专题3 乘法公式的应用技巧-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（北师大版2024）

10 (x2-x-1)]=(x-1)(x2+3x+1-x2+x+1)=(x- 1)(4x+2),当x=12 时,原式= 12-1 × 4×12+ 2 =-12×4=-2.(5) 原式=4(x-y)2-(4x2-3xy)= 4x2-8xy+4y2-4x2+3xy=4y2-5xy,当x=-2, y=- 1 2 时,原式=4× -12 2 -5×(-2)× -12 = 4×14-5×2× 1 2=1-5=-4. (6) 原式=4x2-4x+ 1-(9x2-1)+5x2+5x=4x2-4x+1-9x2+1+5x2+ 5x=x+2.选取的数不唯一,如当x=1时,原式=1+ 2=3. 2. (1) 因为A=2x2+3xy+2y,B=x2-xy+x,所 以A-2B=2x2+3xy+2y-2(x2-xy+x)=2x2+ 3xy+2y-2x2+2xy-2x=5xy-2x+2y.(2) 因为 |y|=2,所以y=±2,即x=3,y=2或x=3,y=-2.当 x=3,y=2时,5xy-2x+2y=30-6+4=28;当x=3, y=-2时,5xy-2x+2y=-30-6-4=-40.综上所 述,A-2B 的值为28或-40. 3. 因为|a-3|+(b+1)2=0,所以a-3=0,b+1=0,解 得a=3,b=-1.原式=3a2+2ab-9ab-6b2-10ab+ 6b2=3a2-17ab.当a=3,b=-1时,原式=3×32-17× 3×(-1)=78. 4. 原式=6m2-2m3-2m2+2m3+1=4m2+1.因为单 项式-2xm+4y2 和 x3y 的积与7x6y3 是同类项,且 -2xm+4y2·x3y=-2xm+7y3,所以m+7=6,解得m= -1.所以原式=4×(-1)2+1=4+1=5. 5. (1) M-3N=3a2+4ab-1-3(a2-2ab-1)=3a2+ 4ab-1-3a2+6ab+3=10ab+2.(2) 因为(a-1)2+ |b-2|=0,所以a-1=0,b-2=0,解得a=1,b=2. 所以M-3N=10×1×2+2=22. 6. (1) 原式=2kx2+4x2+3x+1-6x2+4y2-3x= (2k-2)x2+4y2+1.因为化简后不含x2 项,所以2k- 2=0,解得k=1. (2) 原式=2k3-(3k3-5k+5+k)= 2k3-3k3+5k-5-k=-k3+4k-5.当k=1时,原 式=-1+4-5=-2. 7. 原式=a2-4a+4+b2-2ab+4a-4=a2+b2- 2ab.因为(a-b)2=2,即a2+b2-2ab=2,所以原式=2. 8. 因为 mn=2,m-3n=-1,所以3mn(m+n)- 12mn2=3mn(m+n-4n)=3mn(m-3n)=3×2× (-1)=-6. 9. 原式=x2+5x-3x-15+x2-x-3x+3=2x2- 2x-12.因为x2-x-2=0,所以x2-x=2.所以原式= 2(x2-x)-12=2×2-12=-8. 10. 原式=(x2-4y2-4x2+4xy-y2-x2+5y2)÷ (-2x)=(-4x2+4xy)÷(-2x)=2x-2y.因为23x÷ 23y=8,即23x-3y=23,所以3x-3y=3.所以x-y=1.当 x-y=1时,原式=2(x-y)=2×1=2. 11. (1) 原式=ax2-3x+by-1-6+2y+3x-2x2= (a-2)x2+(b+2)y-7.因为a=3,b=2,所以这个多项 式可化简为x2+4y-7.当x=y=1时,多项式的值 为12+4×1-7=-2. (2) 由(1),得多项式可化简为 (a-2)x2+(b+2)y-7.由题意,得a-2=0,b+2=0, 解得a=2,b=-2.所以存在实数a,b,即当a=2,b= -2时,不管x,y 取何值,该多项式的值始终是常数-7. 12. P=(x+2)2+x(1-x)-9=x2+4x+4+x-x2- 9=5x-5=5(x-1),因为x为整数,所以多项式P 能被 5整除. 13. (1) 因为7a3+3a2b+3a3+6a3b-3a2b-10a3- 6a3b-1=(7+3-10)a3+(3-3)a2b+(6-6)a3b- 1=-1,所以该多项式的值为常数,与a 和b的取值无 关.所以小阳的说法正确.(2) 原式=2x2+ax-5y+b- 2bx2+3x+5y+6=(2-2b)x2+(a+3)x+(b+6). 因为无论x,y 取何值,多项式2x2+ax-5y+b- 2bx2-32x- 5 2y-3 的值都不变,所以2-2b=0,a+ 3=0,解得a=-3,b=1. 有关整式化简求值说理型问题的常见结论 对多项式进行化简后,若代入求值时,代入的某个 字母的值是多余的,则说明化简后不含该字母;若某个 字母不论取任何值,代入后的结果都不变,则说明化简 后不含该字母. 专题三　乘法公式的应用技巧 1. B 2. 原式=4(x2-2x+1)-(4x2-9)=4x2-8x+4- 4x2+9=-8x+13.当x=-1时,原式=-8×(-1)+ 13=21. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 3. B 解析:a2+b2+c2-ab-bc-ac=12 (2a2+2b2+ 2c2-2ab-2bc-2ac)=12 [(a2-2ab+b2)+(a2-2ac+ c2)+(b2-2bc+c2)]=12 [(a-b)2+(a-c)2+(b- c)2]=12× (1+1+4)=3. 4. (1) ①③.(2) ① 因为ab=1,所以a2+b2=(a+b)2- 2=22-2=2.② a4+b4=(a2+b2)2-2a2b2=22-2· (ab)2=22-2×12=2.③ a2n+b2n=2. 5. A 解析:因为(x-2021)2+(x-2023)2=50,所 以[(x-2022)+1]2+[(x-2022)-1]2=50.所以(x- 2022)2+2(x-2022)+1+(x-2022)2-2(x- 2022)+1=50.所以2(x-2022)2=48.所以(x- 2022)2=24. 6. 因为(x+y+1)(x+y-1)=8,所以(x+y)2-12= 8.所以(x+y)2=9.所以x2+y2+2xy=9.因为xy=2, 所以x2+y2=9-2xy=9-2×2=5. 7. C 8. A 9. 原式=(x+y)2-a(x+y)+52.因为原式为完全平方 式,所以-a(x+y)=±2×5(x+y).所以-a=±10. 所以a=±10. 10. (1) 20222-2020×2024=20222-(2022-2)× (2022+2)=20222-(20222-4)=20222-20222+4= 4.(2) 1882-376×88+882=1882-2×188×88+882= (188-88)2=1002=10000. 11. (1) 原式=(10-1)×(10+1)×(100+1)=(102- 1)×(100+1)=(100-1)×(100+1)=1002-1= 10000-1=9999.(2) 原式= 1-12 × 1+12 × 1+122 × 1+124 × 1+128 + 1216 = 1-122 × 1+122 × 1+124 × 1+128 + 1216 = 1-124 × 1+124 × 1+128 +1216= 1-128 × 1+128 +1216= 1-1216+ 1 216=1. 12. (1) 二.(2) 2962=(300-4)2=3002-2×300×4+ 42=90 000-2 400+16=87 616. 13. a2-b2 (a+b)(a-b) a2-b2=(a+b)(a-b) 14. (1) 题图②中大正方形的边长为a+b,面积为(a+ b)2,小正方形的边长为a-b,面积为(a-b)2,每个长方 形的面积为ab.由拼图,得(a+b)2=(a-b)2+4ab.所 以(a+b)2,(a-b)2,ab三者之间的等量关系式为(a+ b)2=(a-b)2+4ab.(2) ① 由(1)中 的 结 论,得 m+2m 2 = m-2m 2 +4m·2m= m- 2 m 2 +8,即 32= m-2m 2 +8.所以m-2m=±1.② 因为BE=2, 所以x-y=2.由(1),得(x+y)2=(x-y)2+4xy,即 (x+y)2=4+4×15=64.又因为0<y<x,所以x+y= 8.所以涂色部分的面积为12x (x-y)+ 1 2 (x-y)y= (x+y)(x-y) 2 = 8×2 2 =8. 15. (1) ① a2+b2;(a+b)2-2ab.② (a+b)2=a2+ 2ab+b2.(2) ① 因为m+n=5,m2+n2=13,所以mn= (m+n)2-(m2+n2) 2 = 52-13 2 =6.② 设x=2023-m, y=2024-m,则y-x=1.因为xy=1011,所以 -xy=-1011.因为y-x=1,所以(2024-m)2+(m- 2023)2=y2+(-x)2=(y-x)2-2y·(-x)=12+ 2022=2023. 利用换元法化繁为简 对结构比较复杂的多项式,若把其中某些部分看 成一个整体,用新字母代替(即换元),则能使复杂的问 题简单化、明朗化,在减少多项式项数、降低多项式结 构复杂程度等方面有显著的作用. 专题四　平行线中与角有关的计算问题 1. C 2. 16° 3. 63° 4. (1) 因为AD∥BC,所以∠B+∠BAD=180°.因为 ∠B=80°,所 以∠BAD =100°.(2) 因 为 AE 平 分 ∠BAD,所以∠DAE=12∠BAD=50°. 因为AD∥BC, 所以∠AEB=∠DAE=50°.因为∠BCD=50°,所以 ∠BCD=∠AEB.所以AE∥DC. 5. C 6. 135 7. 如图,延长AE 交l2 于点B.因为l1∥l2,∠1=40°, 所以∠3=∠1=40°.因为∠α=∠β,所以AB∥CD.所 以∠2+∠3=180°.所以∠2=180°-∠3=140°. 第7题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 34 专题三　乘法公式的应用技巧 乘法公式包括平方差公式和完全平方公式,这两个公式是初中数学的重要公式,应用乘法公 式时,需先仔细观察所给代数式的结构,再决定是直接应用还是变形后应用,是正向应用还是逆 向应用,是整体应用还是局部应用,从而彰显应用乘法公式的灵活性和有效性. 类型一 直接应用 1. 计算(x+3y)2-(3x+y)2的结果是( ) A. 8x2-8y2 B. 8y2-8x2 C. 8(x+y)2 D. 8(y-x)2 2. 先化简,再求值:4(x-1)2-(2x+3)(2x- 3),其中x=-1. 类型二 变形应用 3. 已知a=120x+20 ,b=120x+19 ,c=120x+ 21,那么代数式a2+b2+c2-ab-bc-ac的 值是 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 已知ab=1,因为(a+b)2=a2+2ab+b2= a2+b2+2①,(a-b)2=a2-2ab+b2=a2+ b2-2②,所以由①得a2+b2=(a+b)2-2. 由②得a2+b2=(a-b)2+2. 试根据上面公式的变形解答问题: (1) 已知a-b=2,ab=1,有下列等式: ① a2+b2=6;② a4+b4=38;③ (a+b)2=8. 其中,成立的是 (填序号). (2) 已知a+b=2,ab=1. ① 求代数式a2+b2的值; ② 求代数式a4+b4的值; ③ 猜想代数式a2n+b2n(n为正整数)的值, 直接写出答案. 类型三 整体应用 答案讲解 5. 已知(x-2021)2+(x-2023)2= 50,则(x-2022)2的值为 ( ) A. 24 B. 23 C. 22 D. 21 6. 已知(x+y+1)(x+y-1)=8,且xy=2, 求x2+y2的值. 类型四 逆向应用 7. 已知a+3b=2,则a2-9b2+12b的值是 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 8. 若m2-n2=5,则(m+n)2(m-n)2的值是 ( ) A. 25 B. 5 C. 10 D. 15 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级 拍 照 批 改 35 9. 若x2+2xy+y2-a(x+y)+25为完全平 方式,求a的值. 类型五 简化数的计算 10. 简便计算: (1) 20222-2020×2024; (2) 1882-376×88+882. 11. 在学习“平方差公式”时,张老师出了一道 题:计算9×11×101.嘉嘉发现把9写成 10-1,把11写成10+1后可以连续运用平 方差公式进行计算. 请根据上述思路,计算: (1) 9×11×101; (2) 1 2× 1+ 1 2 × 1+122 × 1+124 × 1+128 +1216. 12. 数学课上,老师出了一道题:用简便方法计 算2962的值.喜欢数学的小亮动手做出了 这道题,他的解题过程如下: 2962=(300-4)2(第一步) =3002-2×300×(-4)+42(第二步) =90 000+2 400+16(第三步) =92 416(第四步). 老师表扬小亮积极发言的同时,也指出了 他解题过程中的错误. (1) 小亮的解题过程,从第 步开始 出错; (2) 请你写出正确的解题过程. 类型六 乘法公式的几何背景 13. 如图①,边长为a 的大正方形中有一个边 长为b的小正方形,图②是由图①中的涂色 部分剪拼成的一个长方形.设图①中涂色 部分的面积为S1,图②中涂色部分的面积 为S2,则S1= ,S2= .写 出利用图形的面积关系所得到的公式: (用含a,b的代数式表示). 第13题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 36 14. 如图①所示为一个长为4b、宽为a的长方 形,沿图中虚线用剪刀将其剪成四个相同 的小长方形,然后用这四个小长方形拼成 如图②所示的正方形. (1) 观察图②,写出(a+b)2,(a-b)2,ab 三者之间的等量关系式. (2) 用(1)中的结论解答下面的问题: ① 若m+2m=3 ,求m-2m 的值. ② 如图③,正方形ABCD 与正方形AEFG 的边长分别为x,y.若xy=15,BE=2,求 图③中涂色部分的面积. 第14题 答案讲解 15. ★某同学用若干个如图①所示的正 方形与长方形拼成了一个如图② 所示的正方形. (1) ① 请用两种不同的方法表示图②中涂 色部分的面积. 方法1: ; 方法2: . ② 由①可以验证的乘法公式为 . (2) 根据上面的结论解答下面各题: ① 若m+n=5,m2+n2=13,求mn的值; ② 若(2023-m)(2024-m)=1011,求 (2024-m)2+(m-2023)2的值. 第15题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级