一 2 一定是直角三角形吗-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（北师大版2024）

18 (x+10)m,由勾股定理,得AC2=AB2+BC2,即(x+ 10)2=502+x2,解得x=120.所以BC=120m.所以河宽 BC为120m. 预学训练 1. A 2. C 3. B 4. A 5. 8 6. 8π 7. 7 8. 20 9. (1) 因为在△ABC 中,∠ACB=90°,所以 AC2+ BC2=AB2.因为AC=5,BC=12,所以AB2=52+122= 169.所以AB=13.(2) 因为∠ACB=90°,CO⊥AB,所 以S△ABC= 1 2AC ·BC=12AB ·CO,即AC·BC= AB·CO.所以5×12=13CO.所以CO=6013. 因为在 Rt△AOC 中,AO2+CO2=AC2,所以 AO2=AC2- CO2=52- 6013 2 =625169. 所以AO=2513. 10. 因为在Rt△ABC 中,∠A=90°,所以AB2+AC2= BC2.因为AB=8,AC=15,所以易得BC=17.如图,过点 D 作DH⊥BC 于点H,则∠BHD=∠A=90°.根据题 意,易得BD 平分∠ABC,所以∠ABD=∠HBD.又因 为BD=BD,所以△ABD≌△HBD.所以HB=AB=8, AD=HD.所以CH=BC-HB=9.因为在Rt△DHC 中,CH2+ DH2=CD2,所以92+AD2=(15-AD)2. 所以AD=245. 第10题 11. B 12. 9 13. 这辆卡车能通过厂门.理由:如图,MN 为卡车的宽 度,分别过点M,N 作AB 的垂线交半圆于点C,D,连接 CD,过点O 作OE⊥CD,垂足为E,连接OC,则易得 CD=MN=1.6m,AB=2m,所以易得CE=DE= 0.8m,OC=OA=12AB=1m. 在Rt△OCE 中,OE2= OC2-CE2=12-0.82=0.36(m2),所以OE=0.6m. 所以CM=2.3+0.6=2.9(m).因为2.9m>2.5m,所 以这辆卡车能通过厂门. 第13题 2 一定是直角三角形吗 知识梳理 1. a2+b2=c2 2. 正整 典例演练 典例1 B 典例2 D 典例3 在Rt△ABD 中,由勾股定理,得BD2=AD2- AB2=92-62=45(dm2).在△BCD 中,BC2+CD2= 32+62=45(dm2).所 以 BC2+CD2=BD2.所 以 ∠BCD=90°,即BC⊥CD.所以该车符合安全标准. 预学训练 1. B 2. B 3. D 4. A 5. 12 6. 合格 7. 100或 28 8. 北偏东50° 9. 24 解析:在Rt△ADC 中,CD=3,AD=4,由勾股定 理,得 AC=5.因为 AC=5,AB=13,BC=12,所以 AC2+BC2=AB2.所以△ABC 是直角三角形,∠ACB= 90°.所以涂色部分的面积=S△ACB-S△ADC= 1 2AC · BC-12AD ·CD=12×5×12- 1 2×4×3=24. 10. 因为AD 为△ABC 的中线,BC=10,所以BD= CD=5.因为AC=13,AD=12,所以AD2+CD2=122+ 52=169,AC2=132=169.所以AD2+CD2=AC2.所 以∠ADC=90°.所以∠ADB=180°-∠ADC=90°.所 以在 Rt△ADB 中,AD2+BD2=AB2,即122+52= AB2.所以AB2=169.所以AB=13.所以△ABD 的周长 为5+12+13=30. 11. (1) 连接AC.因为∠B=90°,所以AC2=AB2+ BC2=400+225=625.因为AD2+CD2=242+72=625, 所以AC2=AD2+CD2.所以△ADC 是直角三角形,且 ∠D=90°.所以CD⊥AD. (2) 234 解析:S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC= 1 2AB · BC+12AD ·CD=12×20×15+ 1 2×24×7=234. 12. (1) △ABE 是直角三角形.理由:因为BC=13,BE= 12,CE=5,所以BE2+CE2=122+52=169=BC2.所 以△BCE 是直角三角形,且∠BEC=90°.所以∠AEB= 90°.所以△ABE 是直角三角形.(2) 设AB=AC=x,则 AE=x-5.由(1),得△ABE 是直角三角形,所以由勾股 定理,得BE2+AE2=AB2,即122+(x-5)2=x2,解得 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 19 x=16.9.所以线段AB 的长为16.9. 13. C 解析:如图,过点B 作BG∥CD,连接EG.由BG∥ CD,得∠ABG=∠CFB=α.根据勾股定理,得BG2=17, BE2=17,EG2=34,则BG2+BE2=EG2,所以∠GBE= 90°.所以∠ABE=∠GBE+∠ABG=90°+α. 第13题 14. 37 15. 设当BC=x时,△ACD 是一个以CD 为斜边的直角 三角形.因为 BC+CD=34,所以 CD=34-x.在 Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2=36+x2,在Rt△ACD 中,AC2=CD2-AD2=(34-x)2-576,所以36+x2= (34-x)2-576,解得x=8.所以当BC 的长为8时, △ACD 是一个以CD 为斜边的直角三角形. 3 勾股定理的应用 知识梳理 1. 平面图形 两点之间,线段最短 2. 三 直角 典例演练 典例1 如图,过点C 作CE⊥AB 于点E.由题意,可知 BE=CD=1.7m,AE=AB-BE=4.7-1.7=3(m), AC=5m.由勾股定理,得CE2=AC2-AE2,即CE2= 52-32=16(m2),所以CE=4m.因为BD=CE=4m, 所以该学生此时与超市门口的水平距离BD 的长为4m. 典例1图 典例2 圆柱侧面的展开图如图所示,连接AB.因为圆柱 底面周长为50cm,高为120cm,所以AB2=502+1202= 16900(cm2).所以AB=130cm,即每一根这样的竹条的 长度最少是130cm. 典例2图 预学训练 1. C 2. A 3. D 4. A 5. ②④ 6. 2.7 7. 能 8. 作法不唯一,如图,① 在射线 PM 上量取PA= 12 mm,确定点A;在射线PN 上量取PB=16 mm,确定 点B.② 连接AB,得到△PAB.③ 用刻度尺测量AB 的 长,若AB 的长恰好为20 mm,则说明∠P 是直角,否则 ∠P 不是直角.理由:PA=12 mm,PB=16 mm,PA2+ PB2=122+162=400(mm2).若AB=20 mm,则PA2+ PB2=AB2.根据勾股定理的逆定理,得△PAB 是直角三 角形,且∠P 是直角. 第8题 9. 圆柱形油罐的侧面展开图如图所示,连接AC,过点A 作AD⊥CD 于点D.由题意,得AD=12×10=5 (m), CD=15-3=12(m),在Rt△ACD 中,由勾股定理,得 AC2=CD2+AD2=122+52=169(m2),所以 AC= 13 m.所以它爬行的最短路线长13m. 第9题 10. (1) 是.理由:在△CHB 中,因为CH2+BH2= 4.82+3.62=36(km2),BC2=36km2,所以 CH2+ BH2=BC2.所以CH⊥AB.所以CH 是从村庄C到河边 的最近路线.(2) 设 AC=xkm,则 AB=xkm.在 Rt△ACH 中,由题意,得 AH=(x-3.6)km,CH = 4.8km.由勾股定理,得AC2=AH2+CH2,即x2=(x- 3.6)2+4.82,解得x=5.所以原来的路线AC 的长为 5km. 11. 3 2 解析:在 Rt△C'BM 中,因为BM=3,BC'=4, 所以易得C'M=5.由折叠可得 C'M=CM=5,∠D'C'M= ∠D'=∠D=∠C=90°.因为∠A=∠B=90°,所以 ∠BC'M+∠AC'E=∠AEC'+∠AC'E=90°.所 以 ∠BC'M=∠AEC'.又因为AC'=BM=3,所以△BC'M≌ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 56 2　一定是直角三角形吗 1. 直角三角形的判定:如果三角形的三边长a,b,c满足 ,那么这个三角形是直角三角形. 2. 勾股数:满足a2+b2=c2的三个 数,称为勾股数. 典例1已知a,b,c是△ABC 的三边,下列条件 中,能够判断△ABC 为直角三角形的是 ( ) A. ∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4 B. ∠A=2∠B=2∠C C. a∶b∶c=2∶2∶3 D. a=32,b=42,c=52 直角三角形的判断方法:可从三角形角度 上进行判断,也可从三角形三边关系上进行判断. 解答: 解有所悟:已知三角形的三边长,判断是不是直角 三角形,关键是看它的最长边的平方是否等于其他 两边的平方和.若相等,则是直角三角形,最长边所 对的角是直角;若不相等,则不是直角三角形. 典例2 下列各组数为勾股数的是 ( ) A. 7,12,13 B. 3,3,4 C. 0.3,0.4,0.5 D. 18,24,30 根据勾股数的特征逐项进行判断. 解答: 解有所悟:勾股数的判别方法:先看每个数是不是 正整数,若有不是的,则不是勾股数;若都是正整 数,再看两个较小数的平方和是不是等于最大数的 平方,若是,则是勾股数;反之,则不是. 典例3 如图①所示为某品牌婴儿车,图②是其 简化结构示意图.根据安全标准需满足BC⊥ CD,现测得AB=CD=6dm,BC=3dm,AD= 9dm,其中AB 与BD 之间由一个固定为90°的 零件连接(即∠ABD=90°),通过计算说明该车 是否符合安全标准. 典例3图 在Rt△ABD 中,由勾股定理求出BD2, 在△BCD 中,通过计算,根据三角形的三边关 系判定是不是直角三角形即可. 解答: 解有所悟:本题巧妙地利用勾股定理和直角三角形 的判别条件,通过计算求得两边的平方和等于第三 边的平方,从而说明这个三角形是直角三角形,即 可说明BC⊥CD. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级 拍 照 批 改 57 [基础过关] 1. 下列各组数中,是勾股数的为 ( ) A. 0.6,0.8,1 B. 3,4,5 C. 1,3,10 D. 5,11,12 2. 在△ABC 中,AB=8,BC=15,AC=17,则 下列结论正确的是 ( ) A. △ABC 是直角三角形,且∠A=90° B. △ABC 是直角三角形,且∠B=90° C. △ABC 是直角三角形,且∠C=90° D. △ABC 不是直角三角形 3. 如图,在正方形组成的网格中标出了AB, CD,EF,GH 四条线段,其中能构成直角三 角形三边的三条线段是 ( ) 第3题 A. CD,EF,GH B. AB,CD,EF C. AB,CD,GH D. AB,EF,GH 答案讲解 4. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作 《数书九章》里有一道题目,其大意 如下:有一块三角形沙田,三条边的 长分别为5里、12里、13里,问这块沙田的 面积有多大? 其中,1里=500米,则该沙田 的面积为 ( ) A. 7.5平方千米 B. 15平方千米 C. 75平方千米 D. 750平方千米 5. 若一个三角形三边的长分别为15cm、 20cm、25cm,则这个三角形最长边上的高为 cm. 6. 木工做一个长方形桌面,量得桌面的长为 60cm,宽为32cm,对角线的长为68cm,则 这个长方形桌面 (填“合格”或 “不合格”). 7. △ABC的三边分别是a,b,c,且满足|a-8|+ (b-6)2=0,则当c2= 时,△ABC 是直角三角形. 8. 如图,某港口P 位于东西方向的海岸线上, 甲、乙轮船同时离开港口,各自沿一固定方 向航行,航行速度分别为12海里/时和16海 里/时,1时后两轮船分别位于点A,B 处,且 相距20海里.若甲轮船沿北偏西40°方向航 行,则乙轮船沿 方向航行. 第8题 第9题 答案讲解 9. 如图,CD=3,AD=4,BC=12,AB= 13,∠ADC=90°,则涂色部分的面 积为 . 10. 如图,AD 为△ABC 的中线,且AC=13, BC=10,AD=12,求△ABD 的周长. 第10题 11. 如图,在四边形ABCD 中,AB=20,BC= 15,CD=7,AD=24,∠B=90°. (1) 求证:CD⊥AD; (2) 四边形ABCD 的面积为 . 第11题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 58 12. 如图,在△ABC 中,AB=AC,E 是AC 上 的一点,CE=5,BC=13,BE=12. (1) 判断△ABE 的形状,并说明理由; (2) 求线段AB 的长. 第12题 [综合提升] 13. (济宁中考)如图,在正方形网格中,每个小 正方形的边长都是1个单位长度,点A,B, C,D,E 均在小正方形的顶点上,线段AB, CD 交于点F.若∠CFB=α,则∠ABE 的 度数为 ( ) 第13题 A. 180°-α B. 180°-2α C. 90°+α D. 90°+2α 14. 勾股定理最早出现在我国古代数学著作 《周髀算经》中:“勾广三,股修四,经隅五.” 观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24, 25;…,这类勾股数的特点是勾为奇数,弦 与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数,弦 与股相差为2的一类勾股数,如6,8,10;8, 15,17;…,若此类勾股数的勾为12,则其弦 是 . 答案讲解 15. 如图,∠ABC=90°,AB=6,AD= 24,BC+CD=34,C 是直线l上 一动点,当 BC 的长为多少时, △ACD 是一个以CD 为斜边的直角三 角形? 第15题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级