第1章 1.4 第1课时 两条直线平行(强基课—梯度进阶式教学)（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）  

1.4 两条直线的平行与垂直 两条直线平行 (强基课—梯度进阶式教学) 第1课时 课时目标 1．理解并掌握两条直线平行的条件．会运用直线方程的特征判定两条直线是否平行． 2．运用两直线平行时的斜率关系解决相应的几何问题． CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 1．斜率与两条直线平行的关系 (1)对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(其中b1≠b2)，l1∥l2⇔_____________. k1＝k2 平行或重合 微点助解 (1)利用“k1＝k2⇒l1∥l2”判定两条直线平行的前提条件是这两条直线的斜率都存在，且这两条直线不重合．反之，当l1∥l2时，未必有k1＝k2. (2)对于两条不重合的直线l1与l2，设它们的倾斜角分别为α1，α2，法向量分别为n1，n2，方向向量分别为v1，v2，则l1∥l2⇔α1＝α2⇔n1∥n2⇔n1＝λn2(λ为非零实数)⇔v1∥v2⇔v1＝μv2(μ为非零实数)，因此，我们除利用斜率来判断两直线是否平行外，还可以利用直线的倾斜角或方向向量来判断． 基点训练 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两条直线的倾斜角相等，则这两条直线必定平行． (　 ) (2)若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角一定相等． (　 ) (3)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行. (　 ) (4)若两直线斜率相等，则它们互相平行． (　 ) (5)若两条直线一条直线斜率不存在，另一条斜率存在，则它们一定不平行. (　 ) (6)若两条直线的斜率都不存在，则它们互相平行或重合． (　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√　(6)√ 2．过点(1,2)和点(－3,2)的直线与y＝3的位置关系是(　 ) A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对 √ 3．已知直线ax－(a＋1)y－1＝0与直线4x－6y＋3＝0平行，则实数a的值是________． 2 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 [例1]　判断下列各组直线是否平行，并说明理由． (1)l1：3x－2y－1＝0，l2：6x－4y－1＝0； (2)l1：2x－5y－7＝0，l2：5x－2y－1＝0； (3)l1经过P(3,3)，Q(－5,3)两点，l2平行于x轴，但不经过P，Q两点； (4)l1经过M(－1,0)，N(－5，－2)两点，l2经过R(－4,3)，S(0,5)两点． 题型(一)　判定两条直线平行 (3)l1经过P(3,3)，Q(－5,3)两点，可得l1平行于x轴，l2平行于x轴，但不经过P，Q两点，所以l1∥l2. 方法技巧 1．下列与直线4x－y－2＝0平行的直线的方程是(　 ) A．4x－y－4＝0 B．4x＋y－2＝0 C．x－4y－2＝0 D．x＋4y＋2＝0 针对训练 √ 解析：直线4x－y－2＝0斜率为4，纵截距为－2，A选项： 直线斜率为4，纵截距为－4，符合；B选项： 直线斜率为－4，纵截距为2，不符合；C选项： √ √ 由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2，D正确． 题型(二)　根据两直线平行求参数 √ [例3]　直线l1：ax＋3y＋2a＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋(a＋1)＝0平行，则“l1∥l2”是“a＝－2”的(　 ) A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 √ 解析：当l1∥l2时，有a(a－1)＝6，故a＝－2或a＝3，当a＝3时，l1的方程为x＋y＋2＝0，l2的方程为x＋y＋2＝0，此时两条直线重合，不符合题意；当a＝－2时，l1的方程为2x－3y＋4＝0，l2的方程为2x－3y－1＝0，符合题意．综上，“l1∥l2”是“a＝－2”的充要条件． 已知两直线平行求方程中的参数值的方法 (1)根据条件A1B2＝A2B1且B1C2≠B2C1或B1＝B2＝0且A1C2≠A2C1进行求解． (2)对两直线的斜率是否存在进行讨论，分斜率存在、斜率不存在两种情况求解．求出参数值后要将参数代入直线方程，检验两直线是否真正平行，排除两直线重合的情况． 方法技巧 针对训练 √ 4．已知A(－2，m)，B(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若AB∥MN，则m的值为________． 0或1 题型(三)　求平行直线的方程 即4x－3y＋13＝0. 法二　∵l′∥l，可设l′的方程为4x－3y＋m＝0(m≠－12)，将点(－1,3)代入得m＝13， ∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0. 法二　由题意知，所求直线不过原点，即在两坐标轴上的截距都不为0. 与已知直线平行的直线方程的求法 (1)由已知直线求出斜率，再利用平行直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，再由已知条件写出所求方程． (2)待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1. 方法技巧 5．已知直线l过点(0,3)，且与直线x－y－1＝0平行，则l的方程是 (　 ) A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0 针对训练 √ 解析：设直线l的方程为x－y＋c＝0(c≠－1)，由点(0,3)在直线x－y＋c＝0上，得0－3＋c＝0，解得c＝3，因此直线l的方程为x－y＋3＝0.故选D. 6．求与直线5x＋6y＋9＝0平行，并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是15的直线方程． 令x＝0， 得y＝b； 令y＝0， 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ A级——综合提能 1．过点A(2,5)和点B(－4,5)的直线与直线y＝3的位置关系是(　 ) A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对 解析：斜率都为0且不重合，所以平行． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2．过点(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为(　 ) A．2x＋y－1＝0 B．x－2y＋7＝0 C．x－2y－5＝0 D．2x＋y－5＝0 解析：设直线方程为x－2y＋c＝0(c≠3)， 因为直线过点(－1,3)， 所以－1－6＋c＝0， 解得c＝7.故所求直线方程为x－2y＋7＝0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4．[多选]直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题正确的是 (　 ) A．若l1∥l2，则斜率k1＝k2 B．若斜率k1＝k2，则l1∥l2 C．若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2 D．若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：直线l1与l2为两条不重合的直线，因为两条直线的倾斜角为90°时，没有斜率，所以A不正确； 因为两直线的斜率相等，即斜率k1＝k2，得到倾斜角的正切值相等，即tan α1＝tan α2，即可得到α1＝α2，所以l1∥l2，所以B正确； 若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2，所以C正确； 若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2，所以D正确． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5．[多选]三条直线2x＋y＝0,2x－y＝0,2x＋ay＝1构成三角形，则a的取值可以是(　 ) A．－1 B．1 C．2 D．3 解析：由题知直线2x＋y＝0与2x－y＝0都经过原点，而无论a为何值，直线2x＋ay＝1都不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线2x＋ay＝1与另两条直线不平行，所以a≠±1. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6．若过点P(3,2m)和点Q(－m,2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3,4)的直线平行，则m的值是________． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由题意知，PQ的斜率存在， 由kPQ＝kMN， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7．若直线l过点(3,4)，且平行于过点M(1,2)和N(－1，－5)的直线，则直线l的方程为___________________． 7x－2y－13＝0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：法一　由于直线l∥MN， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 即7x－2y－3＝0， 设与直线MN平行的直线l的方程为7x－2y＋m＝0(m≠－3)， 因为直线l过点(3,4)，代入， 解得m＝－13， 所以直线l的方程为7x－2y－13＝0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 －6 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：∵直线l2经过点M(1,1)和点N(0，－2)， ∵l1与l2没有公共点， 则l1∥l2， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9．已知直线l：2x－y＋4＝0在x轴上的截距为a，求过点(a,3a)且与直线l平行的直线方程． 解：因为2x－y＋4＝0，令y＝0，得x＝－2， 所以a＝－2，所以点(a,3a)为(－2，－6)． 设所求直线方程为2x－y＋C＝0(C≠4)， 代入(－2，－6)得－4＋6＋C＝0，则C＝－2， 所以所求直线的方程为2x－y－2＝0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知点A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，求点D的坐标． 解：设点D(x，y)，四边形ABCD的四条边AB，DC，AD，BC所在直线的斜率分别为kAB，kDC，kAD，kBC， 则由AB∥DC，AD∥BC可得kAB＝kDC，kAD＝kBC， 解得x＝0，y＝－2. 故点D的坐标为(0，－2)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——应用创新 11．张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次，使点(2,0)与点(－2,4)重合，点(2 023，2 024)与点(a，b)重合，则a＋b＝(　 ) A．4 046 B．4 047 C．4 048 D．4 049 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 －7 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为直线ax＋by＋1＝0与直线4x＋3y＋5＝0平行， 所以4b＝3a. 解得b＝－3， 所以a＝－4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 经检验，a＝－4，b＝－3符合题意， 所以a＋b＝－7. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．设直线l1的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0，直线l2的方程为4x＋(a－2)y－16＝0，其中a∈R. (1)若直线l1经过第二、三、四象限，求a的取值范围； (2)若直线l1∥l2，求a的值． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解得－1<a<2， 所以a的取值范围为(－1,2)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)因为l1∥l2， 所以(a＋1)(a－2)＝4， 解得a＝3或a＝－2. 检验：当a＝－2时，l1与l2重合，应舍去； 当a＝3时，l1∥l2.综上，a＝3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若直线l1与直线l2的斜率都不存在，则它们都是倾斜角为的直线，从而它们互相______________． 2．两条直线平行时一般式中的系数关系 设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，则 l1∥l2⇔或 解析：由题意得过点(1,2)和点(－3,2)的直线的斜率为k＝＝0，又因为y＝3的斜率为0，所以两直线平行， 故选B. 解析：直线4x－6y＋3＝0的斜率为，在y轴上的截距为.由条件知直线ax－(a＋1)y－1＝0的斜率为，所以＝，解得a＝2，此时该直线在y轴上的截距为－≠，故实数a的值为2. 解：(1)直线l1变形可得y＝x－，直线l2变形可得y＝x－， 所以两直线斜率k＝k＝，所以两直线平行． 又两直线在y轴上的截距分别为－和－， 所以两直线不重合，所以直线l1，l2平行． (2)直线l1变形可得y＝x－，直线l2变形可得y＝x－，两直线斜率≠，所以两直线不平行． (4)l1经过M(－1,0)，N(－5，－2)两点，k＝＝，l2经过R(－4,3)，S(0,5)两点， 则k＝＝， 又因为两直线在y轴上的截距分别为和5， 所以两直线不重合，所以l1∥l2. 判定两直线平行的常用方法 (1)用斜率判断两直线是否平行时，应先看两直线的斜率是否存在，若都不存在，则平行(不重合的情况下)；若存在，再看是否相等，若相等，则平行(不重合的情况下)． (2)用一般方程的系数 设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，则l1∥l2⇔或 (3)还可用直线的倾斜角、方向向量等．　　 直线斜率为，纵截距为－，不符合；D选项：直线斜率为－，纵截距为－，不符合． 2．[多选]下列各组直线中l1与l2一定平行的是(　 ) A．l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7) B．l1经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3) C．l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2) D．l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0,5) 解析：由题意知k1＝＝－，k2＝＝－，所以直线l1与直线l2平行或重合，又kBC＝＝－≠－，故l1∥l2，A正确； 由题意知k1＝＝1，k2＝＝1，所以直线l1与直线l2平行或重合，kFG＝＝1，故直线l1与直线l2重合，B错误； 由题意知k1＝tan 60°＝，k2＝＝，k1＝k2，所以直线l1与直线l2平行或重合，C错误； [例2]　已知直线l1：ax＋y－1＝0，l2：3x＋ay＋＝0，若l1∥l2，则它们的倾斜角为(　 ) A．30° B．60° C．120° D．60°或120° 解析：因为l1∥l2，所以a2＝3且a≠－，所以a＝.两直线的斜率为－，所以倾斜角为120°. 3．已知过点A(m，－1)和点B(2，m)的直线与直线x－y－1＝0平行，则m的值为(　 ) A． B．－ C．1 D．－1 解析：因为直线x－y－1＝0的斜率为1，所以kAB＝＝1，解得m＝.故选A. 解析：当m＝－2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意；当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线AB的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意；当m≠－2，且m≠－1时，kAB＝＝，kMN＝＝.因为AB∥MN，所以kAB＝kMN，即＝，解得m＝0或m＝1.当m＝0或m＝1时，经检验，两直线不重合． 综上，m的值为0或1. [例4]　已知直线l的方程为4x－3y－12＝0，直线l′与l平行，求满足下列条件的直线l′的方程． (1)l′经过点(－1,3)； (2)l′在两坐标轴上的截距之和为. ∴由点斜式得直线l′的方程为y－3＝(x＋1)， 解：(1)法一　l的方程可化为y＝x－4， ∴l的斜率为， ∵l′∥l， ∴l′的斜率为.又l′过点(－1,3)， (2)法一　由题意，设所求直线的方程为4x－3y＋n＝0(n≠－12)． 令x＝0，得y＝；令y＝0, 得x＝－，所以－＋＝，解得n＝28，所以所求直线的方程为4x－3y＋28＝0. 故可设所求直线的方程为＋＝1(a≠0，b≠0)， 则有 解得故所求直线的方程为4x－3y＋28＝0. 解：∵直线5x＋6y＋9＝0的斜率为－， ∴设所求直线方程为y＝－x＋b， 得x＝. 由题意知，b>0，>0， ∴×b×＝15， ∴b＝5，故所求直线方程为y＝－x＋5，即5x＋6y－30＝0. 3．设a∈R，如果直线l1：y＝－x＋与直线l2：y＝－x－平行，那么a的值为(　 ) A．－2或1 B．1 C．2 D．－1 解析：由已知可得解得a＝－2或a＝1. － 得＝， 解得m＝－. 经检验知，m＝－符合题意． 则直线l的斜率等于直线MN的斜率＝. 又直线l过点(3,4)， 所以直线l的方程为y－4＝(x－3)， 即7x－2y－13＝0. 法二　直线MN的方程为＝， 8．已知直线l1经过点A(0，－1)和点B，直线l2经过点M(1,1)和点N(0，－2)．若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________． ∴kl2＝＝3， ∵直线l1经过点A(0，－1)和点B， ∴kl1＝＝－. ∴－＝3， 解得a＝－6. 即＝，＝， 解析：设A(2,0)，B(－2,4)，则点A，B所在直线的斜率为kAB＝＝－1，由题意知，过点(2 023,2 024)，(a，b)的直线与直线AB平行，所以＝－1，整理得a＋b＝2 023＋2 024＝4 047. 12．“直线xsin θ＋y－1＝0与x＋ycos θ＋1＝0平行”是“θ＝”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：若直线xsin θ＋y－1＝0与x＋ycos θ＋1＝0平行，易得sin θ≠0，cos θ≠0，故＝≠，则sin θcos θ＝，即sin 2θ＝，sin 2θ＝1，所以2θ＝＋2kπ(k∈Z)，θ＝＋kπ(k∈Z)，得不到θ＝，故不是充分条件；反之，当θ＝时，＝≠成立， 故直线xsin θ＋y－1＝0与x＋ycos θ＋1＝0平行，是必要条件．故“直线xsin θ＋y－1＝0与x＋ycos θ＋1＝0平行”是“θ＝”的必要不充分条件． 13．已知直线ax＋by＋1＝0与直线4x＋3y＋5＝0平行，且直线ax＋by＋1＝0在y轴上的截距为，则a＋b的值为________． 又直线ax＋by＋1＝0在y轴上的截距为， 所以b＋1＝0， 解：(1)由题意可知直线l1斜率为负，且在纵轴上的截距为负，即 15．已知△ABC的三个顶点是A(－1，－1)，B(3,1)，C(1，6)，直线l平行于AB，分别交AC，BC于点E，F，△CEF的面积是△CAB面积的.求直线l的方程． 解：由题意，边AB所在直线的斜率为kAB＝＝，由题意知kl＝kAB＝，且E，F分别为边AC，BC的中点，故E点的坐标为， 所以直线l的方程为y＝x＋. $$