专题5 全等三角形的基本模型-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（北师大版2024）

40 专题五　全等三角形的基本模型 全等三角形的性质是证明线段相等、角相等的重要依据,因此证明等线段或等角,常用的思 路是证明它们所在的两个三角形全等,再利用全等三角形的性质解决问题.掌握全等三角形的基 本模型是迅速解决等线段等角问题的重要手段. 类型一 平移模型 1. 如图,点A,D,B,E 在同一条直线上,AD= BE,AC∥DF,BC∥EF.试说明:BC=EF. 第1题 2. (盐城中考)如图,点A,B,C,D 在同一条直 线上,AE∥BF,AE=BF.若 ,则 AB=CD. 请从① CE∥DF;② CE=DF;③ ∠E= ∠F 这三个条件中选择一个,将其序号填在 横线上,使结论成立,并说明理由. 第2题 类型二 对称模型 3. 如图,AC=AD,BC=BD,E 是AB 上任意 一点.试说明:CE=DE. 第3题 4. 如图①所示为小军制作的燕子风筝,燕子风 筝的骨架图如图②所示,AB=AE,AC= AD,∠BAD=∠EAC,∠C=50°,求∠D 的 度数. 第4题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级 拍 照 批 改 41 5. 如图,在四边形ABCD 中,AB∥DC,E 是 CD 的中点,AE=BE.试说明:∠D=∠C. 第5题 6. 如图,AB=DC,BD=CA,AC,BD 交于点 O,则∠A=∠D 吗? 请说明理由. 第6题 类型三 旋转模型 7. 如图,B 为AC 上一点,AD∥CE,∠DBC+ ∠BEC=180°,BD=EB.试说明:AD=CB. 第7题 8. 如图,在Rt△ABC 中,∠B=90°,CD∥AB, DE⊥AC 于点E,且CE=AB.试说明: △CED≌△ABC. 第8题 9. 如图,AB=AD,∠BAD=∠CAE,∠B= ∠D,点C 在DE 上.试说明:BC=DE. 第9题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 42 答案讲解 10. 如 图,在△ABC 和△ADE 中, ∠BAC=∠DAE=90°,AB= AC,AD=AE,C,D,E 三点在同 一条直线上,连接BD.图中的CE,BD 之 间有怎样的数量关系和位置关系? 试说明 理由. 第10题 11. 如图,在△ABC 中,D 为边BC 上一点, BE⊥AD,交AD 的延长线于点E,CF⊥ AD 于点F,BE=CF. (1) 试说明:D 为BC 的中点; (2) 若BC=2AC,试说明:AF=DE. 第11题 类型四 一线三等角模型（特殊的旋转模型） 答案讲解 12. ★(1) 如图①,∠BAD=90°,AB= AD,BC⊥AC于点C,DE⊥AE 于 点E.由∠1+∠2=∠2+∠D= 90°,得∠1=∠D.又因为∠ACB=∠DEA= 90°,可以通过推理得到△ABC≌△DAE, 进而得到AC= ,BC= . 我们把这个数学模型称为“一线三等角” 模型. (2) 如图②,在△ABC中,AB=CA,点D,A, E 都在直线l上,并且∠BDA=∠AEC= ∠BAC=α.若DE=a,BD=b,求CE 的长 (用含a,b的代数式表示). 第12题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级 13 12. 如图,过点C 作CN∥AB,过点E 作EM∥AB.因 为AB∥DF,所以AB∥CN∥EM∥DF.所以∠BAC= ∠NCA,∠NCD=∠FDC,∠FDE=∠DEM,∠MEA= ∠BAE.所以∠DEA=∠DEM+∠MEA=∠FDE+ ∠BAE=46°,∠ACD=∠NCA+∠NCD=∠BAC+ ∠FDC=56°.所 以 ∠FDE + ∠BAE + ∠BAC + ∠FDC=∠DEA+∠ACD=102°.因为DE 和AC 分别 平分 ∠FDC 和 ∠BAE,所 以 ∠FDC =2∠FDE = 2∠EDC,∠BAE=2∠BAC=2∠EAC.所以∠FDE+ ∠BAE+∠BAC+∠FDC=3(∠FDE+∠BAC).所 以∠BAC+∠FDE=34°.又因为∠BAC+∠FDC= ∠BAC+2∠FDE =56°,所 以 ∠FDE =22°.所 以 ∠FDC=2∠FDE=44°. 第12题 13. (1) 如图①,过点G 作GR∥AB.因为AB∥CD,所 以AB∥CD∥GR.所以∠1=∠EGR,∠2=∠FGR.所 以∠1+∠2=∠EGR+∠FGR=∠EGF.因为∠1=30°, ∠EGF=75°,所以∠2=45°.(2) 因为FN 平分∠CFG, EM 平 分 ∠AEN,所 以 可 设 ∠CFN = ∠GFN =β, ∠AEM=∠NEM=α.如图②,过点G 作GP∥CD,过点 N 作NQ∥AB.又因为AB∥CD,所以 NQ∥AB∥CD∥ GP.所以∠QNF=∠CFN=β,∠QNE=∠AEN=2α, ∠PGE=∠AEM=α,∠PGF=∠DFG=180°-2β.所 以∠FNE = ∠QNF - ∠QNE =β-2α,∠FGE = ∠PGE+∠PGF=α+180°-2β.又 因 为∠FNE+ 1 2∠FGE=54° ,所以β-2α+ 1 2 (α+180°-2β)=54°,解 得α=24°.所 以∠AEN =2α=48°.(3) ∠EGF= 2∠EHF.理由:因为FK 平分∠CFG,EL 平分∠AEG, 所以可设∠CFK=∠GFK=n,∠AEL=∠LEG=m,如 图③,过点H 作HI∥CD,过点G 作GJ∥AB.因为AB∥ CD,所以GJ∥AB∥CD∥HI.所以∠JGE=∠AEG= 2m,∠JGF = ∠CFG =2n,∠IHK = ∠CFK =n, ∠IHL=∠AEL=m,所以∠EGF=∠JGE-∠JGF= 2m-2n=2(m-n),∠EHF=∠IHL-∠IHK=m- n.所以∠EGF=2∠EHF. 第13题 专题五　全等三角形的基本模型 1. 因为AD=BE,所以AD+BD=BE+BD,即AB= DE.因为AC∥DF,所以∠A=∠EDF.因为BC∥EF, 所以 ∠ABC= ∠E.在 △ABC 和 △DEF 中,∠A = ∠EDF,AB =DE,∠ABC = ∠E,所 以 △ABC ≌ △DEF.所以BC=EF. 2. 选择条件不唯一,如①;理由:因为 AE∥BF,所以 ∠A=∠FBD.因为CE∥DF,所以∠ACE=∠D.在 △AEC 和 △BFD 中, ∠ACE=∠D, ∠A=∠FBD, AE=BF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以 △AEC≌ △BFD.所以AC=BD.所以AC-BC=BD-BC,即 AB=CD. 3. 在△ACB 和△ADB 中,AC=AD,BC=BD,AB= AB,所以△ACB≌△ADB.所以∠CAE=∠DAE.在 △ACE 和△ADE 中,AC=AD,∠CAE=∠DAE,AE= AE,所以△ACE≌△ADE.所以CE=DE. 4. 因 为 ∠BAD = ∠EAC,所 以 ∠BAD + ∠CAD = ∠EAC+ ∠CAD,即 ∠BAC= ∠EAD.在 △BAC 和 △EAD 中, AB=AE, ∠BAC=∠EAD, AC=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△BAC≌△EAD. 所以∠D=∠C=50°. 5. 因为AE=BE,所以∠EAB=∠EBA.因为AB∥DC, 所以∠DEA=∠EAB,∠CEB=∠EBA.所以∠DEA= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 14 ∠CEB.因为E 是CD 的中点,所以DE=CE.在△ADE 和△BCE 中,因为 DE=CE,∠DEA=∠CEB,AE= BE,所以△ADE≌△BCE.所以∠D=∠C. 6. ∠A=∠D.理由:连接BC.在△BAC 和△CDB 中, 因为 AB=DC,CA=BD,BC=CB,所以△BAC≌ △CDB.所以∠A=∠D. 7. 因 为 AD∥CE,所 以 ∠A = ∠C.因 为 ∠DBC+ ∠DBA=180°,∠DBC+∠BEC=180°,所以∠DBA= ∠BEC.在 △ADB 和 △CBE 中,因 为 ∠A = ∠C, ∠DBA=∠BEC,BD=EB,所以△ADB≌△CBE.所 以AD=CB. 8. 因为DE⊥AC,∠B=90°,所以∠DEC=∠B=90°. 因为CD∥AB,所以∠A=∠DCE.在△CED 和△ABC 中, ∠DCE=∠A, CE=AB, ∠DEC=∠B, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△CED≌△ABC. 9. 因 为 ∠BAD = ∠CAE,所 以 ∠BAD + ∠DAC= ∠CAE+ ∠DAC,即 ∠BAC= ∠DAE.在 △BAC 和 △DAE 中,∠B=∠D,AB=AD,∠BAC=∠DAE, 所以△BAC≌△DAE.所以BC=DE. 10. CE=BD 且CE⊥BD.理由:因为∠BAC=∠DAE= 90°,所以∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD= ∠CAE.在△BAD和△CAE中,BA=CA,∠BAD=∠CAE, AD=AE,所以△BAD≌△CAE.所以BD=CE,∠ABD= ∠ACE.因为易得∠ABC+∠ACB=90°,∠ABC=∠ABD+ ∠DBC,所以∠ACE+∠DBC+∠ACB=90°.所以∠BDC= 90°.所以BD⊥CE. 11. (1) 因 为 BE⊥AD,CF⊥AD,所 以 ∠CFD = ∠BED=90°.在△CFD 和△BED 中,因为∠CFD= ∠BED=90°,∠CDF=∠BDE,CF=BE,所以△CFD≌ △BED.所以CD=BD,即D 为BC 的中点.(2) 因为 BC=2AC,CD=BD,所以CA=CD.因为CF⊥AD, 所以易得AF=DF.因为△CFD≌△BED,所以DF= DE.所以AF=DE. 12. (1) DE;AE.(2) 因为∠BDA=∠BAC=α,所以 ∠ABD+∠BAD=180°-α=∠BAD+∠CAE.所以 ∠ABD=∠CAE.在△ABD 和△CAE 中,因为∠BDA= ∠AEC,∠ABD=∠CAE,AB=CA,所 以△ABD≌ △CAE.所以 AD=CE,BD=AE.所以 DE=AD+ AE=CE+BD.因为DE=a,BD=b,所以CE=DE- BD=a-b. 全等三角形的一线三等角模型 一线三等角模型是全等三角形的重要模型,其常 见图形如图. 一线三等角模型的特点是三个等角的顶点在同一 条直线上,此模型中已知两个三角形有一角相等,易证 另外两个角相等,若有一边相等,则这两个三角形 全等. 专题六　不同知识领域的分类讨论题 1. A 2. A 3. C 4. 6或12 5. D 6. D 7. 2或 0或-2 8. 根据题意,得a=±1,b=-2,c=-4.当a=-1, b=-2,c=-4时,a-b+c=-3;当a=1,b=-2, c=-4时,a-b+c=-1.综上所述,a-b+c的值为 -3或-1. 9. 因为|a|=3,所以a=±3.因为|b|=5,所以b= ±5.因为|a-b|=b-a,所以a-b≤0,即a≤b.所以 a=-3,b=5或a=3,b=5.当a=-3,b=5时,a+ b=-3+5=2;当a=3,b=5时,a+b=3+5=8.综上 所述,a+b的值为2或8. 10. 因为x,y均为整数,|x-y|+|x-3|=1,所以x- y=±1,x-3=0或x-3=±1,x-y=0.当x-y=1, x-3=0时,x=3,y=2,则x+y=5;当x-y=-1,x- 3=0时,x=3,y=4,则x+y=7;当x-y=0,x-3= 1时,x=4,y=4,则x+y=8;当x-y=0,x-3= -1时,x=2,y=2,则x+y=4.综上所述,x+y 的值 为5或7或8或4. 11. (1) 14.(2) 因为|x-3|=6,所以x-3=6或x- 3=-6,解得x=9或x=-3.(3) 根据绝对值的几何意 义,|x-4|+|x+2|=6可理解为在数轴上x 到4的距 离与x到-2的距离之和为6,因为在数轴上4到-2的 距离恰好为6,所以符合条件的整数x应在-2和4之间 (包括-2和4),即-2≤x≤4.因此,符合题意的整数x 有-2,-1,0,1,2,3,4. 12. B 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈