专题6 图形的折叠问题-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（沪科版）

18 AF 至点G,使FG=AF,连接CG.∵ F 为CD 的中点, ∴ CF=DF.在△CFG 和△DFA 中, CF=DF, ∠CFG=∠DFA, GF=AF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CFG ≌ △DFA.∴ CG =DA,∠G = ∠FAD. ∵ AB ⊥AC,AD ⊥AE,AE =AD,∴ ∠BAC = ∠DAE=90°,CG=AE.∴ ∠BAE=360°-90°-90°- ∠CAD=180°-∠CAD.∵ ∠ACG=180°-∠CAF- ∠G=180°- ∠CAF - ∠FAD =180°- ∠CAD, ∴ ∠ACG = ∠BAE. 在 △ACG 和 △BAE 中, AC=BA, ∠ACG=∠BAE, CG=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACG≌ △BAE.∴ ∠CAG= ∠B.∵ ∠BAH +∠CAG=90°,∴ ∠BAH +∠B= 90°.∴ ∠AHB=90°.∴ BE⊥AF. 第8题 9. 过点C 作CH⊥BF 于点H,则∠CHF=∠BHC= 90°.∵ ∠CFB =45°,∴ ∠FCH = ∠CFH =45°. ∴ CH = FH.∵ BG ⊥ AE,∴ ∠AGB = 90°. ∴ ∠ABG+∠BAG=90°,∠AGB=∠BHC.∵ 四边形 ABCD 是 正 方 形,∴ AB = BC,∠ABE =90°. ∵ ∠ABE = ∠CBH + ∠ABG =90°,∴ ∠BAG = ∠CBH.在△AGB 和△BHC 中, ∠AGB=∠BHC, ∠BAG=∠CBH, AB=BC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AGB≌△BHC.∴ AG=BH,BG=CH.又∵ BH= BG+GH=CH+GH=FH+GH=FG,∴ AG=FG. 10. 过点A 作AM⊥BC 于点M,交BG 于点K,过点G 作GN⊥BC 于点N,则∠AMB=∠AME=∠BNG= ∠CNG=90°.∵ ∠ACB=45°,∴ ∠MAC=∠NGC= 45°.又∵ AB=AE,AM⊥BE,∴ BM=ME=12BE , ∠BAM=∠EAM.又∵ AE⊥BG,∴ ∠AHK=90°= ∠BMK.∵ ∠AKH=∠BKM,∴ ∠MAE=∠NBG.设 ∠BAM=∠MAE=∠NBG=α,则∠BAG=45°+α, ∠BGA= ∠ACB+ ∠NBG=45°+α,∴ ∠BAG= ∠BGA.∴ AB=BG.∵ AB=AE,∴ AE=BG.在 △AME 和△BNG 中, ∠AME=∠BNG, ∠MAE=∠NBG, AE=BG, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AME≌ △BNG.∴ ME=NG.∵ ∠CNG=90°,∠ACB=45°, ∴ △CNG 是 等 腰 直 角 三 角 形.∴ CN =NG.在 Rt△CNG 中,由勾股定理,得 CG= CN2+NG2 = 2NG.∵ ME= 12BE ,ME=NG,∴ BE=2NG= 2CG.∵ O 是AC 的中点,∴ OA=OC.∵ 四边形 ABCD 是 平 行 四 边 形,∴ AD ∥BC,AD =BC. ∴ ∠OAF= ∠OCE,∠AFO = ∠CEO.在 △AFO 和 △CEO 中, ∠AFO=∠CEO, ∠OAF=∠OCE, OA=OC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AFO ≌ △CEO. ∴ AF=CE.∴ AD-AF=BC-CE,即 DF=BE. ∵ BE=2CG,∴ DF=2CG. 11. 如图,分别取OB,OC 的中点G,H,连接DE,DG, GH,HE,则 OH = 12OC ,GH 是△BOC 的中位线. ∴ GH∥BC,GH=12BC. 同理,可得 DE∥BC,DE= 1 2BC.∴ DE∥GH,DE=GH.∴ 四边形DGHE 为平行 四边形.∴ OD=OH=12OC.∴ OC=2OD. 第11题 12. 取BE 的中点H,连接FH,CH.∵ F 是AE 的中点, H 是BE 的中点,∴ FH 是△ABE 的中位线.∴ FH∥ AB,FH = 12AB.∵ E 是边CD 的中 点,∴ CE= 1 2CD.∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AB∥CD, AB=CD.∴ FH=CE,FH∥CE.∴ 四边形EFHC 是平 行四边形.∴ CG=FG. 专题六　图形的折叠问题 1. A 2. C 解析:如图,延长BC 交AE 于点H.∵ ∠ABC= 45°,∠BAC=15°,∴ ∠ACB=120°.∵ 将△ABC 沿直线 AC翻折,∴ ∠DAC=∠BAC=15°,∠ADC=∠ABC= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 19 45°,∠ACD=∠ACB=120°.∵ ∠DAE=∠DAC=15°, ∴ ∠CAE=30°.∴ ∠AED=∠ADC-∠DAE=45°- 15°=30°.∴ ∠AED=∠CAE.∴ AC=EC.又∵ ∠BCE= 360°-∠ACB-∠ACE=120°,∴ ∠BCE=∠BCA.在 △ABC 和 △EBC 中, BC=BC, ∠BCA=∠BCE, AC=EC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌ △EBC.∴ AB=EB,∠ABC=∠EBC=45°.∴ ∠ABE= 90°.∵ AB=BE,∠ABC=∠EBC,∴ AH=EH,BH⊥ AE.∵ ∠CAE=30°,∴ CH=12AC= 2.∴ AH= AC2-CH2 = 6.∴ AE =2 6.∵ AB =BE, ∠ABE=90°,∴ AB2+BE2=AE2,即2BE2=AE2. ∴ BE=23(负值舍去). 第2题 3. 10-43 解析:如图,延长CA,FB,相交于点 H.根 据折 叠 的 性 质,得 EF =EC,∴ ∠EFC= ∠ECF. ∵ ∠BFC=90°,∴ ∠H + ∠ECF=90°,∠EFH + ∠EFC=90°.∴ ∠H =∠EFH.∴ EH =EF=10. ∵ AB∥EF,∴ ∠ABH=∠EFH.∴ ∠ABH=∠H. ∴ AB=AH=43.∴ AE=EH-AH=10-43. 第3题 4. ①④ 解析:在△ABC 中,∵ AB=AC,BC=16, AD⊥BC,∴ BD=CD=12BC=8. 故①正确.如图,过点E 作EF⊥AB 于点F,EH⊥AC 于点 H.∵ AD⊥BC, AB=AC,∴ AE 平分∠BAC.∴ EH=EF.∵ BE 是 ∠ABD 的平分线,DE⊥BC,EF⊥AB,∴ EF=DE. ∴ EH=DE=4.故②错误.由折叠的性质,得EM= CM.设DM=x,则EM=CM=CD-DM=8-x.在 Rt△EDM 中,EM2=DM2+DE2,∴ (8-x)2=x2+42, 解得x=3.∴ EM=CM=5.故③错误.设AE=a,则 AD=AE+DE=a+4.∴ AB2=AD2+BD2=(a+ 4)2 +82.∵ S△ABE S△BDE = 1 2AB ·EF 1 2BD ·DE = 1 2AE ·BD 1 2DE ·BD , ∴ AB BD= AE DE ,即AB 8 = a 4.∴ AB=2a.∴ (4+a)2+82= (2a)2,解得a=203 (负值舍去).∴ AE=203. 故④正确.综 上所述,正确的是①④. 第4题 5. B 6. C 7. C 8. (1) ∵ △CDE 为等边三角形,∴ DE=DC=EC, ∠D=∠DEC=60°.根 据 折 叠 的 性 质,得∠BCA= ∠B'CA.∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC, AD =BC,AB =CD = 3.∴ ∠EAC = ∠BCA. ∴ ∠EAC=∠ECA.∴ EA=EC.∵ ∠DEC=∠EAC+ ∠ECA,∴ ∠DAC=30°.∴ ∠ACD=90°.∴ AD= 2CD=23.(2) 由(1),得AE=CE=DE,∠ACD=90°, CD = 3,AD =2 3,∴ AC = AD2-CD2 = (23)2-(3)2=3.∴ S△ACE= 1 2S△ACD= 1 4AC · CD=14×3×3= 33 4 . 9. B 10. C 解决折叠问题的基本方法 有关图形折叠的相关计算,首先要理解折叠是一 种轴对称变换,即位于折痕两侧的图形关于折痕成轴 对称,它们是全等图形,然后根据图形折叠的性质,即 折叠前、后图形的对应边和对应角相等,对应点的连线 被折痕垂直平分进行相关计算. 11. A 解析:如图,连接BE,BD.∵ 四边形ABCD 为菱 形,∠A=60°,∴ AB∥CD,AB=BC=CD=2,∠A= ∠C=60°.∴ △BCD 是等边三角形.∵ E 是边CD 的中 点,∴ DE=CE=12CD=1 ,BE⊥CD,∠CBE=30°. ∴ 易得BE= 3.∵ CD∥AB,∴ ∠ABE=∠CEB= 90°.由折叠的性质,得AF=EF.∵ EF2=BE2+BF2, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 20 BF=AB-AF=AB-EF=2-EF,BE= 3,∴ EF2= 3+(2-EF)2.∴ EF=74. 第11题 12. B 解析:在正方形ABCD 中,∵ AB=AD=CD= BC=3,CD=3DE,∴ DE=13×3=1 ,CE=3-1=2. ∵ △ADE 沿AE 对折至△AFE,∴ AD=AF,EF= DE=1,∠AFE=∠D=90°.∴ AB=AD=AF.在 Rt△ABG 和 Rt△AFG 中, AG=AG, AB=AF, ∴ Rt△ABG≌ Rt△AFG.∴ BG=FG.设BG=FG=x,则EG=EF+ FG=1+x,CG=BC-BG=3-x.在 Rt△CEG 中, EG2=CG2+CE2,即(1+x)2=(3-x)2+22,解得x= 3 2.∴ FG=32. 13. B 解析:如图,过点B'作EF∥AB,交AD 于点E,交 BC 于点F,过点 M 作MG⊥EF 于点G,则易得四边形 AMGE、四边形MBFG 是矩形,∴ BF=MG,EG=AM= 1,BM=GF=AB-AM=3.∵ 点B'到AD 的距离为2, 即B'E=2,∴ B'G=B'E-EG=1.∵ 将△BMN 沿MN 折叠,使点B 与点B'重合,∴ B'M=BM=3,B'N= BN.在 Rt△B'GM 中,由 勾 股 定 理,得 MG = B'M2-B'G2= 32-12 =2 2.∴ BF=22.设 BN=x,则 B'N =x,NF=BF-BN =2 2-x. 易得B'F=EF-B'E=2,∴ 在Rt△B'NF 中,NF2+ B'F2=B'N2,即(22-x)2+22=x2,解得x=322 . ∴ BN=322 . 第13题 14. D 解析:如图,过点P 作PM⊥EG 于点M,过点E 作EN⊥FP 于点N,则∠PME=∠ENP=90°.∵ 四边 形ABCD 为矩形,∴ CD∥AB.∴ ∠NEM+∠ENP= 180°.∴ ∠NEM =90°.∴ 四 边 形 NEMP 为 矩 形. ∴ NP=EM,NE=PM.∵ PE=8cm,PG=6cm,EG= 10cm,82+62=102,∴ PE2+PG2=EG2.∴ ∠EPG= 90°.∴ S△PEG= 1 2PE ·PG=12×8×6=24 (cm2).又 ∵ S△PEG = 1 2EG ·PM,∴ PM= 2S△PEG EG = 2×24 10 = 4.8(cm).∴ NE =4.8cm,EM = PE2-PM2 = 82-4.82=6.4(cm).由翻折的性质可知,AE=PE= 8cm,DF=D'F,AD=D'P,∴ AM =AE+EM = 14.4cm.∵ ∠A=∠D=∠AMP=90°,∴ 四 边 形 ADPM 是矩形.∴ DP=AM=14.4cm,AD=PM= 4.8cm.设DF=xcm,则D'F=xcm,FP=DP-DF= (14.4-x)cm.∵ ∠D'=∠D=90°,D'P=AD=4.8cm, ∴ 在Rt△PD'F 中,D'F2+D'P2=FP2,即x2+4.82= (14.4-x)2,解得x=6.4.∴ DF=6.4cm.∴ FP= 14.4-6.4=8(cm).∵ NP=EM=6.4cm,∴ FN= FP-NP=8-6.4=1.6(cm).∴ 在Rt△EFN 中,EF= FN2+NE2= 1.62+4.82=8 105 (cm). 第14题 15. 6 解析:如图,过点F 作FM⊥AB 于点M,则易得 四边形ADFM 是矩形,∴ AM=DF,FM=AD.∵ 四边 形ABCD 是正方形,∴ AB=BC=AD=FM,∠B= ∠D=90°,∠BAC=∠CAD=∠ACB=∠ACD=45°.设 △CBE 沿CE 翻折后,点B 落在对角线AC 上的点G 处, ∴ EG=EB,∠EGC=∠B=∠EGA=90°.∴ △EGA 是 等腰直角三角形.∵ BE=1,∴ EG=BE=AG=1.∴ 在 Rt△EGA 中,由勾股定理,得 AE= AG2+EG2 = 2.∴ AB=AE+BE=2+1.∴ BC=AD=FM=2+ 1.由翻折的性质,得CE 平分∠ACB,AF 平分∠CAD,且 ∠ACB=∠CAD=45°,∴ ∠BCE=∠DAF.在△CBE 和△ADF 中, ∠BCE=∠DAF, BC=DA, ∠B=∠D, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CBE≌△ADF. ∴ BE=DF=1.∴ AM=1.∴ EM=AE-AM= 2- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 1.∴ 在 Rt△EMF 中,由 勾 股 定 理,得 EF = EM2+FM2= (2-1)2+(2+1)2=6. 第15题 16. (1) 由折叠的性质可知,∠EBD=∠CBD.∵ AD∥ BC,∴ ∠ADB=∠CBD.∴ ∠EBD=∠ADB.∴ BF= DF.∴ △BDF 是等腰三角形.(2) 设BF=x,则DF= x,AF=AD-DF=10-x.在Rt△ABF 中,由勾股定理, 得AB2+AF2=BF2,即82+(10-x)2=x2,解得x= 41 5.∴ BF 的长为415. 17. (1) 由翻折的性质可知,△ADE≌△GDE,△DCF≌ △DGF,∴ AD=GD=CD,∠A=∠DGE=90°,∠C= ∠DGF=90°.∵ ∠B=90°,∴ 四边形ABCD 是矩形.又 ∵ AD=CD,∴ 四边形ABCD 是正方形.(2) 由(1)知, 四边形ABCD 是正方形,∴ BC=AB=6.∵ F 是BC 的 中点,∴ BF=CF=12BC=3. 设AE=EG=x,则BE= AB-AE=6-x,EF=EG+GF=EG+CF=x+3.在 Rt△BEF 中,∵ EF2=BE2+BF2,∴ (x+3)2=(6- x)2+32,解得x=2.∴ AE 的长为2. 专题七　几何图形中的最值问题 1. D 2. C 解析:如图,过点A 作AP⊥BC 于点P,连接AG, AC.∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∠BCD=120°, ∴ ∠B=180°-∠BCD=60°,AD=BC=4.∵ AP⊥ BC,∴ ∠BAP=30°.∴ BP= 12AB=1.∴ AP= AB2-BP2= 22-12= 3.在Rt△ACP 中,CP= BC-BP =3,AP = 3,∴ AC = AP2+CP2 = (3)2+32=23.∵ E,F 分别为AH,GH 的中点, ∴ EF=12AG. 易知AG 长的最大值为AC 的长,最小值 为AP 的长,∴ AG 长的最大值为23,最小值为 3. ∴ EF 长的最大值为3,最小值为 32.∴ EF 长的最大值 与最小值的差为3- 32= 3 2. 第2题 3. 2 3 解析:连接 OP.∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∠BAD=60°,∴ AC⊥BD,∠BAC=12∠BAD=30°. ∴ OB=12AB=4.∵ PE⊥OA,PF⊥OB,∴ ∠EOF= ∠OEP= ∠OFP =90°.∴ 四 边 形 OEPF 是 矩 形. ∴ EF=OP.∴ 当OP⊥AB 时,OP 的长取到最小值,即 EF 的长取到最小值.∵ AB=8,OB=4,∠EOF=90°, ∴ OA= AB2-OB2=43.∵ S△ABO= 1 2OA ·OB= 1 2AB ·OP,∴ OP=OA ·OB AB =23.∴ EF 长的最小 值为23. 4. 如图,连接DG 并延长,交BA 的延长线于点H.∵ 四 边形ABCD、四边形AEFG 均为正方形,∴ ∠DAB= ∠GAE =90°,AB =AD,AG =AE.∴ ∠DAB - ∠DAE= ∠GAE- ∠DAE,即 ∠GAD = ∠EAB.在 △AGD 和△AEB 中, AD=AB, ∠GAD=∠EAB, AG=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AGD≌ △AEB.∴ ∠ADG=∠ABE=45°.易知当PG⊥DH 时, PG 最短.此时△PDG 是等腰直角三角形,PG=DG. ∵ P 为AD 的中点,AD=8,∴ PD=12AD=4. 在 Rt△PDG 中,PG2+DG2=PD2,即2PG2=42,∴ PG= 22(负值舍去).∴ PG 长的最小值为22. 第4题 5. B 解析:如图,取 AB 的中点 M,连接CM,EM. ∵ CE≤CM+EM,∴ 当CE=CM+EM 时,CE 的长取 到最大值.∵ 将直角边AC 绕点A 按逆时针方向旋转至 AC',∴ AC'=AC=2.又∵ E,M 分别为BC',AB 的中 点,∴ EM=12AC'=1.∵ ∠ACB=90°,AC=BC=2, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 40 专题六　图形的折叠问题 图形的折叠实际上是轴对称问题,解决这类问题的关键是弄清折叠前后哪些量变了,哪些量 没有变,折叠后有哪些条件可用,根据轴对称图形的性质解决问题.解决图形的折叠问题,往往需 要综合运用轴对称、等腰三角形、全等三角形及勾股定理等知识,有较强的综合性,是各类考试的 热点之一,多以选择题、填空题的形式命题. 类型一 三角形中的折叠问题 1. (济宁中考)如图,在三角形纸片ABC 中, ∠BAC=90°,AB=2,AC=3.沿过点A 的直 线将纸片折叠,使点B 落在边BC 上的点D 处.再折叠纸片,使点C与点D 重合,若折痕 与边AC的交点为E,则AE的长为 ( ) A. 13 6 B. 5 6 C. 7 6 D. 6 5 第1题 第2题 2. 如图,在△ABC 中,AC=2 2,∠ABC= 45°,∠BAC=15°,将△ABC 沿直线AC 翻 折至△ABC 所在的平面内,得到△ACD,过 点A 作AE,使∠DAE=∠DAC,与CD 的 延长线交于点E,连接BE,则线段BE 的 长为 ( ) A. 6 B. 3 C. 23 D. 4 3. (深圳中考)如图,在△ABC 中,D,E 分别为 边BC,AC 上的点,将△CDE 沿DE 折叠, 得到△FDE,连接BF,CF,∠BFC=90°.若 EF∥AB,AB=43,EF=10,则AE 的长 为 . 第3题 答案讲解 4. 如 图,在 △ABC 中,AB =AC, BC=16,AD⊥BC,∠ABC 的平分 线交AD 于点E,且DE=4,将∠C 沿GM 折叠,使点C 与点E 恰好重合.有下 列结论:① BD=8;② 点E 到AC 的距离为 第4题 3;③ EM =103 ;④ AE = 20 3. 其中,正确的是 (填序号). 类型二 四边形中的折叠问题 5. 如图,在四边形纸片ABCD 中,∠A+∠B= 150°,将纸片折叠,使点C,D 落在边AB 上 的点C',D'处,折痕为 MN,则∠AMD'+ ∠BNC'等于 ( ) A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 第5题 第6题 6. (青岛中考)如图,在四边形纸片ABCD 中, AD∥BC,AB=10,∠B=60°,将纸片折叠, 使点B 落在边AD 上的点G 处,折痕为 EF.若∠BFE=45°,则BF 的长为 ( ) A. 5 B. 35 C. 53 D. 3 5 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)八年级 拍 照 批 改 41 类型三 平行四边形中的折叠问题 7. (大庆中考)如图,将▱ABCD 沿对角线BD 折叠,使点 A 落在点E 处.若∠1=56°, ∠2=42°,则∠A 的度数为 ( ) 第7题 A. 108° B. 109° C. 110° D. 111° 8. 如图,在平行四边形纸片ABCD 中,AB= 3,将纸片沿对角线AC 对折,边BC 的对应 边B'C 与边AD 交于点E,此时△CDE 为 等边三角形.求: (1) AD 的长; (2) △ACE 的面积. 第8题 类型四 特殊平行四边形中的折叠问题 9. 如图,把菱形ABCD 沿AH 折叠,使点B 落 在边BC 上的点E 处,连接DE.若∠B= 70°,则∠CDE 的度数为 ( ) A. 10° B. 15° C. 20° D. 30° 第9题 第10题 10. ★如图,将矩形ABCD 折叠,使点C 和点A 重合,折痕为EF,连接AC,与EF交于点O. 若AE=5,BF=3,则OA 的长为 ( ) A. 5 B. 35 2 C. 25 D. 45 11. 如图,在菱形纸片ABCD 中,AB=2,∠A= 60°,将菱形纸片翻折,使点A 落在边CD 的 中点E 处,折痕为FG,点F,G 分别在边 AB,AD 上,则EF 的长为 ( ) A. 7 4 B. 9 5 C. 9 10 D. 73 6 第11题 第12题 12. 如图,在正方形ABCD 中,AB=3,点E 在 边CD 上,CD=3DE,将△ADE 沿AE 对 折至△AFE,延长EF 交边BC 于点G,连 接AG,CF,则FG 的长为 ( ) A. 35 2 B. 3 2 C. 10 D. 5 2 答案讲解 13. 如图,在矩形ABCD 中,AB=4, M 为边AB 上一点,AM=1,N 为 边BC 上一动点,将△BMN 沿 MN 折叠,使点B 与点B'重合.若点B'到 AD 的距离为2,则BN 的长为 ( ) A. 32 B. 32 2 C. 2 D. 33 2 第13题 第14题 答案讲解 14. 如图所示为一张矩形纸片ABCD, 将AD,BC 折起,使A,B 两点重 合于边CD 上的点P,然后压平得 折痕EF 与GH.若PE=8cm,PG=6cm, EG=10cm,则折痕EF 的长为 ( ) A. 6cm B. 8cm C. 610 5 cm D. 810 5 cm 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 42 答案讲解 15. 如图,在正方形ABCD 中,BE=1, 将△CBE 沿CE 翻折,使点B 落 在对角线AC 上,将△ADF 沿AF 翻折,使点D 也落在对角线AC 上,连接 EF,则EF= . 第15题 16. 如图,将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 对 折,点C 落在点E 处,AD 与BE 相交于 点F. (1) 求证:△BDF 是等腰三角形; (2) 若AB=8,AD=10,求BF 的长. 第16题 17. 如图,在四边形ABCD 中,∠A=∠B= 90°,将△AED,△DCF 分别沿着DE,DF 翻折,点A,C 都与EF 上的点G 重合. (1) 求证:四边形ABCD 是正方形; (2) 若AB=6,F是BC的中点,求AE的长. 第17题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)八年级