专题5 巧添辅助线解答几何题-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（沪科版）

37 专题五　巧添辅助线解答几何题 解答几何证明题,常常由于找不到已知与未知间的联系而感到无从入手,此时可通过添加辅 助线来解决.添加辅助线可使图形中隐蔽的性质显现出来,从而便于利用图形的有关性质去解 题;添加辅助线可使题中分散的条件集中到一个图形中,从而便于找到已知与未知间的联系,并 利用它们之间的关系解题.总之,添加辅助线有利于实现已知与未知的转化.此类题往往有一定 的难度,也没有一成不变的方法.常见的方法有作平行线法,延长、截取法,构造法等.但最根本的 方法是从分析已知条件和要证的结论入手,紧密联系已学知识,找到由条件到结论的逻辑通道. 类型一 作平行线法 1. 如图,在△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC 于 点D,E 为AD 的中点,连接CE 并延长,交 边AB 于点F.求证:AF=12FB. 第1题 2. 如图,在△ABC 中,∠BAC=60°,∠C=40°, AP 平分∠BAC,交边BC 于点P,BQ 平分 ∠ABC,交边AC 于点Q.求证:AB+BP= BQ+AQ. 第2题 类型二 延长、截取法 3. ★如图,在△ABC 中,∠BAC=120°,AD⊥ BC 于点D,且AB+BD=CD,则∠C 的度 数为 . 第3题 4. 如图,CE,CB 分别是△ABC,△ADC 的中 线,且AB=AC.求证:CD=2CE. 第4题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 38 类型三 构造三角形的中位线法 答案讲解 5. 如图,在四边形ABCD 中,AB= CD,E,F 分别是边BC,AD 的中 点,连接EF 并延长,分别与BA, CD 的延长线交于点M,N.求证:∠BME= ∠CNE. 第5题 6. 如图,在Rt△ABC 中,分别以直角边AB, AC 为斜边,向△ABC 的内侧作两个等腰直 角三角形ABE 和ACD,M 是边BC的中点, 连接DM,EM,AM.求证:AB-AC=2DM. 第6题 类型四 构造全等三角形法 答案讲解 7. 如图,从等腰直角三角形ABC 的直 角顶点C 向中线BD 作垂线,交 BD 于点F,交边AB 于点E,连接 DE.求证:∠CDF=∠ADE. 第7题 答案讲解 8. 如图,AB⊥AC,AB=AC,AD⊥ AE,AE=AD,F 为CD 的中点,试 探究BE 与AF 之间的位置关系, 并说明理由. 第8题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)八年级 39 答案讲解 9. 如图,在正方形ABCD 中,E 为边 BC上一点,连接AE,过点B作BG⊥ AE 于点G,延长BG 至点F,连接 CF,使∠CFB=45°.求证:AG=FG. 第9题 答案讲解 10. 如图,在▱ABCD 中,∠ACB= 45°,O 是对角线AC 的中点,E 是 边BC 上一点,且AB=AE,连接 EO 并延长,交边AD 于点F.过点B 作 AE 的垂线,垂足为 H,交AC 于点G.求 证:DF=2CG. 第10题 类型五 构造平行四边形法 11. 如图,在△ABC 中,D,E 分别是边AB,AC 的中点,连接CD,BE,交于点O.求证: OC=2OD. 第11题 12. 如图,在▱ABCD 中,E 是边CD 的中点,F 是AE 的中点,CF 与BE 交于点G.求证: CG=FG. 第12题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 17 2.∴ 原方程可化为x2-6x+9=0,解得x1=x2=3.∵ 3+ 3<7,∴ 不合题意,舍去.综上所述,△ABC的周长为17. 专题五　巧添辅助线解答几何题 1. 过点 D 作DG∥CF,交 AB 于点G.在△ABC 中, ∵ AB=AC,AD⊥BC 于点D,∴ BD=CD.又∵ DG∥ CF,∴ 易得DG 是△BCF 的中位线.∴ BG=GF.∵ E 为AD 的中点,EF∥DG,∴ 易得EF 是△ADG 的中位 线.∴ AF=GF.∴ AF=GF=BG.∴ AF=12FB. 2. ∵ ∠BAC=60°,∠C=40°,∴ ∠ABC=80°.∵ BQ 平 分∠ABC,∴ ∠CBQ= 12 ∠ABC= 1 2 ×80°=40°. ∴ ∠CBQ=∠C.∴ BQ=CQ.∴ BQ+AQ=CQ+AQ= AC.过点P 作PD∥BQ,交CQ 于点D,则∠CPD= ∠CBQ=40°.∴ ∠CPD=∠C.∴ DP=DC,∠ADP= ∠CPD+∠C=40°+40°=80°.∴ ∠ABC=∠ADP. ∵ AP 平分∠BAC,∴ ∠BAP=∠DAP.在△ABP 和 △ADP 中, ∠ABP=∠ADP, ∠BAP=∠DAP, AP=AP, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABP ≌ △ADP. ∴ AB=AD,BP=DP.∴ AB+BP=AD+DP=AD+ DC=AC.又∵ BQ+AQ=AC,∴ AB+BP=BQ+AQ. 3. 20° 证明线段的和差问题的方法 如果题目的已知条件或结论中有一条线段等于另 外两条线段的和或差,那么可尝试截取较长线段,使其 中一条线段等于和或差中的一条线段,然后通过连线、 补形的方法来解题. 4. 如图,延长CE 到点F,使EF=CE,连接FB,则CF= 2CE.∵ CE 是△ABC的中线,∴ AE=BE.在△BEF 和 △AEC 中, BE=AE, ∠BEF=∠AEC, EF=EC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BEF ≌ △AEC. ∴ ∠EBF=∠A,BF=AC.∵ AB=AC,∴ ∠ABC= ∠ACB.∴ ∠CBD=∠A+∠ACB=∠EBF+∠ABC= ∠CBF.∵ CB 是 △ADC 的 中 线,∴ AB=BD.又 ∵ AB=AC,AC=BF,∴ BF=BD.在△CBF 和△CBD 中, CB=CB, ∠CBF=∠CBD, BF=BD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CBF≌△CBD.∴ CF= CD.∴ CD=2CE. 第4题 5. 如图,连接BD,取BD 的中点 H,连接 HE,HF. ∵ F,H 分别是AD,BD 的中点,∴ FH∥BM,FH= 1 2AB. 同理,可得EH∥CN,EH=12CD.∴ ∠BME= ∠HFE,∠CNE=∠HEF.又∵ AB=CD,∴ FH= EH.∴ ∠HFE=∠HEF.∴ ∠BME=∠CNE. 第5题 6. 延长CD 交边AB 于点F.∵ △ABE 和△ACD 都是 等腰直角三角形,∴ ∠FAD=∠CAD=45°,∠ADC= 90°.∴ ∠ADF=∠ADC=90°.在△ADF 和△ADC 中, ∠FAD=∠CAD, AD=AD, ∠ADF=∠ADC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADF≌△ADC.∴ AF=AC, FD=CD.又∵ M 是边BC 的中点,∴ DM 是△CBF 的 中位线.∴ DM=12BF= 1 2 (AB-AF)=12 (AB- AC).∴ AB-AC=2DM. 7. 在BD 上截取BG=CE,连接CG.∵ △ ABC 是等腰 直角三角形,CE⊥BD,∴ BC=AC,∠BCA=∠BFC= 90°,∠A=45°.∴ ∠CBG+∠BCF=∠BCF+∠ACE= 90°.∴ ∠CBG = ∠ACE.在 △CBG 和 △ACE 中, BC=CA, ∠CBG=∠ACE, BG=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CBG≌△ACE.∴ CG=AE, ∠BCG=∠A=45°.∴ ∠DCG=45°.∵ BD 是△ABC 的 中 线,∴ CD = AD.在 △CDG 和 △ADE 中, CD=AD, ∠DCG=∠A, CG=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CDG ≌ △ADE.∴ ∠CDG = ∠ADE,即∠CDF=∠ADE. 8. BE⊥AF.理由:如图,延长FA 交BE 于点H,延长 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 18 AF 至点G,使FG=AF,连接CG.∵ F 为CD 的中点, ∴ CF=DF.在△CFG 和△DFA 中, CF=DF, ∠CFG=∠DFA, GF=AF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CFG ≌ △DFA.∴ CG =DA,∠G = ∠FAD. ∵ AB ⊥AC,AD ⊥AE,AE =AD,∴ ∠BAC = ∠DAE=90°,CG=AE.∴ ∠BAE=360°-90°-90°- ∠CAD=180°-∠CAD.∵ ∠ACG=180°-∠CAF- ∠G=180°- ∠CAF - ∠FAD =180°- ∠CAD, ∴ ∠ACG = ∠BAE. 在 △ACG 和 △BAE 中, AC=BA, ∠ACG=∠BAE, CG=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACG≌ △BAE.∴ ∠CAG= ∠B.∵ ∠BAH +∠CAG=90°,∴ ∠BAH +∠B= 90°.∴ ∠AHB=90°.∴ BE⊥AF. 第8题 9. 过点C 作CH⊥BF 于点H,则∠CHF=∠BHC= 90°.∵ ∠CFB =45°,∴ ∠FCH = ∠CFH =45°. ∴ CH = FH.∵ BG ⊥ AE,∴ ∠AGB = 90°. ∴ ∠ABG+∠BAG=90°,∠AGB=∠BHC.∵ 四边形 ABCD 是 正 方 形,∴ AB = BC,∠ABE =90°. ∵ ∠ABE = ∠CBH + ∠ABG =90°,∴ ∠BAG = ∠CBH.在△AGB 和△BHC 中, ∠AGB=∠BHC, ∠BAG=∠CBH, AB=BC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AGB≌△BHC.∴ AG=BH,BG=CH.又∵ BH= BG+GH=CH+GH=FH+GH=FG,∴ AG=FG. 10. 过点A 作AM⊥BC 于点M,交BG 于点K,过点G 作GN⊥BC 于点N,则∠AMB=∠AME=∠BNG= ∠CNG=90°.∵ ∠ACB=45°,∴ ∠MAC=∠NGC= 45°.又∵ AB=AE,AM⊥BE,∴ BM=ME=12BE , ∠BAM=∠EAM.又∵ AE⊥BG,∴ ∠AHK=90°= ∠BMK.∵ ∠AKH=∠BKM,∴ ∠MAE=∠NBG.设 ∠BAM=∠MAE=∠NBG=α,则∠BAG=45°+α, ∠BGA= ∠ACB+ ∠NBG=45°+α,∴ ∠BAG= ∠BGA.∴ AB=BG.∵ AB=AE,∴ AE=BG.在 △AME 和△BNG 中, ∠AME=∠BNG, ∠MAE=∠NBG, AE=BG, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AME≌ △BNG.∴ ME=NG.∵ ∠CNG=90°,∠ACB=45°, ∴ △CNG 是 等 腰 直 角 三 角 形.∴ CN =NG.在 Rt△CNG 中,由勾股定理,得 CG= CN2+NG2 = 2NG.∵ ME= 12BE ,ME=NG,∴ BE=2NG= 2CG.∵ O 是AC 的中点,∴ OA=OC.∵ 四边形 ABCD 是 平 行 四 边 形,∴ AD ∥BC,AD =BC. ∴ ∠OAF= ∠OCE,∠AFO = ∠CEO.在 △AFO 和 △CEO 中, ∠AFO=∠CEO, ∠OAF=∠OCE, OA=OC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AFO ≌ △CEO. ∴ AF=CE.∴ AD-AF=BC-CE,即 DF=BE. ∵ BE=2CG,∴ DF=2CG. 11. 如图,分别取OB,OC 的中点G,H,连接DE,DG, GH,HE,则 OH = 12OC ,GH 是△BOC 的中位线. ∴ GH∥BC,GH=12BC. 同理,可得 DE∥BC,DE= 1 2BC.∴ DE∥GH,DE=GH.∴ 四边形DGHE 为平行 四边形.∴ OD=OH=12OC.∴ OC=2OD. 第11题 12. 取BE 的中点H,连接FH,CH.∵ F 是AE 的中点, H 是BE 的中点,∴ FH 是△ABE 的中位线.∴ FH∥ AB,FH = 12AB.∵ E 是边CD 的中 点,∴ CE= 1 2CD.∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AB∥CD, AB=CD.∴ FH=CE,FH∥CE.∴ 四边形EFHC 是平 行四边形.∴ CG=FG. 专题六　图形的折叠问题 1. A 2. C 解析:如图,延长BC 交AE 于点H.∵ ∠ABC= 45°,∠BAC=15°,∴ ∠ACB=120°.∵ 将△ABC 沿直线 AC翻折,∴ ∠DAC=∠BAC=15°,∠ADC=∠ABC= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈