专题3 等腰三角形性质和判定的综合应用-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（沪科版）

31 专题三　等腰三角形性质和判定的综合应用 等腰三角形是有两边相等的特殊三角形,利用等腰三角形(包括等边三角形)的性质与判定, 可以实现边与角的转化,是证明角相等、线段相等的重要依据.等腰三角形往往与平行线、三角形 的内角和、三角形外角的性质、全等三角形、线段垂直平分线等知识相结合,从所涉及的知识点 看,题型有性质或判定的单独应用、性质和判定的综合应用;从所求的问题看,题型有证明角相等 (或求角度)、证明线段相等(或求线段的长)、证明线段(或角)的和差倍分问题等. 类型一 等腰三角形性质的应用 1. (鞍山中考)如图,在△ABC 中,AB=AC, ∠BAC=24°,延长BC 到点D,使CD= AC,连接AD,则∠D 的度数为 ( ) 第1题 A. 39° B. 40° C. 49° D. 51° 2. (苏州中考)定义:一个三角形的一边长是另 一边长的2倍,这样的三角形叫做“倍长三 角形”.若等腰三角形 ABC 是“倍长三角 形”,底边BC=3,则腰AB= . 3. 如图,在△ABC 中,CD 是边AB 上的高, BE 是边AC 上的中线,且BD=CE.求证: ∠BEC=3∠ABE. 第3题 类型二 等腰三角形判定的应用 4. 如图所示的四个三角形均满足AB=AC,则 经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这 个三角形分成两个小等腰三角形的是 ( ) 第4题 A. ①②④B. ②③④C. ①②③D. ①③④ 答案讲解 5. 如图,在△ABC 中,∠B=50°,∠C= 90°,在射线 BA 上找一点D,使 △ACD 为等腰三角形,则∠ADC 的度数为 . 第5题 6. ★如图,AD 为△ABC 的角平分线,M 为BC 的中点,过点M 作ME∥AD 交BA 的延长 线于点E,交AC 于点F.求证:BE=CF= 1 2 (AB+AC). 第6题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 32 类型三 等腰三角形性质和判定的综合应用 7. 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=36°, BD 平分∠ABC 交AC 于点D,E 是边AB 上一点,且满足DE=AE,过点D 作DF∥ CB,交AB 于点F,则图中等腰三角形的个 数为 ( ) 第7题 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 如图,在△ABC 中,D 是边AB 上一点,在 AC 的延长线上取CE=BD,连接DE 交BC 于点F,DF=EF.求证:△ABC 为等腰三 角形. 第8题 9. 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=36°, BD 是∠ABC 的平分线,交AC 于点D,E 是AB 的中点,连接ED 并延长,交BC 的延 长线于点F,连接AF.求证: (1) EF⊥AB; (2) △ACF 为等腰三角形. 第9题 类型四 等边三角形性质与判定的综合应用 答案讲解 10. 如图,△ABC 是等边三角形,过边 AB 上的点D 作AB 的垂线,交 BC 于点E,过点E 作EF⊥DE, 交AC 于点F,过点F 作FG⊥AC,交BC 于点G,FG,DE 相交于点M.若 DM= ME,GE=3,则AB 的长为 ( ) A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 8.5 第10题 第11题 11. 如图,在等边三角形ABC 中,AC=9,点O 在边AC 上,且OA=3,P 是边AB 上一动 点,连接OP,以点O 为圆心,OP 长为半径 画弧交BC 于点D,连接PD.若OP=PD, 则AP 的长为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)八年级 33 12. ★如图,△ABC 为等边三角形,D 为边BC 上一点,以AD 为边作等边三角形ADE,连 接BE. (1) 求证:BE=CD. (2) 分别取BE,CD 的中点M,N,连接 AM,AN,MN.试判断△AMN 的形状,并 给予证明. 第12题 答案讲解 13. 新考法 探究题 在等边三角形 ABC中,D,E,F 分别为各边的中 点,M 为 直 线 BC 上 一 动 点, △DMN 为等边三角形(当点M 的位置改 变时,△DMN 也随之改变),连接EN. (1) 如图①,当点 M 在点B 左侧时,判断 EN 与FM 的数量关系,请直接写出结论, 不必说明理由. (2) 如图②,当点M 在线段BC 上时,其他 条件不变,(1)中的结论是否仍然成立? 若 成立,请利用图②证明;若不成立,请说明 理由. (3) 若点M 在点C 右侧,且△DMN 在BC 上方,请你在图③中画出相应的图形,并判 断(1)中的结论是否仍然成立,不必说明 理由. 第13题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 14 ∵ y=-300x+12000,-300<0,∴ y随x 的增大而减 小.∴ 当x=3时,y取到最小值.∴ 最省钱的租车方案 是A型客车租3辆,B型客车租7辆. 用一次函数解决方案问题的一般步骤 1. 析:分析题意,理清数量关系;2. 列:列出函数 表达式、不等式或方程;3. 求:求出自变量取不同值时, 对应的函数值的大小或函数的最大值(最小值);4. 选: 结合实际需要选择最佳方案.注意在选择方案时,要考 虑实际问题中自变量的取值范围,尤其要看是否为某 些特殊解(如正整数解). 专题三　等腰三角形性质和判定的 综合应用 1. A 2. 6 3. 连 接 DE.∵ CD 是 边 AB 上 的 高,∴ ∠ADC= ∠BDC=90°.又∵ BE 是边AC上的中线,∴ AE=CE= DE.∵ BD=CE,∴ BD=DE.∴ ∠ABE=∠BED. ∵ AE=DE,∴ ∠A=∠ADE.∵ ∠ADE=∠ABE+ ∠BED,∴ ∠A=∠ADE=2∠ABE.∵ ∠BEC=∠A+ ∠ABE,∴ ∠BEC=2∠ABE+∠ABE=3∠ABE. 4. D 5. 70°或100°或20° 6. 过点B 作BN∥AC 交EM 的延长线于点N.∵ BN∥ AC,∴ ∠CFM=∠BNM.∵ M 为BC 的中点,∴ CM= BM.在 △CFM 和 △BNM 中, ∠CFM=∠BNM, ∠CMF=∠BMN, CM=BM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CFM≌△BNM.∴ CF=BN.∵ AD 为△ABC 的 角 平 分 线,∴ ∠BAD = ∠CAD.∵ ME ∥AD, ∴ ∠CFM = ∠CAD.∴ ∠BAC = 2 ∠CFM.又 ∵ ∠BAC=∠E+∠AFE,∠AFE=∠CFM,∴ ∠E= ∠AFE=∠CFM=∠BNM.∴ AE=AF,BE=BN.又 ∵ CF=BN,∴ BE=CF.∴ AB+AC=AB+AF+ CF=AB+AE+CF=BE+CF=2BE.∴ BE=CF= 1 2 (AB+AC). 利用中间量证明线段相等 要证明两条线段相等,可找到第三条线段,使得这 两条线段都等于第三条线段,从而达到证明线段相等 的目的,即要证a=b,可先证a=c,b=c,则可得 a=b. 7. C 8. 如图,过点D 作DM∥AC,交BC于点M,则∠BMD= ∠ACB,∠FDM = ∠E.在 △DMF 和 △ECF 中, ∠FDM=∠E, DF=EF, ∠DFM=∠EFC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DMF ≌ △ECF.∴ DM = EC.又∵ CE=BD,∴ DM=BD.∴ ∠BMD=∠B. ∴ ∠ACB=∠B.∴ AB=AC.∴ △ABC 为等腰三 角形. 第8题 9. (1) ∵ AB=AC,∠BAC=36°,∴ ∠ABC=∠ACB= 72°.又∵ BD 是∠ABC的平分线,∴ ∠ABD=∠FBD= 36°.∴ ∠BAD=∠ABD.∴ AD=BD.又∵ E 是AB 的 中点,∴ DE⊥AB,即EF⊥AB.(2) 由(1),得EF⊥ AB.又∵ AE=BE,∴ FE 垂直平分AB.∴ AF= BF.∴ ∠BAF=∠ABF=72°.∴ ∠FAD=∠BAF- ∠BAD=36°.又∵ ∠ACB=72°,∴ ∠AFC=∠ACB- ∠FAD=36°.∴ ∠FAD =∠AFC.∴ AC=CF,即 △ACF 为等腰三角形. 10. A 解析:如图,过点 M 作 MN ⊥BC 于 点 N. ∵ △ABC 是等边三角形,∴ AB=AC=BC,∠B= ∠C =60°.∵ DE ⊥AB,EF ⊥ DE,FG ⊥AC, ∴ ∠BDE=∠DEF=∠CFG=90°.∴ ∠BED=90°- ∠B=30°,∠CGF=90°-∠C=30°.∴ ∠CEF=180°- ∠DEF-∠BED=60°,∠BED=∠CGF.∴ MG= ME.∴ GN =EN = 12GE= 3 2. 在 Rt△MNE 中, ∵ ∠MEN=30°,∴ MN = 12ME. 由 勾 股 定 理,得 ME2-MN2=EN2,∴ ME2- 12ME 2 = 32 2 . ∴ ME=3(负值舍去).∵ DM=ME,∴ DE=2ME= 2 3.在 Rt△BDE 中,∵ ∠BED =30°,∴ BD = 1 2BE. 由勾股定理,得DE2+BD2=BE2,∴ (23)2+ 1 2BE 2 =(BE)2.∴ BE=4(负值舍去).∵ ∠C=60°, ∠CEF=60°,∴ △EFC 是等边三角形.∴ ∠EFC=60°, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 15 EF=CE.∴ ∠EFG=90°-∠EFC=30°.∴ ∠EFG= ∠CGF.∴ EF=GE=3.∴ CE=3.∴ BC=BE+CE= 4+3=7.∴ AB=BC=7. 第10题 11. 6 12. (1)∵ △ABC 和△ADE 是等边三角形,∴ AE= AD,AB=AC,∠DAE=∠BAC=60°.∴ ∠DAE- ∠BAD= ∠BAC- ∠BAD,即 ∠BAE = ∠CAD.在 △AEB 和△ADC 中, AE=AD, ∠BAE=∠CAD, AB=AC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEB≌ △ADC.∴ BE=CD.(2) △AMN 是等边三角形.由(1), 得BE=CD,△AEB≌△ADC,∴ ∠AEB=∠ADC. ∵ M,N 分别是BE,CD 的中点,∴ EM=12BE ,DN= 1 2CD.∵ BE=CD,∴ EM=DN.在△AEM 和△ADN 中, AE=AD, ∠AEM=∠ADN, EM=DN, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEM≌△ADN.∴ AM = AN,∠EAM =∠DAN.∵ ∠EAM +∠MAD=60°, ∴ ∠DAN+∠MAD=∠MAN=60°.∴ △AMN 是等 边三角形. 等边三角形判定方法的选择 1. 若已知三边关系,则考虑用“三条边都相等的三 角形是等边三角形”来判定;2. 若已知三角关系,则考 虑用“三个角都相等的三角形是等边三角形”来判定; 3. 若已知该三角形是等腰三角形,则考虑用“有一个角 是60°的等腰三角形是等边三角形”来判定. 13. (1) EN=FM.(2) (1)中的结论仍然成立.如图①, 连接DF,DE.∵ △ABC 是等边三角形,∴ AB=AC= BC,∠A=∠ABC=∠ACB=60°.又∵ D,E,F 是 △ABC三边的中点,∴ 易得 AD=AE=BD=BF= 1 2AB.∴ 易得△ADE 与△BDF 是两个全等的等边三角 形.∴ ∠ADE=∠BDF=60°,DE=DF.∴ ∠EDF= 180°-∠ADE-∠BDF=60°.∵ △DMN 是等边三角 形,∴ DN = DM,∠MDN =60°.∴ ∠MDN = ∠EDF.∴ ∠MDN-∠FDN=∠EDF-∠FDN,即 ∠FDM = ∠EDN. 在 △DNE 和 △DMF 中, DE=DF, ∠EDN=∠FDM, DN=DM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DNE ≌ △DMF.∴ EN = FM.(3) 如图②所示即为所求.(1)中的结论仍然成立. 第13题 专题四　判别式和根与系数的 关系的综合应用 1. A 2. 1或2 3. ∵ Δ=[-(k+1)]2-4(2k-3)=k2-6k+13=(k- 3)2+4>0,∴ 无论k为何值,方程总有两个不相等的实 数根. 4. 当m=0时,方程mx2-2(m+2)x+m+5=0可化 为-4x+5=0,有一个实数根,∴ 不符合题意.当m≠ 0时,方程mx2-2(m+2)x+m+5=0是一元二次方 程.∵ 该方程没有实数根,∴ Δ=[-2(m+2)]2- 4m(m+5)=16-4m<0,解得m>4.对于方程(m- 5)x2-2(m-1)x+m=0,当m=5时,该方程为-8x+ 5=0,有一个实数根.当m>4且m≠5时,Δ=[-2(m- 1)]2-4m(m-5)=12m+4>0,∴ 方程有两个不相等的 实数根.综上所述,当m=5时,方程(m-5)x2-2(m- 1)x+m=0有一个实数根;当m>4且m≠5时,此方程 有两个不相等的实数根. 5. A 6. 2 7. (1) 当m=0时,方程为x-1=0,有一个实数根.当 m≠0时,方程为一元二次方程.∵ Δ=[-(3m-1)]2- 4m(2m-1)=(m-1)2≥0,∴ 方程有两个实数根.∴ 无 论m 为何值,方程总有实数根.(2)根据题意及(1),得 m≠0且Δ=(m-1)2=1,∴ m=2. 8. A 解析:∵ x1,x2 是一元二次方程x2+x-3=0的 两个实数根,∴ x1+x2=-1,x22+x2=3,x22=3-x2, x21=3-x1.∴ x32-4x21+17=x2(3-x2)-4(3-x1)+ 17=3x2-x22-12+4x1+17=4x2-x2-x22+4x1+5= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈