1.4.1 两条直线平行 课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第一章 直线与圆 北师大版2019选择性必修第一册 · 高二 1.4.1两条直线平行 直线方程 几何要素 适用范围 点斜式方程(简称点斜式) y-yo=k(x-xo) 直线上一定点(xo,yo) 斜率k 直线存在斜率k 斜截式方程(简称斜截式) y=kx+b 斜率k 直线在y轴上的截距b 直线存在斜率k 两点式方程(简称两点式) y-Y1 X-X1 y2-y1 X2-X₁ 直线上任意两点 P₁ (x₁,y₁),P₂ (x₂,y₂) 直线存在斜率k 且k≠0 截距式方程(简称截距式) +若=1 与两坐标轴的交点 A(a,0),B(0,b) 直线不与坐标轴平行或 重合，不过原点 一般式方程(简称一般式) Ax+By+C=0 系数A,B不同时为0 所有直线 点法式方程(简称点法式) A(x-xo)+B(y-yo)=0 直线上一点坐标(xo,yo) 直线的法向量 所有直线 前情回顾 定点和定方向(斜率k)确定直线，两点确定直线 两条平行直线间的距离公式 点到直线的距离公式 两点间的距离公式 两条直线的交点坐标 两条直线垂直 两条直线平行 一 般 式 、 点 法 式 点 斜 式 、 斜 截 式 、 两 点 式 斜率 倾斜 角与 方向 向量 间的 关系 章节导读 1.2直线的倾斜角、 斜率及其关系 1.4两条直线 的平行与垂直 1.5两条直线 的交点坐标 直线的倾斜角 1.3直线 的方程 1.6距离公式 1 理解直线平行的概念，以及两条直线平行的条件. 2 会利用直线斜率和直线的几何特征判定直线平行. 3 能利用直线平行的条件解决一些相关实际问题. 学 习 目 标 读教材 读教材 知识梳理 阅读课本P1₆ -P₁7,5 分钟后完成下列问题： 1.两条直线平行与直线斜率有何关系? 2.两条平行直线的一般式方程和点斜式方程有何区别? 我们一起来探究“两条直线平行”吧! 思考：平面中，两条直线的位置关系有哪些?斜率一定存在吗? 若没有特别说明， 说“两条直线l₁ , l₂”时 ， 指 两 条 不 重合的直线. l₁ l₂ 下面我们一起来探究在坐标中， 两条直线特殊的位置关系：平行、垂直 平面内直线的位置关系 斜率存在 斜率不存在 新课引入 相交 垂直 Ir l₂ X 平行 3题型训练 2平行直线系方程 1两条直线平行与斜率 学习过程 y y l₁ l₂ I₂ l₁ O x a1 a2 0 X α₁=α₂=90° α1=α2 探究1 当两条直线l₁ 与直线l₂ 平行时，其倾斜角分别为α₁ 与α2,斜率 为k₁ ,k2, a₁ 与α₂之间有什么关系? k₁ 与k₂ 之间有什么关系? 不 L₁ l₂ 0 X α1=α2 1 k₁=k₂ /L₁ /L₂ ka1 a₂ X α1=α2 1 k₁=k₂ ★ 斜率都不存在 ↑ k₁=k₂ y 0 α1=α2≠90° I₁ I₂ 0 a1 a2 X α₁=α₂=90° k₁= k ₂ 或斜率都不存在 l₁//L₂ 或 l₁ 与 l₂ 重 合 1. 两条直线平行与斜率： y y l₁ l₂ 0 x 对 于 斜 率 分 别 为k₁,k₂ 的 两 条 不 重 合 的 直 线 1 1 , I₂, 有 1₁//12⇔→ k₁= 两条直线的平行 l₁//l₂ k₁=k₂ 新知1 l₁//l₂ ↑ α1=α2 解：(1) ,∴k₁ ≠k₂ ,∴l₁ 与l₂ 不平行. (2)k₁=1, ,∴k₁=k₂ ,∴l₁ 与l₂ 平行 . (3)k₁=2,k₂=2,∴k₁=k₂ ,∴l₁ 与l₂ 平行 . 典例分析 例 1 判断下列各题中的直线l₁ 与l₂ 是否平行? (1)l₁ 经过点A(-1,2),B(2,1),l₂ 经过点M(3,4),N(-1,-1); (2)l₁ 的斜率为1, l₂ 经过点A(1,1),B(2,2); (3)l₁ 的解析式y=2x+4,l₂ 的解析式2y=4x+3. 典例分析 例2 若三点A(2,1),B(-2,m), C(6,8)在同一条直线上，求m 的值? 同 一 条直线上任意两点求出的直线斜率相等 又A,B,C三点共线，∴ kAc=kAB, ,得m=-6. 解： 分别在直线l₁ 和l₂上各取一点A、B: 若kAB=k₁=k₂ , 则l₁和l₂ 重合； 若kAB≠k₁=k2, 则 L 和l₂ 平行； 解：如图，直线AB的斜率 直 线PQ 的斜率 直 线AP的斜率 因 为kBA=kpQ≠kAB, 所以直线AB//PQ. 典 例 分 析 例 3 已 知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1),P(-1,2), 试 判 断 直 线AB 与 PQ 的位置关系，并证明你的结论? 平行 斜率相等时注意验证 两条直线不重合 平行 不平行 两条直线平行的判定 方法总结 一条存在 一条不存在 都不 存在 是 否 不平行 看斜率 相等? 都 存 在 1 两条直线的平行 2平行直线系方程 3题型训练 学习过程 直线方程 几何要素 平行直线方程 y-yo=k(x-xo) 直线上一定点(xo,yo),斜率k y=kx+b 斜率k,直线在y轴上的截距b y-y₁ X-X1 y2-Y1 X₂-X₁ 直线上任意两点P₁,P₂ 两坐标轴的交点(a,0),(0,b) Ax+By+C=0 系数A,B不同时为0 A(x-xo)+B(y-yo)=0 直线上一点(xo,yo),法向量 探究2 我们前面学过六种直线方程，哪些能直接设它的平行线呢? 新知探究2 k₁=k ₂或斜率都不存在 A₁B₂—A₂B₁=0, 且 A₁C₂—A₂C₁=0 k₁=k₂ : l₁//l₂ B₁ 二 B₂ = 0: 新知探究2 思考 直线l₁:A₁x+B₁y+C₁=0, 直线l₂:A₂x+B₂y+C₂=0, 直 线 l₁//l₂ 或l₁ 与 l₂ 重合分别满足什么条件? l₁//l₂ l₁ 与 l₂ 重 合 B≠0 B= 0 A₁ B₂ —A₂ B₁ =0 且A₁ C₂ —A₂ C₁ ≠0 已知直线l: y=kx+b (2)与直线l平行的直线系方程 可设为 ： y=kx+ m (其中m 为参数) 已知直线l: A x+By+C=0 (1)与直线l平行的直线系方程 可设为 ： Ax+By+ m =0 (其中m 为参数) 斜率不变设方程，带已知点求m 新知2 平行直线系方程 2. 平行直线系方程： A,B不变设方程，带已知点求m 解：设所求直线的方程为2x-3y+m=0 : 将 A(1,2) 代入到该方程中，可得2×1— 3×2+m=0 解得 m=4, 故所求直线方程为2x—3y+4=0。 典例分析 例 1 求过点A(1,2), 且平行于直线2x-3y+5=0 的直线方程? 例2 已知直线l的方程为3x+4y-12=0, 求过点(-1,3), 且与l 平行的直线l的方程? 解：由I与 l平行，可设I的方程为3x +4y+m=0(m≠-12). 将点(-1,3)代入上式得m=-9. ∴所求直线的方程为3x+4y-9=0. 典例分析 例3直线l₁ :2x+(m+1)y+4=0, 直 线l₂ :mx+3y-2=0 若l₁//L₂ 平行，求m的值? 解：由l₁:2x+(m+1)y+4=0,l₂:mx+3y-2=0 知： ①当m=0 时，显然l₁ 与l₂ 不平行； ②当m≠0 时 ，l₁//l₂, 则 解得m=2 或m=-3 , ∴m 的值为2或-3. 1 两条直线的平行 2平行直线系方程 3题型训练 学习过程 例 1 判断下列各题中的直线l₁与l₂是否平行： (1)l₁经过点A(-1,-2),B(2,1),l₂ 经过点M(3,4),N(-1,-1); (2)l₁的斜率为1, l₂经过点A(1,1),B(2,2); 解：(1) ki≠k2,/ 与1不平行 . 题型1判断两条直线是否平行 ,k1=k2, 故 /i||2或 1 与 2 重 合 . 题型探究 (2)k1=1, 例 1 判断下列各题中的直线l₁ 与l₂是否平行： (3)l₁ 经过点A(0,1),B(1,0),I₂ 经过点M(-1,3),N(2,0); (4)l₁ 经过点A(-3,2),B(—3,10),l₂ 经过点M(5,—2),N(5,5). 解：(3) 又 , 则A,B,M 则有 k1=k2. 不共线.故l₁//l₂ . (4)由已知点的坐标，得l₁与l₂均与x轴垂直且不重合，故有l₁//l₂ . 题 型 1 判断两条直线是否平行 题型探究 例2 已知直线l₁ 经过点A(3,a),B(a-1,2), 直线l₂经过C(1,2), D(-2,a+2); 若l₁//l₂ , 求a的值? 解：据题意， 若 l₁//l₂, 则k₁=k₂, 即 , 解 得a=1 或 a= 6. 题型1判断两条直线是否平行 经经验，当a=1 或a=6 时 ，l₁//l₂ · 题型探究 因为四边形ABCD 为平行四边形， 解得 所以D(-1,6). 解：设D 点坐标为(a,b), 所 以kAB=kcD,kAD=kBC, 例3 已知在□ABCD中 ，A(1,2),B(5,0),C(3,4), 求点D的坐标? 题型1判断两条直线是否平行 题型探究 所以 解：设所求直线的方程为3x+4y+m=0: 将 A(2,2) 代入到该方程中，可得3×2+ 4×2+m=0 解得 m=—14, 故所求直线方程为3x+4y 一 14=Q。 题型探究 题型2平行直线系方程 例4 直线1:3x+4y-20=0, 求过点A(2,2)且与直线/平行的直线方程? 题型探究 题型2平行直线系方程 例5 直线l:y=3x+1, 求过点A(2,2)且与直线l平行的直线方程? 解：设所求直线的方程为y=3x+m: 将 A(2,2) 代入到该方程中，可得2=3×2+m 解得 m=—4, 故所求直线方程为y=3x-4。 k₁= k ₂ 或斜率都不存在 l₁//L₂ 或 l₁ 与 l₂ 重 合 对于斜率分别为k₁,k₂ 的两条不重合的直线l₁,I₂, 有I₁//1₂⇔k₁=k₂ . 1. 两条直线平行与斜率： α1=α2≠90° α1=α2=90° 课堂小结 l₁//l₂ k₁=k₂ l₁//l₂ T α1=α2 斜率不变设方程，带已知点求m (1)与直线l平行的直线系方程 可设为 ： Ax+By+ m =0 (其中m 为参数) (2)与直线l平行的直线系方程 可设为 ： y=kx+ m (其中m 为参数) 已知直线l: A x+By+C=0 已知直线l: y=kx+b A,B不变设方程，带已知点求m 2. 平行直线系方程： 课堂小结 感谢聆听! $$