精品解析：2025届上海市崇明中学高三三模数学试卷

崇明中学高三三模数学试卷 一､填空题 1. 已知集合，，则________. 2. 已知函数，则__________. 3. 已知复数为虚数单位，则__________． 4. 在的展开式中，项的系数是__________.（结果用数字作答） 5. 设，则__________. 6. 某校高一､高二､高三学生共1260人，为了解学生新学期适应情况，现用分层抽样的方法进行调查，若分别从三个年级中抽取的人数之比为，则该校高三的学生人数为__________. 7. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 . 8. 已知向量，满足，，，则等于____________． 9. 数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是______________ 10. 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{an}是公比为q的无穷等比数列，下列{an}的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是________．(写出所有符合要求的组号) ①S1与S2；②a2与S3；③a1与an；④q与an.其中n为大于1的整数，Sn为{an}的前n项和． 11. 如图，是款电动自行车用“遮阳神器”的结构示意图，它由三叉形的支架和覆盖在支架上的遮阳布组成. 已知，，且；为保障行车安全，要求遮阳布的最宽处；若希望遮阳效果最好（即的面积最大），则的大小约为______.（结果四舍五入精确到） 12. 设函数的定义域为，若对曲线上任意一点，均存在曲线上的点，使得且，则称函数是“旋转函数”.若存在旋转函数，使，则正实数的最大值是__________. 二､选择题 13. 若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 某学校数学学习兴趣小组利用信息技术手段探究两个数值变量之间的线性关系，随机抽取8个样本点，由于操作过程的疏忽，在用最小二乘法求经验回归方程时只输入了前6组数据，得到的线性回归方程为，其样本中心为.后来检查发现后，输入8组数据得到的新的线性回归方程为，新的样本中心为，已知，则以下结论中正确的个数是（ ） ①新的样本中心仍为； ②新的样本中心为； ③两个数值变量具有正相关关系； ④. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 15. 已知函数在区间上的最小值恰为，则所有满足条件的的积属于区间（ ） A. B. C. D. 16. 已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 三､解答题 17. 在直四棱柱中，，，，． （1）求证：平面； （2）求点D到平面的距离． 18. 已知函数. （1）当时，求函数的零点； （2）若不等式在时恒成立，求实数k的取值范围. 19. 某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据： 不达标 达标 合计 男 300 女 100 300 合计 450 600 （1）完成列联表，根据显著性水平的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关？ （2）若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为，用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，现从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，求其体能测试合格的概率； （3）在（2）的条件下，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中体能测试合格的人数X的分布、数学期望及方差． 附：，． 20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆:的右顶点为，点、分别是轴负半轴、轴正半轴上的动点. （1）若是的左焦点，且，求的值； （2）设，上存在轴上方一点.若，求的坐标； （3）设，过的直线与交于、两点(、两点不重合)，与轴交于且的纵坐标，记与到直线的距离分别为、.若存在直线，满足成立，求的取值范围. 21. 设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． （1）已知，．分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由； （2）已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数的取值范围； （3）已知函数的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 崇明中学高三三模数学试卷 一､填空题 1. 已知集合，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用交集运算直接求解即可. 【详解】集合，，所以. 故答案为： 2. 已知函数，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】利用分段函数解析式，可得答案. 【详解】由，则. 故答案为：. 3. 已知复数为虚数单位，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知直接利用复数模的计算公式求解． 【详解】因为， 所以． 故答案为：． 4. 在的展开式中，项的系数是__________.（结果用数字作答） 【答案】60 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式计算即得. 【详解】由的展开式的通项为， 依题取，解得，则项的系数是. 故答案为： 60. 5. 设，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数值求，以及，再求余弦值. 【详解】，则，，所以. 故答案为： 6. 某校高一､高二､高三学生共1260人，为了解学生新学期适应情况，现用分层抽样的方法进行调查，若分别从三个年级中抽取的人数之比为，则该校高三的学生人数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据样本各层之比等于总体各层之比即可. 【详解】三个年级中抽取的人数比和三个年级学生的人数比一样， 所以高三的学生人数为. 故答案为： 7. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 . 【答案】 【解析】 【详解】由面积为的半圆面，可得圆的半径为2，即圆锥的母线长为2.圆锥的底面周长为，所以底面半径为1.即可得到圆锥的高为.所以该圆锥的体积为. 8. 已知向量，满足，，，则等于____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积的运算律和坐标运算求解. 【详解】因为向量，满足，，， 所以，解得， 所以， 故答案为: . 9. 数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是______________ 【答案】 【解析】 【详解】由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是： . 点睛：超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型． 10. 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{an}是公比为q的无穷等比数列，下列{an}的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是________．(写出所有符合要求的组号) ①S1与S2；②a2与S3；③a1与an；④q与an.其中n为大于1的整数，Sn为{an}的前n项和． 【答案】①④ 【解析】 【详解】试题分析：由得，所以①唯一确定数列， 由 得，方程的解不定， 所以②不能唯一确定数列， 由得方程的解不定，所以③不能唯一确定数列， 由得，所以④唯一确定数列. 11. 如图，是款电动自行车用“遮阳神器”的结构示意图，它由三叉形的支架和覆盖在支架上的遮阳布组成. 已知，，且；为保障行车安全，要求遮阳布的最宽处；若希望遮阳效果最好（即的面积最大），则的大小约为______.（结果四舍五入精确到） 【答案】 【解析】 【分析】设，则，则利用面积公式可得，利用导数可求面积最大时对应的角. 【详解】因为，， 故，故，设， 则，故，则， 又 ， 设， 则， ， 当时，，故在上为增函数， 故，此时， 故答案为：. 12. 设函数的定义域为，若对曲线上任意一点，均存在曲线上的点，使得且，则称函数是“旋转函数”.若存在旋转函数，使，则正实数的最大值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】分区域讨论顺、逆时针构造函数，根据题意，旋转后轴右侧点纵坐标若，则必有，由此探求的范围，再构造取最值时的函数即可. 【详解】由是旋转函数，设曲线上任意一点，对应复数， （1）当时， 则由定义可知，点绕原点仅顺时针旋转即可得到轴右侧的点， 则对应复数：， 即点， 由可得，则， 则有，满足题意，； （2）当时， 则由定义可知，点绕原点仅逆时针旋转才能得到轴右侧的点， 则对应复数：， 即点， 由可得， 则有，也满足题意，； （3）当时， 点绕原点顺或逆时针旋转都能得到轴右侧的点， 点或， 由且可知， 若；若； 此时若，满足题意； 此时若，即，； 此时若，即，； 即若，，. 不论选择顺时针还是逆时针旋转，或者顺、逆混合旋转得到， 由旋转函数定义，对任意，旋转后均存在曲线上的点， 故此时取值都应取遍内所有实数， 因为， 由，则. ①当时，， 由题意， 由时，满足； ②当时，， 要使， 则必须有恒成立，由，， 则要使恒成立，故， 则. 下面构造当时的函数， 当时，， 当时，由，解得， 由的构造可知，当时，， 故在单调递增，且， 故； 且当，， 又定义函数上任一点顺时针旋转得到点， 则当时，对应的轨迹可看作单调递增函数的图象且， 当时，对应的，，即且. 且当时，即时，， 不妨定义， 故. 由此可知构造函数满足. 综上所述，的最大值为. 故答案为：11. 二､选择题 13. 若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误. 【详解】因为，则，故，A对B错； ，即， 当且仅当时，即当时，等号成立，CD都错. 故选：A. 14. 某学校数学学习兴趣小组利用信息技术手段探究两个数值变量之间的线性关系，随机抽取8个样本点，由于操作过程的疏忽，在用最小二乘法求经验回归方程时只输入了前6组数据，得到的线性回归方程为，其样本中心为.后来检查发现后，输入8组数据得到的新的线性回归方程为，新的样本中心为，已知，则以下结论中正确的个数是（ ） ①新的样本中心仍为； ②新的样本中心为； ③两个数值变量具有正相关关系； ④. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由平均数的求法，根据样本中心的定义，利用回归直线方程的斜率，结合样本估计总体及最小乘法原理，逐项检验，可得答案. 【详解】对于①②，由题意可得，，则新的样本中为，故①错误，②正确； 对于③，将代入回归直线，可得，解得，故③正确； 对于④，根据样本估计总体及最小乘法原理，利用组数据所得经验回归程是与样本点“距离”平方和最小的直线方程，故④错误. 故选：C. 15. 已知函数在区间上的最小值恰为，则所有满足条件的的积属于区间（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数能否取到最小值进行分类讨论即可. 【详解】当时，因为此时的最小值为， 所以，即. 若，此时能取到最小值，即， 代入可得，满足要求； 若取不到最小值，则需满足，即， 在上单调递减，所以存在唯一符合题意； 所以或者，所以所有满足条件的的积属于区间， 故选：C 16. 已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值. 【详解】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得 当点位于直线异侧时或CB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值. 当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力. 三､解答题 17. 在直四棱柱中，，，，． （1）求证：平面； （2）求点D到平面的距离． 【答案】（1） 证明：取的中点，连接， 该几何体为直四棱柱，平面ABCD， ，， ，， ∴四边形ABCD为正方形， ，， ，，，，平面 平面 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证出，，利用线面垂直的判定定理即可证出； （2）利用等体积法，由图可知：，根据三棱锥体积公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （2）等体积法由图可得： 由（1）中证明知：平面，， 又 18. 已知函数. （1）当时，求函数的零点； （2）若不等式在时恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由对数函数的性质可得，再解含指数的一元二次方程，结合指数的性质即可得解. （2）由题设有在上恒成立，判断的单调性并确定其值域，即可求k的范围. 【小问1详解】 由题设，令，则， ∴，可得或（舍）， ∴，故的零点为. 【小问2详解】 由，则，即在上恒成立， ∵在上均递减， ∴在上递减，则， ∴k的取值范围为. 19. 某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据： 不达标 达标 合计 男 300 女 100 300 合计 450 600 （1）完成列联表，根据显著性水平的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关？ （2）若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为，用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，现从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，求其体能测试合格的概率； （3）在（2）的条件下，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中体能测试合格的人数X的分布、数学期望及方差． 附：，． 【答案】（1） 不达标 达标 合计 男 50 250 300 女 100 200 300 合计 150 450 600 ，根据显著性水平的独立性检验能认为体育锻炼达标与性别有关. （2） （3）X的分布列为： X 0 1 2 3 P ，数学期望为，方差为【解析】 【分析】（1）根据题意补全列联表，再由卡方公式以及独立性性检验的思想判定结果即可. （2）根据全概率公式结合表格数据可求出这600位居民参加体能测试合格的频率，然后由样本估计总体的思想可得当地全体居民体能测试合格的概率. （3）由题意随机变量，且由（2），故根据二项分布概率公式即可求得X的每一个取值对应的概率，进而得随机变量的分布列；根据二项分布的期望值和方差公式得期望值和方差. 【小问1详解】 根据数据补全列联表如下： 不达标 达标 合计 男 50 250 300 女 100 200 300 合计 150 450 600 零假设体育锻炼达标与性别无关， 由表格数据得， 因为， 所以推断不成立，依据显著性水平的独立性检验能认为体育锻炼达标与性别有关. 【小问2详解】 由表格数据该地区居民体育达标的概率为， 记事件“从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，其体能测试合格”， 则由题. 【小问3详解】 由题意，当地居民人口基数大，可近似看做二项分布，即， 所以；； ；； 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 则；. 20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆:的右顶点为，点、分别是轴负半轴、轴正半轴上的动点. （1）若是的左焦点，且，求的值； （2）设，上存在轴上方一点.若，求的坐标； （3）设，过的直线与交于、两点(、两点不重合)，与轴交于且的纵坐标，记与到直线的距离分别为、.若存在直线，满足成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据计算求参； （2）设点的坐标结合两角和正切，应用点在椭圆上计算； （3）设直线方程再联立得出韦达定理，再结合点到直线距离分类讨论计算求出参数范围. 【小问1详解】 因为与的左焦点重合，故，因此. 又因为，而， 所以，解得：(负舍). 【小问2详解】 因为，又因为， 而， 代入解得. 若在第一象限，则，故在第二象限. 设，而， 整理可得. 代入椭圆方程，可得：. 所以解得(增根舍去)，所以. 因此. 【小问3详解】 由题意可知：直线的解析式为， 设直线的解析式为()，且、. 联立， 可得，. 根据韦达定理，，. 因为、两点均在直线的左侧，故. 又因为，，因此， 代入化简可得方程. 设，又因为，故. ① 若 ，此时直线与存在两个交点. 若存在，使得， 而，故， 可得，故，因此. ② 若，而此时在的外部，，故. 若存在，使得， 而， 故，可得，故. 综上所述，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：设直线方程再联立方程组，得出故，最后分类讨论分 和两种情况计算求参. 21. 设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． （1）已知，．分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由； （2）已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数的取值范围； （3）已知函数的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”． 【答案】（1） 区间是函数的“美好区间”，区间不是函数的“美好区间”，理由如下： 由， 当时，，所以区间是函数的“美好区间” 当时，，不是的子集且两集合交集非空， 所以区间不是函数的“美好区间” （2） （3） 对于任意区间，记， 因为对于任意，都有， 所以在区间上单调递减，故， 因为，即的长度大于的长度，故不满足性质①， 所以若为的“美好区间”必满足性质②，即， 即只需要或， 由显然不恒成立，所以存在常数使得， 如果，取，则区间满足性质②； 如果，取，则区间满足性质②； 综上，函数一定存在“美好区间”； 记，则的图象连续不断，下证明有零点， 由于在上单调递减，则在上是减函数，记 若，则是的零点； 若，则，记，， 由零点存在定理，可知存在，使得； 若，则，记，， 由零点存在定理，可知存在，使得； 综上，有零点，即， 因为所有“美好区间”都满足性质②，故，否则与性质②矛盾； 即存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”，证毕. 【解析】 【分析】（1）分别求出函数在区间和区间上的值域，结合“美好区间”的定义判断即可； （2）记，，根据“美好区间”的定义可得：或，利用导数研究在上的单调性，分，，以及四种情况讨论在区间上的值域，利用集合间的关系，即可得到实数的取值范围； （3）对于任意区间，记，根据单调性得到，若为的“美好区间”必满足性质②，转化为或，得出函数一定存在“美好区间”，记，结合函数的单调性和零点存在定理，得到存在，使得，即可证明结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记， 若区间是函数的一个“美好区间”，则或 由，可得， 所以当或时，，则的单调递增区间为：，； 当时，，则的单调递增区间为：， 且，，，得到在的大致图像如下： (i)当时，在区间上单调递减，且， 所以，则，即对于任意，都有，满足性质②, 故当时，区间是函数的一个“美好区间”； (ii)当，在区间上单调递减，在上单调递增，此时， 所以，，则当时，区间不是函数的一个“美好区间”； (iii)当时，在区间上单调递减，在上单调递增，且，此时， 所以，，则当时，区间不是函数的一个“美好区间”； (iv)当时，在区间上单调递减，在上单调递增，且，此时， 因为，则要使区间是函数的一个“美好区间”，则，即， 构造函数， 则， 由于，所以恒成立，则在区间上单调递增， 所以，则，不满足题意， 故当时，区间不是函数的一个“美好区间”， 综上，实数的取值范围是 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：本题是新定义题，解题关键是理解“美好区间”的含义，对于区间是函数的一个“美好区间”，实质就是在区间上的值域满足或，这样就把新定义转化为一般函数及导数的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $