第一章 1.4 两条直线的平行与垂直-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019)

1.4 两条直线的平行与垂直 白题 时：25min 题组1两条直线平行与垂直的判定 7.(多选)(2025·江苏连云港高二期中)已知直 1.(多选)(2025·江苏徐州高二月考)已知41,2 线1：(m-1)x+y+1=0,A(1,2),B(3,3),则下 为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有 列结论正确的是 () ( A.直线恒过定点(0，-1) A.若L1,2斜率相等，则1，山2平行 B.当m=2时，直线1的倾斜角为45 B.若l1,平行，则1,2的斜率相等 C.当m=1时，直线1的斜率为0 C.若l1,2的斜率乘积等于-1，则1，2垂直 D.当m=-1时，直线l与直线AB垂直 D.若l1,垂直，则l1,2的斜率乘积等于-1 8.(2025·山西大同高二月考)若直线l与直线 2.(2025·陕西安康高二月考)直线(1的倾斜角 y= 2+2垂直，且它在y轴上的截距为4，则 为60°，2经过点M(1,3),N(2,23),则直 直线1的方程为 线1与直线l2的位置关系是 ( 9.已知点A(1,-2),B(m,2),线段AB的垂直平 A.平行 B.垂直 分线的方程是x+2y-n=0,则m= C.重合 D.平行或重合 n= 3.直线1的方向向量是e=(-1,2),则下列选项 10.(2025·广东江门高二月考)已知四边 中的直线与直线1垂直的是 形MNPQ的顶点M(1,1),N(3,-1),P(4, A.x-2y+3=0 B.x+2y-3=0 0),Q(2,2). C.2x-y+3=0 D.2x+y-3=0 题组2直线平行与垂直的应用 (1)求斜率ww与斜率kw; (2)求证：四边形MNPQ为矩形 4.(2025·江西抚州高二期中)已知直线l1:2x 3y+2=0,42:mx+4y-3=0,若(1⊥l2,则m的值为 8 A.-6 B.6 C. 3 5.(2024·江西吉安高二期中)经过点A(3,2),且 与直线4x+y-2=0平行的直线方程是( A.4x+y-14=0 B.2x+y-4=0 C.x-2y+1=0 D.4x+y+14=0 6.(2025·广东广州高二月考)直线ax-2y-1=0 和直线2y-3x+b=0平行，则直线y=ax+b和 直线y=3x+1的位置关系是 ( A.重合 B.平行 C.平行或重合 D.相交 选择性必修第一册·BS黑白题006 黑题 应用提忧 很时：30min 1.(2025·江西宜春高二月考)已知直线l1:mx+6.（2025·广东惠州高二月考)已知直线l,l2的 y+3=0和直线l2:3m+(m-2)y+m=0,则 斜率是方程x2-p-2=0的两个根，则() “m=0”是“l1∥儿2”的 ( A.11l2 A.充分不必要条件 B.4∥2 B.必要不充分条件 C.L,与2相交但不垂直 C.充要条件 D.L1与l2的位置关系不确定 D.既不充分也不必要条件 7.(2025·天津河西区高二期中)已知直线1： 2.(2025·山东菏泽高二月考)已知A(1,-1), ax+4y=2与直线12：2x-5y+b=0垂直，点 B(2,2),C(3,0)三点，且有一点D满足 (1,c)为垂足，则a+b+c等于 CD⊥AB,CB∥AD,则点D的坐标为( ) 8.(2025·陕西西安高二月考)设集合A={(x, A.（-1,0) B.(0,-1) C.(1,0) D.(0,1) 列1.B=1(,1a+2=0,若An 3.(多选)(2025·湖南岳阳高二期中)满足下列 B=⑦，则实数a= 条件的直线L1与L2,其中(1⊥l2的是(）9.在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为 A.1的倾斜角为45°，2的斜率为1 x-2y-1=0,∠BAC的平分线所在直线方程为 B4的率为经过点A(2,0),B(3) y=0,若点B的坐标为(2,1). (1)求点A和点C的坐标； C.L1经过点P(2,1),Q(-4,-5),l2经过点 (2)求AC边上的高所在的直线1的方程. M(-1,2),N(1,0) D.1,的方向向量为(1，m),l2的方向向量为 ,) 4.(2025·江西上饶高二月考)已知a,b都是正 实数，且直线2x-(b-3)y+6=0与直线bx+ay 5=0互相垂直，则2a+3b的最小值为( A.12 B.10 C.8 D.25 5.(2024·辽宁省实验中学高二月考)若点 P(xo,yo)是直线l:Ax+B+C=0外一点，则方 程Ax+By+C+(Ax+By。+C)=0表示( A.过点P且与I平行的直线 B.过点P且与I垂直的直线 C.不过点P且与1平行的直线 D.不过点P且与I垂直的直线 第一章黑白题0072少=0，则x=3,y=-2,所以xy=1赦选B 11.D解析：因为B(6,-7),C(4,-3),设BC边的中点为D,则 学）即06，-5.又440，所以o- =-5,故 BC边上的中线所在直线的方程为y-0=-5(x-4),即y■-5x+20.故 选D. 12.C解析：由题意得，点P(1,2)关于点(0,1)对称的点必在11上，设 1*=0, 该点为(x,y), 2 得(0(-1.0一定在雀线4上 故选C. 13.AC解析：由题意知AB的中点在直线x+y-4=0上，而AB的中点 坐标为（罗，空）所以214=0，解得m=2或m=3 2 2 故选AC. 第3课时直线方程的一般式和点法式 白题 基础过关 1.D解析：当m2-3m+2=0时，m=1或m=2,当m2-m=0时，m=0 或m=1,若方程(m2-3m+2)x+(m2-m)y-m+4=0表示一条直线 则m2-3m+2与m2-m不同时为零，所以m≠1.故选D. 2.A解析：直线3x-y+4■0的斜率为3，又倾斜角《的取值范围为 0°≤<180°，所以直线3x-y+4=0的倾斜角是60°.故选A. 3.A解桥：直线x-2+1=0的斜率为子，所以方向向量是(2,1).故 选A. 4.ACD解析：因为2×0-3×0+10，所以1不过原点，所以A正确：令 =0,得=，所以1在：轴上的截距为-子，所以B错误：把2x 10化为y户子宁质以1的斜率为号 ,所以C正确；把2x 3y+1=0化为一+=1，所以直线1与坐标轴围成的三角形的面积 11 23 5.ACD解析：因为A·B<0,故B≠0，所以直线方程的斜载式为y= C AxC因为A·B<0,B·G>0,所以-日>0，-<0，所以直线经 B*B 过第一象限、第三象限，第四象限故选ACD 6一3+24=0解析：直线2-3+12=0的斜率为号，在了轴上的裁距 为4根据题意，直线1的斜率为了，在)轴上的裁距为8，所以直线1 1 的方程为y产3+8，即x3+24=0 7.解：(1)令y=0,得x=m-3,由题意得m-3=-3,解得m=0. (2)因为直线1的斜率存在，所以直线1的方程可化为y= n3t+2 2 m3L,解得m=L 由题意得、 8.A解析：由”=(3,4)是直线1的一个法向量，又所求直线过点 P(1,2),所以由直线方程的点法式可得所求直线的方程为3(x-1)+ 4(y2)=0.即3x+4y-11=0.故选A 9.5解析：因为AB⊥1.所以AB=(-1-2,0+3)=(-3,3)为直线1的一 个法向量，又直线1过点A(2,-3),所以由直线方程的点法式可得所 求直线的方程为-3(x-2)+3(y+3)=0,即x-y-5=0.令y=0,可得x= 5,即直线1在x轴上的截距是5. 重难聚焦 10.A解析：由(2A+3)x+(A+4)y+2(A-1)=0,得A(2x+y+2)+(3x+ 女2列=0，由20。.解得2所以直线(2以+3+( 《y=2, 4)y+2(A-1)=0恒过定点(-2,2).故选A. 参考答案 11.B解析：根据直线方程可得y=k(x+2)-2,故直线过定点 (-2,-2),当>0时，若直线过原点可得k=1,当k≥1时，直线不过 第四象限，当k≤0时，直线过第四象限，综上可得k1,故选B 1.4两条直线的平行与垂直 白题基础过关 1.AC解析：根据两直线的位置关系可知，若1,2斜率相等，则1,3 平行：若41，山平行，当11,2都与y轴平行时，山1,2的斜率不存在，即 可得A正确，B错误：易知若4，的斜率乘积等于-1，则4,2垂直： 若11,42垂直，当马1与x轴平行，山2与y轴平行时，直线1的斜率为0， 2的斜率不存在，即可得C正确，D错误故远AC. 2.D解析：由点M(1,3),N(2,23),可求得直线2的斜率k2= 25-5。万，因为直线与的倾斜角为60°，所以直线4的斜率= 2-1 n60°=√5，则有k,=k2,则直线1与直线2平行或重合.故选D. 3.A解析：因为直线1的方向向量是e=(-1,2).所以直线1斜率k1= -2,所以与直线1垂直的直线的斜率为=了对于选项A:由 -2+3=0,可得斜率为，故选项A正确：对于选项B:由+2-3 0,可得斜率为子，枚选项B错误：对于选项C:由2y+3=0,可得 斜率为2，故选项C错误；对于选项D:由2x+y-3=0,可得斜率为-2， 故选项D错误故选A 4.B解析：因为1⊥2，所以2m-3×4=0,解得m=6故选B. 5.A解析：令所求直线方程为4x+y+C=0,将点A(3,2)代人，则 12+2+C=0,解得C=-14,所以所求直线方程为4x+y-14=0.故选A. 6.B解析：因为直线ax-2y-1=0和直线2y-3x+b=0平行，所以a=3. b≠1，故直线y=au+b为y=3x+b,与直线y=3x+1平行.故选B. 7.AC解析：直线l:(m-1)x+y+1=0,mr-x+y+1=0,当x=0时，y=-1, 所以直线恒过定点(0，-1)，A选项正确.m=2时，1：x+y+1=0,斜率 为-1，倾斜角为135°，B选项错误m=1时，：y=-1,直线的斜率为0. C选项正确.m=-1时，l:-2x+y+1=0,斜率为2，直线AB的斜率为 3-21 322x2 =1≠-1，所以直线1与直线AB不垂直，D选项错误 故选AC 8.2x-y+4=0解析：因为直线1与直线y产2+2垂直，所以直线1的 斜率=2又直线1在y轴上的截距为4，由直线方程的斜截式可得 y=2x+4,即2x-y+4=0.故答案为2x-y+4=0. 9.32解析：线段AB的垂直平分线的方程是x+2y-n=0,线 段AB的中点在直线x+2y-n=0上，且直线AB与直线x+2y-n=0互 1*m+2x2+2 n=0, 2 2 相垂直， (m=3 ()片 (n=2 1-m =-1. 10.(1)解：因为M(1,1),N(3,-1),P(4,0),Q(2,2),所以kw= -1-1 2- 3--1,ko2 =-1,即kwx=-1,kw=-1. (②)证明：因为w=-1,0=-1,所以N∥P0又因为k0=号=1， -0=1,所以M0∥P,所以四边形MNPQ为平行四边形.又 kw=34 因为kww·k0=-1,所以MNLM0,所以四边形MNPQ为矩形 果题 应用提忧 1.A解析：若11∥2，则m(m-2)=3m,解得m=5或m=0.若m=5,则 直线11：5x+y+3=0,直线2：15x+3y+5=0,可知11∥L2:若m=0,则直 线1：y+3=0,直线42：y=0,可知l1∥儿2，综上所述，m=5或m=0.所以 “m=0是“11∥2”的充分不必要条件故选A 2D解折：由愿意可知u一引3，a- =-2,若CD⊥AB CB/0,可知直线4D,0D的斜率存在，设D,),则a号 黑白题003 y-x3=-1 即 x- 解得=0·即 kAD=c8 y+1 1-2 y=1, D(0,1).故选D 3.BCD解析：对A,4,=am45=1,2=1,1·k2≠-l1,所以A不符 合题意对-号 x5=-1,故B符合题 意：对C,,5- 4-21在2=”=1·红2=-1，故C符合题 1 对D,因为(1，m)·（,)户1-1=0，所以两直线的方向向量互 相垂直，故1⊥L2,故D符合题意.故选BCD. 4.D解析：因为直线2x-(b-3)y+6=0与直线bx+ay-5=0互相垂直， 所以26-a(b-3)=0,即得26+3a=b,所以2+2=1.因为a,b都 0 b 是E实数所以2a+站=(2a+0)(名2）4+会，g9= 23 2√36+13=25.当且仅当a=b=5时，2a+3b取最小值25，故远D. 5.C解析：点P(0,o)不在直线l:A+B+C=0上，+Byo+C≠ 0,直线A+By+C+(Ao+y+C)=0不过点P 又直线Ax++C+(Ax。+Byg+C)=0与直线l:Ax+By+C=0平行，故 远C. 6.C解析：设直线1,2的斜率为k1,2,测与2=-2，kk≠-1， ·4,凸2不垂直，A错误：若k1=,则k=号≥0，与k=-2矛 盾，1≠，，2不平行，B错误；(，山不平行，也不垂直 ·4,山2相交但不垂直，C正确，D借误故选C. 7.-4解析：因为1：ar+4y=2,所以11：ax+4y-2=0.因为两条直线垂 直，且2：2x-5y+b=0,所以2×a-5×4=0,解得a=10,此时l1:10x+ 4y-2=0,将(1，c)代入l1:10x+4y-2=0中，得到10+4c-2=0,解 得c=-2,此时垂足为点(1，-2).将(1，-2)代人12：2-5y+b=0中，得 到2-5×(-2)+6=0，解得6=-12，故a+6+c=10-12-2=-4.放答案 为-4 a1政号解折：集合4-{)宫}=(=3， x≠2，B=|(x,y)lary+2=0,且AnB=☑，直线y=x+3与直线 ax-y+2=0平行，或直线ax-y+2=0经过点(2,5)，即a=1或2a- 52=00=号故答案为1或号 3 9.解：(1)如图，因为点A在直线x-2y-1=0和 直线y=0上，所以A(1,0),直线AB的斜率 为是1因为∠B4G的平分线所在直线为： 轴，所以直线AC的斜率为-1，所以直线AC 的方程为y=-(x一1)，即y=-x+1.因为直线 -2-10的斜率为宁，所以直线BC的斜 率为-2设C(m,-m+1),即女c=1上（二m+卫。-2，解得m=4所以 2-m C(4.-3). (2)由(1)可知k·kc=-1,所以AB⊥AC,所以AB即为AC边上的 高.由于直线AB的斜率为1，且过A(1,0),所以AC边上的高所在的 直线l的方程为y=x-L. 1.5两条直线的交点坐标 白题 基础过关 1.CD解析：易知直线x+y-1=0的斜率为-1，所以与直线x+y-1=0 相交的直线的斜率必定不为-1，选项A,B中的直线的斜率都是-1， 选项C,D中的直线的斜率都是1，故A.B不符合题意，故选CD. 2.B解析：方程2x+y+1=0可化为y=-2x-1,因此该直线的斜率 1 店=-2方程x+2y+1三0可化为y=-7-7,因此该直线的 率=2，因为1≠k,k·=1≠-1，所以这两条直线相交但不 选择性必修第一册·BS 垂直故选B. 3.D解析：由 +1=0,解得任=2即交点坐标为(2,3).又直线 (2x-y-1=0, ly=3, 3x+45=0的斜率为子，所以要求的直线斜率为了，故直线方程 3 4 4 为y一3=3(x2),即4-3列+1=0.故选D. 4.A解析：当a=-1时，1xy+4=0,此时1∥2，不满足题意；当a≠ 6 一1时，解方程组 a+y40得 a+1' 即交点坐标为 6 (x-y-2=0, 4-2a a+1 a+1, 6 4-2a 0*720, +1 .因为交点位于第一象限，所以 4-2a,0, 解得-1<a<2,即实 (a+1 数a的取值范围为(-1,2).故选A 5.C解析：由2+y40解得：=2即两直线交点坐标为(2,0，代 (xy-2=0, y=0, 入-y+3=0,得24-0+3=0，解得k=-故选C】 655+2=0篇折：由20解得交点坐标为-1,2)，又 所求直线的倾斜角为了，故斜率为m号=厅，所以直线方程为 y-2=√3(x+1),即3x-y+w3+2=0,故答案为N3x-y+V3+2=0. 1.4解析：如图，令2x+y一6=0中y=0,得x=3,所以与x轴交于A(3, 0),令x-2y+2=0中x=0,得y=1,所以与y轴交于B(0,1),由 260可得=？：所以两直线交于P(2,2),所以围成的四边 (x-2y+2=0. {y=2. 形面积为5=1+2)22×(3-2】=4，故答案为4 2 2 y P 2+204 2x+-6=-0 解：()设直线马和直线的斜率分别为山，由感意知=子 因为山，所以=2又因为直线马在：轴上的藏距为子，所以直 线5过点（二，0），所以直线的方程为y=2(2),即6：2 3 {x+24=0解得任2即交点坐标为(2,1) y3=0联立2x3=0, 0y=1, (2)因为直线不过原点，设其在x轴上的截距为a,所以方程为 名名=1因为注(2.).所以子六1，解得。多所以直线 a 2a 3的方程为2x+y-5=0. 1 9.解：(1)因为B边所在直线的方程为x-3+8=0,所以kn=了又因 为矩形ABCD中，AD⊥AB,所以kAD=-3所以由点斜式可得AD边所 在直线的方程为y-6=-3(x-0),即3x+y-6=0. (2)由-3+8=0解得=即A(1,3),所以对角线4C所在直线 (3x+y-6=0, y=3, 的方果为号引即可2=0 黑题 应用提优 1.ABC解析：直线l1的斜率为k1=-si血a,过定点(0,0)，直线2的斜 率为=子过点(-，0).若直线4与相交，则血a≠弓，面 -1≤sina≤l,即sina≠ 号可以成立若直线，与马垂直，则 1 3 ina=-1,则sina=-3,与-1≤aina≤1矛盾，直线l1与b不可能 黑白题004