在一条垂直于准线的直线上， 故最小值即为点到准线的距离为3， 所以，的最小值为3. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$