专题7 几何图形中的最值问题-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（沪科版）

43 专题七　几何图形中的最值问题 求线段或线段和差的最值问题,通常以几何图形中的动点为背景,它是已知图形中存在一个 或多个动点,在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题型.解决这类问题的关键是动中求静、变 中找不变,灵活运用相关知识解决问题.解题的基本思路是将其转化为“两点之间线段最短”“垂 线段最短”或“三角形的两边之和大于第三边”求解.此类问题往往综合性强,求解难度大,常常以 选择题、填空题的形式出现在压轴题中. 类型一 利用“垂线段最短”求最值 1. 如图,在Rt△ABC 中,∠BAC=90°,∠ACB= 30°,AB=6,P 为边BC 上任意一点,连接 PA,以 PA,PC 为邻边作▱PAQC,连接 PQ,则PQ 长的最小值为 ( ) A. 3 B. 23 C. 6 D. 33 第1题 第2题 答案讲解 2. 如图,在▱ABCD 中,∠C=120°, AD=4,AB=2,H,G 分别是边 CD,BC 上的动点,连接AH,HG, E 为AH 的中点,F 为GH 的中点,连接 EF,则EF 长的最大值与最小值的差为 ( ) A. 1 B. 3-1C. 3 2 D. 2-3 3. 如图,菱形ABCD 的对角线AC,BD 相交于 点O,P 为边AB 上一动点(不与点A,B 重 合),PE⊥OA 于点E,PF⊥OB 于点F.若 AB=8,∠BAD=60°,则EF 长的最小值为 . 第3题 答案讲解 4. 如 图,E 是 边 长 为8的 正 方 形 ABCD 的对角线BD 上的动点,以 AE 为边向左侧作正方形AEFG, P 为AD 的中点,连接PG,在点E 运动的 过程中,求PG 长的最小值. 第4题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 44 类型二 利用“两点之间线段最短”求最值 5. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC= BC=2,将直角边AC 绕点A 按逆时针方向 旋转至AC',连接BC',E 为BC'的中点,连 接CE,则CE 长的最大值为 ( ) A. 5 B. 2+1 C. 2 2+1 D. 5 2+1 第5题 第6题 6. (枣庄中考)如图,四边形ABCD 是菱形,对 角线AC,BD 相交于点O,AC=63,BD= 6,P 是AC 上一动点,E 是AB 的中点,则 PD+PE 的最小值为 ( ) A. 33 B. 63 C. 3 D. 62 7. (西宁中考)如图,△ABC 是等边三角形, AB=6,N 是边AB 的中点,AD 是△ABC 的中线,M 是AD 上的一个动点,连接BM, MN,则BM+MN 的最小值为 . 第7题 8. (威海中考)如图,在正方形ABCD 中,AB= 2,E 为边AB 上一点,F 为边BC 上一点,连 接DE,AF,交于点G,连接BG.若AE= BF,则BG 长的最小值为 . 第8题 答案讲解 9. 转换法 如图,在矩形ABCD 中, AB=3,AD=2,点E 在边CD 上, 点F在边AB的延长线上,且CE= BF,连接CF,AE. (1) 当DE=2时,求CF 的长; (2) 求AE+CF 的最小值. 第9题 类型三 利用“作对称点转化”求最值 10. 如图,在Rt△ABC 中,∠A=30°,∠C= 90°,AB=6,P 是线段AC 上一动点,点M 在线段AB 上,且AM=13AB ,则PB+ PM 的最小值为 ( ) A. 33 B. 27 C. 23+2 D. 33+3 第10题 第11题 11. ★如图,在菱形ABCD 中,AB=4,E,F 分 别是边AB,BC 的中点,P 是AC 上一动 点,则PF+PE 的最小值为 ( ) A. 3 B. 33 C. 4 D. 43 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)八年级 45 12. 如图,在△ABC 中,AB=4,∠BAC=30°. 若在边 AC,AB 上各取一点 M,N,则 BM+MN 的最小值为 . 第12题 13. 数形结合思想 在边长为4cm的正方形 ABCD 中,Q 为边BC 的中点,P 为对角线 AC 上一动点,连接PB,PQ,则△PBQ 的 周长的最小值为 cm. 答案讲解 14. 如图,P 为矩形ABCD 的对角线 AC上一动点,E 为边BC 的中点, 连接PE,PB.若AB=4,∠ACB= 30°,求PE+PB 的最小值. 第14题 15. 如图,正方形ABCD 的边长是5,∠CAD 的平分线交CD 于点E,P,Q 分别是AD, AE 上的动点,求DQ+PQ 的最小值. 第15题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 21 1.∴ 在 Rt△EMF 中,由 勾 股 定 理,得 EF = EM2+FM2= (2-1)2+(2+1)2=6. 第15题 16. (1) 由折叠的性质可知,∠EBD=∠CBD.∵ AD∥ BC,∴ ∠ADB=∠CBD.∴ ∠EBD=∠ADB.∴ BF= DF.∴ △BDF 是等腰三角形.(2) 设BF=x,则DF= x,AF=AD-DF=10-x.在Rt△ABF 中,由勾股定理, 得AB2+AF2=BF2,即82+(10-x)2=x2,解得x= 41 5.∴ BF 的长为415. 17. (1) 由翻折的性质可知,△ADE≌△GDE,△DCF≌ △DGF,∴ AD=GD=CD,∠A=∠DGE=90°,∠C= ∠DGF=90°.∵ ∠B=90°,∴ 四边形ABCD 是矩形.又 ∵ AD=CD,∴ 四边形ABCD 是正方形.(2) 由(1)知, 四边形ABCD 是正方形,∴ BC=AB=6.∵ F 是BC 的 中点,∴ BF=CF=12BC=3. 设AE=EG=x,则BE= AB-AE=6-x,EF=EG+GF=EG+CF=x+3.在 Rt△BEF 中,∵ EF2=BE2+BF2,∴ (x+3)2=(6- x)2+32,解得x=2.∴ AE 的长为2. 专题七　几何图形中的最值问题 1. D 2. C 解析:如图,过点A 作AP⊥BC 于点P,连接AG, AC.∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∠BCD=120°, ∴ ∠B=180°-∠BCD=60°,AD=BC=4.∵ AP⊥ BC,∴ ∠BAP=30°.∴ BP= 12AB=1.∴ AP= AB2-BP2= 22-12= 3.在Rt△ACP 中,CP= BC-BP =3,AP = 3,∴ AC = AP2+CP2 = (3)2+32=23.∵ E,F 分别为AH,GH 的中点, ∴ EF=12AG. 易知AG 长的最大值为AC 的长,最小值 为AP 的长,∴ AG 长的最大值为23,最小值为 3. ∴ EF 长的最大值为3,最小值为 32.∴ EF 长的最大值 与最小值的差为3- 32= 3 2. 第2题 3. 2 3 解析:连接 OP.∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∠BAD=60°,∴ AC⊥BD,∠BAC=12∠BAD=30°. ∴ OB=12AB=4.∵ PE⊥OA,PF⊥OB,∴ ∠EOF= ∠OEP= ∠OFP =90°.∴ 四 边 形 OEPF 是 矩 形. ∴ EF=OP.∴ 当OP⊥AB 时,OP 的长取到最小值,即 EF 的长取到最小值.∵ AB=8,OB=4,∠EOF=90°, ∴ OA= AB2-OB2=43.∵ S△ABO= 1 2OA ·OB= 1 2AB ·OP,∴ OP=OA ·OB AB =23.∴ EF 长的最小 值为23. 4. 如图,连接DG 并延长,交BA 的延长线于点H.∵ 四 边形ABCD、四边形AEFG 均为正方形,∴ ∠DAB= ∠GAE =90°,AB =AD,AG =AE.∴ ∠DAB - ∠DAE= ∠GAE- ∠DAE,即 ∠GAD = ∠EAB.在 △AGD 和△AEB 中, AD=AB, ∠GAD=∠EAB, AG=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AGD≌ △AEB.∴ ∠ADG=∠ABE=45°.易知当PG⊥DH 时, PG 最短.此时△PDG 是等腰直角三角形,PG=DG. ∵ P 为AD 的中点,AD=8,∴ PD=12AD=4. 在 Rt△PDG 中,PG2+DG2=PD2,即2PG2=42,∴ PG= 22(负值舍去).∴ PG 长的最小值为22. 第4题 5. B 解析:如图,取 AB 的中点 M,连接CM,EM. ∵ CE≤CM+EM,∴ 当CE=CM+EM 时,CE 的长取 到最大值.∵ 将直角边AC 绕点A 按逆时针方向旋转至 AC',∴ AC'=AC=2.又∵ E,M 分别为BC',AB 的中 点,∴ EM=12AC'=1.∵ ∠ACB=90°,AC=BC=2, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22 ∴ AB= AC2+BC2 = 22+22 =2 2.∴ CM = 1 2AB=2.∴ CM+EM= 2+1,即CE 长的最大值为 2+1. 第5题 6. A 7. 33 8. 5-1 解析:如图,取 AD 的中点T,连接 BT, GT.∵ 四边形 ABCD 是正方 形,∴ AD=AB=2, ∠DAE = ∠ABF =90°.在 △DAE 和 △ABF 中, DA=AB, ∠DAE=∠ABF, AE=BF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DAE≌△ABF.∴ ∠ADE= ∠BAF.∵ ∠BAF + ∠DAF =90°,∴ ∠ADE + ∠DAF=90°.∴ ∠AGD=90°.∵ T 是AD 的中点, ∴ GT=DT=AT=12AD=1.∴ BT= AT2+AB2= 12+22= 5.∵ BG≥BT-GT,∴ BG≥ 5-1. ∴ BG 长的最小值为5-1. 第8题 9. (1) ∵ 四边形ABCD 是矩形,∴ ∠ABC=∠CBF= 90°,AB=CD=3,BC=AD=2.∵ DE=2,∴ CE= CD-DE=1.∴ BF=CE=1.∴ CF= BC2+BF2= 22+12=5.(2) 如图,延长CB 到点M,使得BM= BC,过点M 作MT⊥MC,且 MT=AB,连接BT,FT, CT,AC.在 △ABC 和 △TMB 中, BA=MT, ∠ABC=∠M, BC=MB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△TMB.∴ AC=TB,∠ACB=∠TBM. ∵ ∠ACB+ ∠ACE =90°,∠TBM + ∠TBF =90°, ∴ ∠TBF = ∠ACE. 在 △ACE 和 △TBF 中, CA=BT, ∠ACE=∠TBF, CE=BF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACE≌△TBF.∴ AE=TF. ∴ AE+CF=TF+CF.∵ TF+CF≥CT,CT= MC2+MT2= 42+32=5,∴ AE+CF≥5.∴ AE+ CF 的最小值为5. 第9题 10. B 解析:如图,作点B 关于AC 的对称点B',连接 BB',过点B'作B'H⊥AB 于点H,连接B'M 交AC 于 点P,则BP=B'P.易知此时PB+PM 取到最小值,且 PB+PM=B'P+PM=B'M.∵ ∠A=30°,∠ACB= 90°,AB=6,∴ ∠ABC=60°,BC=3.∴ BB'=6.∵ B'H⊥ AB,∠ABC=60°,∴ ∠BB'H=30°.∴ BH=12BB'= 3.∴ B'H= BB'2-BH2= 62-32=33,AH= AB-BH=3.∵ AM=13AB=2 ,∴ MH=AH-AM= 1.在 Rt△MHB' 中,B'M = B'H2+MH2 = (33)2+12=27,∴ PB+PM 的最小值为27. 第10题 11. C 解析:∵ 四边形ABCD 是菱形,∴ AD=BC, AD∥BC,直线AC 是菱形ABCD 的对称轴.如图,作点E 关于AC 的对称点E',连接E'E,E'F,则易得E'F 即为 PE+PF 的最小值.∵ 直线AC 是菱形ABCD 的对称轴, E 是边AB 的中点,∴ 点E'在边AD 上,且E'是边AD 的中点.又∵ F 是边BC 的中点,AD=BC,∴ AE'= BF.又∵ AE'∥BF,∴ 四边形AE'FB 是平行四边形. ∴ E'F=AB=4,即PE+PF 的最小值为4. 第11题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 23 菱形对角线上一动点与边上两定点间距离的 和的最小值的求法 已知菱形邻边上的两个定点,且在某条对角线的 同侧,则对角线上任意一点到这两点距离的和有最小 值,它的值为其中一个定点关于这条对角线的对称点 与另一定点之间的距离. 12. 23 解析:如图,作点B关于AC的对称点B',过点B' 作B'N⊥AB 于点N,交AC 于点M,连接B'B,BM, AB'.此时BM+MN 的值最小,且BM+MN=B'M+ MN=B'N.∵ 点B'与点B 关于AC 对称,∴ AB'=AB, ∠BAC=∠B'AC=30°.∴ ∠B'AB=60°.∴ △B'AB 是 等边 三 角 形.∴ B'B=AB=4,∠B'BN =60°.又 ∵ B'N⊥AB,∴ ∠BB'N=30°.∴ BN=12B'B=2. ∴ B'N= BB'2-BN2= 42-22=23.∴ BM+ MN 的最小值为23. 第12题 13. (25+2) 14. 如图,作点B 关于AC的对称点B',连接BB',交AC 于点F,连接PB',B'E,EF,则PE+PB=PE+PB'≥ B'E,∴ PE+PB 的最小值为B'E 的长.∵ 四边形 ABCD 为矩形,∴ ∠ABC=90°.又∵ AB=4,∠ACB= 30°,∴ AC =2AB =8.∴ BC = AC2-AB2 = 82-42=43.∵ 点B,B'关于AC 对称,∴ BF⊥AC, BB'=2BF.∵ ∠ACB=30°,∴ ∠EBF=60°.∵ E 为边 BC的中点,∴ EF=12BC=BE=23.∴ △BEF 是等 边三角形.∴ ∠BFE=60°,BF=B'F=EF=BE= 23.∴ ∠BB'E=∠B'EF=30°.∴ ∠BEB'=90°.∴ 在 Rt△BEB'中,B'E= BB'2-BE2= (43)2-(23)2= 6.∴ PE+PB 的最小值为6. 第14题 15. 如图,作点 D 关于AE 的对称点D',过点 D'作 D'P'⊥AD 于点P',连接DD',D'Q,则AE 为线段D'D 的垂直平分线,且易得点D'在AC 上.∴ AD'=AD=5, D'Q=DQ.∴ DQ+PQ=D'Q+PQ.∵ D'Q+PQ≥ D'P',∴ D'P'的长即为DQ+PQ 的最小值.∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠DAD'=45°.又∵ D'P'⊥AD, ∴ ∠AD'P'=∠DAD'=45°.∴ AP'=D'P'.在Rt△AP'D' 中,∵ D'P'2+AP'2=AD'2,∴ 2D'P'2=25,解得D'P'= 52 2 (负值舍去).∴ DQ+PQ 的最小值为522 . 第15题 专题八　新定义问题 1. A 2. A 3. x1=2,x2=-4 4. (1) 由直线3x-4y-5=0知,A=3,B=-4,C=-5, ∴ 点P1(0,0)到直线3x-4y-5=0的距离为d= 3×0+(-4)×0-5 32+(-4)2 =1.(2) 根 据 题 意,得 2= 1×1+1×0+C 12+12 ,即2= 1+C 2 ,∴ |C+1|=2,解得 C1=1,C2=-3.∴ 实数C的值为1或-3. 5. ①②③④ 6. (1) -x2-4x-3=0.(2) 由方程-5x2-x=1,得 -5x2-x-1=0.∵ 方程5x2+(m-1)x-n=0与 -5x2-x-1=0互为“对称方程”,∴ m-1=-1,-n+ (-1)=0,解得 m=0,n=-1.∴ (m+n)2=(0- 1)2=1. 7. 解方程x2-2x=0,得x1=0,x2=2.若x=0是两个 方程相同的实数根,将x=0代入方程x2+3x+m-1= 0,得m-1=0,解得m=1.此时原方程为x2+3x=0,解 得x1=0,x2=-3,符合题意.若x=2是两个方程相同的 实数根,将x=2代入方程x2+3x+m-1=0,得4+6+ m-1=0,解得m=-9.此时原方程为x2+3x-10=0, 解得x1=2,x2=-5,符合题意.综上所述,实数m 的值 为1或-9. 8. 3 9. 2 10. (1) 函数y=5x+2是函数y1=x+1,y2=2x-1的 “组合函数”.理由:∵ 3(x+1)+(2x-1)=3x+3+2x- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈