江苏省连云港市灌云县杨集高级中学2024-2025学年高三上学期第二次数学周练试卷

2024-2025学年度高三上学期数学周练试卷 1、 单选题 1. 已知集合，则(    ) A. B. C. D. 2. 已知，则(    ) A. B. C. D. 3. 记为等差数列的前n项和．已知，，则(    ) A. B. C. D. 4. 已知曲线：，：，则下面结论正确的是(    ) A. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 5. 某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是(    ) A. 越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B. 越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为 C. 越小，该物理量在一次测量中小于与大于的概率相等 D. 越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 6. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球球心记为，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬，则晷针与点A处的水平面所成角为(    ) A. B. C. D. 7. 已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是  (    ) A. B. C. D. 8. 已知函数满足若函数与的图像的交点为 则 (     ) A. B. C. D. 2、 多选题 9. 关于函数，下列选项正确的为（ ） A.是偶函数                                                   B. 在区间单调递减 C. 在有3个零点                          D. 的最大值为2 10. 设有下面四个命题，其中的真命题为(    ) A. 若复数z满足，则； B. 若复数z满足，则； C. 若复数，满足，则； D. 若复数，则 11. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，点C在底面圆周上，且二面角为，则(    ) A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为 C. D. 的面积为 12. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球、甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则下列选项不正确的为(    ) A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 三、填空题 13. 从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有__________种．用数字填写答案 14. 已知双曲线C：的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若，则C的离心率为__________. 15. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数__________.①；②当时，；③是奇函数． 16. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是__________. 四、解答题 17. 已知数列中，， 判断数列是否为等差数列，并说明理由； 求数列的前n项和 18. 如图，在四棱锥中，，且 证明：平面平面PAD； 若，，求二面角的余弦值． 19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，点D在边AC上， 证明： 若，求 20. 已知某电器市场由甲、乙、丙三家企业占有，其中甲厂产品的市场占有率为，乙厂产品的市场占有率为，丙厂产品的市场占有率为，甲、乙、丙三厂产品的合格率分别为，， 现从三家企业的产品中各取一件抽检，求这三件产品中恰有两件合格的概率； 现从市场中随机购买一台该电器，则买到的是合格品的概率为多少？ 21. 已知椭圆的离心率为，且过点 求C的方程; 点M，N在C上，且，，D为垂足.证明：直线MN过定点. 22.已知函数 当时，讨论的单调性; 当时，，求a的取值范围. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查一元二次不等式的解法，补集及其运算，属于基础题． 通过求解不等式，得到集合A，然后求解补集即可． 【解答】 解：集合， 可得或， 则 故选： 2.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了利用指数函数和对数函数的性质比较大小，属于基础题． 由指数函数和对数函数的单调性易得，，，从而得出a，b，c的大小关系． 【解答】 解：， ， ， ， ， 故选 3.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式，属于基础题． 根据题意，设等差数列的公差为d，则有，求出首项和公差，然后求出通项公式和前n项和即可． 【解答】 解：设等差数列的公差为d， 由，， 得， ， ，， 故选： 4.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查三角函数的图象变换、诱导公式的应用. 利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可． 【解答】 解：把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变， 得到函数图象， 再把得到的曲线向左平移个单位长度， 得到函数 的图象，即曲线， 故选 5.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了正态分布的相关知识，属于中档题. 由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解. 【解答】 解：对于A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确； 对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为，故B正确； 对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故C正确； 对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误. 故选 6.【答案】B  【解析】【分析】 本题是立体几何在生活中的运用，考查空间线面角的定义和求法，属于中档题． 由纬度的定义和线面角的定义，结合直角三角形的性质，可得晷针与点A处的水平面所成角． 【解答】 解：可设A所在的纬线圈的圆心为，垂直于纬线所在的圆面， 由图可得为晷针与点A处的水平面所成角， 又且， 在中，， ， 故选： 7.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查向量数量积，属于综合题. 根据投影的几何意义即可解答. 【解答】 解： 由投影定义知，当点P与点F重合时， 取最小值 当点P与点C重合时，取最大值 故的取值范围是 故选 8.B 9.【答案】ABC 10.【答案】AD  【解析】【分析】 本题主要考查命题的真假判断，考查了复数的运算，复数的概念，共轭复数，属于基础题. 根据复数的概念和复数的运算，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案. 【解答】 解：设，则， 若复数z满足，则，则， 故命题为真命题； ：复数满足，但， 故命题为假命题； ：复数，满足，但， 故命题为假命题； ：若复数，则， 故命题为真命题． 故选 11.【答案】AC  【解析】 【分析】 本题考查求圆锥的体积与侧面积，及圆锥中的其他量，属于基础题. A，B选项，通过解，求出圆锥的高PO与底面直径AB，从而求出体积与侧面积；C，D选项，利用为二面角的平面角，解三角形求出的长，进一步求出的面积. 【解答】 解：对于A：在中，，则，， 故圆锥的体积，故A正确； 对于B：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径为2，弧长为， 故圆锥的侧面积为，故B错误； 对于C：取AC中点D，连接，则， 则为二面角的平面角，即， 在中，，故， 在中，，故，故C正确； 对于D：，故D正确. 故选    12.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查相互独立事件的概念，属于中档题. 若，则A与B相互独立，即可得答案. 【解答】 解：由题意可知，两次取出的球的数字之和为8的所有可能为： ，，，，， 两次取出的球的数字之和为7的所有可能为： ，，，，， 可得甲、乙、丙、丁事件发生的概率为： 甲，乙，丙，丁， 又甲丙，甲丁，乙丙，丙丁 所以甲丁甲丁， 故选：B 13.【答案】16  【解析】【分析】 本题考查了分类加法计数原理，考查了组合与组合数公式，属于基础题. 方法一：直接法，分类即可求出； 方法二：间接法，用总情况减去没有女生的情况． 【解答】 解：方法一：直接法，1女2男，有，2女1男，有 根据分类加法计数原理可得，共有种， 方法二，间接法：从6人中选3人共有  都是男生共有： 所以至少有一位女生入选有：种， 故答案为： 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式，属于基础题． 利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可． 【解答】 解：双曲线右顶点为， ，故为等边三角形， 则A到渐近线的距离为， 不妨设渐近线方程为， 所以，即， 所以离心率为 故答案为 15.【答案】答案不唯一，均满足  【解析】【分析】 本题是开放性问题，合理分析所给条件找出合适的函数是关键，属于中档题. 根据幂函数的性质可得所求的 【解答】 解：取，则，满足①， ，时有，满足②， 的定义域为R， 又，故是奇函数，满足③. 故答案为：答案不唯一，均满足 16.【答案】  【解析】【分析】 本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查运算求解能力，是一般题． 甲队以4：1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，由此能求出甲队以4：1获胜的概率． 【解答】 解：甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”． 甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立， 甲队以4：1获胜，则第五场一定是甲胜， 甲队以4：1获胜包含的情况有： ①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为：， ②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为：， ③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为：， ④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为：， 则甲队以4：1获胜的概率为： 故答案为： 17.【答案】解：因为， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列. 由知， 则， ①， ②， ①-②得： ， 即  【解析】本题考查了数列递推关系、等差数列的证明和错位相减法求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 由已知可推出，根据等差数列的定义即可证明． 由可得：，利用错位相减法求和即可得出． 18.【答案】解：证明：， ，， ，， 又，且平面PAD，平面PAD， 平面PAD，又平面PAB， 平面平面PAD； 解：如图所示，取AD的中点O，BC的中点E，连结PO， ，，四边形ABCD为平行四边形， 所以且， 由的结论可得知，平面PAD，所以平面 又因为PO、平面PAD，所以， 再由，可得，所以PO、OE、AD两两垂直， 以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 在中，由，，可得为等腰直角三角形， 设，则 则：，，， ，， 设平面PBC的一个法向量为， 由，得， 取，得 ，，，平面PAB，平面PAB， 平面PAB，则为平面PAB的一个法向量， 由图可知，二面角为钝二面角， 二面角的余弦值为  【解析】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，属于中档题． 由已知可得，，再由，得，利用线面垂直的判定可得平面PAD，进一步得到平面平面PAD； 取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明平面PAB，得为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值． 19.【答案】证明：，， 由正弦定理可知，得， ， 又， 解：，可知，则， 在中，， 在中，， ，， 即，整理得， 又，则，  即，可得或， 当时，， 在中，由余弦定理可得， 当时，，此时，不合实际，则舍去， 故：   【解析】本题考查了正弦定理和余弦定理，属中档题． 由题可得，再借助正弦定里即可得证； 根据，即，分别在和中，利用余弦定理可建立等式，又由，则，可得或，进而分类讨论求解 20.【答案】解：记随机抽取甲、乙、丙三家企业的一件产品，产品合格分别为事件，，， 则三个事件相互独立，恰有两件产品合格为事件D， 则， 故从三家企业的产品中各取一件抽检，则这三件产品中恰有两件合格的概率是 记事件B为购买的电器合格， 记随机买一件产品，买到的产品为甲、乙、丙三个品牌分别为事件，，， ，，，，，， 故在市场中随机购买一台电器，买到的是合格品的概率为   【解析】本题考查互斥事件的概率加法公式、相互独立事件的概率乘法公式以及全概率公式，属于一般题. 由互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式可得； 根据各企业产品的市场占有率和合格率，由全概率公式计算可得. 21.【答案】解：由题意可知，，， 解得，， 所以椭圆方程为 证明：设点，， 因为，所以， 所以，① 当k存在的情况下，设， 联立得， 由，得， 由根与系数的关系得，， 所以， ， 代入①式化简可得， 即， 所以或， 所以直线方程为或， 所以直线过定点或， 又因为和A点重合，故舍去， 所以直线过定点， 所以AE为定值，又因为为直角三角形，AE为斜边， 所以AE中点Q满足为定值，此时 22.【答案】解：当时，，， 记， 因为，所以在R上单调递增， 又， 得当时，即在上单调递增； 当时，即在上单调递减. 所以在上单调递减，在上单调递增. ①当时，； ②当时，即， 令， 记， 令，因为，所以， 所以在上单调递增，即 所以在上单调递增，即， 故当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以，所以， 综上可知，实数a的取值范围是   【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、导数与不等式等知识，考查运算求解、逻辑推理能力及分类讨论的数学思想，属于较难题. 当时，，两次求导，利用导数即可确定函数的单调区间； 分类讨论，当时，不等式恒成立，当时，利用参数分离和构造函数，求得导数，判断单调性和最值，进而求得a的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$