专题2 整式的化简求值-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（北师大版2024）

9 3. (1) 原 式 = - 144×0.125×172×80 = - 144×172 ×(0.125×80)=-2×10=-20.(2) 原 式=1×(-48)-16× (-48)+34× (-48)=-48+8- 36=-76.(3) 原式= -100+112 ×24=-100×24+ 1 12×24=-2400+2=-2398. 4. 998×(-25)=(1 000-2)×(-25)=1 000×(-25)+ 2×25=-25 000+50=-24 950. 5. (1) 原式=25×14+25× 1 5+25× 3 4=25× 14+ 1 5+ 3 4 =25×65=30.(2) 原式=278×827×2425× 253-258 =2425×253-2425×258=8-3=5. 灵活运用乘法运算律简化运算 有理数的乘法运算律包括乘法交换律、乘法结合 律、乘法分配律,运用前两个运算律,可以任意交换 因数的位置,将任意两个因数结合相乘,进一步地,若 存在分子、分母,则任意一个分子与任意一个分母可进 行约分;运用乘法分配律,可改变运算顺序,简化运算, 注意乘法分配律可正用、可逆用,可正逆综合运用.第 (1)题通过逆用乘法分配律可以简化运算,第(2)题先 利用乘法交换律、乘法结合律简化算式,再利用乘法分 配律进一步简化运算,从而顺利求解. 6. 因 为 2 3- 3 4+ 1 6- 5 12 ÷ 124 = 2 3- 3 4+ 1 6- 5 12 ×24=23×24-34×24+16×24- 5 12×24=16-18+4-10= -8 ,所 以 1 24÷ 2 3- 3 4+ 1 6- 5 12 =-18. 利用转化思想进行简便运算 除法没有分配律,若将被除数和除数交换位置,将 除法转化为乘法,则可用乘法分配律进行简便计算,此 时结果与原式的结果互为倒数. 7. (1) 原式=1×2+4×34-1=2+3-1=4. (2) 原式= -1×125× -53 +0.2=115+15=415.(3) 原式= 1 4× (-8)- 4×94+1 =-2-10=-12.(4) 原式= 214-14 ÷ -32 + -35 × -53 =2× -23 +1=-43+1=-13.(5) 原式=-9×19+ 3 4× (-24)-16× (-24)+38× (-24)=-1-18+4- 9=-24. 8. 令S=1+3+32+33+…+32 025,则3S=3+32+33+ 34+…+32 026.两式相减,得3S-S=32 026-1.所以原 式=S=3 2026-1 2 . 9. 令S=2+4+6+8+…+2 026①,即S=2 026+ 2 024+2 022+…+2②.①+②,得2S=(2+2 026)× 1 013.所以S= (2+2026)×1013 2 =1 027 182.所以2+ 4+6+8+…+2 026=1 027 182. 10. (1) 1 9 ;1 10. (2) 原 式 = 14×1×2+ 1 4×2×3+ 1 4×3×4 + … + 14×1011×1012 = 1 4 × 1 1×2+ 1 2×3+ 1 3×4+ …+ 11011×1012 = 14 × 1-12+ 1 2- 1 3+ 1 3- 1 4+ …+ 11011- 1 1012 =14× 1- 11012 =14×10111012=10114048. 专题二　整式的化简求值 1. (1) 原式=3m2-(2m+8-3m+3m2)=3m2-2m- 8+3m-3m2=m-8.因为m=10,所以原式=10-8= 2.(2) 原式=5a2+2a-1-12+32a-8a2=-3a2+ 34a-13.因为a是最大的负整数,所以a=-1.当a=-1 时,原式=-3×(-1)2+34×(-1)-13=-50.(3) 原 式=32m- 5 2m+1+12-3m=-4m+13. 因为m 的倒 数等于它本身,所以m=±1.当m=1时,原式=-4× 1+13=-4+13=9;当m=-1时,原式=-4×(-1)+ 13=4+13=17.(4) 原式=(x-1)[(x2+3x+1)- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 10 (x2-x-1)]=(x-1)(x2+3x+1-x2+x+1)=(x- 1)(4x+2),当x=12 时,原式= 12-1 × 4×12+ 2 =-12×4=-2.(5) 原式=4(x-y)2-(4x2-3xy)= 4x2-8xy+4y2-4x2+3xy=4y2-5xy,当x=-2, y=- 1 2 时,原式=4× -12 2 -5×(-2)× -12 = 4×14-5×2× 1 2=1-5=-4. (6) 原式=4x2-4x+ 1-(9x2-1)+5x2+5x=4x2-4x+1-9x2+1+5x2+ 5x=x+2.选取的数不唯一,如当x=1时,原式=1+ 2=3. 2. (1) 因为A=2x2+3xy+2y,B=x2-xy+x,所 以A-2B=2x2+3xy+2y-2(x2-xy+x)=2x2+ 3xy+2y-2x2+2xy-2x=5xy-2x+2y.(2) 因为 |y|=2,所以y=±2,即x=3,y=2或x=3,y=-2.当 x=3,y=2时,5xy-2x+2y=30-6+4=28;当x=3, y=-2时,5xy-2x+2y=-30-6-4=-40.综上所 述,A-2B 的值为28或-40. 3. 因为|a-3|+(b+1)2=0,所以a-3=0,b+1=0,解 得a=3,b=-1.原式=3a2+2ab-9ab-6b2-10ab+ 6b2=3a2-17ab.当a=3,b=-1时,原式=3×32-17× 3×(-1)=78. 4. 原式=6m2-2m3-2m2+2m3+1=4m2+1.因为单 项式-2xm+4y2 和 x3y 的积与7x6y3 是同类项,且 -2xm+4y2·x3y=-2xm+7y3,所以m+7=6,解得m= -1.所以原式=4×(-1)2+1=4+1=5. 5. (1) M-3N=3a2+4ab-1-3(a2-2ab-1)=3a2+ 4ab-1-3a2+6ab+3=10ab+2.(2) 因为(a-1)2+ |b-2|=0,所以a-1=0,b-2=0,解得a=1,b=2. 所以M-3N=10×1×2+2=22. 6. (1) 原式=2kx2+4x2+3x+1-6x2+4y2-3x= (2k-2)x2+4y2+1.因为化简后不含x2 项,所以2k- 2=0,解得k=1. (2) 原式=2k3-(3k3-5k+5+k)= 2k3-3k3+5k-5-k=-k3+4k-5.当k=1时,原 式=-1+4-5=-2. 7. 原式=a2-4a+4+b2-2ab+4a-4=a2+b2- 2ab.因为(a-b)2=2,即a2+b2-2ab=2,所以原式=2. 8. 因为 mn=2,m-3n=-1,所以3mn(m+n)- 12mn2=3mn(m+n-4n)=3mn(m-3n)=3×2× (-1)=-6. 9. 原式=x2+5x-3x-15+x2-x-3x+3=2x2- 2x-12.因为x2-x-2=0,所以x2-x=2.所以原式= 2(x2-x)-12=2×2-12=-8. 10. 原式=(x2-4y2-4x2+4xy-y2-x2+5y2)÷ (-2x)=(-4x2+4xy)÷(-2x)=2x-2y.因为23x÷ 23y=8,即23x-3y=23,所以3x-3y=3.所以x-y=1.当 x-y=1时,原式=2(x-y)=2×1=2. 11. (1) 原式=ax2-3x+by-1-6+2y+3x-2x2= (a-2)x2+(b+2)y-7.因为a=3,b=2,所以这个多项 式可化简为x2+4y-7.当x=y=1时,多项式的值 为12+4×1-7=-2. (2) 由(1),得多项式可化简为 (a-2)x2+(b+2)y-7.由题意,得a-2=0,b+2=0, 解得a=2,b=-2.所以存在实数a,b,即当a=2,b= -2时,不管x,y 取何值,该多项式的值始终是常数-7. 12. P=(x+2)2+x(1-x)-9=x2+4x+4+x-x2- 9=5x-5=5(x-1),因为x为整数,所以多项式P 能被 5整除. 13. (1) 因为7a3+3a2b+3a3+6a3b-3a2b-10a3- 6a3b-1=(7+3-10)a3+(3-3)a2b+(6-6)a3b- 1=-1,所以该多项式的值为常数,与a 和b的取值无 关.所以小阳的说法正确.(2) 原式=2x2+ax-5y+b- 2bx2+3x+5y+6=(2-2b)x2+(a+3)x+(b+6). 因为无论x,y 取何值,多项式2x2+ax-5y+b- 2bx2-32x- 5 2y-3 的值都不变,所以2-2b=0,a+ 3=0,解得a=-3,b=1. 有关整式化简求值说理型问题的常见结论 对多项式进行化简后,若代入求值时,代入的某个 字母的值是多余的,则说明化简后不含该字母;若某个 字母不论取任何值,代入后的结果都不变,则说明化简 后不含该字母. 专题三　乘法公式的应用技巧 1. B 2. 原式=4(x2-2x+1)-(4x2-9)=4x2-8x+4- 4x2+9=-8x+13.当x=-1时,原式=-8×(-1)+ 13=21. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31 专题二　整式的化简求值 整式的化简求值题,一律要先化简,再代值.代值时,若是直接给定字母的值,则直接代入;若 是给定某个式子的值,则往往需整体代值;有时,需要将整式的化简结果变形后,再直接或整体代 入求值. 类型一 先化简、再直接代入求值 1. 先化简,再求值: (1) 3m2-[2(m+4)-3(m-m2)],其中 m=10; (2) (5a2+2a-1)-4(3-8a+2a2),其中a 是最大的负整数; (3) 3 2m- 5 2m-1 +3(4-m),其中m 的 倒数等于它本身; (4) 当x=12 时,求代数式(x-1)(x2+ 3x+1)-(x-1)(x2-x-1)的值; (5) [2(x-y)]2-(12x3y2-9x2y3)÷ 3xy2,其中x=-2,y=- 1 2 ; (6) (2x-1)2-(3x+1)(3x-1)+5x(x+ 1),选取一个你喜欢的数作为x 的值代入 求值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 32 2. 已知代数式A=2x2+3xy+2y,B=x2- xy+x. (1) 用含x,y的代数式表示A-2B; (2) 若x=3,|y|=2,求A-2B 的值. 3. 已知|a-3|+(b+1)2=0,求代数式(a- 3b)(3a+2b)-2b(5a-3b)的值. 4. 已知单项式-2xm+4y2和x3y的积与7x6y3 是同类项,求2m2(3-m)-2(m2-m3)+1 的值. 答案讲解 5. 已知M=3a2+4ab-1,N=a2- 2ab-1. (1) 用 含 a,b 的 代 数 式 表 示 M-3N; (2) 若a,b满足(a-1)2+|b-2|=0,求 M-3N 的值. 6. 已知多项式(2kx2+4x2+3x+1)-(6x2- 4y2+3x)化简后不含x2项. (1) 求k的值; (2) 化简并求多项式2k3-[3k3-(5k-5)+ k]的值. 类型二 先化简、再整体代入求值 7. 先化简,再求值:(a-2)2+b(b-2a)+4(a- 1),其中(a-b)2=2. 8. 已知mn=2,m-3n=-1,求3mn(m+n)- 12mn2的值. 9. 已知x2-x-2=0,求代数式(x-3)(x+5)+ (x-3)(x-1)的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级 33 答案讲解 10. 先化简,再求值:[(x+2y)(x- 2y)-(2x-y)2-(x2-5y2)]÷ (-2x),其中x,y 满足23x÷ 23y=8. 类型三 化简说理 11. 新考法 探究题 我们知道,关于x,y 的 多项 式 (ax2 -3x +by -1)-2· 3-y- 3 2x+x 2 中,a,b分别是ax2和by 项的系数.一般情况下,当给定a,b的值之 后,这个多项式的值由x,y的取值确定. (1) 给定a=3,b=2,当x=y=1时,求这 个多项式的值. (2) 是否存在实数a,b,不管x,y 取何值, 该多项式的值始终是一个常数? 如果存 在,请求出a,b的值;如果不存在,请说明 理由. 12. 已知多项式P=(x+2)2+x(1-x)-9(x 为整数),试说明:多项式P 能被5整除. 答案讲解 13. ★数学课上,老师出了这样一道题 目:当a=12 ,b=-2时,求多项式 7a3+3a2b+3a3+6a3b-3a2b-10a3- 6a3b-1的值.解完这道题后,小阳指出: a=12 ,b=-2是多余的条件.师生讨论后, 一致认为小阳的说法是正确的. (1) 请你证明小阳的说法正确; (2) 无论x,y 取何值,多项式2x2+ax- 5y+b-2bx2-32x- 5 2y-3 的值都不 变,求a,b的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优