专题6 不同知识领域的分类讨论题-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（北师大版2024）

43 专题六　不同知识领域的分类讨论题 解决分类讨论题的关键是明确引起分类讨论的原因,从而对症下药,按某标准分类讨论,完 整答题.分类时要做到不重不漏,分类彻底,完整到位.当一级分类不能到位时,需按照新标准进 行二级分类,乃至三级分类. 类型一 有关有理数的分类讨论题 (一) 有关数轴的分类讨论题 1. 数轴上的点A 到原点的距离是6个单位长 度,则点A 表示的数为 ( ) A. 6或-6 B. 6 C. -6 D. 3或-3 2. 在数轴上,点A 表示5,从点A 出发,沿数轴 移动3个单位长度到达点B,则点B 表示的 数是 ( ) A. 2或8 B. 2 C. 8 D. -2或-8 3. 如图,一条数轴上有点A,B,C,其中点A,B 表示的数分别是-14,10,现以C 为折点,将 数轴向右对折,若点A 落在射线CB 上且到 点B 的距离为6,则C 点表示的数为( ) 第3题 A. 1 B. -3 C. 1或-5 D. 1或-4 4. 已知数轴上A,B 两点到原点的距离分别是 3和9,则A,B 两点间的距离是 . (二) 有关绝对值的分类讨论题 5. 若实数a的绝对值是54 ,则a的值是 ( ) A. 5 4 B. -54 C. ±45 D. ±54 6. 若|m|=3,n是-1的绝对值,则m+n的值为 ( ) A. 2 B. -2 C. -4 D. 4或-2 7. 若ab≠0,则|a|a + |b| b 的值为 . 8. 已知|a|=1,|b|=2,|c|=4,且a>b>c,求 a-b+c的值. 9. 已知|a|=3,|b|=5且|a-b|=b-a,求 a+b的值. 10. 已知x,y均为整数,且|x-y|+|x-3|= 1,求x+y的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 44 11. 【材料阅读】通过学习绝对值之后,我们知 道,|8-(-3)|表示8与-3的差的绝对 值,实际上也可理解为8与-3两数在数轴 上所对应的两点之间的距离.同理,|x-5| 也可理解为x与5两数在数轴上所对应的 两点之间的距离. (1) 计算:|9-(-5)|= ; (2) 若|x-3|=6,求x的值; (3) 请你找出所有符合条件的整数x,使得 |x-4|+|x+2|=6,并写出解题过程. (三) 有关乘方的分类讨论题 12. 若|x|=3,y2=25,yx<0 ,则x-y的值是 ( ) A. 2或-2 B. -8或8 C. -2或8 D. -8或2 类型二 有关一元一次方程的分类讨论题 答案讲解 13. 书店举行购书优惠活动: ① 一次性购书不超过100元,不 享受优惠; ② 一 次 性 购 书 超 过 100 元 但 不 超 过 200元,一律打9折; ③ 一次性购书超过200元,一律打7折. 小丽在这次活动中,两次购书总共付款 229.4元,第二次购书原价是第一次购书原 价的3倍,那么小丽这两次购书原价的总 和为 元. 类型三 有关基本平面图形的分类讨论题 14. 在同一平面内有任意三点,过其中两点画 直线,共可以画 ( ) A. 1条 B. 3条 C. 1条或3条 D. 无数条 15. 已知MN=3,NP=1,A 是MP 的中点, 则AN= . 16. 已知∠AOB=70°,∠AOP=12∠AOB ,则 ∠BOP= . 类型四 有关相交线的分类讨论题 17. 如图,直线AB 与直线CD 相交于点O, ∠BOD=40°.若过点O 作OE⊥AB,则 ∠COE 的度数为 ( ) 第17题 A. 50° B. 130° C. 50°或90° D. 50°或130° 18. 已知∠A 的两边与∠B 的两边分别垂直, 且∠A 比∠B 的32 倍少40°,则∠A 的度数 是 . 类型五 有关三角形的分类讨论题 19. 在△ABC 中,AD 为边BC 上的高,∠B= 30°,∠CAD=20°,求∠BAC 的度数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级 45 类型六 有关等腰三角形的分类讨论题 (一) 因边不确定引起分类讨论 20. 已知等腰三角形的两边长分别为3和5,则 它的周长是 . 21. 已知a,b,c为△ABC 的三边长.若△ABC 为等腰三角形,且周长为16,a=4,求b,c 的值. (二) 因角不确定引起分类讨论 22. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹的角 为40°,则顶角的度数为 ( ) A. 50° B. 120° C. 50°或120° D. 50°或130° 23. 已知△ABC 是等腰三角形.若∠A=40°, 则△ABC 的顶角度数是 . (三) 因顶点不确定引起分类讨论 24. 如图,在4×4的正方形网格中有两个格点 A,B,连接AB,在网格中再找一个格点C, 使得△ABC 是等腰直角三角形,满足条件 的格点C 的个数是 ( ) 第24题 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 答案讲解 25. 如图,P 是射线ON 上一动点(即 点 P 可 在 射 线 ON 上 运 动), ∠AON = 45°. 当 ∠A = 时,△AOP 为等腰三角形. 第25题 (四) 因高不确定引起分类讨论 答案讲解 26. ★一个等腰三角形一腰上的高与另 一腰的夹角为36°,求此三角形顶 角的度数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 14 ∠CEB.因为E 是CD 的中点,所以DE=CE.在△ADE 和△BCE 中,因为 DE=CE,∠DEA=∠CEB,AE= BE,所以△ADE≌△BCE.所以∠D=∠C. 6. ∠A=∠D.理由:连接BC.在△BAC 和△CDB 中, 因为 AB=DC,CA=BD,BC=CB,所以△BAC≌ △CDB.所以∠A=∠D. 7. 因 为 AD∥CE,所 以 ∠A = ∠C.因 为 ∠DBC+ ∠DBA=180°,∠DBC+∠BEC=180°,所以∠DBA= ∠BEC.在 △ADB 和 △CBE 中,因 为 ∠A = ∠C, ∠DBA=∠BEC,BD=EB,所以△ADB≌△CBE.所 以AD=CB. 8. 因为DE⊥AC,∠B=90°,所以∠DEC=∠B=90°. 因为CD∥AB,所以∠A=∠DCE.在△CED 和△ABC 中, ∠DCE=∠A, CE=AB, ∠DEC=∠B, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△CED≌△ABC. 9. 因 为 ∠BAD = ∠CAE,所 以 ∠BAD + ∠DAC= ∠CAE+ ∠DAC,即 ∠BAC= ∠DAE.在 △BAC 和 △DAE 中,∠B=∠D,AB=AD,∠BAC=∠DAE, 所以△BAC≌△DAE.所以BC=DE. 10. CE=BD 且CE⊥BD.理由:因为∠BAC=∠DAE= 90°,所以∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD= ∠CAE.在△BAD和△CAE中,BA=CA,∠BAD=∠CAE, AD=AE,所以△BAD≌△CAE.所以BD=CE,∠ABD= ∠ACE.因为易得∠ABC+∠ACB=90°,∠ABC=∠ABD+ ∠DBC,所以∠ACE+∠DBC+∠ACB=90°.所以∠BDC= 90°.所以BD⊥CE. 11. (1) 因 为 BE⊥AD,CF⊥AD,所 以 ∠CFD = ∠BED=90°.在△CFD 和△BED 中,因为∠CFD= ∠BED=90°,∠CDF=∠BDE,CF=BE,所以△CFD≌ △BED.所以CD=BD,即D 为BC 的中点.(2) 因为 BC=2AC,CD=BD,所以CA=CD.因为CF⊥AD, 所以易得AF=DF.因为△CFD≌△BED,所以DF= DE.所以AF=DE. 12. (1) DE;AE.(2) 因为∠BDA=∠BAC=α,所以 ∠ABD+∠BAD=180°-α=∠BAD+∠CAE.所以 ∠ABD=∠CAE.在△ABD 和△CAE 中,因为∠BDA= ∠AEC,∠ABD=∠CAE,AB=CA,所 以△ABD≌ △CAE.所以 AD=CE,BD=AE.所以 DE=AD+ AE=CE+BD.因为DE=a,BD=b,所以CE=DE- BD=a-b. 全等三角形的一线三等角模型 一线三等角模型是全等三角形的重要模型,其常 见图形如图. 一线三等角模型的特点是三个等角的顶点在同一 条直线上,此模型中已知两个三角形有一角相等,易证 另外两个角相等,若有一边相等,则这两个三角形 全等. 专题六　不同知识领域的分类讨论题 1. A 2. A 3. C 4. 6或12 5. D 6. D 7. 2或 0或-2 8. 根据题意,得a=±1,b=-2,c=-4.当a=-1, b=-2,c=-4时,a-b+c=-3;当a=1,b=-2, c=-4时,a-b+c=-1.综上所述,a-b+c的值为 -3或-1. 9. 因为|a|=3,所以a=±3.因为|b|=5,所以b= ±5.因为|a-b|=b-a,所以a-b≤0,即a≤b.所以 a=-3,b=5或a=3,b=5.当a=-3,b=5时,a+ b=-3+5=2;当a=3,b=5时,a+b=3+5=8.综上 所述,a+b的值为2或8. 10. 因为x,y均为整数,|x-y|+|x-3|=1,所以x- y=±1,x-3=0或x-3=±1,x-y=0.当x-y=1, x-3=0时,x=3,y=2,则x+y=5;当x-y=-1,x- 3=0时,x=3,y=4,则x+y=7;当x-y=0,x-3= 1时,x=4,y=4,则x+y=8;当x-y=0,x-3= -1时,x=2,y=2,则x+y=4.综上所述,x+y 的值 为5或7或8或4. 11. (1) 14.(2) 因为|x-3|=6,所以x-3=6或x- 3=-6,解得x=9或x=-3.(3) 根据绝对值的几何意 义,|x-4|+|x+2|=6可理解为在数轴上x 到4的距 离与x到-2的距离之和为6,因为在数轴上4到-2的 距离恰好为6,所以符合条件的整数x应在-2和4之间 (包括-2和4),即-2≤x≤4.因此,符合题意的整数x 有-2,-1,0,1,2,3,4. 12. B 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 15 13. 248或296 解析:设第一次购书的原价为x元,则第 二次购书的原价为3x 元.根据题意,分情况讨论:① 当 3x≤100时,此时两次购书总共付款不会超过200元,此 情况不成立.② 当100<3x≤200时,x+90%·3x= 229.4,解得x=62.此时两次购书原价的总和为4×62= 248(元).③ 当3x>200且x≤100时,x+70%·3x= 229.4,解得x=74.此时两次购书原价的总和为4×74= 296(元).④ 当x>100时,90%x+70%·3x=229.4或 70%·(x+3x)=229.4,解得x=76715 或x=811314 ,不 符合题意,舍去.综上所述,小丽这两次购书原价的总和 为248元或296元. 14. C 15. 1或2 16. 35°或105° 17. D 18. 88° 或92° 19. 如图①,当△ABC为锐角三角形时,∠BAD=180°- ∠B-∠ADB=180°-30°-90°=60°,所以∠BAC= ∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°.如图②,当△ABC 为钝角三角形时,∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°- 30°-90°=60°,所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°- 20°=40°.综上所述,∠BAC的度数为80°或40°. 第19题 20. 11或13 21. 因为△ABC 为等腰三角形,且周长为16,分两种情 况:① 当a=4为腰长时,底边长=16-4-4=8.因为4+ 4=8,所以不能构成三角形.② 当a=4为底边长时,腰长= 16-4 2 =6. 因为4为底边长,6为腰长符合三角形的三边 关系,所以b=c=6. 22. D 23. 40°或100° 24. B 25. 90°或67.5°或45° 解析:若△AOP 为等腰三角形, 则有AO=AP 或AO=OP 或OP=AP 三种情况.① 当 AO=AP 时,∠O=∠APO=45°,所以∠A=90°.② 当 AO=OP 时,∠A=∠APO=180°-45°2 =67.5°.③ 当 OP=AP 时,∠A=∠O=45°.综上所述,∠A 的度数 为90°或67.5°或45°. 26. 如图①,当△ABC 是锐角三角形时,∠ACD=36°, ∠ADC=90°,所以∠A=54°.如图②,当△ABC是钝角三 角形时,∠ACD=36°,∠ADC=90°,所以∠BAC=180°- ∠CAD=∠ADC+∠ACD=126°.综上所述,此三角形顶 角的度数为54°或126°. 第26题 因对等腰三角形腰上高的位置 考虑不全面而导致漏解 等腰三角形腰上的高可能在三角形内部,可能在 三角形外部,也可能是三角形的边,这主要取决于等腰 三角形是锐角、钝角或是直角三角形.解答此类问题 时,一定要注意分类讨论,不能想当然认为腰上的高在 三角形的内部,导致漏解. 专题七　规律探究型问题 1. B 2. B 3. B 解析:由所给图形可知,第一幅图中正方形的个数 为1=12;第二幅图中正方形的个数为5=12+22;第三幅 图中正方形的个数为14=12+22+32;第四幅图中正方形 的个数为30=12+22+32+42;…,所以第n幅图中正方 形的个数为12+22+32+…+n2,当n=6时,12+22+ 32+…+62=91(个),即第六幅图中正方形的个数为91. 4. B 5. 49 6. (9n+3) 7. n(n+1) 2 2n+2 解析:由所给图形可知,第1个“小 屋子”中图形“”的个数为1=1,“”的个数为4=1×2+ 2;第2个“小屋子”中图形“”的个数为3=1+2,“”的个 数为6=2×2+2;第3个“小屋子”中图形“”的个数 为6=1+2+3,“”的个数为8=3×2+2;第4个“小屋 子”中图形“”的个数为10=1+2+3+4,“”的个数 为10=4×2+2;…,所以第n个“小屋子”中图形“”的个 数为1+2+3+…+n=n (n+1) 2 ,“”的个数为2n+2. 8. D 9. D 10. C 解析:观察图中的规律发现,分数的分子是几,则 必在第几列;只有第一列的分数,分母与其所在行数一致, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈