专题1 有理数的运算技巧-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（北师大版2024）

28 专题一　有理数的运算技巧 有理数的运算是整个初中数学的基础运算,掌握有理数的运算技巧,可以帮助我们快速准确 地进行运算.有理数的运算要注意按照运算顺序进行,也可以运用运算律及去括号法则改变运算 顺序,简化运算.在有理数的所有运算中,都要注意不能出现符号的错误. 类型一 巧用加法运算律 1. 计算: (1) (-23)+(+63)+(+37)+(-77); (2) -312 + +56 +(-0.5)+45+316. 2. 阅读材料: 对于 -556 + -923 +1734+ -312 , 计算如下: 原式= 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 (-5)+ -56 􀭤􀭥 􀪁 􀪁􀪁 + 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 (-9)+ -23 􀭤􀭥 􀪁 􀪁􀪁 + 17+34 + (-3)+ -12 􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 =[(-5)+ (-9)+17+(-3)]+ 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 -56 + -23 + 3 4+ -12 􀭤􀭥 􀪁 􀪁􀪁 =0+ -114 =-114. 上面这种方法叫作拆项法,你看懂了吗? 仿照上面的方法,计算: (1) -2512 + -356 + -434 +10; (2) -202223 +202334+ -202456 + 202512. 类型二 巧用乘法运算律 3. 计算: (1) (-144)×(-0.125)× -172 ×80; 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级 拍 照 批 改 29 (2) 1-16+ 3 4 ×(-48); (3) -991112 ×24. 4. 利用乘法运算律有时能进行简便计算. 例如,98×12=(100-2)×12=100×12- 2×12=1200-24=1176.参考上面的例子, 用乘法运算律简便计算:998×(-25). 5. ★计算: (1) 25× 12 2 -(-25)×15+25× 3 4 ; (2) 338×8 1 3-3 1 8 ÷1124×827. 答案讲解 6. ★计算:1 24÷ 2 3- 3 4+ 1 6- 5 12 . 类型三 各加数（或因数）同时化简，减少 运算步骤 7. 计算: (1) (-1)2÷12+ (7-3)×34-1 ; (2) -14÷(-5)2× -53 +|0.8-1|; (3) 0.25×(-2)3-4÷ -23 2 +1 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ; 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 30 (4) 214- -12 2􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ÷ -32 + -35 × -123 ; (5) -32× -13 2 + 34-16+38 × (-24). 类型四 错位相减 答案讲解 8. 求1+2+22+23+…+22 022的值. 令S=1+2+22+23+…+22 022, 则2S=2+22+23+24+…+22 023. 两式相减,得2S-S=22 023-1. 所以原式=S=22 023-1. 请你仿照以上过程,求1+3+32+33+…+ 32025的值. 类型五 倒序相加 9. “数学王子”高斯从小就善于观察和思考.在 他读小学时就能在课堂上快速地计算出1+ 2+3+…+98+99+100=5050.今天我们 可以将高斯的做法归纳如下: 令S=1+2+3+…+98+99+100①, 即S=100+99+98+…+3+2+1②. ①+②,得2S=(1+100)×100. 所以S=5 050. 请仿照以上做法,计算:2+4+6+8+…+ 2026. 类型六 裂项相消 答案讲解 10. 观察下列各式:1 2= 1 1×2=1- 1 2 , 1 6= 1 2×3= 1 2- 1 3 ,1 12= 1 3×4= 1 3- 1 4 ,…,根据规律解答下面的问题. (1) 1 9×10= - ; (2) 计 算: 1 2×4+ 1 4×6+ 1 6×8+ … + 1 2022×2024. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级 8 时线段P1P2 的长最小.因为∠ACB=90°,BC=6,AC= 8,AB=10,所以CP=AC ·BC AB =4.8. 所以线段P1P2 长 的最小值是9.6. 三、 16. (1) 原式=4x6y2·(-2xy)+(-8x9y3)÷ 2x2=-8x7y3-4x7y3=-12x7y3.(2) 原式=3x2- 9x+x-3-(x2+4x+4)+4x3-2x=3x2-8x-3- x2-4x-4+4x3-2x=4x3+2x2-14x-7.(3) 原式= x2-(y-6)2=x2-y2+12y-36. 17. (1) (mx-2)(2x+1)+x2+n=2mx2+mx-4x- 2+x2+n=(2m+1)x2+(m-4)x-2+n,因为不含 x2 的项和常数项,所以2m+1=0,-2+n=0.所以 m=-12 ,n=2.(2) m2023n2024=m2023·n2023·n= (mn)2023·n,由(1)知,m=- 12 ,n=2,则原式= -12×2 2023 ×2=-2. 18. (1) 如图,点P 即为所求.(2) 由(1),可得PA=PB, 所以△CAP 的周长为AC+CP+AP=AC+CP+BP= AC+BC=2+5=7. 第18题 19. (1) 4.(2) 由题意得,6+m 10 = 4 5 ,解得m=2. 20. (1) 距离地面的高度;所在位置的温度.(2) y=20- 6h;-10.(3) ① 由题图,可知当h=2时,持续的时间 为2min,即返回途中飞机在2km 高空水平盘旋了 2min.② 当h=9.8时,y=20-6×9.8=-38.8,即飞机 发生事故时所在高空的温度是-38.8℃. 21. (1) △COE≌△OBD.理由:由题意,可知∠CEO= ∠BDO=90°,OB=OC.因为∠BOC=90°,所以∠COE+ ∠BOD = ∠BOD + ∠OBD =90°.所 以 ∠COE = ∠OBD.在△COE 和△OBD 中, ∠COE=∠OBD, ∠CEO=∠ODB, OC=BO, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以△COE≌△OBD.(2) 因为△COE≌△OBD,所以 CE=OD,OE=BD.因为BD,CE 分别为1.6m和2m, 所以DE=OD-OE=CE-BD=2-1.6=0.4(m).由题 意,可知 MD=1.2m,所以 ME=MD+DE=1.6m. 所以爸爸是在距离地面1.6m的地方接住小明的. 22. (1) △DBC≌△EAC.理由:因为△ABC 和△EDC 是等边三角形,所以BC=AC,DC=EC,∠B=∠ACB= 60°,∠DCE=60°.所以∠BCD=60°-∠ACD,∠ACE= 60°-∠ACD.所以∠BCD=∠ACE.在△DBC 和△EAC 中, BC=AC, ∠BCD=∠ACE, DC=EC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△DBC≌△EAC.(2) 因为 △DBC≌△EAC,所以∠B=∠EAC.因为∠B=60°, 所以∠EAC=60°.又因为∠ACB=60°,所以∠EAC= ∠ACB.所以AE∥BC.(3) AE∥BC.理由:因为△ABC 和△EDC 为等边三角形,所以 BC=AC,DC=CE, ∠B=∠BCA=∠DCE=60°.所以∠BCA+∠ACD= ∠DCE+ ∠ACD,即 ∠BCD = ∠ACE.在 △DBC 和 △EAC 中, BC=AC, ∠BCD=∠ACE, DC=EC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以△DBC≌△EAC. 所以∠EAC=∠B=60°.又因为∠ACB=60°,所以 ∠EAC=∠ACB.所以AE∥BC. 2 整合提优 专题一　有理数的运算技巧 1. (1) 原式=(-23-77)+(63+37)=-100+100= 0.(2) 原式= -312-0.5 + +56+316 +45= -4+4+45= 4 5. 2. (1 ) 原 式 = (-2)+ -512 + (-3)+ -56 + (-4)+ -34 +10=[(-2)+ (-3)+(-4)+10]+ -512 + -56 + -34 = 1+(-2)=-1.(2) 原式= (-2022)+ -23 + 2023+34 + (-2024)+ -56 + 2025+12 = (- 2 022 + 2 023 - 2 024 + 2 025)+ -23+ 3 4- 5 6+ 1 2 =2-14=74. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9 3. (1) 原 式 = - 144×0.125×172×80 = - 144×172 ×(0.125×80)=-2×10=-20.(2) 原 式=1×(-48)-16× (-48)+34× (-48)=-48+8- 36=-76.(3) 原式= -100+112 ×24=-100×24+ 1 12×24=-2400+2=-2398. 4. 998×(-25)=(1 000-2)×(-25)=1 000×(-25)+ 2×25=-25 000+50=-24 950. 5. (1) 原式=25×14+25× 1 5+25× 3 4=25× 14+ 1 5+ 3 4 =25×65=30.(2) 原式=278×827×2425× 253-258 =2425×253-2425×258=8-3=5. 灵活运用乘法运算律简化运算 有理数的乘法运算律包括乘法交换律、乘法结合 律、乘法分配律,运用前两个运算律,可以任意交换 因数的位置,将任意两个因数结合相乘,进一步地,若 存在分子、分母,则任意一个分子与任意一个分母可进 行约分;运用乘法分配律,可改变运算顺序,简化运算, 注意乘法分配律可正用、可逆用,可正逆综合运用.第 (1)题通过逆用乘法分配律可以简化运算,第(2)题先 利用乘法交换律、乘法结合律简化算式,再利用乘法分 配律进一步简化运算,从而顺利求解. 6. 因 为 2 3- 3 4+ 1 6- 5 12 ÷ 124 = 2 3- 3 4+ 1 6- 5 12 ×24=23×24-34×24+16×24- 5 12×24=16-18+4-10= -8 ,所 以 1 24÷ 2 3- 3 4+ 1 6- 5 12 =-18. 利用转化思想进行简便运算 除法没有分配律,若将被除数和除数交换位置,将 除法转化为乘法,则可用乘法分配律进行简便计算,此 时结果与原式的结果互为倒数. 7. (1) 原式=1×2+4×34-1=2+3-1=4. (2) 原式= -1×125× -53 +0.2=115+15=415.(3) 原式= 1 4× (-8)- 4×94+1 =-2-10=-12.(4) 原式= 214-14 ÷ -32 + -35 × -53 =2× -23 +1=-43+1=-13.(5) 原式=-9×19+ 3 4× (-24)-16× (-24)+38× (-24)=-1-18+4- 9=-24. 8. 令S=1+3+32+33+…+32 025,则3S=3+32+33+ 34+…+32 026.两式相减,得3S-S=32 026-1.所以原 式=S=3 2026-1 2 . 9. 令S=2+4+6+8+…+2 026①,即S=2 026+ 2 024+2 022+…+2②.①+②,得2S=(2+2 026)× 1 013.所以S= (2+2026)×1013 2 =1 027 182.所以2+ 4+6+8+…+2 026=1 027 182. 10. (1) 1 9 ;1 10. (2) 原 式 = 14×1×2+ 1 4×2×3+ 1 4×3×4 + … + 14×1011×1012 = 1 4 × 1 1×2+ 1 2×3+ 1 3×4+ …+ 11011×1012 = 14 × 1-12+ 1 2- 1 3+ 1 3- 1 4+ …+ 11011- 1 1012 =14× 1- 11012 =14×10111012=10114048. 专题二　整式的化简求值 1. (1) 原式=3m2-(2m+8-3m+3m2)=3m2-2m- 8+3m-3m2=m-8.因为m=10,所以原式=10-8= 2.(2) 原式=5a2+2a-1-12+32a-8a2=-3a2+ 34a-13.因为a是最大的负整数,所以a=-1.当a=-1 时,原式=-3×(-1)2+34×(-1)-13=-50.(3) 原 式=32m- 5 2m+1+12-3m=-4m+13. 因为m 的倒 数等于它本身,所以m=±1.当m=1时,原式=-4× 1+13=-4+13=9;当m=-1时,原式=-4×(-1)+ 13=4+13=17.(4) 原式=(x-1)[(x2+3x+1)- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈