第16章 二次根式-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（沪科版）

1 第16章　二次根式 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每小题3分,共30分) 1. 下列各式中,一定属于二次根式的是 ( ) A. -2022 B. 3 C. 32 D. a 2. (湘西中考)若二次根式 3x-6有意义,则x 的取值范围是 ( ) A. x>2 B. x<2 C. x≤2 D. x≥2 3. (桂林中考)下列根式中,属于最简二次根式 的是 ( ) A. 1 9 B. 4 C. a2 D. a+b 4. 下列二次根式中,与6是同类二次根式的为 ( ) A. 2 3 B. 12 C. 18 D. 30 5. ★下列运算中,结果正确的是 ( ) A. 8+2= 10 B. 32-22=1 C. (-2)2=-2 D. 2÷ 1 2 +1 3 =6-26 6. 如图,矩形内有两个相邻的正方形,其面积 分别为2和8,则图中阴影部分的面积为 ( ) 第6题 A. 2 B. 2 C. 22 D. 6 7. ★实数a,b在数轴上的位置如图所示,化简 (a+1)2+ (b-1)2- (a-b)2的结果为 ( ) 第7题 A. -2 B. 0 C. -2a D. 2b 答案讲解 8. 已 知 a 满 足|2022-a|+ a-2023=a,则a-20222 的 值为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2022 D. 2023 答案讲解 9. 若x,y 是正整数,且 x+ y= 275,则x+y的值为 ( ) A. 143或187 B. 137或275 C. 143或275 D. 5或11 10. “分母有理化”是我们常用的一种化简方 法,如:2+3 2-3 = (2+3)2 (2-3)×(2+3) =7+ 43.除此之外,我们也可以用平方之后 再开方的方式来化简一些有特点的无理 数,如:对 于 3+ 5- 3- 5,设x= 3+ 5 - 3- 5.∵ 3+ 5 > 3- 5,∴ x>0.∴ x2=(3+ 5- 3- 5)2 = 3 + 5 + 3 - 5 - 2 (3+ 5)×(3-5)=2,解得x= 2 (负值舍去).∴ 即 3+ 5- 3- 5= 2.根 据 以 上 方 法,化 简 3-2 3+2 + 6-33- 6+33的结果为 ( ) A. 5+36 B. 5+6 C. 5-6 D. 5-36 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注:标“★”的题目设有 “方法点金”或“易错提 示”,详见“答案与解析”. 拍 照 批 改 2 二、 填空题(每小题3分,共18分) 11. (临沂中考)比较大小:3 3 2 2 (填 “>”“<”或“=”). 12. 若a= 2025+3,则代数式a2-6a+11的 值为 . 13. ★(贺州中考)若实数m,n 满足|m-n- 5|+ 2m+n-4=0,则3m+n 的值为 . 14. (荆州中考)若3- 2的整数部分为a,小 数部分为b,则代数式(2+ 2a)b的值为 . 15. 类比思想 (随州中考)若m 为正整数,且 189m 是 整 数,则 根 据 189m = 3×3×3×7m=33×7m可知,m 有最小 值,为3×7=21.设n为正整数,若 300n 是 大于1的整数,则n的最小值为 , 最大值为 . 16. 观察分析下列数据:0,- 3,6,-3,23, - 15,32,….根据数据排列的规律得到 第13个数据为 . 三、 解答题(共52分) 17. (10分)计算: (1) 48- 27÷3+(3-3)1+ 1 3 ; (2) (西宁中考)(5+3)(5-3)-(3-1)2. 18. (6分)先化简,再求值:(a+3)(a-3)- a(a-2)+3,其中a=2-3. 19. (8分)已知x,y 为实数,且y< 1-x+ x-1+3,化简|y-3|- y2-8y+16. 20. (8分)已知x=12× (7+ 5),y= 1 2× (7-5),求代数式x2+xy+y2的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)八年级 3 21. (8分)在一块矩形土地上种植草坪,该矩形 土地的长为 128m,宽为 75m. (1) 求该矩形土地的周长; (2) 若种植草坪的费用为每平方米160元, 求在该矩形土地上全部种植草坪的总费用 (结果保留整数,6≈2.4). 答案讲解 22. (12分)观察下列各式: 1+112+ 1 22=1+ 1 1- 1 2= 3 2 ; 1+122+ 1 32=1+ 1 2- 1 3= 7 6 ; 1+132+ 1 42=1+ 1 3- 1 4= 13 12. (1) 请你根据上面三个等式提供的信息,猜 想:1+142+ 1 52= ; (2) 请你按照上面等式反映的规律,写出用 n(n为正整数)表示的等式,并验证; (3) 利用上述规律计算:50 49+ 1 64. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 1 1 复习进阶 第16章　二次根式 一、 1. B 2. D 3. D 4. A 5. D 混淆实数的运算法则导致错误 在进行二次根式的加减运算时,应先化简二次根 式,再合并同类二次根式,合并时,仅把根号外的数相 加减,不是同类二次根式的不能合并;开方利用 a2= |a|计算;混合运算时,先乘除后加减,有括号的先算括 号内的.可用运算律简化计算,但要注意:除法没有分 配律.可能存在对二次根式的运算法则理解不透彻, 加减时没有先化简二次根式,合并时丢掉了含根号 的 部分,开方时出现符号错误,混合运算时错用分 配律等情况. 6. B 7. A 利用数形结合思想解题 在数学问题中,有时会用几何图形解释代数问题, 或用代数知识说明几何图形,这种数形结合思想具有 直观性、易理解性.数形结合思想的应用主要体现在两 个方面:一是以数形结合的方式给出问题;二是用数形 结合思想解题.本题结合数轴给出实数a,b的位置,解 题时需要由a,b的大小来确定被开方数底数的符号, 再利用公式去掉二次根号进行化简,这是数形结合思 想的应用. 8. D 解析:由题意,得a-2023≥0,∴ a≥2023. ∴ 2022-a<0.∵ |2022-a|+ a-2023=a,∴ a- 2022+ a-2023=a.∴ a-2023=2022.∴ a- 2023=20222.∴ a-20222=2023. 9. A 解析:∵ 275=5 11,∴ 可设 x=a 11, y=b 11,且a+b=5.∵ x,y是正整数,∴ a,b也是 正整数.∴ a=1,b=4或a=2,b=3或a=3,b=2或 a=4,b=1.∵ x=11a2,y=11b2,∴ x+y=11(a2+ b2)=11×17=187或x+y=11(a2+b2)=11× 13=143. 10. D 解 析:设 x = 6-33 - 6+33. ∵ 6-33< 6+33,∴ x<0.∴ x2=6-33- 2 (6-33)×(6+33)+6+3 3=6,解 得 x= -6(正值舍去).∵ 3-2 3+2 = (3-2)×(3-2) (3+2)×(3-2) = 5-26,∴ 原式=5-26-6=5-36. 二、 11. < 12. 2027 13. 7 利用非负数的性质解题 在初中数学中,有三种非负数:绝对值、偶次方和 二次根式(算术平方根).非负数有一个重要的性质,即 若几个非负数的和为零,则每一个非负数都等于零.当 已知几个非负数的和为零时,可依据每一个非负数都 等于零列出方程(组),进而求解. 14. 2 15. 3 75 解析:∵ 300 n = 3×100 n =10 3 n 为整 数,n为正整数,∴ n的最小值为3.∵ 300 n 是大于1的 整数,且 300 n 越小,300 n 越小,n越大,∴ 当 300 n =2 时, 300 n =4 ,即n=75.∴ n的最大值为75. 16. 6 解析:题中数据的排列规律是第n(n为正整数)个 数据 为 (-1)n+1 · 3(n-1),∴ 第 13 个 数 据 为 (-1)14× 3×(13-1)= 36=6. 三、 17. (1) 原式=43- 3+3+ 3- 3-1=33+ 2.(2) 原式=5-9-(3-23+1)=23-8. 18. 原式=a2-3-a2+ 2a+3= 2a.当a=2- 3时, 原式=2×(2-3)=22-6. 19. 由题意,得 1-x≥0, x-1≥0, 解得x=1,∴ y<3.∴ y-3< 0,y-4<0.∴ 原式=3-y- (y-4)2=3-y-(4- y)=-1. 20. ∵ x=12× (7+ 5),y= 1 2× (7- 5),∴ x+ y= 1 2× (7+ 5)+12× (7- 5)= 7,xy= 1 2× (7+5)×12× (7- 5)=12.∴ 原式=(x+y)2- xy=(7)2- 1 2=7- 1 2= 13 2. 21. (1) ∵ 2( 128+ 75)=2(82+53)=(162+ 103)m,∴ 该矩形土地的周长为(162+103)m. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 (2) ∵ 128× 75×160=64006≈6400×2.4= 15360(元),∴ 在该矩形土地上全部种植草坪的总费用约 为15360元. 22. (1) 1+14- 1 5= 21 20. (2) 1+1n2+ 1 (n+1)2=1+ 1 n - 1 n+1 = n(n+1)+1 n(n+1) (n 为 正 整 数 ). 1+1n2+ 1 (n+1)2 = n2(n+1)2+(n+1)2+n2 n2(n+1)2 = n2(n+1)2+2n(n+1)+1 n2(n+1)2 = [n(n+1)+1]2 [n(n+1)]2 = n(n+1)+1 n(n+1). (3) 原式= 1+149+ 1 64= 1+ 1 72+ 1 82 = 1+17- 1 8= 57 56. 第17章　一元二次方程 一、 1. A 2. D 3. C 4. D 5. B 6. B 7. A 解析:∵ (k-3)⊗x=k-1,∴ x2-(k-3)x= k-1.∴ x2-(k-3)x-k+1=0.∴ Δ=[-(k-3)]2- 4×1×(-k+1)=(k-1)2+4>0.∴ 关于x的方程(k- 3)⊗x=k-1有两个不相等的实数根. 8. A 解析:∵ x1,x2 是方程x2-x-2022=0的两个 实数根,∴ x1+x2=1,x1x2=-2022,x21-x1-2022= 0,即x21-2022=x1.∴ 原式=x1(x21-2022)+x22= x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2=1+2×2022=4045. 9. C 解析:设运动时间为ts(0<t≤25).由题意,得 AP=2tm,CQ=3tm,∴ PC=(50-2t)m.∴ △PCQ 的 面积=12PC ·CQ=300m2,即12 (50-2t)·3t=300,解 得t1=20,t2=5.∴ 当运动时间为20s或5s时,△PCQ 的面积为300m2. 10. B 解析:若x>-x,即x>0,则x=x 2-2x-1 2 ,解 得x=2+ 5(负值舍去);若x<-x,即x<0,则-x= x2-2x-1 2 ,解得x=-1(正值舍去).综上所述,x 的值 为-1或2+5. 二、 11. 2 求字母系数的值时易忽视二次项系数不为0致错 已知含有字母系数的一元二次方程,在根据条件 求出字母系数的值后,必须舍去使二次项系数为0的 值,解题时不能忽视.本题在利用一元二次方程的定义 求出m 的值后,容易忽视一元二次方程中二次项系数 不为0这一条件,未对m 的值进行取舍而导致错误. 12. x1=2,x2= 1 4 13. 2 解析:整理原方程,得(2a-1)x2-8x+6=0.根 据题意,得2a-1≠0且Δ=(-8)2-4×(2a-1)×6<0, 解得a>116 ,∴ a的最小整数值为2. 14. x1=-4,x2=-1 15. -3或4 16. -18 解析:由根与系数的关系,得x1+x2=-2m, x1x2= m 2.∵ x21+x22= 3 16 ,∴ (x1+x2)2-2x1x2= 3 16.∴ 4m2-m=316 ,即64m2-16m-3=0,解得m1= -18 ,m2= 3 8. 当m=38 时,Δ=16m2-8m=-34<0 , ∴ m=38 不合题意,舍去.∴ m=-18. 利用根与系数的关系解题时不能忽视Δ≥0 根与系数的关系以一元二次方程有实数根为前 提,在运用它解题时,不能忽视Δ≥0这个条件.本题容 易出现在利用根与系数的关系求出m 的值后,未将其 代入根的判别式中检验而造成错误. 三、 17. (1) x1=4+ 15,x2=4- 15.(2) x1=1, x2=6. 18. (1) 整理,得3x2-9x=0.∴ 它的二次项系数是3,一 次项系数是-9,常数项是0.(2) 根据题意,得m2+1=2, 解得m=±1.又∵ m+1≠0,∴ m≠-1.∴ m=1.把 m=1代入原方程,得2x2+4x+2=0,即x2+2x+1=0, 解得x1=x2=-1. 19. (1) 解方程x2-5x+6=0,得x1=3,x2=2.∵ 3比 2大 1,∴ 方 程 x2-5x+6=0 为 “邻 根 方 程”. (2) ∵ x2-(m-1)x-m=0,∴ (x-m)(x+1)=0,解 得x1=m,x2=-1.∵ 方程x2-(m-1)x-m=0(m 为 常数)是“邻根方程”,∴ m-1=-1或m+1=-1,解得 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈