专题4 判别式和根与系数的关系的综合应用-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（沪科版）

34 专题四　判别式和根与系数的关系的综合应用 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是中考必考题型,既有单一题又有综合题.方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有无实数根,取决于根的判别式Δ(b2-4ac),当Δ>0时,方程有两个不相 等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程没有实数根.当方程有实数 根时,其两个根x1,x2与系数的关系为x1+x2=- b a ,x1x2= c a. 它们从不同方面反映了一元二 次方程根的性质.利用它们可以解决以下问题:(1) 判断方程根的情况;(2) 已知字母系数方程, 求字母系数的值;(3) 求含有根的代数式的值等.利用判别式解题时应注意a≠0;利用根与系数 的关系解题时应注意a≠0且b2-4ac≥0. 类型一 利用判别式判断一元二次方程根的 情况 1. (滨州中考)一元二次方程2x2-5x+6=0 的根的情况为 ( ) A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 2. 若直线y=x+a不经过第二象限,则关于x的 方程ax2+2x+1=0的实数根有 个. 3. 已知关于x的一元二次方程x2-(k+1)x+ 2k-3=0.求证:无论k为何值,方程总有两 个不相等的实数根. 答案讲解 4. 若关于x的方程mx2-2(m+2)x+ m+5=0没有实数根,试判断关于 x的方程(m-5)x2-2(m-1)x+ m=0的根的情况. 类型二 利用判别式求一元二次方程中字母 系数的值或取值范围 5. (西宁中考)若关于x的一元二次方程2x2+ x-k=0没有实数根,则k的取值范围是 ( ) A. k<-18 B. k≤-18 C. k>-18 D. k≥-18 6. (安徽中考)若一元二次方程2x2-4x+m= 0有两个相等的实数根,则m= . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)八年级 拍 照 批 改 35 7. 已知关于x 的方程mx2-(3m-1)x+ 2m-1=0. (1) 求证:无论m 为何值,方程总有实数根; (2) 若这个方程为一元二次方程,且根的判 别式的值等于1,求m 的值. 类型三 利用根与系数的关系求含一元二次 方程根的代数式的值 8. ★若x1,x2是一元二次方程x2+x-3=0的 两个实数根,则x32-4x21+17的值为( ) A. -2 B. 6 C. -4 D. 4 9. (绥化中考)若x1,x2为一元二次方程 1 2x 2+ 3x+2=0的两个根,则(x1-x2)2 的值为 . 答案讲解 10. 整体思想 已知关于x 的一元二 次方程x2+2x-m2-m=0(m> 0).当m=1,2,3,…,2020时,相 应的一元二次方程的两个根分别记为α1, β1;α2,β2;…;α2020,β2020.求 1 α1+ 1 β1 +1α2+ 1 β2 +…+ 1α2020+ 1 β2020 的值. 类型四 利用根与系数的关系求一元二次 方程未知字母的值 11. (天门中考)若关于x的一元二次方程x2- 2mx+m2-4m-1=0有两个实数根x1, x2,且(x1+2)(x2+2)-2x1x2=17,则 m 的值为 ( ) A. 2或6 B. 2或8 C. 2 D. 6 12. (内江中考)已知x1,x2 是关于x 的方程 x2-2x+k-1=0的两个实数根,且 x2 x1+ x1 x2=x 2 1+2x2-1,则k的值为 . 13. 若关于x 的一元二次方程x2+2(k+ 3)x+k2+3=0有两个实数根α,β,且(α- 1)2+(β-1)2=18,求k的值. 类型五 判别式和根与系数的关系的综合应用 14. 若关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+ a-1=0的两个实数根互为相反数,则a的 值为 ( ) A. 2 B. 0 C. 1 D. 0或2 15. (南充中考)已知关于x 的一元二次方程 x2+3x+k-2=0有实数根. (1) 求k的取值范围. (2) 设方程的两个实数根分别为x1,x2.若 (x1+1)(x2+1)=-1,求k的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 36 16. (十堰中考)已知关于x 的一元二次方程 x2-4x-2k+8=0有两个实数根x1,x2. (1) 求k的取值范围; (2) 若x31x2+x1x32=24,求k的值. 17. 已知关于x的一元二次方程x2+(2m-1)x+ m2-3=0有实数根. (1) 求m 的取值范围; (2) 当m=2时,方程的两个根为x1,x2,求 (x21+2x1)(x22+4x2+2)的值. 18. 已知关于x 的方程x2-kx+k2+n=0有 两个不相等的实数根x1,x2,且(2x1+x2)2- 8(2x1+x2)+15=0. (1) 求证:n<0; (2) 试用含k的代数式表示x1; (3) 当n=-3时,求k的值. 答案讲解 19. 已知x1,x2 是关于x 的一元二次 方程x2-2(m+1)x+m2+5=0 的两个实数根. (1) 若(x1-1)(x2-1)=28,求m 的值; (2) 已知等腰三角形ABC 的一边长为7, 若x1,x2恰好是△ABC 另外两边的长,求 △ABC 的周长. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)八年级 15 EF=CE.∴ ∠EFG=90°-∠EFC=30°.∴ ∠EFG= ∠CGF.∴ EF=GE=3.∴ CE=3.∴ BC=BE+CE= 4+3=7.∴ AB=BC=7. 第10题 11. 6 12. (1)∵ △ABC 和△ADE 是等边三角形,∴ AE= AD,AB=AC,∠DAE=∠BAC=60°.∴ ∠DAE- ∠BAD= ∠BAC- ∠BAD,即 ∠BAE = ∠CAD.在 △AEB 和△ADC 中, AE=AD, ∠BAE=∠CAD, AB=AC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEB≌ △ADC.∴ BE=CD.(2) △AMN 是等边三角形.由(1), 得BE=CD,△AEB≌△ADC,∴ ∠AEB=∠ADC. ∵ M,N 分别是BE,CD 的中点,∴ EM=12BE ,DN= 1 2CD.∵ BE=CD,∴ EM=DN.在△AEM 和△ADN 中, AE=AD, ∠AEM=∠ADN, EM=DN, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEM≌△ADN.∴ AM = AN,∠EAM =∠DAN.∵ ∠EAM +∠MAD=60°, ∴ ∠DAN+∠MAD=∠MAN=60°.∴ △AMN 是等 边三角形. 等边三角形判定方法的选择 1. 若已知三边关系,则考虑用“三条边都相等的三 角形是等边三角形”来判定;2. 若已知三角关系,则考 虑用“三个角都相等的三角形是等边三角形”来判定; 3. 若已知该三角形是等腰三角形,则考虑用“有一个角 是60°的等腰三角形是等边三角形”来判定. 13. (1) EN=FM.(2) (1)中的结论仍然成立.如图①, 连接DF,DE.∵ △ABC 是等边三角形,∴ AB=AC= BC,∠A=∠ABC=∠ACB=60°.又∵ D,E,F 是 △ABC三边的中点,∴ 易得 AD=AE=BD=BF= 1 2AB.∴ 易得△ADE 与△BDF 是两个全等的等边三角 形.∴ ∠ADE=∠BDF=60°,DE=DF.∴ ∠EDF= 180°-∠ADE-∠BDF=60°.∵ △DMN 是等边三角 形,∴ DN = DM,∠MDN =60°.∴ ∠MDN = ∠EDF.∴ ∠MDN-∠FDN=∠EDF-∠FDN,即 ∠FDM = ∠EDN. 在 △DNE 和 △DMF 中, DE=DF, ∠EDN=∠FDM, DN=DM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DNE ≌ △DMF.∴ EN = FM.(3) 如图②所示即为所求.(1)中的结论仍然成立. 第13题 专题四　判别式和根与系数的 关系的综合应用 1. A 2. 1或2 3. ∵ Δ=[-(k+1)]2-4(2k-3)=k2-6k+13=(k- 3)2+4>0,∴ 无论k为何值,方程总有两个不相等的实 数根. 4. 当m=0时,方程mx2-2(m+2)x+m+5=0可化 为-4x+5=0,有一个实数根,∴ 不符合题意.当m≠ 0时,方程mx2-2(m+2)x+m+5=0是一元二次方 程.∵ 该方程没有实数根,∴ Δ=[-2(m+2)]2- 4m(m+5)=16-4m<0,解得m>4.对于方程(m- 5)x2-2(m-1)x+m=0,当m=5时,该方程为-8x+ 5=0,有一个实数根.当m>4且m≠5时,Δ=[-2(m- 1)]2-4m(m-5)=12m+4>0,∴ 方程有两个不相等的 实数根.综上所述,当m=5时,方程(m-5)x2-2(m- 1)x+m=0有一个实数根;当m>4且m≠5时,此方程 有两个不相等的实数根. 5. A 6. 2 7. (1) 当m=0时,方程为x-1=0,有一个实数根.当 m≠0时,方程为一元二次方程.∵ Δ=[-(3m-1)]2- 4m(2m-1)=(m-1)2≥0,∴ 方程有两个实数根.∴ 无 论m 为何值,方程总有实数根.(2)根据题意及(1),得 m≠0且Δ=(m-1)2=1,∴ m=2. 8. A 解析:∵ x1,x2 是一元二次方程x2+x-3=0的 两个实数根,∴ x1+x2=-1,x22+x2=3,x22=3-x2, x21=3-x1.∴ x32-4x21+17=x2(3-x2)-4(3-x1)+ 17=3x2-x22-12+4x1+17=4x2-x2-x22+4x1+5= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 16 4(x1+x2)-(x22+x2)+5=4×(-1)-3+5=-2. 求含一元二次方程根的代数式的值的方法 求含一元二次方程根的代数式的值时,如果要求 值的代数式不能转化为只含x1+x2,x1x2 的形式,可 根据方程根的定义列出只含有一个根的等式,结合等 式变换求解.特别是当代数式的次数较高时,可利用此 法降次求解. 9. 20 10. ∵ x2+2x-m2-m=x2+2x-m(m+1)=0,m= 1,2,3,…,2020,∴ 由根与系数的关系,得α1+β1=-2, α1β1=-1×2;α2+β2=-2,α2β2=-2×3;…;α2020+ β2020=-2,α2020β2020=-2020×2021.∴ 1 α1+ 1 β1 +1α2+ 1 β2 + … + 1α2020 + 1 β2020 = α1+β1 α1β1 + α2+β2 α2β2 + … + α2020+β2020 α2020β2020 = 21×2+ 2 2×3+ …+ 22020×2021=2× 1-12+ 1 2- 1 3+ …+ 12020- 1 2021 =2× 1- 12021 = 4040 2021. 11. A 12. 2 13. ∵ 关于x的方程x2+2(k+3)x+k2+3=0有两个 实数根α,β,∴ Δ=4(k+3)2-4(k2+3)≥0,解得k≥ -1.由根与系数的关系,得α+β=-2(k+3),αβ=k2+ 3.∴ (α-1)2+(β-1)2=α2-2α+1+β2-2β+1=(α+ β)2-2(α+β)-2αβ+2=4(k+3)2+4(k+3)-2(k2+ 3)+2=2k2+28k+44=2(k+7)2-54=18,解得k1= -1,k2=-13.∵ k≥-1,∴ k的值为-1. 14. B 15. (1) ∵ 关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有 实数根,∴ Δ=32-4×1×(k-2)≥0,解得k≤174.∴ k 的取值范围是k≤174. (2) ∵ 方程x2+3x+k-2=0的 两个实数根分别为x1,x2,∴ x1+x2=-3,x1x2=k- 2.∵ (x1+1)(x2+1)=-1,∴ x1x2+(x1+x2)+1= -1.∴ k-2+(-3)+1=-1,解得k=3.∴ k的值为3. 16. (1) ∵ 原方程有两个实数根,∴ Δ=(-4)2-4×1× (-2k+8)≥0,解得k≥2.∴ k 的取值范围是k≥2. (2) ∵ x1,x2是方程x2-4x-2k+8=0的两个实数根, ∴ x1+x2=4,x1x2=-2k+8.∵ x31x2+x1x32= x1x2[(x1+x2)2-2x1x2]=24,∴ (-2k+8)[42- 2(-2k+8)]=24,解得k1=3,k2=1.由(1)知,k≥ 2,∴ k=3. 17. (1) ∵ 原方程有实数根,∴ Δ=(2m-1)2-4(m2- 3)≥0,解得m≤134.∴ m 的取值范围是m≤134. (2) 当 m=2时,方程为x2+3x+1=0.∵ 方程的两个根为x1, x2,∴ x1+x2=-3,x1x2=1,x21+3x1+1=0,x22+ 3x2+1=0.∴ (x21+2x1)(x22+4x2+2)=(x21+2x1+ x1-x1)(x22+3x2+x2+2)=(-1-x1)(-1+x2+ 2)=(-1-x1)(x2+1)=-(x1+x2)-x1x2-1=3- 1-1=1. 18. (1) ∵ 关于x的方程x2-kx+k2+n=0有两个不 相等的实数根,∴ Δ=(-k)2-4(k2+n)=-3k2-4n> 0,解得n<-34k 2.又∵ -k2≤0,∴ n<0.(2) 由根与系 数的关系,得x1+x2=k.∴ (2x1+x2)2-8(2x1+x2)+ 15=(x1+k)2-8(x1+k)+15=0.分解因式,得[(x1+ k)-3][(x1+k)-5]=0,解得x1=3-k 或x1=5- k.(3) ∵ n<-34k 2,n=-3,∴ k2<4,解得-2<k< 2.∵ n=-3,∴ 原方程化为x2-kx+k2-3=0.把x1= 3-k代入,得(3-k)2-k(3-k)+k2-3=0.整理并化 简,得k2-3k+2=0,解得k1=1,k2=2(不合题意,舍 去).把x1=5-k代入,得(5-k)2-k(5-k)+k2-3= 0.整理,得3k2-15k+22=0.∵ Δ=(-15)2-4×3× 22=-39<0,∴ 此时k不存在.综上所述,k的值为1. 19. (1) ∵ 原方程有两个实数根,∴ Δ=[-2(m+1)]2- 4(m2+5)≥0,解得m≥2.∵ x1,x2 是原方程的两个实 数 根,∴ x1 +x2 =2(m +1),x1x2 =m2 +5. ∵ (x1-1)(x2-1)=28,∴ x1x2-(x1+x2)+1= 28.∴ m2+5-2(m+1)+1=28.整理,得m2-2m- 24=0,解得m1=6,m2=-4.又∵ m≥2,∴ m=6. (2) 当7为腰长时,设x1=7.∵ x1=7是一元二次方程 x2-2(m+1)x+m2+5=0的一个实数根,∴ 49- 14(m+1)+m2+5=0.整理,得m2-14m+40=0,解得 m1=10,m2=4.当m=10时,x1+x2=2(m+1)=22,解 得x2=15.∵ 7+7<15,∴ 不合题意,舍去.当m=4时, x1+x2=2(m+1)=10,解得x2=3.∴ △ABC的三边长 分别为3,7,7,周长为3+7+7=17.当7为底边长时, x1=x2,∴ Δ=[-2(m+1)]2-4(m2+5)=0,解得m= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 17 2.∴ 原方程可化为x2-6x+9=0,解得x1=x2=3.∵ 3+ 3<7,∴ 不合题意,舍去.综上所述,△ABC的周长为17. 专题五　巧添辅助线解答几何题 1. 过点 D 作DG∥CF,交 AB 于点G.在△ABC 中, ∵ AB=AC,AD⊥BC 于点D,∴ BD=CD.又∵ DG∥ CF,∴ 易得DG 是△BCF 的中位线.∴ BG=GF.∵ E 为AD 的中点,EF∥DG,∴ 易得EF 是△ADG 的中位 线.∴ AF=GF.∴ AF=GF=BG.∴ AF=12FB. 2. ∵ ∠BAC=60°,∠C=40°,∴ ∠ABC=80°.∵ BQ 平 分∠ABC,∴ ∠CBQ= 12 ∠ABC= 1 2 ×80°=40°. ∴ ∠CBQ=∠C.∴ BQ=CQ.∴ BQ+AQ=CQ+AQ= AC.过点P 作PD∥BQ,交CQ 于点D,则∠CPD= ∠CBQ=40°.∴ ∠CPD=∠C.∴ DP=DC,∠ADP= ∠CPD+∠C=40°+40°=80°.∴ ∠ABC=∠ADP. ∵ AP 平分∠BAC,∴ ∠BAP=∠DAP.在△ABP 和 △ADP 中, ∠ABP=∠ADP, ∠BAP=∠DAP, AP=AP, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABP ≌ △ADP. ∴ AB=AD,BP=DP.∴ AB+BP=AD+DP=AD+ DC=AC.又∵ BQ+AQ=AC,∴ AB+BP=BQ+AQ. 3. 20° 证明线段的和差问题的方法 如果题目的已知条件或结论中有一条线段等于另 外两条线段的和或差,那么可尝试截取较长线段,使其 中一条线段等于和或差中的一条线段,然后通过连线、 补形的方法来解题. 4. 如图,延长CE 到点F,使EF=CE,连接FB,则CF= 2CE.∵ CE 是△ABC的中线,∴ AE=BE.在△BEF 和 △AEC 中, BE=AE, ∠BEF=∠AEC, EF=EC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BEF ≌ △AEC. ∴ ∠EBF=∠A,BF=AC.∵ AB=AC,∴ ∠ABC= ∠ACB.∴ ∠CBD=∠A+∠ACB=∠EBF+∠ABC= ∠CBF.∵ CB 是 △ADC 的 中 线,∴ AB=BD.又 ∵ AB=AC,AC=BF,∴ BF=BD.在△CBF 和△CBD 中, CB=CB, ∠CBF=∠CBD, BF=BD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CBF≌△CBD.∴ CF= CD.∴ CD=2CE. 第4题 5. 如图,连接BD,取BD 的中点 H,连接 HE,HF. ∵ F,H 分别是AD,BD 的中点,∴ FH∥BM,FH= 1 2AB. 同理,可得EH∥CN,EH=12CD.∴ ∠BME= ∠HFE,∠CNE=∠HEF.又∵ AB=CD,∴ FH= EH.∴ ∠HFE=∠HEF.∴ ∠BME=∠CNE. 第5题 6. 延长CD 交边AB 于点F.∵ △ABE 和△ACD 都是 等腰直角三角形,∴ ∠FAD=∠CAD=45°,∠ADC= 90°.∴ ∠ADF=∠ADC=90°.在△ADF 和△ADC 中, ∠FAD=∠CAD, AD=AD, ∠ADF=∠ADC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADF≌△ADC.∴ AF=AC, FD=CD.又∵ M 是边BC 的中点,∴ DM 是△CBF 的 中位线.∴ DM=12BF= 1 2 (AB-AF)=12 (AB- AC).∴ AB-AC=2DM. 7. 在BD 上截取BG=CE,连接CG.∵ △ ABC 是等腰 直角三角形,CE⊥BD,∴ BC=AC,∠BCA=∠BFC= 90°,∠A=45°.∴ ∠CBG+∠BCF=∠BCF+∠ACE= 90°.∴ ∠CBG = ∠ACE.在 △CBG 和 △ACE 中, BC=CA, ∠CBG=∠ACE, BG=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CBG≌△ACE.∴ CG=AE, ∠BCG=∠A=45°.∴ ∠DCG=45°.∵ BD 是△ABC 的 中 线,∴ CD = AD.在 △CDG 和 △ADE 中, CD=AD, ∠DCG=∠A, CG=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CDG ≌ △ADE.∴ ∠CDG = ∠ADE,即∠CDF=∠ADE. 8. BE⊥AF.理由:如图,延长FA 交BE 于点H,延长 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈