北京市西城区2024-2025学年高一下学期期末数学试卷

北京市西城区2024—2025学年度第二学期期末试卷 高一数学 本试卷共5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案写在答题卡上，答题卷上作答无效． 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 在复平面内，复数z对应点的坐标为，则z的共轭复数对应的点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 3. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 4. 将曲线向右平移个单位长度后，得到的曲线关于原点中心对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 在△ABC中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在长方体中，，．给出下列四个结论： ①；②；③平面；④平面． 其中正确的结论是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 7. 函数（，）的部分图象如图所示，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 已知菱形的边长为2，．将菱形沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. 1 D. 9. 函数，是（ ） A. 奇函数，且存在最大值 B. 奇函数，且存在最小值 C. 偶函数，且存在最大值 D. 偶函数，且存在最小值 10. 设，为平面向量，定义运算．已知向量，，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 3 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 若复数z满足，则__________． 12. 在平面直角坐标系中，已知角，的终边关于y轴对称，且，则，的一组取值可以为__________；__________． 13. 已知圆柱形水杯的底面半径为3cm，侧面积为，则水杯的容积约为__________ml．（精确到1ml，水杯壁厚度忽略不计） 14. 如图，在矩形中，，，点在边上． ①若，则__________； ②的取值范围是__________． 15. 如图，在正方体中，点P在正方形及其内部运动给出下列四个结论： ①存在无穷多个点P，使得； ②对任意点P，PC与BD均为异面直线； ③到直线和BD距离相等的点P存在且唯一； ④对任意点P，平面BCP与平面不可能垂直． 其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 17. 如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 18. 在中，已知． （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分． 19. 已知函数的一个零点为． （1）求c； （2）当时，若的值域为，求t的取值范围． 20. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，． （1）求证：； （2）求证：直线不可能与平面平行； （3）空间中是否存在球O，使得四棱锥的顶点均在此球面上？若存在，确定球心O的位置（结论无需证明）；若不存在，说明理由． 21. 已知函数的定义域为．若存在周期均为的两个不同的偶函数，，使得，则称具有性质P． （1）判断，是否具有性质P，并说明理由； （2）已知具有性质P，且不恒为0．设．证明：若M为有限集，则M中的元素个数为偶数． 北京市西城区2024—2025学年度第二学期期末试卷 高一数学 本试卷共5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案写在答题卡上，答题卷上作答无效． 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】B 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 【11题答案】 【答案】5 【12题答案】 【答案】 ①. ②. 【13题答案】 【答案】565 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 【15题答案】 【答案】 三、解答题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 【16题答案】 【答案】（1）7 （2） 【17题答案】 【答案】17. 证明如下： ∵在直三棱柱中，底面， ∴， ∵，， ∴平面. 18. 证明如下： 取的中点， ∵为的中点， ∴，且， ∵为的中点，，且， ∴，且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. 【18题答案】 【答案】（1） （2）只能选①、③，此时； 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】（1）证明：由平面，平面，则， 又，，平面，则平面， 又平面，所以，又因为，， 平面，所以平面，又平面， 所以. （2）证明：过点作交于点，连接，如图， 由平面，又，则平面， 又平面，所以，即， 又平面，又平面，所以，即，且 所以四边形为直角梯形，则的延长线与的延长线必交于一点， 又平面，从而得证直线不可能与平面平行. （3）存在，球心O的位置位于的中点. 【21题答案】 【答案】（1） 具有性质，理由如下： 令，，显然和是两个周期均为的不同的偶函数， 且，所以具有性质. 不具有性质，理由如下： 假设具有性质，由性质的定义可得的周期为， 但，， 所以，矛盾. 所以不具有性质. （2） 若，则， 所以，又的周期为，即， ， 所以也是的周期，且， 所以， 假设，则对任意，， 则 ， 所以，即， 故对任意，成立，矛盾. 所以， 故若为有限集，则中的元素个数为偶数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $