河北省石家庄市赵县2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷

2024-2025学年河北省石家庄市赵县八年级（下）期末数学试卷 一、单选题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分） 1．（3分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）如果直线y＝kx+b经过一、二、四象限，则k，b的取值分别是（　　） A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0 3．（3分）1687年，牛顿通过观察苹果落地的现象，发现任何物体之间都有相互吸引力，从而提出万有引力定律，下面的哪一幅图可以大致刻画出苹果整个下落过程中（即落地前）的速度变化情况（　　） A． B． C． D． 4．（3分）如图，有3个村庄可以用点A，B，C来表示，若AB⊥BC，且AC＝10千米，在AC上有个水源D，若水源D到A，C两个村庄的距离相等，则水源D到B村的距离为（　　） A．3千米 B．4千米 C．5千米 D．6千米 5．（3分）如图，数轴上的点A，C表示的实数分别是﹣2，1，BC⊥AC于点C，且BC的长度为1个单位长度，连接AB．若以点A为圆心，AB长为半径画弧交数轴于点P，则点P所表示的实数为（　　） A． B． C． D． 6．（3分）根据如图所示程序计算函数值，若输入的x的值为，则输出的函数值为（　　） A． B． C．1 D． 7．（3分）如图在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1m，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5m，由此可计算出学校旗杆的高度是（　　） A．8m B．10m C．12m D．15m 8．（3分）要将直线y＝2x+3平移后过点（2，8），下列平移方法正确的是（　　） A．向上平移1个单位长度 B．向下平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度 9．（3分）题目：“已知5个数据a，b，c，d，e的平均数为6，求这5个数据的方差．”在计算时小方的式子为：S2，小程的式子为：S2.则小方，小程所列的式子（　　） A．小方正确，小程错误 B．小方错误，小程正确 C．都正确 D．都错误 10．（3分）如图，在正方形ABCD右侧作△ADE，使AD＝AE，（0°＜∠DAE＜90°），连接BE，随着∠DAE由小到大的变化，∠BED的大小是（　　） A．由小到大 B．45° C．由大到小 D．会发生变化，但无规律 11．（3分）下列说法中正确的有（　　） ①当k≠0时，是正比例函数； ②如果y＝（a+3）x+a2﹣9是正比例函数，那么a＝±3； ③如果y与x+2成正比例，那么y是x的正比例函数； ④如果，那么y与x2成正比例． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 12．（3分）已知Rt△ACB≌Rt△DEF，其中∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，M，N分别为DF，AB的中点，将两个三角形按图①方式摆放，三角形DEF从点A开始沿AC方向平移至点E与点C重合结束（如图②，在整个平移过程中，MN的取值范围是（　　） A． B．1≤MN≤5 C． D． 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分） 13．（3分）若数据2，x，4，8的平均数是4，则这组数据的众数是　 　 ． 14．（3分）如图，正方形ABCD的面积为4，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为 　 　 ． 15．（3分）三国时期数学家赵爽为《周髀算经》作注解写《勾股圆方图注》时给出了“赵爽弦图”，如图1，连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的较长直角边为4，斜边为，那么图2中阴影部分的面积为　 　 ． 16．（3分）在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣x﹣1与x轴交于点A1，如图，依次作正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1，⋯，正方形AnBn∁nCn﹣1，使得点A1，A2，A3，⋯在直线l上，点C1，C2，C3，⋯在y轴正半轴上，则点B2025的坐标为　 　 ． 三、解答题（本大题共8道小题，共72分） 17．（7分）某室内展区有一块长方形闲置区域ABCD（如图），该区域的长BC为米，宽AB为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． （1）求该长方形闲置区域ABCD的周长； （2）除去放置展台的地方，其余区域全部需要铺上红毯，若所铺红毯的售价为10元/平方米，则购买红毯大约需要花费多少元？ （参考数据：，结果精确到0.1） 18．（8分）已知淇淇家、公园、文具店在同一条直线上．淇淇从家去公园，在公园锻炼了一段时间后又到文具店买文具，然后再回家．如图反映了这个过程中，淇淇离家的距离y与时间x之间的对应关系．根据图像信息填空． （1）淇淇家距离公园 　 　 米；公园距离文具店 　 　 米； （2）淇淇从家到公园过程中，离家的距离y与时间x间的函数关系式是 　 　 ； （3）淇淇在文具店买文具花了 　 　 分钟； （4）淇淇从文具店回家的平均速度为 　 　 米/分． 19．（8分）为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下． 技术统计表 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题． （1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是 　 　 （填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为 　 　 分． （2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好． （3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误×（﹣1），且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 20．（8分）如图，A，B两村庄相距3千米，C为供气站，AC＝2.4千米，BC＝1.8千米，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站C直接铺设管道分别到A村和B村； 方案二：过点C作AB的垂线，垂足为点H，先从C铺设管道到点H处，再从点H处分别向A、B两村铺设． （1）试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明． 21．（9分）如图，在▱ABCD中，BE⊥AD交DA的延长线于点E，AE＝AD． （1）求证：四边形AEBC是矩形； （2）F为CD的中点，连接AF，BF．已知AB＝6，BF⊥AF，求BF的长． 22．（9分）如图，小区计划在1号楼、2号楼和3号楼之间安装一个饮水机，方便住户打水，三栋楼的位置如图所示，经调查，1号楼每天有20户打水，2号楼每天有50户打水，3号楼每天有a户打水，设饮水机距1号楼x米，当将饮水机建在1号楼和2号楼之间时，所有需要打水的住户到饮水机的总距离y（米）与x（米）之间满足的关系式为y＝﹣70x+3000． （1）求a的值； （2）当饮水机在1号楼和3号楼之间时，若要每天所有去打水的住户到饮水机的距离总和最小，通过计算说明饮水机所安装的位置． 23．（11分）平面直角坐标系中，线段MN的端点为M（15，26），N（﹣12，﹣10）． （1）求MN所在直线的解析式； （2）有一动点P（a，a+3），淇淇说：“无论a怎样变化，点P都在一条确定的直线上．”请对淇淇的说法进行说理； （3）在（2）的条件下，设线段MN分别交x轴，y轴于A，B两点． ①当PM+PN取得最小值时，求a的值； ②若点P在△AOB的内部（不含边界），直接写出a的取值范围． 24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，如果P，Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x轴，y轴平行，那么称该菱形为点P，Q的“相关菱形”． 图1为点P，Q的“相关菱形”的一个示意图． 已知点A的坐标为（1，4），点B的坐标为（b，0）． （1）如果b＝3，那么R（﹣1，0），S（5，4），T（6，4）中能够成为点A，B的“相关菱形”顶点的是 　 　 ． （2）如果点A，B的“相关菱形”为正方形，求点B的坐标． （3）如图2，在矩形OEFG中，F（3，2），点M的坐标为（m，3），如果在矩形OEFG上存在一点N，使得点M，N的“相关菱形”为正方形，直接写出m的取值范围． 2024-2025学年河北省石家庄市赵县八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C B C B B C A D B C 题号 12 答案 D 一、单选题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分） 1．（3分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断． 【解答】解：A． 与不能合并，所以A选项不符合题意； B．原式＝2，所以B选项不符合题意； C．原式2，所以C选项不符合题意； D．原式，所以D选项符合题意； 故选：D． 2．（3分）如果直线y＝kx+b经过一、二、四象限，则k，b的取值分别是（　　） A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0 【答案】C 【分析】根据一次函数y＝kx+b图象在坐标平面内的位置关系先确定k，b的取值范围，从而求解． 【解答】解：由一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限， 又由k＜0时，直线必经过二、四象限，故知k＜0． 再由图象过一、二象限，即直线与y轴正半轴相交，所以b＞0． 故选：C． 3．（3分）1687年，牛顿通过观察苹果落地的现象，发现任何物体之间都有相互吸引力，从而提出万有引力定律，下面的哪一幅图可以大致刻画出苹果整个下落过程中（即落地前）的速度变化情况（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据自由落体运动的公式直接判断函数关系式，再判断函数图象． 【解答】解：苹果从树上落下来，基本是自由落体运动， 即v＝gt，g为定值，故v与t成正比例函数，v随t的增大而增大． 符合条件的只有选项B． 故选：B． 4．（3分）如图，有3个村庄可以用点A，B，C来表示，若AB⊥BC，且AC＝10千米，在AC上有个水源D，若水源D到A，C两个村庄的距离相等，则水源D到B村的距离为（　　） A．3千米 B．4千米 C．5千米 D．6千米 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质，即可解答． 【解答】解：∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∵水源D到A，C两个村庄的距离相等， ∴BDAC＝5（千米）， 故选：C． 5．（3分）如图，数轴上的点A，C表示的实数分别是﹣2，1，BC⊥AC于点C，且BC的长度为1个单位长度，连接AB．若以点A为圆心，AB长为半径画弧交数轴于点P，则点P所表示的实数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据实数与数轴的关系解答即可． 【解答】解：数轴上的点A，C表示的实数分别是﹣2，1，且BC的长度为1个单位长度， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：． ∴点P表示的数为． 故选：B． 6．（3分）根据如图所示程序计算函数值，若输入的x的值为，则输出的函数值为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先根据输入的数值，选择关系式，然后将x的值代入相应的关系式进行计算即可． 【解答】解：∵02， ∴y＝x2． 当x时，y＝（）2． 故选：B． 7．（3分）如图在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1m，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5m，由此可计算出学校旗杆的高度是（　　） A．8m B．10m C．12m D．15m 【答案】C 【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度． 【解答】解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米， 根据勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2， 解得，x＝12． 即旗杆的高度为12米． 故选：C． 8．（3分）要将直线y＝2x+3平移后过点（2，8），下列平移方法正确的是（　　） A．向上平移1个单位长度 B．向下平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度 【答案】A 【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出答案即可． 【解答】解：由条件可知直线y＝2x+3经过点（2，7）， ∵平移后经过点（2，8）， ∴直线y＝2x+3的图象向上平移1个单位后就经过点（2，8）； 把y＝8代入y＝2x+3得：2x+3＝8， 解得：， ∴直线y＝2x+3经过点， 由条件可得直线y＝2x+3向左平移个单位，经过点（2，8）， 综上分析可知：直线y＝2x+3的图象向上平移1个单位后就经过点（2，8）或直线y＝2x+3向左平移个单位，经过点（2，8）． 故选：A． 9．（3分）题目：“已知5个数据a，b，c，d，e的平均数为6，求这5个数据的方差．”在计算时小方的式子为：S2，小程的式子为：S2.则小方，小程所列的式子（　　） A．小方正确，小程错误 B．小方错误，小程正确 C．都正确 D．都错误 【答案】D 【分析】根据方差的定义和计算公式计算即可． 【解答】解：小方的式子中缺少（d﹣6）2的项，错误； 小程的式子不是方差的计算式子，错误； 故选：D． 10．（3分）如图，在正方形ABCD右侧作△ADE，使AD＝AE，（0°＜∠DAE＜90°），连接BE，随着∠DAE由小到大的变化，∠BED的大小是（　　） A．由小到大 B．45° C．由大到小 D．会发生变化，但无规律 【答案】B 【分析】设∠DAE＝2x，根据等边对等角和三角形内角和定理求出∠AED的度数，再根据正方形的性质证明AB＝AE，进而求出∠AEB的度数，据此可得答案． 【解答】解：在正方形ABCD右侧作△ADE，使AD＝AE， 设∠DAE＝2x， ∴， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∴∠BAE＝90°+2x， ∵AD＝AE， ∴AB＝AE， ∴， ∴∠BED＝∠AED﹣∠AEB＝45°， 故选：B． 11．（3分）下列说法中正确的有（　　） ①当k≠0时，是正比例函数； ②如果y＝（a+3）x+a2﹣9是正比例函数，那么a＝±3； ③如果y与x+2成正比例，那么y是x的正比例函数； ④如果，那么y与x2成正比例． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，由此即可判断． 【解答】解：①当k≠0时，是正比例函数， 故该选项说法正确，符合题意； ②如果y＝（a+3）x+a2﹣9是正比例函数，那么a＝3， 故该选项说法错误； ③如果y与x+2成正比例，那么y＝k（x+2）不是x的正比例函数， 故该选项说法错误； ④如果，那么y与x2成正比例， 故该选项说法正确． ∴正确的有2个， 故选：C． 12．（3分）已知Rt△ACB≌Rt△DEF，其中∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，M，N分别为DF，AB的中点，将两个三角形按图①方式摆放，三角形DEF从点A开始沿AC方向平移至点E与点C重合结束（如图②，在整个平移过程中，MN的取值范围是（　　） A． B．1≤MN≤5 C． D． 【答案】D 【分析】先根据题意确定MN取得最大值和最小值时的位置，再综合应用中位线的性质即可解答． 【解答】解：如图①，连接BD，此时MN最大， ∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB10 ∵Rt△ACB≌Rt△DEF， ∴DA＝AB＝10，∠D＝∠BAC，∠E＝∠C＝90°， ∵∠D+∠DAE＝90°， ∴∠DAE+∠BAC＝90°， ∴∠DAB＝90°， ∴BDAB＝10， ∵M、N分别为DF、AB的中点， ∴MNBD＝5； 如图②，当MN∥BC时，MN最小， 延长MN交AC于点H，根据中位线的性质可得NHBC＝4， MHED＝3， ∴MN＝4﹣3＝1， 综上所述，MN的取值范围是1≤MN≤5． 故选：D． 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分） 13．（3分）若数据2，x，4，8的平均数是4，则这组数据的众数是　2　 ． 【答案】2． 【分析】先根据数据2，x，4，8的平均数是4，得出x＝2，根据出现次数最多的数为众数进行作答即可． 【解答】解：∵数据2，x，4，8的平均数是4， ∴4， ∴x＝2， ∴数据2，2，4，8的众数是2， 故答案为：2． 14．（3分）如图，正方形ABCD的面积为4，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为 　2　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据正方形的性质推出BE＝AF，BE∥AF得到平行四边形BHFA，推出AB∥HF，AB＝HF，同理得到BC＝EG，BC∥EG，推出HF⊥EG，根据三角形的面积公式求出即可． 【解答】解：连接HF、EG， ∵正方形ABCD的面积为4， ∴BC∥AD，BC＝AD， ∵H、F分别为边AD、BC的中点， ∴四边形BFHA是平行四边形， ∴AB＝HF，AB∥HF， 同理BC＝EG，BC∥EG， ∵AB⊥BC， ∴HF⊥EG， ∴四边形EFGH的面积是EG×HF2×2＝2． 故答案为：2． 15．（3分）三国时期数学家赵爽为《周髀算经》作注解写《勾股圆方图注》时给出了“赵爽弦图”，如图1，连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的较长直角边为4，斜边为，那么图2中阴影部分的面积为　12　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】先利用勾股定理求出直角三角形较短的直角边的长，再根据阴影部分面积等于四个直角三角形面积加上中间一个正方形面积求解即可． 【解答】解；∵直角三角形的较长直角边为4，斜边为， ∴较短的直角边的长度为， ∴， 所以图2中阴影部分的面积为12， 故答案为：12． 16．（3分）在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣x﹣1与x轴交于点A1，如图，依次作正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1，⋯，正方形AnBn∁nCn﹣1，使得点A1，A2，A3，⋯在直线l上，点C1，C2，C3，⋯在y轴正半轴上，则点B2025的坐标为　（﹣22024，22025﹣1）　 ． 【答案】（﹣22024，22025﹣1）． 【分析】先求出B1、B2、B3的坐标，然后发现规律，运用规律即可解答． 【解答】解：由条件可知A1点坐标（﹣1，0），B1坐标（﹣1，1）， ∵C1A2∥x轴，即：A2坐标（﹣2，1）， ∵四边形A2B2C2C1是正方形， ∴B2坐标（﹣2，3）， ∵C2A3∥x轴， ∴A3坐标（﹣4，3）， ∵四边形A3B3C3C2是正方形， ∴B3（﹣4，7）， ∵B1（﹣20，21﹣1），B2（﹣21，22﹣1），B3（﹣22，23﹣1），……， ∴点B2025的坐标为（﹣22024，22025﹣1）． 故答案为：（﹣22024，22025﹣1）． 三、解答题（本大题共8道小题，共72分） 17．（7分）某室内展区有一块长方形闲置区域ABCD（如图），该区域的长BC为米，宽AB为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． （1）求该长方形闲置区域ABCD的周长； （2）除去放置展台的地方，其余区域全部需要铺上红毯，若所铺红毯的售价为10元/平方米，则购买红毯大约需要花费多少元？ （参考数据：，结果精确到0.1） 【答案】（1）米； （2）1350.70元． 【分析】（1）根据长方形的周长进行列式计算，即可作答． （2）先算出其余区域的面积为平方米，再结合所铺红毯的售价为10元/平方米，进行列式计算，即可作答． 【解答】解：（1）依题意，（米）． 答：该长方形闲置区域ABCD的周长为米． （2）（平方米）． ∴其余区域的面积为平方米， （元）． 答：购买红毯大约需要花费1350.70元． 18．（8分）已知淇淇家、公园、文具店在同一条直线上．淇淇从家去公园，在公园锻炼了一段时间后又到文具店买文具，然后再回家．如图反映了这个过程中，淇淇离家的距离y与时间x之间的对应关系．根据图像信息填空． （1）淇淇家距离公园 　2000　 米；公园距离文具店 　500　 米； （2）淇淇从家到公园过程中，离家的距离y与时间x间的函数关系式是 　y＝200x（0≤x≤10）　 ； （3）淇淇在文具店买文具花了 　15　 分钟； （4）淇淇从文具店回家的平均速度为 　60　 米/分． 【答案】（1）2000，500； （2）y＝200x（0≤x≤10）； （3）15； （4）60． 【分析】（1）根据图象计算即可； （2）根据速度＝路程÷时间求出淇淇从家到公园过程中的速度，从而写出y与x的函数关系式即可； （3）根据图象计算即可； （4）根据速度＝路程÷时间计算即可． 【解答】解：（1）淇淇家距离公园2000米，公园距离文具店2000﹣1500＝500（米）． 故答案为：2000，500． （2）淇淇从家到公园过程中的速度为2000÷10＝200（米/分），则离家的距离y与时间x间的函数关系式是y＝200x（0≤x≤10）． 故答案为：y＝200x（0≤x≤10）． （3）淇淇在文具店买文具花了 55﹣40＝15（分钟）． 故答案为：15． （4）淇淇从文具店回家的平均速度为1500÷（80﹣55）＝60（米/分）． 故答案为：60． 19．（8分）为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下． 技术统计表 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题． （1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是 　甲　 （填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为 　29　 分． （2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好． （3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误×（﹣1），且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据中位数的计算方法求解即可； （2）根据平均数的概念求解即可； （3）根据“综合得分”的计算方法求出甲和乙的得分，然后比较求解即可． 【解答】解：（1）由折线图可得甲得分更稳定， 把乙的六次成绩按从小到大的顺序排序，第三次、第四次的成绩分别为28和30， 故中位数为29， 故答案为：甲，29； （2）因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定，所以甲队员表现更好．（注：答案不唯一，合理即可）； （3）甲的综合得分为：26.5×1+8×1.5+2×（﹣1）＝36.5． 乙的综合得分为：26×1+10×1.5+3×（﹣1）＝38． 因为38＞36.5，所以乙队员表现更好． 20．（8分）如图，A，B两村庄相距3千米，C为供气站，AC＝2.4千米，BC＝1.8千米，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站C直接铺设管道分别到A村和B村； 方案二：过点C作AB的垂线，垂足为点H，先从C铺设管道到点H处，再从点H处分别向A、B两村铺设． （1）试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形； （2）由△ABC的面积求出CH，得出AC+BC＜CH+AB，即可得出结果． 【解答】解：（1）△ABC是直角三角形．理由如下： ∵AC2+BC2＝2.42+1.82＝9，AB2＝32＝9， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形； （2）∵△ABC的面积， ∴（米）； ∵AC+BC＝2.4+1.8＝4.2（米）， CH+AB＝1.44+3＝4.44（米）， 4.2米＜4.44米， ∴方案一所修的管道较短． 21．（9分）如图，在▱ABCD中，BE⊥AD交DA的延长线于点E，AE＝AD． （1）求证：四边形AEBC是矩形； （2）F为CD的中点，连接AF，BF．已知AB＝6，BF⊥AF，求BF的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先由四边形ABCD是平行四边形，得AD∥BC，AD＝BC，因为AE＝AD，故AE∥BC，AE＝BC，得证四边形AEBC是平行四边形，再结合有一个角是90°的平行四边形是矩形，即可作答． （2）因为四边形AEBC是矩形，则∠CAD＝∠CAE＝90°，因为F为CD的中点，所以，因为∠AFB＝90°，由勾股定理得，代入数值进行计算，即可作答． 【解答】（1）证明：由题意可得：AD∥BC，AD＝BC， ∵AE＝AD， ∴AE∥BC，AE＝BC， ∴四边形AEBC是平行四边形， 又∵BE⊥AD， ∴∠AEB＝90°， ∴四边形AEBC是矩形． （2）解：由（1）得四边形AEBC是矩形，AD＝BC， ∴∠CAD＝∠CAE＝90°， 由题意可得：， ∵∠AFB＝90°， 由勾股定理得． 22．（9分）如图，小区计划在1号楼、2号楼和3号楼之间安装一个饮水机，方便住户打水，三栋楼的位置如图所示，经调查，1号楼每天有20户打水，2号楼每天有50户打水，3号楼每天有a户打水，设饮水机距1号楼x米，当将饮水机建在1号楼和2号楼之间时，所有需要打水的住户到饮水机的总距离y（米）与x（米）之间满足的关系式为y＝﹣70x+3000． （1）求a的值； （2）当饮水机在1号楼和3号楼之间时，若要每天所有去打水的住户到饮水机的距离总和最小，通过计算说明饮水机所安装的位置． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）分别用含有x的代数式分别将2号楼、3号楼离饮水机的距离表示出来，根据“1号楼离饮水机的距离×1号楼打水的户数+2号楼离饮水机的距离×号楼打水的户数+3号楼离饮水机的距离×3号楼打水的户数＝﹣70x+3000”列关于a的一元一次方程并求解即可； （2）分别求出当饮水机在1号楼和2号楼之间、在2号楼和3号楼之间时y与x的关系式，根据一次函数的增减性和x的取值范围，分别确定当x为何值时y值最小，比较两个y的最小值即可得到结论． 【解答】解：（1）根据题意，得2号楼距离饮水机（20﹣x）米，3号楼距离饮水机（50﹣x）米， 则20x+50（20﹣x）+（50﹣x）a＝﹣70x+3000， 解得a＝40， ∴a的值为40． （2）当饮水机在1号楼和2号楼之间时，y＝﹣70x+3000， ∵﹣70＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵0≤x≤20， ∴当x＝20时，y值最小，y最小＝﹣70×20+3000＝1600； 当饮水机在2号楼和3号楼之间时，y＝20x+50（x﹣20）+40（50﹣x）＝30x+1000， ∵30＞0， ∴y随x的减小而减小， ∵20≤x≤50， ∴当x＝20时，y值最小，y最小＝30×20+1000＝1600． 综上，当饮水机安装在2号楼时，每天所有去打水的住户到饮水机的距离总和最小． 23．（11分）平面直角坐标系中，线段MN的端点为M（15，26），N（﹣12，﹣10）． （1）求MN所在直线的解析式； （2）有一动点P（a，a+3），淇淇说：“无论a怎样变化，点P都在一条确定的直线上．”请对淇淇的说法进行说理； （3）在（2）的条件下，设线段MN分别交x轴，y轴于A，B两点． ①当PM+PN取得最小值时，求a的值； ②若点P在△AOB的内部（不含边界），直接写出a的取值范围． 【答案】（1）yx+6； （2）P点在直线y＝x+3上； （3）①a＝﹣9； ②﹣3≤a≤0． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）令x＝a，y＝a+3，即可知P点在直线y＝x+3上； （3）①当直线MN与直线y＝x+3的交点为P点，此时PM+PN的最小值为MN，求出P点坐标即可； ②直线y＝x+3与x轴的交点为（﹣3，0），与y轴的交点为（0，3），可得﹣3≤a≤0时点P在△AOB的内部（不含边界）． 【解答】解：（1）设直线MN的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线MN的解析式为yx+6； （2）令x＝a，y＝a+3， ∴P点在直线y＝x+3上； （3）当直线MN与直线y＝x+3的交点为P点，此时PM+PN的最小值为MN， 当x+3x+6时，解得x＝﹣9， ∴P（﹣9，﹣3）， ∴a＝﹣9； ②当x＝0时，y＝6， ∴B（0，6）， 当y＝0时，x， ∴A（，0）， 直线y＝x+3与x轴的交点为（﹣3，0），与y轴的交点为（0，3）， ∵点P在△AOB的内部（不含边界）， ∴﹣3≤a≤0． 24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，如果P，Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x轴，y轴平行，那么称该菱形为点P，Q的“相关菱形”． 图1为点P，Q的“相关菱形”的一个示意图． 已知点A的坐标为（1，4），点B的坐标为（b，0）． （1）如果b＝3，那么R（﹣1，0），S（5，4），T（6，4）中能够成为点A，B的“相关菱形”顶点的是 　S、R　 ． （2）如果点A，B的“相关菱形”为正方形，求点B的坐标． （3）如图2，在矩形OEFG中，F（3，2），点M的坐标为（m，3），如果在矩形OEFG上存在一点N，使得点M，N的“相关菱形”为正方形，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）S、R； （2）（﹣3，0）或（5，0）； （3）﹣3≤m≤6． 【分析】（1）观察图象可知：S能够成为点A，B的“相关菱形”顶点； （2）如图2中，过点A作AH垂直x轴于H点．根据正方形的性质可知BH＝4，由此可求得点B的坐标； （3）过点M作MG⊥x轴，垂足为G，可得到△MGN为等腰直角三角形，然后分为点N与点E重合、点N与点O两种情况求得m的最大值和最小值，从而可确定出m的范围． 【解答】解：（1）如图1中，观察图象可知S、R能够成为点A，B的“相关菱形”顶点． 故答案为：S、R． （2）如图2中，过点A作AH垂直x轴于H点． ∵点A，B的“相关菱形”为正方形， ∴△ABH为等腰直角三角形． ∵A（1，4）， ∴BH＝AH＝4． ∴b＝﹣3或5． ∴B点的坐标为（﹣3，0）或（5，0）． （3）如图所示：当点N与点E重合时，过点M作MH⊥x轴，垂足为H． ∵点M，N的“相关菱形”为正方形， ∴△NMH为等腰直角三角形， ∴EH＝HM＝3， ∴M（6，3）． 如图所示：当点N与点O重合时，过点M作MG⊥x轴，垂足为G． ∵点M，N的“相关菱形”为正方形， ∴△NMG为等腰直角三角形， ∴OG＝GM＝3， ∴M（﹣3，3）． ∴m的取值范围是：﹣3≤m≤6． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$