第1章 特殊平行四边形 预学检测-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（北师大版）

25 ∴ ∠ADB-∠EHB=∠CDB-∠GHB,即∠ADE= ∠CDG.在 △ADE 和 △CDG 中, AD=CD, ∠ADE=∠CDG, ED=GD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADE≌△CDG.(2) 如图,过点E 作EQ⊥DF 于点 Q,则∠EQB=90°.∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ ∠A= 90°,AD=AB=AE+BE=2+2=4,∠EBQ=∠CBD= 45°.∴ ∠QEB=45°=∠EBQ.∴ EQ=BQ.∵ BE=2, ∴ EQ2+BQ2=22.∴ EQ=BQ=2.在Rt△DAE 中,由 勾股定理,得 DE= AD2+AE2 = 42+22 =2 5. ∵ 四边形EFGH 是菱形,∴ EF=DE=25.∴ QF= EF2-EQ2= (25)2-(2)2=32.∴ BF=QF- BQ=32-2=22. 第16题 第一章预学检测 一、 1. D 2. C 3. B 4. C 5. A 6. C 7. B 8. A 二、 9. 矩形 10. 答案不唯一,如AB=CD 11. 22 12. 24 5 13. 4 14. 23 15. 1 16. ①③④ 三、 17. (1) ∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ CD=CB, ∠DCE=∠BCE.∵ CE=CE,∴ △DCE≌△BCE. (2) ∵ 四边形ABCD 是菱形,∴ DC∥AF.∴ ∠CDF= ∠AFD.由(1),得△DCE≌△BCE,∴ ∠EDC=∠EBC. ∴ ∠AFD=∠EBC. 18. ∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ BC=CD,∠BCD= 90°.∵ CE⊥BG,DF⊥CE,∴ ∠BEC=∠DFC=90°. ∴ ∠BCE+∠CBE=90°=∠BCE+∠DCF.∴ ∠CBE= ∠DCF.在 △CBE 和 △DCF 中, ∠CBE=∠DCF, ∠BEC=∠CFD, BC=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CBE≌△DCF.∴ BE=CF,CE=DF.∵ CE= CF+EF,∴ DF=BE+EF. 19. (1) 将矩形ABCD 沿对角线AC折叠,则AD=BC= EC,∠D=∠B=∠E=90°.在△DAF 和△ECF 中, ∠DFA=∠EFC, ∠D=∠E, DA=EC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DAF≌△ECF.(2) 由(1),得 △DAF≌△ECF,∴ ∠DAF=∠ECF=40°.∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠DAB=90°.∴ ∠EAB=∠DAB- ∠DAF=90°-40°=50°.由折叠,得∠EAC=∠CAB, ∴ ∠CAB=25°. 20. 选择的条件不唯一,如(1) ①.(2) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ ∠A=∠C.在△ADE 和△CDF 中, ∠1=∠2, ∠A=∠C, AE=CF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADE ≌ △CDF.∴ AD =CD. ∴ ▱ABCD 为菱形. 21. (1) ∵ ∠ACB=90°,M 为边AB 的中点,∴ MC= MA=MB.∴ ∠MCA=∠A,∠MCB=∠B.∵ ∠A= 50°,∴ ∠MCA=50°.∴ ∠MCB=∠B=90°-50°=40°. ∴ ∠EMC= ∠MCB+ ∠B=80°.∵ ∠ACE=30°, ∴ ∠MEC=∠A+∠ACE=80°.∴ ∠MEC=∠EMC. ∴ CE=CM.(2) ∵ AB=4,M 为 边AB 的 中 点, ∴ CE=CM=12AB=2.∵ EF⊥AC,∠ACE=30°, ∴ EF=12CE=1.∴ FC= CE2-EF2= 22-12=3. 22. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ OB=OD, OA=OC.∵ E,F分别为OA,OC的中点,∴ OE=12OA , OF=12OC.∴ OE=OF.又∵ OB=OD,∴ 四边形 DEBF 是平行四边形.∴ BE=DF.(2) 当k=2时,四边 形DEBF 是矩形.理由:∵ AC BD=2 ,∴ AC=2BD.由(1), 得OE=12OA ,OF=12OC ,四边形DEBE 是平行四边 形,∴ EF= 12 (OA+OC)= 12AC ,即 AC=2EF. ∴ EF=BD.∴ 四边形DEBF 是矩形. 23. (1) ∵ 四边形ABCD 是矩形,∴ ∠A=∠D=90°. ∴ ∠DGH+∠DHG=90°.∵ 四边形EFGH 是菱形, ∴ EH=GH.∵ AH =2,DG=2,∴ AH =DG. ∴ Rt△AEH ≌ Rt△DHG.∴ ∠AHE = ∠DGH. ∵ ∠DGH+∠DHG=90°,∴ ∠AHE+∠DHG=90°. ∴ ∠EHG=90°.∴ 四边形EFGH 是正方形.(2) 如图, 过点F 作FQ⊥DC,交DC的延长线于点Q,连接EG,则 ∠Q=90°.∴ ∠A=∠Q=90°.由矩形和菱形的性质,知 AB∥DC,HE∥GF,∴ ∠AEG=∠QGE,∠HEG= ∠FGE.∴ ∠AEH=∠QGF.∵ EH=GF,∴ △AEH≌ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 26 △QGF.∴ AH=QF=2.∵ S△FCG = 1 2CG ·QF= 1 2CG×2=2 ,∴ CG=2.∴ DG=CD-CG=6. 第23题 24. (1) ∵ 四边形EFGH 是矩形,∴ GF=EH,EH∥ GF.∴ ∠GFH=∠EHF.∵ ∠BFG=180°-∠GFH, ∠DHE=180°-∠EHF,∴ ∠BFG=∠DHE.∵ 四边 形ABCD 是菱形,∴ AD∥BC.∴ ∠GBF=∠EDH.在 △BGF 和△DEH 中, ∠BFG=∠DHE, ∠GBF=∠EDH, GF=EH, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BGF≌ △DEH.∴ BG=DE.(2) ① 如图①,连接EG.∵ 四边 形ABCD 是菱形,∴ AD∥BC,AD=BC.∵ E 为AD 的 中点,∴ AE=ED.由(1),得BG=DE,∴ AE∥BG, AE=BG.∴ 四边形ABGE 是平行四边形.∴ AB=EG. ∵ 四边形EFGH 是矩形,∴ EG=FH=4.∴ AB=4. ∴ 菱形ABCD 的边长为4.② 如图②,连接AC,AC 与 BD 交于点O.∵ 四边形ABCD 是菱形,∠ABC=60°, ∴ ∠ABO=30°,AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.∴ 在 Rt△ABO 中,OA=12AB=2.∴ AC=2OA=4.∴ OB= AB2-OA2= 42-22=23.∴ BD=2OB=43. ∴ 菱形ABCD 的面积=12AC ·BD=12×4×43= 83. 第24题 第二章　一元二次方程 1 认识一元二次方程 知识梳理 1. 一 2 整 2. ax2+bx+c=0 ≠ ax2 bx c a b 3. 一般 典例演练 典例1 C 解析:A选项含有分式1x ,该方程不是整式方 程,因此不是一元二次方程;B选项二次项的系数不能确 定是否为0,若为0,则不是一元二次方程;C选项整理后, 得x2-3x+2=0,是一元二次方程;D选项整理后,得 x=0,这是一元一次方程,不是一元二次方程. 典例2 方程两边同乘6,得3(x-1)2=18x+2.去括号, 得3x2-6x+3=18x+2.移项、合并同类项,得3x2- 24x+1=0.此方程的二次项系数为3,一次项系数为 -24,常数项为1. 典例3 不能.根据表格中的数据,可以发现:当x=2时, 5x2-24x+28=0,∴ 方程5x2-24x+28=0有一个根 是x=2.又∵ 当x=2.5时,5x2-24x+28=-0.75,当 x=3时,5x2-24x+28=1,∴ 方程5x2-24x+28=0 的另一个根的范围是2.5<x<3. 预学训练 1. D 2. C 3. C 4. x2-3x-18=0 5. 6 6. 1.7 7. 30 解析:∵ a(x2+1)+b(x+2)+c=0,∴ ax2+ bx+a+2b+c=0.∵ 一元二次方程a(x2+1)+b(x+ 2)+c=0化为一般形式后为6x2+10x-1=0,∴ a=6, b=10.∴ S菱形=12×6×10=30. 8. 根据一元二次方程的概念,(1)方程不是一元二次方 程;(2)(3)方程是一元二次方程,化为一般形式分别为 2x2-6x+1=0和x2+3x=0. 9. 原方程化为一般形式为5x2-15=0,二次项系数a为 5,一次项系数b为0,常数项c为-15,b2-4ac=0-4× 5×(-15)=300. 10. 根据题意,得 m-2≠0, |m|=2, 解得m=-2. 11. 填表如下: x -2 -1 0 1 2 3 4 x2-5x+6 20 12 6 2 0 0 2 x2-4x+2 14 7 2 -1 -2 -1 2 (1) x=2或x=3.(2) x1 在0和1之间,x2 在3和4 之间. 12. B 13. -3 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 65 第一章预学检测 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每小题3分,共24分) 1. (滨州中考)下列命题中,是真命题的为 ( ) A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 2. (安徽中考)两个矩形的位置如图所示,若 ∠1=α,则∠2的度数为 ( ) A. α-90° B. α-45° C. 180°-α D. 270°-α 第2题 第3题 3. 如图,点O 为矩形ABCD 的对称中心,点E 从点A 出发沿AB 向点B 运动,运动到点B 停止,延长EO 交CD 于点F,连接AF,CE, 则四边形AECF 的形状变化依次为 ( ) A. 平行四边形→正方形→平行四边形→ 矩形 B. 平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C. 平行四边形→正方形→菱形→矩形 D. 平行四边形→菱形→正方形→矩形 4. 如图,四边形ABCD 为菱形,E 为边AB 上 一点.若DE 垂直平分AB,则∠ABC 的度 数为 ( ) 第4题 A. 100° B. 110° C. 120° D. 130° 5. (新疆生产建设兵团中考)如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,CD⊥ AB 于点D,E 是AB 的中点,则DE 的长为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第5题 第6题 6. 如图,O 是菱形ABCD 对角线的交点,DE∥ AC,CE∥BD,连接OE.设AC=12,BD= 16,则OE 的长为 ( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 7. 如图,矩形AEFG 的顶点E,F 分别在菱形 ABCD 的边AB 和对角线BD 上,连接EG, CF.若EG=5,则CF 的长为 ( ) A. 4 B. 5 C. 5 D. 7 第7题 第8题 答案讲解 8. 如图,在正方形ABCD 中,AB=4, E 为对角线AC 上与点A,C 不重 合的一个动点,过点E 作EF⊥AB 于点F,EG⊥BC 于点G,连接DE,FG.有 下列 结 论:① DE =FG;② DE ⊥FG; ③ ∠BFG=∠ADE;④ FG 的最小值为3. 其中,正确的是 ( ) A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、 填空题(每小题3分,共24分) 9. 如图,在Rt△ABC 中,∠ABC=90°,小明按 如下步骤作图:① 以点A 为圆心,BC 长为 半径作弧,以点C 为圆心,AB 长为半径作 弧,两弧在BC 上方相交于点D;② 连接 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 66 DA,DC,则四边形ABCD 为 . 第9题 第10题 10. (齐齐哈尔中考)如图,在四边形ABCD 中, AC⊥BD,垂足为O,AB∥CD,要使四边形 ABCD 为菱形,添加的条件是 (写出一个即可). 11. 如图,在△ABC 中,AB=AC=4,∠CAB= 30°,以AC为斜边作Rt△ADC,使∠ADC= 90°,∠CAD=∠CAB,E,F 分别是BC, AC 的中点,连接EF,DE,DF,则DE 的 长为 . 第11题 第12题 12. 如图,在菱形ABCD 中,对角线AC,BD 相 交于点O,AC=6,DB=8,则点A 到BC 的距离为 . 13. (益阳中考)如图,将边长为3的正方形 ABCD 沿其对角线AC 平移到正方形 A'B'C'D'的位置,使点A 的对应点A'满足 AA'=13AC ,则所得正方形与原正方形重 叠部分的面积是 . 第13题 第14题 14. 如图,在△ABC 中,AC 的垂直平分线分别 交AC,AB 于点D,F,BE⊥DF 交DF 的 延长线于点E.若∠A=30°,BC=2,AF= BF,则四边形BCDE 的面积是 . 15. (无锡中考)如图,正方形ABCD 的边长为 8,E 是CD 的中点,HG 垂直平分AE,且分 别交AE,BC于点H,G,则BG= . 第15题 第16题 答案讲解 16. (枣庄中考)如图,∠BOD=45°, BO=DO,点A 在OB 上,四边形 ABCD 是矩形,连接AC,BD 交 于点E,连接OE 交AD 于点F.有下列结 论:① OE⊥BD;② ∠ADB=30°;③ DF= 2AF;④ 若 G 是线段OF 的中点,则 △AEG 为等腰直角三角形.其中,正确的 是 (填序号). 三、 解答题(共52分) 17. (6分)(青海中考)如图,四边形ABCD 为 菱形,E 为对角线AC 上的一个动点(不与 点A,C 重合),连接DE 并延长,交射线 AB 于点F,连接BE.求证: (1) △DCE≌△BCE; (2) ∠AFD=∠EBC. 第17题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)八年级 67 18. (6分)(恩施中考)如图,四边形ABCD 是 正方形,G 为线段AD 上任意一点,CE⊥ BG 于点E,DF⊥CE 于点F.求证:DF= BE+EF. 第18题 19. (6分)(苏州中考)如图,将矩形ABCD 沿 对角线AC 折叠,点B 的对应点为E,AE 与CD 交于点F. (1) 求证:△DAF≌△ECF; (2) 若∠ECF=40°,求∠CAB 的度数. 第19题 20. (6分)(岳阳中考)如图,点E,F 分别在 ▱ABCD 的边AB,BC 上,AE=CF,连接 DE,DF.有以下三个条件:① ∠1=∠2; ② DE=DF;③ ∠3=∠4.在这三个条件 中,选择一个合适的作为已知条件,使 ▱ABCD 为菱形. (1) 选择的条件是 (填序号); (2) 根据(1)中选择的条件,求证:▱ABCD 为菱形. 第20题 21. (6分)(杭州中考)如图,在Rt△ACB 中, ∠ACB=90°,∠A=50°,M 为边AB 的中 点,点E 在线段AM 上,EF⊥AC 于点F, 连接CM,CE,∠ACE=30°. (1) 求证:CE=CM; (2) 若AB=4,求线段FC 的长. 第21题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 68 22. (6分)(十堰中考)如图,在▱ABCD 中, AC,BD 相交于点O,E,F 分别是OA,OC 的中点,连接DE,DF,BE,BF. (1) 求证:BE=DF. (2) 设AC BD =k. 当k 为何值时,四边形 DEBF 是矩形? 请说明理由. 第22题 23. (8分)如图,在矩形ABCD 中,AD=6, CD=8,菱形EFGH 的三个顶点E,G,H 分别在矩形ABCD 的边AB,CD,DA 上, AH=2,连接CF. (1) 当DG=2时,求证:四边形EFGH 是 正方形; (2) 当△FCG 的面积为2时,求DG 的长. 第23题 答案讲解 24. (8分)如图,矩形EFGH 的顶点 E,G 分 别 在 菱 形 ABCD 的 边 AD,BC 上,顶点 F,H 在菱形 ABCD 的对角线BD 上. (1) 求证:BG=DE. (2) 若E 为AD 的中点,FH=4. ① 求菱形ABCD 的边长; ② 若∠ABC=60°,求菱形ABCD 的面积. 第24题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)八年级