统计与概率：离散型随机变量的分布列、数学期望与方差复习讲义-2026届高三数学一轮复习

统计与概率：离散型随机变量的分布列、数学期望与方差复习讲义 统计与概率：离散型随机变量的分布列、数学期望与方差复习讲义 考点一 离散型随机变量的分布列 【知识点解析】 1．离散型随机变量 所有取值可以一 一列出的随机变量，称为离散型随机变量． （1）本章研究的离散型随机变量只取有限个值． （2）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系 ①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 ②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出． 2．离散型随机变量的分布列的表示 一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，，…，，…，，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下： 我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列． 3．离散型随机变量的分布列的性质 根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质： （1），； （2）． 注意：分布列的性质（2）可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数． 【例题分析】 1．（24-25高二下·江西吉安·期末）已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河北邢台·期末）设随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 A． B． C． D．或 3．（24-25高二下·江苏南京·期中）若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则的值为（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85 4．（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）随机变量X的分布列为，其中a是常数，以下错误的是（    ）． A． B． C． D．以上均不正确 5．（24-25高二下·甘肃白银·期末）若服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·青海西宁·期末）某位射箭运动员命中目标的环数的分布列为： 6 7 8 9 10 0.05 0.15 0.25 0.35 0.20 如果命中9环或10环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是（    ） A．0.55 B．0.45 C．0.35 D．0.20 7．（24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯·期中·多选）已知离散型随机变量X的分布列为 X 2 4 6 8 P a 则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·浙江嘉兴·期末）设随机变量的分布列为，则实数 ． 9．（24-25高二下·天津河西·期末）若随机变量的分布列如表所示，则的最小值为 ． 10．（24-25高二下·北京·期中）已知某著名高校今年综合评价招生分两步进行：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，且材料初审与面试之间相互独立，现有甲，乙，丙三名考生报名参加该高校的综合评价，假设甲、乙、丙三名考生材料初审合格的概率分别是，面试合格的概率分别是． (1)求甲未获得该高校综合评价录取资格的概率； (2)求甲、乙两位考生中有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率； (3)求甲、乙、丙三名考生获得该高校综合评价录取资格的人数X的分布列． 11．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛． (1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率； (2)比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积分．现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为，乙赢概率为，在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列． 12．（24-25高二下·福建福州·期末）现有、两个不透明的袋子，袋中装有个红球、个白球，袋中装有1个红球、个白球.玩家甲和玩家乙分别参与摸球游戏，每人各参与一次且互不影响，得分高者获胜.游戏规则是：玩家先从袋子中随机摸出个球. 情况1：摸出的个球颜色相同，则将这个球放入袋子中，然后从袋子中随机摸出个球：若摸出个球同色，则玩家获得8分；若摸出个球不同色，则玩家获得分； 情况：摸出的个球颜色不同，则将这个球放回袋子中，然后从袋子中再随机摸出个球；若摸出个球同色，则玩家获得分；若摸出个球不同色，则玩家获得分. (1)求玩家甲在游戏中得分的概率； (2)求玩家乙在游戏中获胜的概率； (3)设玩家甲和玩家乙在游戏中得分的总和为，求的分布列. 13．（24-25高二下·重庆·期末）有名学生参加一种选拔“篮球达人”的投篮游戏，规则要求如下： ①第名学生进行第一次投篮，若投篮没有命中，则淘汰，接着让第名学生投篮； ②若第名学生第一次投篮命中，则继续进行第二次投篮，若第二次投篮失败，则淘汰，接着让第名学生投篮；若第k名学生第二次投篮命中，即确认为成功，评为“篮球达人”，且后面所有学生停止比赛，游戏结束； ③若这n名学生按照要求全部参加完比赛，无论是否有人成功，游戏结束； ④每名学生第一次投篮命中率为，第二次投篮命中率为，每次投篮过程相互独立. (1)当时，求有学生评为“篮球达人”的概率； (2)记随机变量为进行了投篮的学生人数，求的分布列； (3)已知，若一名学生第一次投篮失败，记该学生投篮一次；若一名学生第一次投篮命中，无论第二次投篮是否命中，都记该学生投篮2次.求投篮的总次数恰为6次时，游戏结束的概率. 14．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）甲、乙两名象棋大师与同一款象棋软件进行对决，规则如下：由抽签确定第1局与软件对决的人选，第1局与软件对决的人是甲、乙的概率各为，若前一局大师取胜，则下一局换另一位大师与软件对决；若前一局大师未取胜，则此人继续与软件对决．无论之前对决结果如何，甲每局取胜的概率均为，乙每局取胜的概率均为，已知第2局与软件对决的大师是乙的概率是． (1)求乙每局取胜的概率； (2)求第i次与软件对决的大师是甲的概率； (3)现甲、乙进行比赛，规定每局比赛胜者得分，负者得分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．若每局比赛中，可视甲取胜的概率为（2）中充分大时，的极限值． ①若比赛最多进行局，求比赛结束时比赛局数的分布列； ②若比赛不限局数，求甲赢得比赛的概率． 考点二 离散型随机变量的数学期望 【知识点解析】 1．离散型随机变量的均值 一般地，若离散型随机变量的分布列为 则称为随机变量的均值或数学期望． 它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 说明：（1）均值刻画的是取值的“中心位置”，这是随机变量的一个重要特征； （2）根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质． 2．均值的性质 若，其中，是常数，是随机变量，则也是随机变量，且． 【例题分析】 1．（24-25高二下·四川成都·期末）若随机变量X的期望，则（   ） A．3 B．9 C．11 D．27 2．（24-25高二下·北京房山·期末）随机变量的分布列如下表所示，若随机变量，则随机变量的数学期望（   ） 0 1 2 A． B． C．1 D． 3．（24-25高二下·辽宁·期末）设离散型随机变量可能取的值为，且，又的数学期望，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·福建龙岩·期末）一个箱子里有4个球，分别标号为1，2，3，4，每次取一个球，若有放回的取三次，记至少取出一次的球的个数为，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·北京通州·期末）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 0.3 n 0.3 则与的值分别是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·湖北武汉·期末）袋中装有大小相同的个红球和个白球，每次从中不放回摸出一个球，直到个红球全部摸出后就停止.设随机变量表示停止摸球时摸到白球的个数，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·辽宁沈阳·期末·多选）已知随机变量X满足，则（    ） A． B． C． D．记，则 8．（24-25高二下·甘肃白银·期末·多选）某次体育比赛团体决赛实行五场三胜制，且任何一方获胜三场即比赛结束．甲、乙两个代表队最终进入决赛，根据双方排定的出场顺序及以往战绩统计分析，甲队依次派出的五位选手分别战胜对手的概率如下表： 出场顺序 1号 2号 3号 4号 5号 获胜概率 若比赛结束时甲队获胜的场数为，且，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·山东东营·期末）一个箱子里有10个除颜色外完全相同的小球，其中红色小球4个，黄色小球3个，蓝色小球2个，绿色小球1个，现从中有放回地抽取三次，记取出球的颜色种数为X，则 ，数学期望 . 10．（24-25高二下·湖北武汉·期末）2025年五四青年节，某高中学校为了表彰工作认真负责，业务能力强的优秀团员干部，学校给高中三个年级共分配9个优秀团员干部名额，每个年级至少一个名额.从所有可能的分配方案中随机选择一种，用表示这三个年级中分配的最少名额数，则的数学期望 . 11．（24-25高二下·天津西青·期末）2025年蛇年春晚舞台上，由中国某科技企业制造的人形机器人 Umitrer Al 扭秧歌表演《秧BOT》成为一大亮点，引发世界热议，这一节目完美的展示了中国的科技进步与文化自信，更为人形机器人的创新发展注入新的动力，而谐波减速器作为人形机器人的核心部件，其重要性不言而喻.某企业为了测试某型号谐波减速器运行情况必须对其中三项不同运行指标甲、乙、丙进行通过量化检测：假设该谐波减速器运行情况的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为 指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响. (1)求该型号谐波减速器运行情况量化得分不低于8分的概率； (2)记该型号谐波减速器运行情况的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望. 12．（24-25高二下·天津·期末）已知甲盒中有2个红球，3个蓝球，乙盒中有4个红球，1个蓝球，这些球除了颜色外完全相同．现从甲、乙两盒中各任取2个球. (1)求取出的4个球颜色相同的概率； (2)求取出的4个球中共有3个红球和1个蓝球的概率； (3)记取出的4个球中红球的个数为X，求X的分布列和数学期望． 13．（24-25高二下·广东深圳·期末）某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为分，每局比赛，棋手胜，加分；平局不得分；棋手负，减分．当棋手总分为时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为，且各局比赛相互独立． (1)求下完局比赛终止的概率； (2)在挑战过程中，棋手每胜一局，获奖元．若本次比赛第三局结束后，机器人突发故障，求此时棋手获得的奖金的期望． 14．（24-25高二下·安徽安庆·期末）2025年是中国共产党成立的104周年，某校为传承和弘扬革命精神特举行“党史知识”竞赛，本次比赛共分三个环节，每位参赛同学必须前两个环节均通过才有机会进入最后一个（决赛）环节，前两个环节是否通过相互独立.只要一个环节失败，即终止比赛.现有，，三位同学参加比赛，同学通过前两个环节的概率分别为和，同学和同学前两个环节中通过每一个环节的概率均为. (1)求恰有两位同学仅通过第一个环节的概率； (2)设进入决赛的同学人数为，求的分布列与数学期望. 15．（24-25高二下·新疆·期末）小亦计划暑期出游，现有3个省内景点、2个省外景点供选择，省内每个景点均需花费2000元，省外每个景点均需花费6000元．小亦从这5个景点中随机选择2个景点，每个景点的选择机会均等． (1)求小亦省内、省外景点都选择的概率； (2)设小亦所选的2个景点的总花费为X元，求X的分布列及数学期望． 16．（24-25高二下·内蒙古·期末）小张从一个口袋内取小球，每次取一个小球，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为，已知每次取到红球还是白球相互独立，他连续取球次，直至取到3个红球则停止取球，设停止取球时已取球的次数的概率为． (1)求； (2)求； (3)若小张在取球5次之内（含5次）可以停止取球，设他停止取球时已取球的次数为，求的分布列与期望． 考点三 离散型随机变量的方差 【知识点解析】 1．离散型随机变量的方差 一般地，若离散型随机变量的分布列为 则称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差． 说明：（1）描述了1，2，…，相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小； （2）标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方． 2．方差的性质 （1）若，其中，是常数，是随机变量，则． （2）方差公式的变形：． 【例题分析】 1．（24-25高二下·广东广州·期末）已知离散型随机变量的方差为1，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）若随机变量满足，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·新疆·期末）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X a a＋1 P x A． B． C． D． 4．（24-25高二下·山东东营·期末）袋中有2个白球，3个红球，从中随机连续抽取4次，每次取一个球.若每次抽取后都不放回，设取到红球的个数为X，则X的方差为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 6．（24-25高二下·山东临沂·期末）已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D． 7．（24-25高二下·重庆九龙坡·期末·多选）已知随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P 则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·吉林长春·期末·多选）已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 0.4 m 下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·山西·期末）已知随机变量的分布列为 1 2 4 5 0.2 0.35 0.3 由表可得 . 10．（24-25高二下·山西·期末）已知一个袋中装有（除颜色外完全相同）5个红球，个黑球.现从袋中随机摸出3个球，设表示摸出红球的个数，若，则 . 11．（24-25高二下·甘肃白银·期末）某商场举行一个“消费满百元送抽奖券”的活动，每张抽奖券参与抽奖都有机会获奖，且获得一等奖（价值10元的消费券）的概率为0.1，获得二等奖（价值5元的消费券）的概率为0.2，获得三等奖（价值2.5元的消费券）的概率为0.4，未获奖则无消费券. (1)求每张抽奖券参与抽奖活动获奖的概率； (2)若消费者小李获得五张抽奖券，他拿这五张抽奖券参加抽奖活动，求这五张抽奖券恰有一张获奖的概率； (3)若消费者小张获得一张抽奖券，设他抽奖后获得的消费券数额为元，求的分布列、期望与方差. 12．（24-25高二下·天津·阶段练习）某市运动会上，将要进行甲、乙两人的羽毛球冠亚军决赛，比赛实行三局两胜制，且各局比赛结果相互独立. 已知每局比赛中，若甲先发球，其获胜的概率为，否则其获胜的概率为. (1)若在第一局比赛中采用抛硬币的方式决定谁先发球，试求乙在此局获胜的概率； (2)已知第一局由甲先发球，以后每局由负方先发球：规定胜一局记1分，负一局记0分，记为比赛结束时甲的得分，求随机变量的分布列及期望； (3)求随机变量的方差. 13．（24-25高二下·四川达州·期末）有10道单项选择题，某生能正确解答其中6道题，不能正确解答的题目每道题能够猜对的概率为. (1)若10道单项选择题全部做完，求该生答对的题目数的分布列； (2)若从10道单项选择题中随机抽出2道题进行做答，求该生答对的题目数的均值和方差. 14．（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程，某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如下表：假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立， 男 女 支持方案一 24 16 支持方案二 25 35 (1)从样本中抽一人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率． (2)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列与数学期望； (3)在（2）中，表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小． 15．（24-25高二下·北京房山·期末）习近平总书记指出，人工智能是引领新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力，正深刻改变着人们的生产、生活、学习方式，推动人类社会迎来人机协同、跨界融合、共创分享的智能时代.随着中国人工智能行业市场规模的不断扩大，各行各业人工智能应用渗透度也在不断提升，下图是2021-2023年中国人工智能在互联网、电信、政务、金融、制造业、交通、服务、教育等8个行业的渗透度的变化情况： (1)从上图2021年8个行业中随机抽取3个，求其中恰有一个行业人工智能渗透度不低于的概率； (2)从上图2022年和2023年8个行业中各随机抽取1个，设其中人工智能渗透度高于的行业个数为，求的分布列及数学期望； (3)从上图2023年8个行业中随机抽取1个，用“”表示人工智能行业渗透度在区间内，用“”表示人工智能行业渗透度在区间内，若方差取得最大值，请写出实数的取值范围.（结论不要求证明） 16．（24-25高二下·北京西城·期末）商品的价格指数是用于衡量该商品价格随时间变化的相对指标，它可以帮助分析该商品的通胀或通缩趋势、市场供需变化和成本波动.下表是2024年某地区每个月苹果的价格指数： 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 指数 151 152 149 146 151 147 151 154 152 151 152 153 (1)若从2024年随机抽取1个月，求该月苹果的价格指数大于150的概率； (2)若从2024年1~6月随机抽取3个月，从7~12月随机抽取1个月，记为随机抽取到苹果的价格指数大于150的月份的个数，求的分布列和数学期望； (3)若从2024年1~4月、5~8月、9~12月各随机抽取1个月，分别记、、为这个月苹果的价格指数大于150的月份的个数，则、、中哪个最大?（结论不要求证明） 课后提升训练 1．（24-25高二下·甘肃白银·期末）在一次抽奖活动中，主办方在一个箱子里放有99个写有“谢谢参与”的奖券，1个写有“恭喜中奖”的奖券，活动规定从箱子中随机不放回地抽取奖券.若抽到写有“谢谢参与”的奖券，则继续；若抽到写有“恭喜中奖”的奖券，则停止.求得抽奖次数的均值是（   ） A．49 B．49.5 C．50 D．50.5 2．（24-25高二下·河南信阳·期末）随机变量的分布列如下表，若，则（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 3．（24-25高二下·山东菏泽·期末）离散型随机变量的取值为0，1，2，若，，，，则（   ） A． B．0.6 C．0.8 D．1.6 4．（24-25高二下·上海·阶段练习）一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·广东肇庆·期末）已知离散型随机变量的分布列如下表： 0 1 2 0.3 若离散型随机变量，则的方差（   ） A．0.6 B．5.4 C．1 D．3.4 6．（24-25高二下·山东枣庄·期末）若随机事件A在一次试验中发生的概率为，用随机变量X表示A在一次试验中发生的次数，则的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 7．（24-25高二下·福建福州·期末·多选）乒乓球，被称为中国的“国球”.某次比赛采用三局两胜制，当参赛选手甲、乙两位中有一位赢得两局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束，每局比赛都要分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为（），有选手晋级所需要的比赛局数的期望值记为，则下列说法中不正确的是（   ） A．打满三局结束比赛的概率为 B．的常数项为 C．函数在上单调递增 D． 8．（24-25高二下·福建泉州·期末·多选）已知，均为正数，随机变量的分布列如下表，则下列结论一定成立的是（   ） 0 1 2 A． B． C． D． 9．（24-25高二下·重庆·阶段练习）某病毒感染率为0.2.现对某地区进行抽样调查，若抽到感染者，则停止抽样，否则继续抽样直到抽到感染者为止，但抽样次数不超过次.记抽查次数为，则 （）；要使抽查次数的期望值不超过3，则的最大值为 . 10．（24-25高二下·广西南宁·期中）一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为a，与对手踢平（得1分）的概率为b，负于对手（得0分）的概率为c，其中，已知该足球队进行一场比赛得分的均值是1，则的最小值为 ． 11．（24-25高二下·江苏南京·期中）一个不透明的袋子中有6个白球和2个红球，这些球除颜色外完全相同．某人从袋子中不断地随机摸球，每次从袋子中摸出一个球，直到2个红球被全部取出时停止．则摸球次数为3的概率是 ，摸球次数的期望是 ． 12．（2025·山西·三模）一个盒子中有2个红球，3个白球．从中随机取一个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的1个球，再从中不放回地取2个球，若取到的两个球中红球的个数为，则 ． 13．（24-25高二下·天津滨海新·期末）甲同学参加数学、物理2门课程的考试，假设甲同学在这2门课程考试中取得优秀成绩的概率分别是，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立. (1)求甲同学2门课程均未取得优秀成绩的概率； (2)求甲同学取得优秀成绩的课程数的分布列及均值. 14．（24-25高二下·天津·期末）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立． (1)若甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩为5分的概率； (2)若乙参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望． 15．（2025·河北保定·模拟预测）把一颗质地均匀，四个面上分别标有复数、、、（为虚数单位）的正四面体玩具连续抛掷两次，第一次出现底面朝下的复数记为，第二次出现底面朝下的复数记为． (1)用表示“”这一事件，求事件的概率； (2)设复数的实部为，求的分布列及数学期望． 16．（24-25高二下·北京通州·期末）某区开展“文明先锋”志愿服务活动，为表彰优秀志愿者，用分层抽样的方法按青少年组与成年组分别抽取若干名志愿者调查其服务情况，并依据服务时长评选出一星、二星、三星优秀志愿者，数据如下： 组别 人数 获奖人数 一星 二星 三星 青少年 100 5 15 20 成年 200 15 15 20 假设所有志愿者的获奖情况相互独立，用频率估计概率． (1)试估计本社区一星志愿者的获奖概率； (2)从本社区青少年组志愿者中随机抽取1名，成年组志愿者中随机抽取2名，以X表示这3名志愿者中获奖的人数，求X的分布列与期望； (3)若从该社区志愿者中随机抽取1名，记抽到的志愿者获奖的概率为；为支援某大型活动，从其他社区调入c（c>0）名一星志愿者，再随机抽取1名，记抽到的志愿者获奖的概率为，试估计与的大小．（结论不要求证明） 17．（24-25高二下·河南开封·期末）一个箱子里有个大小相同的红球和白球，其中红球比白球多个．已知从中随机摸出个球，摸出的球颜色不同的概率为． (1)求的值； (2)若有放回地摸球次，每次随机摸出个球，记至少取出一次的球的个数为，求的分布列和均值． 18．（24-25高二下·四川资阳·期末）欲从A，B两个频道中选出一个优选频道作为校园之声广播，现对这两个频道轮流播放进行测试，每次播放一个频道.已知A频道每次播放成功的概率为，B频道每次播放成功的概率为，且每次播放互不影响. 约定1：任选一个频道进行播放，若播放成功，便成为优选频道； 约定2：从A频道开始播放，先成功播放的频道为优选频道，当决定出优选频道或两频道都播放3次均失败，结束测试. (1)按照约定1，求在播放一次就成功的条件下，A频道成为优选频道的概率； (2)按照约定2， （i）两个频道共播放不超过4次时，求A频道成为优选频道的概率； （ii）测试结束时，求B频道播放次数的分布列与数学期望. 19．（2025·江苏连云港·模拟预测）人工智能程序通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策．工程师分别用人类围棋对弈的近100万、500万、1000万种不同走法三个阶段来升级人工智能程序，三个阶段的程序依次简记为甲、乙、丙． (1)测试阶段，让某围棋手与甲、乙、丙三个程序各比赛一局，各局比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，．记该棋手连胜两局的概率为，试判断该棋手在第二局与哪个程序比赛最大，并写出判断过程． (2)工程师让甲和乙进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立． ①若比赛最多进行6局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值； ②若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事件，证明：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$统计与概率：离散型随机变量的分布列、数学期望与方差复习讲义 统计与概率：离散型随机变量的分布列、数学期望与方差复习讲义 考点一 离散型随机变量的分布列 【知识点解析】 1．离散型随机变量 所有取值可以一 一列出的随机变量，称为离散型随机变量． （1）本章研究的离散型随机变量只取有限个值． （2）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系 ①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 ②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出． 2．离散型随机变量的分布列的表示 一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，，…，，…，，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下： 我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列． 3．离散型随机变量的分布列的性质 根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质： （1），； （2）． 注意：分布列的性质（2）可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数． 【例题分析】 1．（24-25高二下·江西吉安·期末）已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得， 而由得， 化简得，解得，所以. 所以. 故选：B. 2．（24-25高二下·河北邢台·期末）设随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】由题意可得解得． 故选：C. 3．（24-25高二下·江苏南京·期中）若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则的值为（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85 【答案】B 【详解】，解得； ， 故选：B. 4．（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）随机变量X的分布列为，其中a是常数，以下错误的是（    ）． A． B． C． D．以上均不正确 【答案】D 【详解】根据题意，随机变量的分布列为， 则，解得，故AB正确； 又，C正确； 故D错误. 故选：D 5．（24-25高二下·甘肃白银·期末）若服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意可得，解得. 故选：C 6．（24-25高二下·青海西宁·期末）某位射箭运动员命中目标的环数的分布列为： 6 7 8 9 10 0.05 0.15 0.25 0.35 0.20 如果命中9环或10环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是（    ） A．0.55 B．0.45 C．0.35 D．0.20 【答案】A 【详解】若射手射击一次为优秀，则他射中的环数为9，10环，其概率为， 故他射击一次为优秀的概率是0.55. 故选：A. 7．（24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯·期中·多选）已知离散型随机变量X的分布列为 X 2 4 6 8 P a 则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由分布列性质可知，解得，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 故选：AC． 8．（24-25高二下·浙江嘉兴·期末）设随机变量的分布列为，则实数 ． 【答案】1 【详解】，即， 解得. 故答案为：1 9．（24-25高二下·天津河西·期末）若随机变量的分布列如表所示，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】随机变量的分布列如表所示， ， ， ，当且仅当时取等号， 的最小值为． 故答案为：． 10．（24-25高二下·北京·期中）已知某著名高校今年综合评价招生分两步进行：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，且材料初审与面试之间相互独立，现有甲，乙，丙三名考生报名参加该高校的综合评价，假设甲、乙、丙三名考生材料初审合格的概率分别是，面试合格的概率分别是． (1)求甲未获得该高校综合评价录取资格的概率； (2)求甲、乙两位考生中有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率； (3)求甲、乙、丙三名考生获得该高校综合评价录取资格的人数X的分布列． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）设“甲材料初审合格”为事件，“甲面试合格”为事件， 甲获得录取资格需材料初审合格且面试合格，即，甲未获得录取资格为. 已知，，因为与相互独立， 根据，且， 所以 所以甲未获得该高校综合评价录取资格的概率为. （2）设“乙材料初审合格”为事件，“乙面试合格”为事件， “甲获得录取资格”为事件，“乙获得录取资格”为事件. 则，. 甲、乙中有且只有一位获得录取资格的概率为 因为，， 所以. 所以甲、乙两位考生有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率为. （3）设“丙材料初审合格”为事件，“丙面试合格”为事件，“丙获得录取资格”为事件， 则. 根据题意可知可能取值为0，1，2，3. ：甲、乙、丙都未获得录取资格， 那么 ：甲、乙、丙中有一人获得录取资格， 则   ：甲、乙、丙中有两人获得录取资格， 则 ：甲、乙、丙都获得录取资格， 则. 所以的分布列为： X 0 1 2 3 P 11．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛． (1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率； (2)比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积分．现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为，乙赢概率为，在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【详解】（1）解：设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”， “随机抽取2正，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”， 则，且， 由全概率公式，可得. （2）设在一轮比赛中的得分为随机变量，则可能取值为， 则，， ， 所以得分的分布列为： 12．（24-25高二下·福建福州·期末）现有、两个不透明的袋子，袋中装有个红球、个白球，袋中装有1个红球、个白球.玩家甲和玩家乙分别参与摸球游戏，每人各参与一次且互不影响，得分高者获胜.游戏规则是：玩家先从袋子中随机摸出个球. 情况1：摸出的个球颜色相同，则将这个球放入袋子中，然后从袋子中随机摸出个球：若摸出个球同色，则玩家获得8分；若摸出个球不同色，则玩家获得分； 情况：摸出的个球颜色不同，则将这个球放回袋子中，然后从袋子中再随机摸出个球；若摸出个球同色，则玩家获得分；若摸出个球不同色，则玩家获得分. (1)求玩家甲在游戏中得分的概率； (2)求玩家乙在游戏中获胜的概率； (3)设玩家甲和玩家乙在游戏中得分的总和为，求的分布列. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析 【详解】（1）玩家甲在游戏中得分，则包括以下两种情况： 甲从袋子中随机摸出个红球，再将这个球放入袋子中后从袋子中随机摸出个球同色； 甲从袋子中随机摸出个白球，再将这个球放入袋子中后从袋子中随机摸出个白球. 所以玩家甲在游戏中得分的概率为. （2）由（1）玩家在游戏中得8分的概率为， 玩家在游戏中得分的概率为， 玩家在游戏中得分的概率为， 玩家乙在游戏中获胜的情况有以下三种情况： 甲获得分，玩家乙在游戏中得分获胜，此情况发生的概率为； 甲获得分，玩家乙在游戏中得分获胜，此情况发生的概率为； 甲获得分，玩家乙在游戏中得分获胜，此情况发生的概率为； 所以玩家乙在游戏中获胜的概率为. （3）由题意可得， 所以，， ，， ， 所以的分布列为 8 10 12 14 16 13．（24-25高二下·重庆·期末）有名学生参加一种选拔“篮球达人”的投篮游戏，规则要求如下： ①第名学生进行第一次投篮，若投篮没有命中，则淘汰，接着让第名学生投篮； ②若第名学生第一次投篮命中，则继续进行第二次投篮，若第二次投篮失败，则淘汰，接着让第名学生投篮；若第k名学生第二次投篮命中，即确认为成功，评为“篮球达人”，且后面所有学生停止比赛，游戏结束； ③若这n名学生按照要求全部参加完比赛，无论是否有人成功，游戏结束； ④每名学生第一次投篮命中率为，第二次投篮命中率为，每次投篮过程相互独立. (1)当时，求有学生评为“篮球达人”的概率； (2)记随机变量为进行了投篮的学生人数，求的分布列； (3)已知，若一名学生第一次投篮失败，记该学生投篮一次；若一名学生第一次投篮命中，无论第二次投篮是否命中，都记该学生投篮2次.求投篮的总次数恰为6次时，游戏结束的概率. 【答案】(1) (2)分布列见解析 (3) 【详解】（1）当时有学生评为“篮球达人”分为三种情况： 第一位同学通过选拔，第一位同学第一次投篮失败且第二位同学通过选拔，第一位同学第一次投篮成功但第二次投篮失败且第二位同学通过选拔，三种情况概率为： . （2）依题意，随机变量的取值为.设单名学生评为“篮球达人”的概率为，则，单名学生被淘汰的概率为，则， ，其中，， 的分布列为 1 2 3 … （3）由于投篮的总次数恰为6次，，故最后一名同学必定连续投入两个球，获得“篮球达人”称号.故前4次投篮没有同学两次连续投进，最后一名同学两次均投中.故前4次每个人投篮的结果只有两种：结果一：“第一投没进”，其概率为.结果二：“第一投进，第二投没进”，其概率为. 设结果一有个，结果二有个，则. 解得，或，或，. 当，时，排列方法只有1种，对应的概率为， 当，时，排列方法有，对应的概率为， 当，时，排列方法有1种，对应的概率为. 则投篮的总次数恰为6次时，游戏结束的概率为. 14．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）甲、乙两名象棋大师与同一款象棋软件进行对决，规则如下：由抽签确定第1局与软件对决的人选，第1局与软件对决的人是甲、乙的概率各为，若前一局大师取胜，则下一局换另一位大师与软件对决；若前一局大师未取胜，则此人继续与软件对决．无论之前对决结果如何，甲每局取胜的概率均为，乙每局取胜的概率均为，已知第2局与软件对决的大师是乙的概率是． (1)求乙每局取胜的概率； (2)求第i次与软件对决的大师是甲的概率； (3)现甲、乙进行比赛，规定每局比赛胜者得分，负者得分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．若每局比赛中，可视甲取胜的概率为（2）中充分大时，的极限值． ①若比赛最多进行局，求比赛结束时比赛局数的分布列； ②若比赛不限局数，求甲赢得比赛的概率． 【答案】(1) (2) (3)①答案见解析；② 【详解】（1）设事件“第2局与软件对决的大师是乙”， 则，解得； （2）由题意， 整理得， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 从而，所以； （3）由（2）可知，当充分大时，的极限值为，所以甲每局获胜的概率为，则乙每局获胜的概率为； ①的取值范围是， ， ， ， 所以的分布列为 2 4 5 ②事件“甲赢得比赛”，则， 解得，即甲赢得比赛的概率是. 考点二 离散型随机变量的数学期望 【知识点解析】 1．离散型随机变量的均值 一般地，若离散型随机变量的分布列为 则称为随机变量的均值或数学期望． 它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 说明：（1）均值刻画的是取值的“中心位置”，这是随机变量的一个重要特征； （2）根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质． 2．均值的性质 若，其中，是常数，是随机变量，则也是随机变量，且． 【例题分析】 1．（24-25高二下·四川成都·期末）若随机变量X的期望，则（   ） A．3 B．9 C．11 D．27 【答案】C 【详解】， 故选：C． 2．（24-25高二下·北京房山·期末）随机变量的分布列如下表所示，若随机变量，则随机变量的数学期望（   ） 0 1 2 A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】由题意，故， 而，从而. 故选：A. 3．（24-25高二下·辽宁·期末）设离散型随机变量可能取的值为，且，又的数学期望，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设，可得， 且，可得， 所以，则. 故选：D 4．（24-25高二下·福建龙岩·期末）一个箱子里有4个球，分别标号为1，2，3，4，每次取一个球，若有放回的取三次，记至少取出一次的球的个数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，的可能取值为1、2、3，总的选取可能数为， 其中：三次抽取同一球，选择球的编号有4种方式，故， ：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次）， 选取出现两次的球有4种方式，选取出现一次的球有3种方式， 其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种， 故， ：三种不同球被取出，由排列数可知事件的可能情有况种， 故， 所以 . 故选：C. 5．（24-25高二下·北京通州·期末）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 0.3 n 0.3 则与的值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据分布列可得； ， 故选：A. 6．（24-25高二下·湖北武汉·期末）袋中装有大小相同的个红球和个白球，每次从中不放回摸出一个球，直到个红球全部摸出后就停止.设随机变量表示停止摸球时摸到白球的个数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】随机变量表示停止摸球时摸到白球的个数，则的可能取值为，，，. 表示在摸出个红球时停止摸球，没有摸到白球的概率. 则. 表示在摸出个红球时停止摸球，且只摸到个白球的概率. 则. 表示在摸出个红球时停止摸球，且摸到个白球的概率. 则. 表示在摸出个红球时停止摸球，且摸到个白球的概率. 则. 期望. 故选：D 7．（24-25高二下·辽宁沈阳·期末·多选）已知随机变量X满足，则（    ） A． B． C． D．记，则 【答案】ABD 【详解】由随机变量X满足， 根据分布列的性质，可得，解得，所以A正确； 由，所以B正确； 由期望公式，可得，所以C错误； 由，则，， ，所以，所以D正确． 故选：ABD． 8．（24-25高二下·甘肃白银·期末·多选）某次体育比赛团体决赛实行五场三胜制，且任何一方获胜三场即比赛结束．甲、乙两个代表队最终进入决赛，根据双方排定的出场顺序及以往战绩统计分析，甲队依次派出的五位选手分别战胜对手的概率如下表： 出场顺序 1号 2号 3号 4号 5号 获胜概率 若比赛结束时甲队获胜的场数为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意可得: 时，前三场甲输，未进行后两场比赛， 所以，则．A正确 时，前3场甲1胜2负，第4场甲负，未进行第五场 ，解得．B错误 由题意知所有的可能取值为0，1，2，3，则 ， 甲胜率表如下所示： 出场顺序 1号 2号 3号 4号 5号 获胜概率 时，前4场甲2胜2负（含1和3胜；2和4胜；1，3中胜一场，2，4中胜一场三大类），第5场甲负 ， 时，前3局全胜未进行后2场比赛；前3局甲胜2场，第4场甲胜，未进行第五场比赛；前4场甲2胜2负，第5场甲胜（因第5场甲胜负概率相同，所以此时概率等于） ，C正确 所以的分布列为 0 1 2 3 故．D错误 故选：AC 9．（24-25高二下·山东东营·期末）一个箱子里有10个除颜色外完全相同的小球，其中红色小球4个，黄色小球3个，蓝色小球2个，绿色小球1个，现从中有放回地抽取三次，记取出球的颜色种数为X，则 ，数学期望 . 【答案】 / / 【详解】①：. ②：（方法一） 设，则服从两点分布，，，, 设，则也从两点分布，，，, 设，则也从两点分布，，， 设，则也从两点分布，，， ， （方法二）， ， ， . 故答案为： ； 10．（24-25高二下·湖北武汉·期末）2025年五四青年节，某高中学校为了表彰工作认真负责，业务能力强的优秀团员干部，学校给高中三个年级共分配9个优秀团员干部名额，每个年级至少一个名额.从所有可能的分配方案中随机选择一种，用表示这三个年级中分配的最少名额数，则的数学期望 . 【答案】/ 【详解】若三个年级人数分别为，则，又每个年级至少一个名额， 所以，相当于9个球分成3份，且每份至少有一个球，即用2个隔板插入8个空，则有种， 由题意，则，且各年级人数为， 其中的情况有一种情况，即， 的情况有、、、、、、、、九种情况，即， 所以， 综上，. 故答案为： 11．（24-25高二下·天津西青·期末）2025年蛇年春晚舞台上，由中国某科技企业制造的人形机器人 Umitrer Al 扭秧歌表演《秧BOT》成为一大亮点，引发世界热议，这一节目完美的展示了中国的科技进步与文化自信，更为人形机器人的创新发展注入新的动力，而谐波减速器作为人形机器人的核心部件，其重要性不言而喻.某企业为了测试某型号谐波减速器运行情况必须对其中三项不同运行指标甲、乙、丙进行通过量化检测：假设该谐波减速器运行情况的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为 指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响. (1)求该型号谐波减速器运行情况量化得分不低于8分的概率； (2)记该型号谐波减速器运行情况的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，数学期望为. 【详解】（1）设甲通过量化检测为事件A，乙通过量化检测为事件B， 丙通过量化检测为事件C，得分不低于8分为事件D， 由已知，，， 由题，； （2）由题可得随机变量ξ的可能值为：. 则； ； ； . 则分布列为： 0 1 2 3 则. 12．（24-25高二下·天津·期末）已知甲盒中有2个红球，3个蓝球，乙盒中有4个红球，1个蓝球，这些球除了颜色外完全相同．现从甲、乙两盒中各任取2个球. (1)求取出的4个球颜色相同的概率； (2)求取出的4个球中共有3个红球和1个蓝球的概率； (3)记取出的4个球中红球的个数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【详解】（1）记事件A表示“取出的4个球颜色相同”. 因为从甲、乙两盒中各任取2个球，不同的取法有种， 取出的4个球颜色相同指的是从甲、乙两盒中各任取2个红球，不同的取法有种 则， 所以取出的4个球颜色相同的概率为． （2）记事件B表示“取出的4个球中共有3个红球和1个蓝球”， 则事件B包含两种情况：从甲盒中取出2个红球，从乙盒中取出1个红球和1个蓝球；从甲盒中取出1个红球和1个蓝球，从乙盒中取出2个红球，不同的取法有种， 所以 所以取出的4个球中共有3个红球和1个蓝球的概率为． （3）根据题意可得：X的可能取值为1，2，3，4， ， . 所以X的分布列为： X 1 2 3 4 P ∴ 13．（24-25高二下·广东深圳·期末）某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为分，每局比赛，棋手胜，加分；平局不得分；棋手负，减分．当棋手总分为时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为，且各局比赛相互独立． (1)求下完局比赛终止的概率； (2)在挑战过程中，棋手每胜一局，获奖元．若本次比赛第三局结束后，机器人突发故障，求此时棋手获得的奖金的期望． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设每局比赛棋手获胜为事件，每局比赛棋手平局为事件，每局比赛棋手失败为事件（），设下完局比赛终止为事件，且各事件相互独立， 因为棋手与机器人比赛局终止比赛，所以棋手可能得分为分或分， 当棋手得分为分时，则棋手两局均负， 当棋手得分为分时，则两局先平后胜， 所以， 所以下完局比赛终止的概率为； （2）本次比赛第三局结束后，机器人突发故障，设此时棋手获得的奖金为，则其取值可能为、、，由（1）得， 所以期望（元）. 14．（24-25高二下·安徽安庆·期末）2025年是中国共产党成立的104周年，某校为传承和弘扬革命精神特举行“党史知识”竞赛，本次比赛共分三个环节，每位参赛同学必须前两个环节均通过才有机会进入最后一个（决赛）环节，前两个环节是否通过相互独立.只要一个环节失败，即终止比赛.现有，，三位同学参加比赛，同学通过前两个环节的概率分别为和，同学和同学前两个环节中通过每一个环节的概率均为. (1)求恰有两位同学仅通过第一个环节的概率； (2)设进入决赛的同学人数为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）三位同学仅通过第一个环节的概率分别为： ，，， 所以恰有两位同学仅通过第一个环节的概率为： ； （2）记三位同学进入决赛分别为事件，则， ，，， 随机变量可能的取值为：， ， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以随机变量的数学期望为. 15．（24-25高二下·新疆·期末）小亦计划暑期出游，现有3个省内景点、2个省外景点供选择，省内每个景点均需花费2000元，省外每个景点均需花费6000元．小亦从这5个景点中随机选择2个景点，每个景点的选择机会均等． (1)求小亦省内、省外景点都选择的概率； (2)设小亦所选的2个景点的总花费为X元，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）记小亦选择Y个省外景点，则， 即小亦省内、省外景点都选择的概率为． （2）X的可能取值为4000，8000，12000， 则， 所以X的分布列如下表所示： X 4000 8000 12000 P 所以． 16．（24-25高二下·内蒙古·期末）小张从一个口袋内取小球，每次取一个小球，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为，已知每次取到红球还是白球相互独立，他连续取球次，直至取到3个红球则停止取球，设停止取球时已取球的次数的概率为． (1)求； (2)求； (3)若小张在取球5次之内（含5次）可以停止取球，设他停止取球时已取球的次数为，求的分布列与期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【详解】（1）表示连续取球3次且3次都取到红球的概率， 根据独立事件乘法概率公式得． （2）表示连续取球4次，且前3次中有2次取到红球，第4次取到红球的概率， 根据独立事件乘法概率公式得． （3）表示连续取球5次，且前4次中有2次取到红球，第5次取到红球的概率， 根据独立事件乘法概率公式得． 由题意随机变量可取， 根据条件概率可得， ， 则的分布列为 3 4 5 所以． 考点三 离散型随机变量的方差 【知识点解析】 1．离散型随机变量的方差 一般地，若离散型随机变量的分布列为 则称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差． 说明：（1）描述了1，2，…，相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小； （2）标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方． 2．方差的性质 （1）若，其中，是常数，是随机变量，则． （2）方差公式的变形：． 【例题分析】 1．（24-25高二下·广东广州·期末）已知离散型随机变量的方差为1，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】因为离散型随机变量的方差为1，所以. 故选：D. 2．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）若随机变量满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 根据方差的性质：若是随机变量，为常数，则， 所以， 根据标准差与方差的关系：随机变量的标准差. 故. 故选：C. 3．（24-25高二下·新疆·期末）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X a a＋1 P x A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 由题意得，， 所以． 故选：C. 4．（24-25高二下·山东东营·期末）袋中有2个白球，3个红球，从中随机连续抽取4次，每次取一个球.若每次抽取后都不放回，设取到红球的个数为X，则X的方差为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】X的可能取值为2，3， ，， 故，. 故选：A 5．（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由随机变量服从两点分布，若， 根据分布列的性质，可得，所以A错误； 又由，，所以B错误； 由，所以C正确； 由，所以D错误. 故选：C. 6．（24-25高二下·山东临沂·期末）已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由分布列可得， 由， 由， ， 所以， 故选：A 7．（24-25高二下·重庆九龙坡·期末·多选）已知随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P 则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】根据随机变量X的分布列，可得，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD. 8．（24-25高二下·吉林长春·期末·多选）已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 0.4 m 下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由得， 所以，， 所以，， 故选：AC. 9．（24-25高二下·山西·期末）已知随机变量的分布列为 1 2 4 5 0.2 0.35 0.3 由表可得 . 【答案】2.5 【详解】依题意，，得， 则， 所以. 故答案为：2.5 10．（24-25高二下·山西·期末）已知一个袋中装有（除颜色外完全相同）5个红球，个黑球.现从袋中随机摸出3个球，设表示摸出红球的个数，若，则 . 【答案】 【详解】依题意，， 整理得，而，解得， 的可能值为，，，， ，， 所以. 故答案为： 11．（24-25高二下·甘肃白银·期末）某商场举行一个“消费满百元送抽奖券”的活动，每张抽奖券参与抽奖都有机会获奖，且获得一等奖（价值10元的消费券）的概率为0.1，获得二等奖（价值5元的消费券）的概率为0.2，获得三等奖（价值2.5元的消费券）的概率为0.4，未获奖则无消费券. (1)求每张抽奖券参与抽奖活动获奖的概率； (2)若消费者小李获得五张抽奖券，他拿这五张抽奖券参加抽奖活动，求这五张抽奖券恰有一张获奖的概率； (3)若消费者小张获得一张抽奖券，设他抽奖后获得的消费券数额为元，求的分布列、期望与方差. 【答案】(1)0.7 (2) (3)分布列见解析，数学期望为3，方差为8.5 【详解】（1）每张抽奖券参与抽奖活动获奖的概率为. （2）由独立重复试验的概率可知，这五张抽奖券恰有一张获奖的概率为. （3）依题意可得的可能取值为0，2.5，5，10， 的分布列为 0 2.5 5 10 0.3 0.4 0.2 0.1 则， . 12．（24-25高二下·天津·阶段练习）某市运动会上，将要进行甲、乙两人的羽毛球冠亚军决赛，比赛实行三局两胜制，且各局比赛结果相互独立. 已知每局比赛中，若甲先发球，其获胜的概率为，否则其获胜的概率为. (1)若在第一局比赛中采用抛硬币的方式决定谁先发球，试求乙在此局获胜的概率； (2)已知第一局由甲先发球，以后每局由负方先发球：规定胜一局记1分，负一局记0分，记为比赛结束时甲的得分，求随机变量的分布列及期望； (3)求随机变量的方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【详解】（1）设事件为“乙在第一局中获得胜利”，设事件为“甲先发球”，事件为“乙先发球”，则， 由全概率公式可知： ； （2）依题意的可能取值为，，， 时，比赛的结果为：乙连胜两局，∴； 时，比赛的结果为：“乙胜甲胜乙胜”，“甲胜乙胜乙胜”， ∴； 时，比赛的结果为：“甲胜甲胜”，“甲胜乙胜甲胜”，“乙胜甲胜甲胜”， ∴； 所以的分布列为： X 0 1 2 P 则； （3）由（2）可得， 即随机变量的方差. 13．（24-25高二下·四川达州·期末）有10道单项选择题，某生能正确解答其中6道题，不能正确解答的题目每道题能够猜对的概率为. (1)若10道单项选择题全部做完，求该生答对的题目数的分布列； (2)若从10道单项选择题中随机抽出2道题进行做答，求该生答对的题目数的均值和方差. 【答案】(1)分布列见解析 (2)均值为，方差为 【详解】（1）的可能取值为6,7,8,9,10， ，， ，， ， 题目数的分布列如下： 6 7 8 9 10 （2）的可能取值为0,1,2， ，即抽到的2道题全部来自不能正确解答的4道题目，且没有正确解答， 故， ，即抽到的2道题全部来自不能正确解答的4道题目，且正确解答其中的1道， 或抽到的2道题1道来自能正确解答的6道题目，1道来自不能正确解答的4道题目，且这道题目没能正确解答， 故， ，即抽到的2道题全部来自不能正确解答的4道题目，且均正确解答， 或抽到的2道题1道来自能正确解答的6道题目，1道来自不能正确解答的4道题， 且这道题目正确解答， 或抽到的2道题均来自能正确解答的6道题目， 故， 所以该生答对的题目数的均值为， 方差为. 14．（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程，某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如下表：假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立， 男 女 支持方案一 24 16 支持方案二 25 35 (1)从样本中抽一人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率． (2)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列与数学期望； (3)在（2）中，表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小． 【答案】(1)； (2)分布列见详解，； (3). 【详解】（1）由表中数据可知，支持方案二的有人，其中女生有人， 所以已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率为. （2）从支持方案一的学生中随机抽取1人，抽到女生的概率为， 由（1）知，从支持方案二的学生中随机抽取1人，抽到女生的概率为， 由题知，的可能取值为， 且，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 期望. （3）因为，， ， 所以， 所以 ， 由（2）可得 . 即. 15．（24-25高二下·北京房山·期末）习近平总书记指出，人工智能是引领新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力，正深刻改变着人们的生产、生活、学习方式，推动人类社会迎来人机协同、跨界融合、共创分享的智能时代.随着中国人工智能行业市场规模的不断扩大，各行各业人工智能应用渗透度也在不断提升，下图是2021-2023年中国人工智能在互联网、电信、政务、金融、制造业、交通、服务、教育等8个行业的渗透度的变化情况： (1)从上图2021年8个行业中随机抽取3个，求其中恰有一个行业人工智能渗透度不低于的概率； (2)从上图2022年和2023年8个行业中各随机抽取1个，设其中人工智能渗透度高于的行业个数为，求的分布列及数学期望； (3)从上图2023年8个行业中随机抽取1个，用“”表示人工智能行业渗透度在区间内，用“”表示人工智能行业渗透度在区间内，若方差取得最大值，请写出实数的取值范围.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)答案见解析， (3) 【详解】（1）从上图2021年8个行业中，有3个行业人工智能渗透度不低于， 则所求其中恰有一个行业人工智能渗透度不低于的概率为：． （2）从上图2022年8个行业中，有2个行业的人工智能渗透度高于， 2023年8个行业中，有4个行业的人工智能渗透度高于， 则可取， ， ， ， 得的分布列为： X 0 1 2 P 则的数学期望为：． （3）设，则， 则， 得， 当且仅当，等号成立时，， 从上图2023年8个行业中人工智能行业渗透度从小到大依次为： ， 则实数的取值范围为： 16．（24-25高二下·北京西城·期末）商品的价格指数是用于衡量该商品价格随时间变化的相对指标，它可以帮助分析该商品的通胀或通缩趋势、市场供需变化和成本波动.下表是2024年某地区每个月苹果的价格指数： 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 指数 151 152 149 146 151 147 151 154 152 151 152 153 (1)若从2024年随机抽取1个月，求该月苹果的价格指数大于150的概率； (2)若从2024年1~6月随机抽取3个月，从7~12月随机抽取1个月，记为随机抽取到苹果的价格指数大于150的月份的个数，求的分布列和数学期望； (3)若从2024年1~4月、5~8月、9~12月各随机抽取1个月，分别记、、为这个月苹果的价格指数大于150的月份的个数，则、、中哪个最大?（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【详解】（1）设“2024年随机抽取1个月，且该月苹果价格指数大于150”为事件， 由表可知，2024年12个月中，有9个月的苹果价格指数大于150， 所以； （2）随机变量的所有可能取值为1，2，3，4， ， ， ， ； 所以的分布列为： 1 2 3 4 所以的数学期望为； （3）2024年1~4月中有两个月苹果的价格指数大于150，则服从两点分布， 故； 2024年5~8月中有三个月苹果的价格指数大于150，则服从两点分布， 故； 2024年9~12月中四个月苹果的价格指数都大于150，则， 故， 即、、中最大. 课后提升训练 1．（24-25高二下·甘肃白银·期末）在一次抽奖活动中，主办方在一个箱子里放有99个写有“谢谢参与”的奖券，1个写有“恭喜中奖”的奖券，活动规定从箱子中随机不放回地抽取奖券.若抽到写有“谢谢参与”的奖券，则继续；若抽到写有“恭喜中奖”的奖券，则停止.求得抽奖次数的均值是（   ） A．49 B．49.5 C．50 D．50.5 【答案】D 当，表示第一次抽到写有“谢谢参与”的奖券，第二次抽到写有“恭喜中奖”的奖券，其概率为； 以此类推，第次中奖概率； 所以的均值. 故选：D. 2．（24-25高二下·河南信阳·期末）随机变量的分布列如下表，若，则（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知可得：得． ． 故选：C． 3．（24-25高二下·山东菏泽·期末）离散型随机变量的取值为0，1，2，若，，，，则（   ） A． B．0.6 C．0.8 D．1.6 【答案】D 【详解】由题知： . 所以， 所以. 故选：D 4．（24-25高二下·上海·阶段练习）一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量， 且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均， 所以设爬行后小虫一共向能爬行次，则向后爬行， 所以， 所以， 对于AB的分布列为： ，所以A正确； 因为 ， 所以 ，所以B错误； 对于C，因为， 所以，所以，所以C正确； 对于D，因为， 所以， 所以，所以D正确． 故选：B． 5．（24-25高二下·广东肇庆·期末）已知离散型随机变量的分布列如下表： 0 1 2 0.3 若离散型随机变量，则的方差（   ） A．0.6 B．5.4 C．1 D．3.4 【答案】B 【详解】由题意得，，， 所以， 所以. 所以.故B正确. 故选：B. 6．（24-25高二下·山东枣庄·期末）若随机事件A在一次试验中发生的概率为，用随机变量X表示A在一次试验中发生的次数，则的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【详解】由题意可得随机变量的所有可能取值为，， 则，， 则，， 则， 当且仅当，即时取等号，故A正确. 故选：A. 7．（24-25高二下·福建福州·期末·多选）乒乓球，被称为中国的“国球”.某次比赛采用三局两胜制，当参赛选手甲、乙两位中有一位赢得两局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束，每局比赛都要分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为（），有选手晋级所需要的比赛局数的期望值记为，则下列说法中不正确的是（   ） A．打满三局结束比赛的概率为 B．的常数项为 C．函数在上单调递增 D． 【答案】ABD 【详解】设实际比赛局数为，则的可能取值为 所以， ， 因此三局结束比赛的概率为，则A不正确； 故 由知常数项为，故B不正确； 由，故D不正确； 由二次函数性质可得函数在上单调递增， 而，所以函数在上单调递增，C正确. 故选：ABD. 8．（24-25高二下·福建泉州·期末·多选）已知，均为正数，随机变量的分布列如下表，则下列结论一定成立的是（   ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】AB选项，由题意，且， 而，大小不确定，故A正确，B错误； C选项，，故C正确； D选项，由， 所以， 与的大小有关，不一定小于1，故D错误； 故选：AC 9．（24-25高二下·重庆·阶段练习）某病毒感染率为0.2.现对某地区进行抽样调查，若抽到感染者，则停止抽样，否则继续抽样直到抽到感染者为止，但抽样次数不超过次.记抽查次数为，则 （）；要使抽查次数的期望值不超过3，则的最大值为 . 【答案】 4 【详解】抽查次数的可能值为，则， ， ， 于是， 两式相减，得 ， 则，由，得， 数列单调递减，，因此， 所以的最大值为4. 故答案为：；4 10．（24-25高二下·广西南宁·期中）一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为a，与对手踢平（得1分）的概率为b，负于对手（得0分）的概率为c，其中，已知该足球队进行一场比赛得分的均值是1，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】设得分为，则 0 1 3 c b a 由均值为，且， 则， 当且仅当时等号成立． 故答案为：. 11．（24-25高二下·江苏南京·期中）一个不透明的袋子中有6个白球和2个红球，这些球除颜色外完全相同．某人从袋子中不断地随机摸球，每次从袋子中摸出一个球，直到2个红球被全部取出时停止．则摸球次数为3的概率是 ，摸球次数的期望是 ． 【答案】 6 【详解】摸球次数为3的概率为. 由题知摸球次数可取2，3，4，5，6，7，8， ，，， ，， ，， ， 故答案为：①② 6 12．（2025·山西·三模）一个盒子中有2个红球，3个白球．从中随机取一个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的1个球，再从中不放回地取2个球，若取到的两个球中红球的个数为，则 ． 【答案】 【详解】设“第1次取出的球为红球”为事件，则，，的可能取值为0，1，2． ， ， ． 所以． 故答案为： 13．（24-25高二下·天津滨海新·期末）甲同学参加数学、物理2门课程的考试，假设甲同学在这2门课程考试中取得优秀成绩的概率分别是，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立. (1)求甲同学2门课程均未取得优秀成绩的概率； (2)求甲同学取得优秀成绩的课程数的分布列及均值. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）设甲同学2门课程均未取得优秀成绩为事件， 则事件的概率. （2）由题意得的可能取值为0，1，2 故的分布列如下所示： 0 1 2 则随机变量的均值为. 14．（24-25高二下·天津·期末）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立． (1)若甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩为5分的概率； (2)若乙参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为甲、乙所在对的比赛成绩为5分， 则甲在第一阶段至少投中一次，乙在第二阶段恰好投中一次， 又由甲在第一阶段至少投中一次的概率为， 乙在第二阶段恰好投中一次的概率为， 所以甲、乙所在队的比赛成绩为5分的概率. （2）解：设乙参加第一阶段比赛，甲、乙所在队的比赛成绩为随机变量，则， 当时，即乙参加第一阶段比赛，三次未中或乙参加第一阶段比赛，至少投中一次且甲第二阶段未投中可得； 当时，即乙参加第一阶段比赛，至少投中一次，且甲在第二阶段恰好投中一次， 可得； 当时，即乙参加第一阶段比赛，至少投中一次，且甲在第二阶段恰好投中两次， 可得； 当时，即乙参加第一阶段比赛，至少投中一次，且甲在第二阶段恰好投中三次， 可得， 所以随机变量的分布列为： 0 5 10 15 所以成绩的期望为. 15．（2025·河北保定·模拟预测）把一颗质地均匀，四个面上分别标有复数、、、（为虚数单位）的正四面体玩具连续抛掷两次，第一次出现底面朝下的复数记为，第二次出现底面朝下的复数记为． (1)用表示“”这一事件，求事件的概率； (2)设复数的实部为，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）所有的基本事件个数有（个）， 包含的基本事件有、、、共个，所以． （2）由题意可知，随机变量的可能取值为、、， 所包含的基本事件有：、、、，共个， 所包含的基本事件有：、、、、、、、，共个， 所包含的基本事件有：、、、，共个， 所以，，，， 的分布列为 所以． 16．（24-25高二下·北京通州·期末）某区开展“文明先锋”志愿服务活动，为表彰优秀志愿者，用分层抽样的方法按青少年组与成年组分别抽取若干名志愿者调查其服务情况，并依据服务时长评选出一星、二星、三星优秀志愿者，数据如下： 组别 人数 获奖人数 一星 二星 三星 青少年 100 5 15 20 成年 200 15 15 20 假设所有志愿者的获奖情况相互独立，用频率估计概率． (1)试估计本社区一星志愿者的获奖概率； (2)从本社区青少年组志愿者中随机抽取1名，成年组志愿者中随机抽取2名，以X表示这3名志愿者中获奖的人数，求X的分布列与期望； (3)若从该社区志愿者中随机抽取1名，记抽到的志愿者获奖的概率为；为支援某大型活动，从其他社区调入c（c>0）名一星志愿者，再随机抽取1名，记抽到的志愿者获奖的概率为，试估计与的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1)； (2)分布列见解析，期望为； (3) 【详解】（1）抽取的300名志愿者中，一星志愿者有20名， 所以估计本社区一星志愿者的获奖概率为. （2）由数表知，青少年组志愿者获奖的概率为， 成年组志愿者获奖的概率为， 的可能值为， ，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 期望为. （3）抽取的300名志愿者中，获奖人数为90，则 调入 c 名一星志愿者后，获奖人数为，志愿者总数为，， ，则， 所以. 17．（24-25高二下·河南开封·期末）一个箱子里有个大小相同的红球和白球，其中红球比白球多个．已知从中随机摸出个球，摸出的球颜色不同的概率为． (1)求的值； (2)若有放回地摸球次，每次随机摸出个球，记至少取出一次的球的个数为，求的分布列和均值． 【答案】(1) (2)分布列答案见解析， 【详解】（1）记事件“摸出的球颜色不同”，设红球的个数为，则白球的个数为，所以， 所以，解得，故. （2）随机摸出每个球的概率都是，由题意可知，随机变量的可能取值有、、， 则，，， 故随机变量的分布列如下表所示： 因此，. 18．（24-25高二下·四川资阳·期末）欲从A，B两个频道中选出一个优选频道作为校园之声广播，现对这两个频道轮流播放进行测试，每次播放一个频道.已知A频道每次播放成功的概率为，B频道每次播放成功的概率为，且每次播放互不影响. 约定1：任选一个频道进行播放，若播放成功，便成为优选频道； 约定2：从A频道开始播放，先成功播放的频道为优选频道，当决定出优选频道或两频道都播放3次均失败，结束测试. (1)按照约定1，求在播放一次就成功的条件下，A频道成为优选频道的概率； (2)按照约定2， （i）两个频道共播放不超过4次时，求A频道成为优选频道的概率； （ii）测试结束时，求B频道播放次数的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）分布列见解析，数学期望为 【详解】（1）在播放一次就成功的条件下，A频道成为优选频道的概率为 （2）播放1次A频道成为优选频道的概率为； 播放3次A频道成为优选频道的概率为； 所以按照约定2两个频道共播放不超过4次时，求A频道成为优选频道的概率为 （ii）的所有可能取值为0，1，2，3 ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以数学期望为 19．（2025·江苏连云港·模拟预测）人工智能程序通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策．工程师分别用人类围棋对弈的近100万、500万、1000万种不同走法三个阶段来升级人工智能程序，三个阶段的程序依次简记为甲、乙、丙． (1)测试阶段，让某围棋手与甲、乙、丙三个程序各比赛一局，各局比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，．记该棋手连胜两局的概率为，试判断该棋手在第二局与哪个程序比赛最大，并写出判断过程． (2)工程师让甲和乙进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立． ①若比赛最多进行6局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值； ②若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事件，证明：． 【答案】(1)该棋手在第二局与甲比赛最大，过程见解析 (2)①分布列见解析，；②证明见解析 【详解】（1）该棋手在第二局与甲比赛最大，该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，记，，，该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛连胜两局的概率为，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为，则． 同理，该棋手在第二盘与乙比赛连胜两局的概率， 该棋手在第二盘与丙比赛连胜两局的概率， 因为，所以该棋手在第二局与甲比赛最大． （2）①因为没有平局，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”或者“乙获胜”，且， 由题意得的所有可能取值为：2，4，6， ，， ． 的分布列为： 2 4 6 所以的数学期望为： ． 由，得，当且仅当取等号，则， 因此当时，的最大值为． ②设事件分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”. 可知甲最后赢得比赛的局数必为偶数， 根据比赛规则，前两局比赛结果可能是， 其中事件表示“甲赢得比赛”，事件表示“乙赢得比赛”，事件表示“甲、乙各得1分”，因不限制局数，所以当甲、乙得分总数相同时，甲最后赢得比赛的概率与比赛一开始甲赢得比赛的概率相同， 所以 ，整理得， 又，平方后整理可得． 所以 2 学科网（北京）股份有限公司 $$