专题8 新定义问题-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（沪科版）

23 菱形对角线上一动点与边上两定点间距离的 和的最小值的求法 已知菱形邻边上的两个定点,且在某条对角线的 同侧,则对角线上任意一点到这两点距离的和有最小 值,它的值为其中一个定点关于这条对角线的对称点 与另一定点之间的距离. 12. 23 解析:如图,作点B关于AC的对称点B',过点B' 作B'N⊥AB 于点N,交AC 于点M,连接B'B,BM, AB'.此时BM+MN 的值最小,且BM+MN=B'M+ MN=B'N.∵ 点B'与点B 关于AC 对称,∴ AB'=AB, ∠BAC=∠B'AC=30°.∴ ∠B'AB=60°.∴ △B'AB 是 等边 三 角 形.∴ B'B=AB=4,∠B'BN =60°.又 ∵ B'N⊥AB,∴ ∠BB'N=30°.∴ BN=12B'B=2. ∴ B'N= BB'2-BN2= 42-22=23.∴ BM+ MN 的最小值为23. 第12题 13. (25+2) 14. 如图,作点B 关于AC的对称点B',连接BB',交AC 于点F,连接PB',B'E,EF,则PE+PB=PE+PB'≥ B'E,∴ PE+PB 的最小值为B'E 的长.∵ 四边形 ABCD 为矩形,∴ ∠ABC=90°.又∵ AB=4,∠ACB= 30°,∴ AC =2AB =8.∴ BC = AC2-AB2 = 82-42=43.∵ 点B,B'关于AC 对称,∴ BF⊥AC, BB'=2BF.∵ ∠ACB=30°,∴ ∠EBF=60°.∵ E 为边 BC的中点,∴ EF=12BC=BE=23.∴ △BEF 是等 边三角形.∴ ∠BFE=60°,BF=B'F=EF=BE= 23.∴ ∠BB'E=∠B'EF=30°.∴ ∠BEB'=90°.∴ 在 Rt△BEB'中,B'E= BB'2-BE2= (43)2-(23)2= 6.∴ PE+PB 的最小值为6. 第14题 15. 如图,作点 D 关于AE 的对称点D',过点 D'作 D'P'⊥AD 于点P',连接DD',D'Q,则AE 为线段D'D 的垂直平分线,且易得点D'在AC 上.∴ AD'=AD=5, D'Q=DQ.∴ DQ+PQ=D'Q+PQ.∵ D'Q+PQ≥ D'P',∴ D'P'的长即为DQ+PQ 的最小值.∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠DAD'=45°.又∵ D'P'⊥AD, ∴ ∠AD'P'=∠DAD'=45°.∴ AP'=D'P'.在Rt△AP'D' 中,∵ D'P'2+AP'2=AD'2,∴ 2D'P'2=25,解得D'P'= 52 2 (负值舍去).∴ DQ+PQ 的最小值为522 . 第15题 专题八　新定义问题 1. A 2. A 3. x1=2,x2=-4 4. (1) 由直线3x-4y-5=0知,A=3,B=-4,C=-5, ∴ 点P1(0,0)到直线3x-4y-5=0的距离为d= 3×0+(-4)×0-5 32+(-4)2 =1.(2) 根 据 题 意,得 2= 1×1+1×0+C 12+12 ,即2= 1+C 2 ,∴ |C+1|=2,解得 C1=1,C2=-3.∴ 实数C的值为1或-3. 5. ①②③④ 6. (1) -x2-4x-3=0.(2) 由方程-5x2-x=1,得 -5x2-x-1=0.∵ 方程5x2+(m-1)x-n=0与 -5x2-x-1=0互为“对称方程”,∴ m-1=-1,-n+ (-1)=0,解得 m=0,n=-1.∴ (m+n)2=(0- 1)2=1. 7. 解方程x2-2x=0,得x1=0,x2=2.若x=0是两个 方程相同的实数根,将x=0代入方程x2+3x+m-1= 0,得m-1=0,解得m=1.此时原方程为x2+3x=0,解 得x1=0,x2=-3,符合题意.若x=2是两个方程相同的 实数根,将x=2代入方程x2+3x+m-1=0,得4+6+ m-1=0,解得m=-9.此时原方程为x2+3x-10=0, 解得x1=2,x2=-5,符合题意.综上所述,实数m 的值 为1或-9. 8. 3 9. 2 10. (1) 函数y=5x+2是函数y1=x+1,y2=2x-1的 “组合函数”.理由:∵ 3(x+1)+(2x-1)=3x+3+2x- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 24 1=5x+2,∴ 函数y=5x+2是函数y1=x+1,y2= 2x-1的“组合函数”.(2) ① 由 y=x-p-2, y=-x+3p, 解得 x=2p+1, y=p-1. ∴ 点P 的坐标为(2p+1,p-1).∵ 函数 y1,y2的“组合函数”为y=m(x-p-2)+n(-x+3p), ∴ 当x=2p+1时,y=m(2p+1-p-2)+n(-2p- 1+3p)=(p-1)(m+n).∵ 点P 在函数y1,y2 的“组合 函数”的图象的上方,∴ p-1>(p-1)(m+n).∴ (p- 1)(1-m-n)>0.∵ m+n>1,∴ 1-m-n<0.∴ p- 1<0,∴ p<1.② 存在.由①知,点P 的坐标为(2p+1, p-1).∵ 函数y1,y2 的“组合函数”y=m(x-p-2)+ n(-x+3p)的图象经过点P,∴ p-1=m(2p+1-p- 2)+n(-2p-1+3p).∴ (p-1)(1-m-n)=0.∵ p≠ 1,∴ 1-m-n=0.∴ n=1-m.∴ y=m(x-p-2)+ n(-x+3p)=m(x-p-2)+(1-m)(-x+3p)= (2m-1)x+(3-4m)p-2m.令y=0,则(3-4m)p+ (2m-1)x-2m=0.又∵ p 是不等于1的任意实数, ∴ 3-4m=0,解得m=34.∴ 此时方程为1 2x- 3 2=0 , 解得x=3.∴ 当m=34 时,“组合函数”的图象与x轴的 交点Q 的位置不变,此时点Q 的坐标为(3,0). 11. B 12. 36°或90° 因对新定义概念理解不透彻而导致错误 在新定义题中,对新定义的概念理解要全面,不能 忽视其含义的多种情况.本题中“半角三角形”定义的 表述含糊,应分两种情况讨论,以防漏解. 13. (1) ∵ 点 A(-2,6)的“12 级关联点”是 A1, ∴ 点A1 的坐标为 1 2× (-2)+6,(-2)+12×6 ,即 点A1的坐标为(5,1).设点B 的坐标为(x,y).∵ 点B 的“2 级 关 联 点”是 B1(3,3),∴ 2x+y=3, x+2y=3, 解 得 x=1, y=1. ∴ 点B 的坐标为(1,1).(2) ∵ 点 M(m-1, 2m)的“-3级 关 联 点”是 M',∴ 点 M'的 坐 标 为 (-3(m-1)+2m,m-1+(-3)×2m),即点M'的坐标 为(-m+3,-5m-1).当点M'位于x 轴上时,-5m- 1=0,解得m=-15.∴ -m+3=165.∴ 点M'的坐标为 16 5 ,0 .当点M'位于y 轴上时,-m+3=0,解得m= 3.∴ -5m-1=-16.∴ 点M'的坐标为(0,-16).综上 所述,点M'的坐标为 165 ,0 或(0,-16). 14. (1) M,N 是线段AB 的勾股分割点.理由:∵ AM2+ BN2=22+(2 3)2=16,MN2=42=16,∴ AM2+ BN2=MN2.∴ 以AM,MN,BN 为边的三角形是一个 直角三角形.∴ M,N 是线段AB 的勾股分割点.(2) 设 BN=x,则MN=AB-AM-BN=7-x.当MN 为斜边 时,MN2=AM2+BN2,即(7-x)2=25+x2,解得x= 12 7. 当BN 为斜边时,BN2=AM2+MN2,即x2=25+ (7-x)2,解得x=377. 综上所述,BN 的长为127 或37 7. 利用分类讨论思想解题 当研究的问题包含多种情形时,必须按可能出现 的所有情形来分类讨论,得出各种情形下相应的结论, 这种处理问题的思想方法称为分类讨论思想.如在研 究线段之间的关系时,我们需要比较哪条线段最长;在 研究等腰三角形时,要注意区分顶角和底角、腰和底 边;研究直角三角形时,我们需要考虑哪个点是直角顶 点等等. 整合提优自主检测 一、 1. D 2. B 3. C 4. C 5. C 6. C 7.C 8. A 解析:∵ 四边形ABCD 是矩形,∴ ∠ADC=90°, BD=AC,OD= 12BD ,OC= 12AC.∴ OC=OD. ∵ OE=2DE,∴ 设DE=x,则OE=2x.∴ OD=OC= 3x,AC=6x.∵ CE⊥BD,∴ ∠DEC=∠OEC=90°.在 Rt△OCE 中,∵ OE2+CE2=OC2,∴ (2x)2+52= (3x)2,解得x= 5(负值舍去).∴ DE= 5,AC= 65.∴ CD = DE2+CE2 = (5)2+52 = 30. ∴ AD= AC2-CD2= (65)2-(30)2=56. 9. A 解析:如图,过点B 作BM⊥AD 于点M,过点F 作FH⊥BC 于点H,过点E 作EN⊥CB,交CB 的延长 线于点N,则易得四边形BHFM 为矩形,∴ ∠MBC= 90°,MB=FH,FM=BH.∵ AB=6 2,5BE=AE, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 46 专题八　新定义问题 所谓新定义问题,就是在题目中定义了我们之前没有学过,而又可以转化为用已学知识来解 决的问题,主要包括:新定义运算、新定义方程、新定义函数、新定义图形等.新定义问题属于创新 题型,是近年来各类考试的热点和亮点,这类题型的特点是先给出新定义,再说明新定义的内涵, 进而提出问题,主要考查我们对新定义的理解能力及运用已学知识解决新问题的能力.解答此类 问题的关键是准确理解新定义,将其转化为我们熟知的数学问题来解决,还应注意新定义与已学 知识的区别. 类型一 新定义运算 1. 若规定a∞b=a-ba+b ,则3∞2的值为( ) A. 5-26 B. 3-26 C. - 63 D. 6 3 2. (巴中中考)对于实数a,b,定义新运算: a※b=ab2-b.若关于x 的方程1※x=k 有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 ( ) A. k>-14 B. k<-14 C. k>-14 且k≠0 D. k≥-14 且k≠0 3. 在实数范围内定义一种运算“*”,其规则为 a*b=a2-b2,根据这个规则,方程(x+1)* 3=0的解为 . 4. 阅读材料. 在平面直角坐标系中,点P(x0,y0)到 直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的距离 公式 为d= Ax0+By0+C A2+B2 .例 如:求 点 P(1,3)到直线4x+3y-3=0的距离.由直 线4x+3y-3=0知,A=4,B=3,C=-3, ∴ 点P(1,3)到直线4x+3y-3=0的距离 为d= 4×1+3×3-3 42+32 =2. 根据材料,解决问题: (1) 求点P1(0,0)到直线3x-4y-5=0的 距离; (2) 若点P2(1,0)到直线x+y+C=0的距 离为2,求实数C 的值. 类型二 新定义方程 5. 若关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个实数根,且其中一个根为另一个根的 2倍,则称这样的方程为倍根方程.有下列说 法:① 方程x2-3x+2=0是倍根方程; ② 若(x-2)(mx+n)=0是倍根方程,则 4m2+5mn+n2=0;③ 若pq=2,则关于x 的方程px2+3x+q=0是倍根方程;④ 若 方程ax2+bx+c=0是倍根方程,且5a+ b=0,则方程ax2+bx+c=0的一个根为 x=53. 其中,正确的是 (填序号). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)八年级 拍 照 批 改 47 6. 阅读材料. 定义:若关于x 的方程a1x2+b1x+ c1=0(a1≠0,a1,b1,c1 是常数)与a2x2+ b2x+c2=0(a2≠0,a2,b2,c2 是常数),其中 方程中的二次项系数、一次项系数、常数项 分别满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则 这两个方程互为“对称方程”.比如:求方程 2x2-3x+1=0的“对称方程”,这样思考: 由方程2x2-3x+1=0可知,a1=2,b1= -3,c1=1,根据a1+a2=0,b1=b2,c1+ c2=0,求出a2,b2,c2 的值就能确定这个方 程的“对称方程”. 根据材料,解决问题: (1) 方程x2-4x+3=0的“对称方程”是 ; (2) 若关于x的方程5x2+(m-1)x-n=0 与-5x2-x=1互为“对称方程”,求(m+ n)2的值. 7. 定义:如果两个一元二次方程有且只有一个 相同的实数根,那么我们称这两个方程为 “友好方程”.已知关于x的方程x2-2x=0 与x2+3x+m-1=0为“友好方程”,求实 数 m 的值. 类型三 新定义函数 8. (上海中考)若定义:f(x)=3x,则f(1)= . 答案讲解 9. 对 于 实 数a,b,我 们 定 义 符 号 max{a,b}的意义为:当a≥b时, max{a,b}=a;当 a<b 时, max{a,b}=b,如max{4,-2}=4,max{3, 3}=3.若关于x 的函数为y=max{x+3, -x+1},则该函数的最小值为 . 答案讲解 10. (泰州中考)定义:对于一次函数 y1=ax+b,y2=cx+d,我们称函 数y=m(ax+b)+n(cx+d)(ma+ nc≠0)为函数y1,y2的“组合函数”. (1) 若m=3,n=1,试判断函数y=5x+2 是否为函数y1=x+1,y2=2x-1的“组合 函数”,并说明理由. (2) 设函数y1=x-p-2与y2=-x+3p 的图象相交于点P. ① 若m+n>1,点P 在函数y1,y2 的“组 合函数”的图象的上方,求p的取值范围. ② 若p≠1,函数y1,y2的“组合函数”的图 象经过点P,则是否存在确定的m,对于不 等于1的任意实数p,都有函数y1,y2 的 “组合函数”的图象与x轴的交点Q 的位置 不变? 若存在,请求出m 的值及此时点Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 48 类型四 新定义图形 11. (遵义中考)数经历了从自然数到有理数, 到实数,再到复数的发展过程,数学中把形 如a+bi(a,b为实数)的数叫做复数,用 z=a+bi表示,任何一个复数z=a+bi在 平面直角坐标系中都可以用点Z(a,b)表 示,如z=1+2i表示为点Z(1,2),则z= 2-i可表示为 ( ) A. 点Z(2,0) B. 点Z(2,-1) C. 点Z(2,1) D. 点Z(-1,2) 12. ★定义:在一个三角形中,如果一个内角的 度数是另一个内角的度数的一半,那么称 这样的三角形为“半角三角形”.若等腰三 角形ABC 为“半角三角形”,则△ABC 的 顶角的度数为 . 13. 在平面直角坐标系中,对于点P(x,y),若 点Q 的坐标为(ax+y,x+ay),其中a为 常数,则称Q 是点P 的“a 级关联点”.例 如,点P(1,4)的“3级关联点”是Q(3×1+ 4,1+3×4),即点Q(7,13). (1) 已知点A(-2,6)的“12 级关联点”是 A1,点B 的“2级关联点”是B1(3,3),求点 A1和点B 的坐标; (2) 已知点M(m-1,2m)的“-3级关联 点”是M',且点M'位于坐标轴上,求点M' 的坐标. 答案讲解 14. ★定义:如图,点M,N 把线段AB 分割成AM,MN,BN,若以AM, MN,BN 为边的三角形是一个直 角三角形,则称M,N 是线段AB 的勾股分 割点. (1) 已知点M,N 把线段AB 分割成AM, MN,BN.若AM=2,MN=4,BN=23, 则M,N 是线段AB 的勾股分割点吗? 请 说明理由. (2) 已知M,N 是线段AB 的勾股分割点, 且AM 为直角边.若AB=12,AM=5,求 BN 的长. 第14题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)八年级