第2章 一元二次方程 预学检测-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（北师大版）

88 第二章预学检测 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每小题3分,共24分) 1. (泰安中考)我国古代著作《四元玉鉴》记载 “买椽多少”问题:六贯二百一十钱,倩人去 买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株 椽.其大意如下:现请人代买一批椽,这批椽 的价钱为6210文.如果每株椽的运费是 3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰 好等于一株椽的价钱,试问6210文能买多 少株椽? 设这批椽的数量为x 株,则符合题 意的方程是 ( ) A. 3(x-1)x=6210B. 3(x-1)=6210 C. (3x-1)x=6210D. 3x=6210 2. (怀化中考)下列一元二次方程有实数解 的是 ( ) A. 2x2-x+1=0 B. x2-2x+2=0 C. x2+3x-2=0 D. x2+2=0 3. (南通中考)李师傅家的超市今年1月盈利 3000元,3月盈利3630元.若从1月到 3月,每月盈利的增长率都相同,则这个增长 率是 ( ) A. 10.5% B. 10% C. 20% D. 21% 4. (聊城中考)若关于x的方程x2+4kx+2k2= 4的一个解是x=-2,则k的值为 ( ) A. 2或4 B. 0或4 C. -2或0 D. -2或2 5. (东营中考)一元二次方程x2+4x-8=0的 解是 ( ) A. x1=2+23,x2=2-23 B. x1=2+22,x2=2-22 C. x1=-2+22,x2=-2-22 D. x1=-2+23,x2=-2-23 6. 某商店从厂家以每件18元的价格购进一批 商品,该商品可以自行定价.据市场调查,该 商品的售价与销售量的关系如下:若每件售 价a元,则可卖出(320-10a)件,但物价部 门限定每件商品加价不能超过进货价的 25%.若商店计划要获利400元,则每件商品 的售价应定为 ( ) A. 22元 B. 24元 C. 26元 D. 28元 7. (包头中考)若x1,x2是方程x2-2x-3=0 的两个实数根,则x1·x22的值为 ( ) A. 3或-9 B. -3或9 C. 3或-6 D. -3或6 答案讲解 8. 若关于x 的一元二次方程x2- 2mx+m2-4m-1=0有两个实数 根x1,x2,且(x1+2)(x2+2)- 2x1x2=17,则m 的值为 ( ) A. 2或6 B. 2或8 C. 2 D. 6 二、 填空题(每小题3分,共24分) 9. (荆州中考)一元二次方程x2-4x+3=0配 方为(x-2)2=k,则k的值是 . 第10题 10. (青海中考)如图,小明同学用 一张长11cm、宽7cm的矩形 纸板制作一个底面积为21cm2 的无盖长方体纸盒,他将纸板的四个角各 剪去一个同样大小的正方形,将四周向上 折叠即可(损耗不计).设剪去的正方形边 长为xcm,则可列出关于x 的方程为 . 11. (威海中考)若关于x的一元二次方程x2- 4x+m-1=0有两个不相等的实数根,则 m 的取值范围是 . 12. (云 南 中 考)方程2x2+1=3x 的解为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)八年级 拍 照 批 改 89 13. (丹东中考)若实数k,b是一元二次方程 (x+3)(x-1)=0的两个根,且k<b,则一 次函数y=kx+b的图象不经过 象限. 14. 一个两位数,十位上的数字比个位上的数 字的平方小3,如果把这个数的个位数字与 十位数字交换,那么所得到的两位数比原 来的数小27,则原来的两位数是 . 15. (内江中考)已知x1,x2 是关于x 的方程 x2-2x+k-1=0的两个实数根,且 x2 x1+ x1 x2=x 2 1+2x2-1,则k的值为 . 第16题 16. 如图,AB⊥BC,AB=10cm, 点M 以1cm/s的速度从点 A 开始沿边AB 向点B 运 动,点N 同时以2cm/s的速 度从点B 开始沿射线BC 向 点C 运 动,则 当 点 M 的 运 动 时 间 为 时,△BMN 的面积为24cm2. 三、 解答题(共52分) 17. (8分)(贵阳中考)我们已经学习了一元二 次方程的三种解法,它们分别是配方法、公 式法和因式分解法,请用合适的方法解下 列方程. (1) x2+2x-1=0;(2) x2-3x=0; (3) x2-4x=4; (4) x2-4=0. 18. (5分)如图,矩形ABCD 是某会展中心一 楼展区的平面示意图,其中边AB 的长为 40m,边BC 的长为25m,该展区内有三个 全等的矩形展位,每个展位的面积都为 200m2,涂色部分为宽度相等的人行通道, 求人行通道的宽度. 第18题 19. (5分)已知关于x 的一元二次方程x2- 4x-2k+8=0有两个实数根x1,x2. (1) 求k的取值范围; (2) 若x31x2+x1x32=24,求k的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 90 答案讲解 20. (5分)(北京中考)已知关于x 的 一 元 二 次 方 程 x2 -4mx + 3m2=0. (1) 求证:该方程总有两个实数根; (2) 若m>0,且该方程的两个实数根的差 为2,求m 的值. 21. (5分)3月初某商品价格下跌,每件价格下 跌20%,用3000元买到的该商品的数量比 下跌前多25件.3月下旬该商品开始涨价, 经过两次涨价后,该商品的价格为每件 29.04元. (1) 求3月初该商品价格下跌后每件的 价格; (2) 若该商品两次的涨价率相同,求该商品 的涨价率. 22. (5分)某商店将进价为8元的商品按每件 10元售出,每天可售出200件.现在采取提 高商品售价减少销售量的办法增加利润, 已知这种商品每件的售价每提高0.5元, 其每天的销售量就减少10件. (1) 将每件商品的售价提高多少元,才能使 每天的利润为640元? (2) 店主想要获得每天800元的利润,小红 同学认为不可能.你同意小红同学的说法 吗? 请用所学知识阐述理由. 23. (5分)如图,在边长为6cm 的正方形 ABCD 中,点P 从点A 开始沿边AB 向点 B 以1cm/s的速度移动,点Q 从点B 开始 沿边BC 和CD 向点D 以2cm/s的速度移 动,如果点P,Q 分别从点A,B 同时出发, 其中一点到终点,另一点也随之停止移动. 经过多少秒,△PBQ 的面积等于8cm2? 第23题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)八年级 91 24. (6分)某公司举办产品鉴定会,参加会议的 是该公司的林经理和邀请的专家,在专家 到会时,林经理和每位专家握一次手表示 欢迎;在专家离会时,林经理又和他们每人 握一次手表示道别,且参加会议的每两位 专家都握了一次手,则所有参加会议的人 共握手14次.参加这次会议的专家有多 少位? 答案讲解 25. (8分)(凉山中考)阅读材料: 材料1:若关于x 的一元二次方 程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个 根分 别 为 x1,x2,则 x1+x2= - b a , x1x2= c a. 材料2:已知一元二次方程x2-x-1=0的 两个实数根分别为m,n,求m2n+mn2 的 值.解:∵ 一元二次方程x2-x-1=0的 两个实数根分别为 m,n,∴ m+n=1, mn=-1,则m2n+mn2=mn(m+n)= -1×1=-1. 根据上述材料,结合你所学的知识,解答下 列问题: (1) 材料理解:一元二次方程2x2-3x- 1=0的两个根分别为x1,x2,则x1+x2= ,x1x2= ; (2) 类比应用:若一元二次方程2x2-3x- 1=0的两个根分别为m,n,求nm+ m n 的值; (3) 思维拓展:已知实数s,t满足2s2- 3s-1=0,2t2-3t-1=0,且s≠t,求1s- 1 t 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 31 ∴ 每件售价应定为50元.(2) 设该款商品需要打a折销 售.由题意,得62.5×a10≤50 ,解得a≤8.∴ 该款商品至 少需要打8折销售. 9. (1) 设月增长率是x.依题意,得5(1+x)2=7.2,解得 x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去).∴ 月增长 率是20%.(2) 设售价每件应降低y元,则每件的销售利 润为(100-y-60)元,每天的销售量为(20+2y)件.依题 意,得(100-y-60)(20+2y)=1200.整理,得y2- 30y+200=0,解得y1=10,y2=20.∵ 要尽量减少库存, ∴ y=20.∴ 售价每件应降低20元. 10. B 11. 5 解析:设1人每次能教会x名同学,则第一节课教 会x名同学,第二节课教会x(1+x)名同学.依题意,得 1+x+x(1+x)=36.整理,得(1+x)2=36,解得x1=5, x2=-7(不合题意,舍去).∴ 1人每次能教会5名同学. 12. (1) 如图,过点E,A 分别作EM⊥BC于点M,AN⊥ EM 于点 N,则∠ANE=∠EMB=90°.∵ ∠B=90°, ∴ ∠B+∠EMB=180°.∴ AB∥EM.∴ ∠AEM = 180°- ∠BAE =45°.∴ ∠EAN = ∠AEN =45°. ∴ AN=EN.∵ 易得四边形ABMN,四边形EDCM 是 矩形,∴ MN=AB,EM=CD.∴ EN=EM-MN= CD-AB=10-4=6(m).∴ AN=6m.∴ S五边形ABCDE= S梯形ABME+S矩形EMCD = 1 2 × (4+10)×6+2×10= 62(m2).(2) 设BG=xm,则易得FG=(4+x)m,CG= (8-x)m.根据题意,得(4+x)(8-x)=35,解得x1=1, x2=3.∴ BG 的长为1m或3m.(3) 不能.设BG=ym, 且0<y<6.由题意,得200(4+y)(8-y)+100[62- (4+y)(8-y)]=7300.整理,得y2-4y-21=0,解得 y1=7,y2=-3,均不符合题意.∴ 投资7300元不能完成 地面铺设. 第12题 第二章预学检测 一、 1. A 2. C 3. B 4. B 5. D 6. A 7. A 解析:将方程因式分解,得(x-3)(x+1)=0,解得 x=3或x=-1.分情况讨论:① 当x1=3,x2=-1时, x1·x22=3.② 当x1=-1,x2=3时,x1·x22=-9.综上 所述,x1·x22 的值为3或-9. 8. A 解析:∵ 关于x的一元二次方程x2-2mx+m2- 4m-1=0有两个实数根x1,x2,∴ Δ=(-2m)2- 4(m2-4m-1)≥0,即m≥-14 ,且x1x2=m2-4m-1, x1+x2=2m.∵ (x1+2)(x2+2)-2x1x2=17, ∴ x1x2+2(x1+x2)+4-2x1x2=17,即2(x1+x2)+ 4-x1x2=17.∴ 4m+4-m2+4m+1=17,即m2- 8m+12=0,解得m=2或m=6. 二、 9. 1 10. (11-2x)(7-2x)=21 11. m<5 12. x1=1,x2= 1 2 13. 第三 14. 63 15. 2 解析:∵ x1,x2 是关于x的方程x2-2x+k-1= 0的两个实数根,∴ x1+x2=2,x1x2=k-1,x21-2x1+ k-1=0.∴ x21=2x1-k+1.∵ x2 x1+ x1 x2=x 2 1+2x2-1, ∴ (x1+x2)2-2x1x2 x1x2 = 2 (x1 + x2 ) - k. ∴ 22-2(k-1) k-1 =4-k ,解得k=2或k=5.当k=2时, 关于x的方程为x2-2x+1=0,Δ=0,符合题意;当k=5 时,关于x 的方程为x2-2x+4=0,Δ<0,方程无实数 根,不合题意,舍去.∴ k=2. 16. 4s或6s 解析:设点 M 的运动时间为xs时, △BMN 的面积为24cm2.根据题意,得BM=(10- x)cm,BN=2xcm.∴ 1 2×2x ·(10-x)=24.整理,得 x2-10x+24=0,解得x1=4,x2=6.综上所述,当点M 的运动时间为4s或6s时,△BMN 的面积为24cm2. 三、 17. (1) 利用公式法:∵ a=1,b=2,c=-1,∴ Δ= 22-4×1×(-1)=4+4=8.∴ x=-2±82 =-1± 2. ∴ x1=-1+ 2,x2=-1- 2.(2) 利用因式分解法: x(x-3)=0,∴ x1=0,x2=3.(3) 利用配方法:两边都 加上4,得x2-4x+4=8.∴ (x-2)2=8.∴ x-2= ±22.∴ x1=2+22,x2=2-22.(4) 利用因式分解 法:∵ (x+2)(x-2)=0,∴ x1=-2,x2=2. 18. 设人行通道的宽度为xm,则每个展位的长为(25- 2x)m,宽为40-4x3 m. 依题意,得(25-2x)·40-4x3 = 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 32 200.整理,得2x2-45x+100=0,解得x1= 5 2 ,x2=20 (不合题意,舍去).∴ 人行通道的宽度为5 2m. 19. (1) 根据题意,得Δ=(-4)2-4×1×(-2k+8)= 8k-16≥0,解得k≥2.(2) x31x2+x1x32=x1x2[(x1+ x2)2-2x1x2]=24.根据题意,得x1+x2=4,x1x2= -2k+8.∴ (-2k+8)[42-2(-2k+8)]=24.整理,得 k2-4k+3=0,解得k1=3,k2=1.∵ k≥2,∴ k 的值 为3. 20. (1) ∵ a=1,b=-4m,c=3m2,∴ Δ=b2-4ac= (-4m)2-4×1×3m2=4m2.∵ 4m2≥0,即Δ≥0,∴ 该 方程总有两个实数根.(2) ∵ x2-4mx+3m2=0,即 (x-m)(x-3m)=0,∴ x1=m,x2=3m.∵ m>0,且该 方程的两个实数根的差为2,∴ 3m-m=2.∴ m=1. 21. (1) 设该商品价格下跌前每件的价格为x元,则3月 初该商品价格下跌后每件的价格为(1-20%)x 元.依题 意,得 3000(1-20%)x- 3000 x =25 ,解得x=30.经检验,x= 30是原方程的解,且符合题意.∴ (1-20%)x=(1- 20%)×30=24.∴ 3月初该商品价格下跌后每件的价格 为24元.(2) 设该商品的涨价率为y.依题意,得24(1+ y)2=29.04,解得y1=0.1=10%,y2=-2.1(不合题意, 舍去).∴ 该商品的涨价率为10%. 22. (1) 设将每件商品的售价提高x元,则每天可售出这 种商品200-10x0.5= (200-20x)件.根据题意,得(10- 8+x)(200-20x)=640,整理,得x2-8x+12=0,解得 x1=2,x2=6.∴ 将每件商品的售价提高2元或6元. (2) 同意小红同学的说法.理由:设将每件商品的售价提 高y元,则每天可售出这种商品(200-20y)件.根据题 意,得(10-8+y)(200-20y)=800.整理,得y2-8y+ 20=0.∵ Δ=(-8)2-4×1×20=-16<0,∴ 该方程无 解.∴ 同意小红同学的说法. 23. 设经过xs,△PBQ 的面积等于8cm2.当0≤x≤ 3时,点Q 在BC 上移动,点P 在AB 上移动,则PB= (6-x)cm,BQ=2xcm.∴ S△PBQ= 1 2PB ·BQ=12× (6-x)×2x=8,解得x=2或x=4(不合题意,舍去).当 3<x≤6时,点Q 在CD 上移动,点P 在AB 上移动. ∴ S△PBQ= 1 2 (6-x)×6=8,解得x=103. 综上所述,经 过2s或103s ,△PBQ 的面积等于8cm2. 24. 设参加这次会议的专家有x 位.依题意,得2x+ 1 2x ·(x-1)=14,即x2+3x-28=0.∴ (x+7)(x- 4)=0,解得x1=-7(不合题意,舍去),x2=4.∴ 参加这 次会议的专家有4位. 25. (1) 3 2 ;-12. (2) ∵ 一元二次方程2x2-3x-1=0 的两个根分别为m,n,∴ m+n=32 ,mn=-12.∴ n m+ m n= n2+m2 mn = (m+n)2-2mn mn = 3 2 2 -2× -12 -12 = -132. (3) ∵ 实数s,t满足2s2-3s-1=0,2t2-3t-1= 0,s≠t,∴ s与t可以看成是方程2x2-3x-1=0的两个 实数根.∴ s+t=32 ,st=-12.∴ (s-t)2=(s+t)2- 4st= 32 2 -4× -12 =174.∴ s-t=± 172 . ∴ 1 s- 1 t= t-s st = -(s-t) st = ± 172 -12 =± 17. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈