离散型随机变量及其概率分布、期望与方差讲义-2026届高三数学一轮复习

离散型随机变量及其概率分布、期望与方差 课前学习任务 一、必备知识 1．离散型随机变量的分布列的性质 (1) pi____0(i＝1,2，…，n)； (2) p1＋p2＋…＋pn＝____． 2．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (1) 均值： E(X)＝____＝xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了离散型随机变量取值的____． (2) 方差： D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝__ __为随机变量X的方差，并称为随机变量X的____，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的____． 3．均值与方差的性质 (1) E(X1＋X2)＝____； (2) 若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝____； (3) E(aX＋b)＝____(a，b为常数)； (4) D(aX＋b)＝____(a，b为常数)； (5) D(X)＝E(X2)－[E(X)]2． 二、练基础 1．(人A选必三P70练习T2)若随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则D(X)＝____． 2．(人A 选必三P66练习T1)已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1 则E(X)＝____，E(3X＋2)＝___． 3．(人A选必三P70练习T1)已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 0.4 0.1 则D(X)＝____，σ(2X＋7)＝____． 4．(人A选必三P71练习T3)已知随机变量X的分布列为P(X＝0)＝0.2，P(X＝1)＝a，P(X＝2)＝b，若E(X)＝1，则a＝___，b＝____． 5．(人A选必三P71习题T2)现要发行10 000 张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1 000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1 000元的彩票5张．1张彩票可能中奖金额的均值是____． 课堂核心考点 考点一 离散型随机变量的分布列的性质 例1　(1) 设X是一个离散型随机变量，其分布列为 X 0 1 P 9a2－a 3－8a 则常数a的值为(　) A． B． C．或 D．－或－ (2) 设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示： ξ －1 0 1 2 3 P 则下列各式正确的是(　　) A．P(ξ＜3)＝ B．P(ξ＞1)＝ C．P(2＜ξ＜4)＝ D．P(ξ＜0.5)＝0 变式1　(1) 已知随机变量X的概率分布为P(X＝n)＝(n＝1,2,3，…，10)，则实数a＝____． (2) 设随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P m 则P(|X－3|＝1)＝____． 考点二 离散型随机变量的分布列及数字特征 视角1　求离散型随机变量的分布列及数字特征 例 2－1　(2024·郑州、周口二模)荥阳境内广武山上汉王城与霸王城之间的鸿沟，即为象棋棋盘上“楚河汉界”的历史原型，荥阳因此被授予“中国象棋文化之乡”．有甲、乙、丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场．第1局由甲、乙比赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立． (1) 求前3局比赛甲都取胜的概率； (2) 用X表示前3局比赛中乙获胜的次数，求X的分布列和数学期望及方差． 视角2　期望方差的性质及应用 例 2－2　(1) (多选)已知随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P a 其中ab≠0，则下列说法正确的是(　　) A．a＋b＝1 B．E(ξ)＝ C．D(ξ)随b的增大而减小 D．D(ξ)有最大值 (2) (多选)已知随机变量X，Y，且Y＝3X＋1，X的分布列如下： X 1 2 3 4 5 P m n 若E(Y)＝10，则(　　) A．m＝ B．n＝ C．E(X)＝3 D．D(Y)＝ 考点三 期望与方差的决策应用 例3　(2024·湖南九校联盟二联)猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A，B，C三首歌曲．嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金．假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表： 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.5 0.5 获得的奖励基金金额/元 1 000 2 000 3 000 (1) 求甲按“A，B，C”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率． (2) 甲决定按“A，B，C”或者“C，B，A”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望．为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由． 课后提升练 1．若随机变量ξ的分布列如下表所示，且m＋2n＝1.2，则n＝(　　) ξ 0 1 2 3 P 0.1 m n 0.1 A．－0.2 B．0.4 C．0.2 D．0 2．已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)： X 0 1 2 3 P 0.2 0.3 0.4 a 则下列计算结果正确的是(　　) A．a＝0.2 B．P(X≥2)＝0.7 C．E(X)＝1.4 D．D(X)＝6.3 3．已知随机变量X，Y满足Y＝2X＋1，且随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P a 则随机变量Y的方差D(Y)＝(　　) A． B． C． D． 4．若p为非负实数，随机变量X的分布列如下表，则D(X)的最大值是___． X 0 1 2 P －p p 答案解析 课前学习任务 1. (1) ≥　(2) 1 2. (1) x1p1＋x2p2＋…＋xnpn　平均水平 (2) [xi－E(X)]2pi　标准差　偏离程度 3. (1) E(X1)＋E(X2)　(2) E(X1)·E(X2) (3) aE(X)＋b　(4) a2D(X) 1. 0　【解析】 因为随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，所以E(X)＝c×1＝c，所以D(X)＝(c－c)2×1＝0. 2. 2.8　10.4　【解析】 E(X)＝1×0.1＋2×0.3＋3×0.4＋4×0.1＋5×0.1＝2.8，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×2.8＋2＝10.4. 3. 0.84　　【解析】 由题意知E(X)＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.4＋4×0.1＝2.4，所以D(X)＝(1－2.4)2×0.2＋(2－2.4)2×0.3＋(3－2.4)2×0.4＋(4－2.4)2×0.1＝0.84，D(2X＋7)＝4D(X)＝4×0.84＝3.36，σ(2X＋7)＝＝. 4. 0.6　0.2　【解析】 由题意知，解得 5. 2元　【解析】 由题意，设X表示1张彩票中奖的金额，则P(X＝2)＝＝0.1，P(X＝10)＝＝0.03，P(X＝50)＝＝0.01，P(X＝100)＝＝0.005，P(X＝1 000)＝＝0.000 5，P(X＝0)＝1－(0.1＋0.03＋0.01＋0.005＋0.000 5)＝0.854 5，所以X的分布列为 X 0 2 10 50 100 1 000 P 0.854 5 0.1 0.03 0.01 0.005 0.000 5 所以E(X)＝2×0.1＋10×0.03＋50×0.01＋100×0.005＋1 000×0.000 5＝2，即1张彩票可能中奖金额的均值是2元． 课堂核心考点 例1　(1) A　【解析】 由分布列的性质可知解得a＝. (2) C　【解析】 P(ξ＜3)＝＋＋＋＝，故A错误；P(ξ＞1)＝＋＝，故B错误；P(2＜ξ＜4)＝P(ξ＝3)＝，故C正确；P(ξ＜0.5)＝＋＝，故D错误． 变式1　(1) 　【解析】 P(X＝n)＝＝a(－)(n＝1，2，3，…，10)，所以P(X＝n)＝a(1－＋－＋－＋…＋－)＝a＝1，得a＝. (2) 　【解析】 由＋m＋＋＝1，解得m＝，则P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝. 例2-1　【解答】 (1) 因各局比赛的结果相互独立，则前3局甲都取胜的概率为P＝××＝. (2) X的所有可能取值为0，1，2，3.其中，X＝0表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙输，则P(X＝0)＝×＝；X＝1表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙赢或第1局乙赢，且第2局乙输，则P(X＝1)＝×＋×＝；X＝2表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙输，则P(X＝2)＝××＝；X＝3表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙赢，则P(X＝3)＝××＝.所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 故X的数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.方差D(X)＝×＋×＋×＋×＝. 例2-2　(1) ABD　【解析】 根据分布列的性质得a＋＋＝1，即a＋b＝1，故A正确；根据数学期望公式得E(ξ)＝0×a＋1×＋2×＝，故B正确；根据方差公式得D(ξ)＝×a＋×＋×＝－b2＋b＝－＋，因为0<b<1，所以当b＝时，D(ξ)取得最大值，故C不正确，D正确． (2) AC　【解析】 由m＋＋＋n＋＝1，得m＋n＝①，又因为E(Y)＝E(3X＋1)＝3E(X)＋1＝10，所以E(X)＝3，故C正确；由E(X)＝m＋2×＋3×＋4n＋5×＝3，得m＋4n＝②，所以由①②可得n＝，m＝，故A正确，B错误；D(X)＝(1－3)2×＋(2－3)2×＋(3－3)2×＋(4－3)2×＋(5－3)2×＝4×＋1×＋1×＋4×＝，D(Y)＝D(3X＋1)＝9D(X)＝9×＝，故D错误． 例3　【解答】 (1) 由题意可知甲按“A，B，C”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名分两种情况：猜对A，B；猜对A，B，C.这两种情况不会同时发生．设“甲按‘A，B，C’的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名”为事件E，由甲猜对每首歌曲的歌名相互独立得P(E)＝P(AB＋ABC)＝0.8×0.5×(1－0.5)＋0.8×0.5×0.5＝0.4. (2) 甲决定按“A，B，C”顺序猜歌名，获得的奖励基金金额记为X，则X的所有可能取值为0，1 000，3 000，6 000，P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝1 000)＝0.8×(1－0.5)＝0.4，P(X＝3 000)＝0.8×0.5×(1－0.5)＝0.2，P(X＝6 000)＝0.8×0.5×0.5＝0.2，所以E(X)＝0×0.2＋1 000×0.4＋3 000×0.2＋6 000×0.2＝2 200；甲决定按“C，B，A”顺序猜歌名，获得的奖励基金金额记为Y，则Y的所有可能取值为0，3 000，5 000，6 000，P(Y＝0)＝0.5，P(Y＝3 000)＝0.5×(1－0.5)＝0.25，P(Y＝5 000)＝0.5×0.5×(1－0.8)＝0.05，P(Y＝6 000)＝0.5×0.5×0.8＝0.2，所以E(Y)＝0×0.5＋3 000×0.25＋5 000×0.05＋6 000×0.2＝2 200. 参考答案一：由于D(X)＝(0－2 200)2×0.2＋(1 000－2 200)2×0.4＋(3 000－2 200)2×0.2＋(6 000－2 200)2×0.2＝4 560 000，D(Y)＝(0－2 200)2×0.5＋(3 000－2 200)2×0.25＋(5 000－2 200)2×0.05＋(6 000－2 200)2×0.2＝5 860 000，由于D(Y)>D(X)，所以应该按照“A，B，C”的顺序猜歌名． 参考答案二：甲按“C，B，A”的顺序猜歌名时，获得0元的概率为0.5，大于按照“A，B，C”的顺序猜歌名时获得0元的概率0.2，所以应该按照“A，B，C”的顺序猜歌名． 课后提升练 1. B　【解析】 依题意得m＋n＋0.1＋0.1＝1，又m＋2n＝1.2，解得n＝0.4，m＝0.4. 2. C　【解析】 因为0.2＋0.3＋0.4＋a＝1，所以a＝0.1，故A错误；由分布列知P(X≥2)＝0.4＋0.1＝0.5，故B错误；E(X)＝0×0.2＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.1＝1.4，故C正确；D(X)＝(0－1.4)2×0.2＋(1－1.4)2×0.3＋(2－1.4)2×0.4＋(3－1.4)2×0.1＝0.84，故D错误． 3. B　【解析】 由分布列的性质，得a＝1－－＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝，所以D(X)＝×＋×＋×＝.又Y＝2X＋1，所以D(Y)＝4D(X)＝. 4. 1　【解析】 因为所以p∈，所以E(X)＝p＋1≤，E(X2)＝p＋2，所以D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝－p2－p＋1＝－＋，所以当p＝0时，D(X)max＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$