精品解析：江苏省扬州市树人实验多校联考2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

扬州中学树人教育集团2024－2025学年第二学期期末试卷 八年级数学 （试卷总分：150分，考试时间：120分钟） 一．选择题 1. 在落实“小组合作学习，当堂达标检测及评价”要求中，某班四个小组设计的组徽图案如图，这四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在代数式，，，中，分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知四边形是平行四边形，已知下列结论中错误的（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 5. 为了解我市八年级10000名学生的体重情况，从中抽取了500名学生的体重进行统计，下列说法正确的是（　　） A. 这种调查方式是普查 B. 我市每名八年级学生体重是个体 C. 10000名学生是总体 D. 500名学生是总体一个样本 6. 关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 7. 已知b>0,化简的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于点，将直线绕点顺时针旋转，交轴于点，则直线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 9. 若分式的值为0，则的取值是________． 10. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是____． 11. 计算：结果是______． 12. 若，则_________． 13. 每年的8月15日是全国生态日，其第一个生态日的活动主题是“绿水青山就是金山银山”，在划线部分的这句话中，“山”出现的频率是_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为___________． 15. 若分式方程无解，则m的值为______． 16. 已知反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，则的面积为______． 17. 如图，在□ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF=54°， 则∠B=_________． 18. 如图，矩形中，，，点是边上的动点，点在边上，．连接、，则的最小值为_______． 三．解答题 19. 计算 （1） （2） 20. 解下列分式方程： （1） （2） 21. 先化简 ，然后在中选择一个你喜欢的整数代入求值． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移4个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕点旋转得到，则点的坐标是______． 23. 某学校计划在八年级开设“折扇”“刺绣”“剪纸”“陶艺”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．（部分信息未给出） 请你根据以上信息解决下列问题： （1）参加问卷调查的学生人数为_______名，补全条形统计图（画图并标注相应数据）； （2）“陶艺”课程所对应扇形圆心角的度数是________； （3）若该校七年级一共有500名学生，试估计选择“刺绣”课程学生有多少名？ 24. 为了加强学生的体育锻炼，某学校需要购买篮球和足球两种体育用品，已知每个足球的进价是每个篮球进价的倍，用1200元购进篮球的数量比用2100元购进足球的数量少20个．求：每个篮球、足球的进价分别为多少元？ 25. 如图，在中，点E、F分别是的中点，连接，过点C作交的延长线于点D，连接． （1）求证：． （2）若，求的长． 26. 已知，用无刻度的直尺和圆规完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图1，若，在边上求作点D，连接，使得； （2）如图2，若，，在边上求作点E，连接，使得 （3）如图3，若，，，在边上求作点F，连接，使得 27. 如图，在平面直角坐标中，点是坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于、两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象回答，当时，的取值范围为______； （3）轴上有一点，当以点、、、为顶点的四边形的面积为时，求点的坐标． 28. 市一中某数学兴趣小组利用正方形硬纸片开展了一次活动，请认真阅读下面的探究片段，完成提出的问题．四边形是边长为3的正方形，点E是射线上的动点，，且交正方形外角的平分线于点F． 【探究1】当点E是中点时，如图1，发现，这需要证明与所在的两个三角形全等，但与显然不全等，考虑到点E是的中点，取的中点H，连接，证明与全等即可．（无需证明） 【探究2】（1）如图2，如果把“点E是的中点”改成“点E是边上（不与点B、C重合）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“”仍然成立吗？如果成立，写出证明过程，如果不成立，也请说明理由． （2）如图3，如果点E是边延长线上的任意一点，其他条件不变，请你画出图形，并判断“”是否成立？如果成立，写出证明过程，如果不成立，也请说明理由． 【探究3】（3）连接交直线于点I，连接，试探究线段，，之间的数量关系，请在备用图中作出图形并直接写出结论． 【探究4】（4）当时，此时的面积为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 扬州中学树人教育集团2024－2025学年第二学期期末试卷 八年级数学 （试卷总分：150分，考试时间：120分钟） 一．选择题 1. 在落实“小组合作学习，当堂达标检测及评价”要求中，某班四个小组设计的组徽图案如图，这四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 在代数式，，，中，分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，理解分式的定义是解题的关键．根据分式的定义，逐项分析即可，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母． 【详解】在代数式，，，中，分式有，，2个 ，是整式． 故选B． 3. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用最简分式的定义：分式的分子和分母没有公因式，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简分式，不合题意； B、是最简分式，符合题意； C、，不是最简分式，不合题意； D、不是最简分式，不合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了最简分式．正确掌握最简分式的定义是解题的关键． 4. 如图，已知四边形是平行四边形，已知下列结论中错误的（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理，逐个判断即可． 【详解】解：A.∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，故此项不符合题意； B.∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，故此项不符合题意； C.∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形，故此项不符合题意； D.∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形，不一定是正方形，故此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，能正确运用判定定理判断是解题的关键． 5. 为了解我市八年级10000名学生的体重情况，从中抽取了500名学生的体重进行统计，下列说法正确的是（　　） A. 这种调查方式是普查 B. 我市每名八年级学生的体重是个体 C. 10000名学生是总体 D. 500名学生是总体的一个样本 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用抽样调查以及总体、个体的定义分别分析得出答案． 【详解】在这个问题中，采取抽样调查的方式，总体是全市10000名学生的体重情况，我市每名八年级学生的体重是个体，其中抽出的500名学生的体重是总体的一个样本，因此只有B是正确的， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了抽样调查、总体、个体、样本等知识，理解各个统计量的意义是解决问题的前提． 6. 关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了含参数的分式方程的求解，将分式方程转化为一元一次方程是解题关键．只需在方程两边乘，化为整式方程，求出，再根据解是正数得到且，即可求解． 【详解】解：方程两边乘，得， 解得：， 方程的解是正数， 且， 解得：且， 故选：D． 7. 已知b>0,化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据二次根式有意义的条件，判断a≤0，再根据二次根式的性质进行化简． 【详解】∵b>0, ∴ ∴原式 故选C. 【点睛】考查二次根式有意义的条件以及二次根式的化简，得到a≤0是解题的关键. 8. 如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于点，将直线绕点顺时针旋转，交轴于点，则直线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．根据已知条件得到，求得，，过作交于，过作轴于，得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，然后用待定系数法，由点B、F坐标，求出直线的函数表达式即可． 【详解】解：一次函数的图象分别交轴于点， 令，得，令，则， ， ， 过A作交于，过作轴于， ， 等腰直角三角形， ， ， ，而 ， ， ， 设直线的函数表达式为：， ， 解得：， 直线的函数表达式为：， 故选：D． 二、填空题 9. 若分式值为0，则的取值是________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据且，计算即可． 本题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分子为零，且分母不为零是解题的关键． 【详解】解：分式的值为0， 故且， 解得， 故答案为：4． 10. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件被开方式大于或等于0列式求解即可得到答案； 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴，解得：， ∴的取值范围是， 故答案为：． 11. 计算：的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算．根据分式的加减运算法则进行计算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减．根据异分母分式相加减可得，从而得到，再代入计算，即可． 详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 每年的8月15日是全国生态日，其第一个生态日的活动主题是“绿水青山就是金山银山”，在划线部分的这句话中，“山”出现的频率是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查频率计算，用频数除以样本数可得频率． 【详解】解：“绿水青山就是金山银山”共10个字，“山”出现了3次， 出现的频率为：， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据两函数相交可得：，代入代数式，根据完全平方公式变形，即可求解； 【详解】函数与的图象交于点 故答案为：． 15. 若分式方程无解，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解的情况，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到，代入整式方程即可求出m的值． 【详解】解： 去分母得：， 将代入得：， 则． 故答案为：1． 16. 已知反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设出N的坐标，依次表示A、M的坐标，按公式计算即可． 【详解】设，则点的纵坐标为，代入，得，即， 则点的横坐标为，代入，得，即， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的基本性质，能够掌握反比函数的性质并通过设点求解是解决本题的关键． 17. 如图，在□ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF=54°， 则∠B=_________． 【答案】72° 【解析】 【详解】过F作FG∥AB，交BC于G，连接EG.则四边形ABGF是平行四边形，所以AF=BG，即G是BC的中点；在Rt△BEC中，EG是斜边上的中线，则BG=GE=FG=BC；∵AE∥FG，∴∠EFG=∠AEF=∠FEG=54°，∴∠AEG=∠AEF+∠FEG=108°，∴∠B=∠BEG=180°-108°=72°．故选D． 18. 如图，矩形中，，，点是边上的动点，点在边上，．连接、，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，两点之间线段最短性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 延长到点M，使得，连接，证明转化得到，当A，F，M三点共线时，取得最小值，勾股定理解答即可． 【详解】解：延长到点M，使得，连接， ∵矩形，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接 ∵， ∴， 故当A，F，M三点共线时，取得最小值，且最小值为， 故答案为：． 三．解答题 19. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则以及乘法公式是解题的关键． （1）首先利用乘法分配律去括号，再利用二次根式乘法法则运算，最后利用二次根式加减运算法则计算得到结果； （2）首先利用平方差公式以及完全平方公式运算，再去括号，最后利用有理数加减运算法则计算得到结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解下列分式方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【分析】(1)按照解分式方程的基本步骤求解即可． (2)按照解分式方程的基本步骤求解即可． 本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵, 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得， 经检验，是原方程的根， 故是原方程的根． 【小问2详解】 解：∵， 即， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 系数化为1，得 经检验，时，， 是原方程的增根， 故原方程无解． 21. 先化简 ，然后在中选择一个你喜欢的整数代入求值． 【答案】，当时，原式或当时，原式或当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，先把括号内通分，把除法转化为乘法，然后约分化简，再从中选择一个使原分式有意义的数代入计算． 【详解】原式 ， ∵，， ∴， ∴当时，原式，当时，原式，当时，原式． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移4个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕点旋转得到，则点的坐标是______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图旋转作图、平移作图，点的坐标，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质、旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据中心对称的性质作图即可． （3）分别连接，，，相交于点，则将绕点旋转得到，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：分别连接，，，相交于点， 则将△绕点旋转得到△， 点的坐标是． 故答案为：． 23. 某学校计划在八年级开设“折扇”“刺绣”“剪纸”“陶艺”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．（部分信息未给出） 请你根据以上信息解决下列问题： （1）参加问卷调查的学生人数为_______名，补全条形统计图（画图并标注相应数据）； （2）“陶艺”课程所对应的扇形圆心角的度数是________； （3）若该校七年级一共有500名学生，试估计选择“刺绣”课程的学生有多少名？ 【答案】（1）50，补图见解析 （2）度 （3）100 【解析】 【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量后，计算解答．利用频数=样本容量×所占百分数，根据计算补图即可． （2）利用圆心角计算公式计算即可． （3）利用样本估计总体计算即可． 【小问1详解】 解：∵(人)， 故答案为：50． 根据题意，剪纸的人数，(人)， 补图如下： 【小问2详解】 解：根据题意，得． 【小问3详解】 解：根据题意，得（人）， 答：选择“刺绣”课程的学生有100人． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，样本容量，圆心角计算，样本估计总体，熟练掌握统计图的意义，样本估计总体，正确计算样本容量是解题的关键． 24. 为了加强学生的体育锻炼，某学校需要购买篮球和足球两种体育用品，已知每个足球的进价是每个篮球进价的倍，用1200元购进篮球的数量比用2100元购进足球的数量少20个．求：每个篮球、足球的进价分别为多少元？ 【答案】每个篮球的进价为80元，则每个足球的进价为60元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键；设每个篮球的进价为x元，则每个足球的进价为，根据数量、总金额与单价的关系，找到等量关系，列分式方程求解，并检验作答． 【详解】解：设每个篮球的进价为x元，则每个足球的进价为元． 根据题意得：， 解得， 经检验是原分式方程的解，且符合实际， ∴． 答：每个篮球的进价为80元，则每个足球的进价为60元． 25. 如图，在中，点E、F分别是的中点，连接，过点C作交的延长线于点D，连接． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据点E、F分别是，得到，结合已知条件，证明即可． （2）利用三角形中位线定理，平行四边形的性质和勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：由点E、F分别是， 故， 又， 故四边形平行四边形， 故． 【小问2详解】 解：∵点E、F分别是， ∴，， ∴ 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴ 由勾股定理，得 ∴． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形判定和性质，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握相关的判定和性质是解题的关键． 26. 已知，用无刻度的直尺和圆规完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图1，若，在边上求作点D，连接，使得； （2）如图2，若，，在边上求作点E，连接，使得 （3）如图3，若，，，在边上求作点F，连接，使得 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了基本的尺规作图，角平分线的性质，垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键． （1）作的垂直平分线即可； （2）作的平分线即可； （3）作即可． 【小问1详解】 如图，点D就是求作的点； 证明：由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图，点就是求作的点， 证明：过点作于点，于点，如图所示， 由作图可得，是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴； 【小问3详解】 如图，点就是求作的点， 证明：由作图可知，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 解得：． 27. 如图，在平面直角坐标中，点是坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于、两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象回答，当时，的取值范围为______； （3）轴上有一点，当以点、、、为顶点的四边形的面积为时，求点的坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）或； （3）点的坐标或． 【解析】 【分析】（）把代入得，可得反比例函数的解析式为，然后求出，最后把，代入求出解析式即可； （）根据函数图象即可得到不等式的解集； （）由得，当时，，当时，，求出，，然后分当时，和当时，两种情况可得关于的一元一次方程，然后解方程即可； 本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，解一元一次方程，正确地求出函数的解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴， 把，代入得，， ∴， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由图象得，当时，即时，的取值范围为或， 故答案为：或； 【小问3详解】 解：设， 由得，当时，，当时，， ∴，， 当时， ， ∴， ∴点的坐标为， 当时， ， ∴， ∴点的坐标为， 综上可知：点的坐标或． 28. 市一中某数学兴趣小组利用正方形硬纸片开展了一次活动，请认真阅读下面的探究片段，完成提出的问题．四边形是边长为3的正方形，点E是射线上的动点，，且交正方形外角的平分线于点F． 【探究1】当点E是中点时，如图1，发现，这需要证明与所在的两个三角形全等，但与显然不全等，考虑到点E是的中点，取的中点H，连接，证明与全等即可．（无需证明） 【探究2】（1）如图2，如果把“点E是的中点”改成“点E是边上（不与点B、C重合）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“”仍然成立吗？如果成立，写出证明过程，如果不成立，也请说明理由． （2）如图3，如果点E是边延长线上的任意一点，其他条件不变，请你画出图形，并判断“”是否成立？如果成立，写出证明过程，如果不成立，也请说明理由． 【探究3】（3）连接交直线于点I，连接，试探究线段，，之间的数量关系，请在备用图中作出图形并直接写出结论． 【探究4】（4）当时，此时的面积为________． 【答案】（1）成立，见解析 （2）成立，见解析 （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）在截取，使得，证明即可． （2）延长到点M，使得，证明即可． （3）延长到T，使得，连接，证明，接着再证明 即可得证；当点E在的延长线上时，在截取，使得，连接，利用勾股定理证明即可． （4）当点E在上，或当点E在的延长线上时，解答即可． 【详解】解：（1）在截取，使得， ∵正方形中， ∴， ∴即， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∵与正方形外角的平分线交于点． ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． （2）解：延长到点M，使得， ∵正方形中， ∴， ∴即， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵与正方形外角的平分线交于点． ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴． （3）解：当点E在上时， 延长到T，使得，连接 ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 当点E在的延长线上时， 在截取，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （4）解：当点E在上时， ∵，， ∴，， ， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点E在的延长线上时， ∵，， ∴，， ， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，分类思想的应用，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$