1.1.6.2点到直线距离公式（教学课件）数学北师大版2019选择性必修第一册

1.6 平面直角坐标系中的距离公式 二、点到直线的距离公式 第一章 直线与圆 北师大版2019选择性必修第一册·高二 前情回顾 两点之间的距离 两条直线的交点 点到直线的距离 两平行直线的距离   一起来探讨这个简单的问题吧！ 两点间的距离公式： 直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们 可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究。 章节导读 1.2直线的倾斜角、 斜率及其关系 1.3 直线 的方程 1.4两条直线的平行与垂直 1.5两条直线的交点坐标 直线的倾斜角 斜率 倾斜角与方向向量间的关系 一般式 、点法式 点斜式 、斜截式 、两点式 两条直线平行 两条直线垂直 1.6距离公式 两条直线的交点坐标 两点间的距离公式 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离公式 学 习 目 标 1 2 3 理解点到直线的距离公式的几何含义和推导过程. 会运用点到直线的距离公式求点线距和直线方程. 能灵活应用公式解决两点间距离的最值问题. 读教材 阅读课本P22-P23，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“点到直线的距离公式”吧！ 1.平面直角坐标系中点到直线的距离公式是什么？ 2.点到直线和到直线的距离怎么表示？ 怎么求已知点到确定直线的距离呢？ 新课引入 思考1 如图什么是点到直线的距离？ 到直线的距离是从到直线的垂线段的长度 思考2 点到轴,轴的距离？到直线,直线的距离呢？ x0 y0 |y0| |x0| x y P0 (x0,y0) O x1 y1 x y P0 (x0,y0) O |x1－x0| |y1－y0| 学习过程 01 03 02 目录 1 点到直线的距离公式 2 题型训练 新知探究1 探究1 如何求点到直线的距离？ 思考1：如何求PQ ？ 思考2：如何求出点Q的坐标？ 找Q的坐标，然后由两点距离公式 Q为直线l与直线PQ的交点 思考3：如何求PQ的方程？ 点斜式：已知点P的坐标，kPQ·k=－1求直线PQ的斜率 代数法 新知探究1 探究1 已知点，直线, 如何求点到直线的距离？ 找Q的坐标，然后由两点距离公式 Q为直线l与 直线PQ的交点 点斜式：已知点P的坐标， kPQ·k=－1求直线PQ的斜率 代数法 新知探究1 思考1：如何求PQ ？ 思考2：如何求出的坐标？ 的方向向量为则与垂直的向量为 向量法 P1 P2 l O y x 探究1 如何求点到直线的距离？ 新知探究1 向量法 P1 P2 l O y x 探究1 已知点，直线, 如何求点到直线的距离？ 解：的方向向量为 所以与的方向向量垂直的向量为 从而 因为点在直线上，所以， 所以，代入上式得 因此= 新知1 点到直线的距离公式 1.点到直线的距离公式: 点到直线的距离公式： 注：(1)用此公式时直线方程必须先化成一般式，分子含有绝对值； (2)此公式是在的前提下推导的，可以验证， 如果或，此公式也成立. 分子是点坐标代入直线方程左边后的绝对值 分母是直线方程中未知数的系数平方和的算术根 典例分析 例1 求点P(－2，1)到下列直线的距离： (1)3x+4y－1=0； (2)y=2x+3； (3)2x+5=0. 解：(1)点P(－2，1)到直线3x＋4y－1＝0的距离为: (2)点P(－2，1)到直线2x－y＋3＝0的距离为: (3)点P(－2，1)到直线2x＋5＝0的距离为: 课本第23页 典例分析 例2 已知坐标平面内两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的 距离相等，求实数m的值？ ∴|3m＋5|＝|m－7|，∴3m＋5＝m－7或3m＋5＝7－m， 典例分析 典例分析 例4 已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等， 求实数a的值？ 化简得|3a＋3|＝|6a＋4|， 学习过程 01 03 02 目录 1 两点间的距离公式 2 题型训练 点线距求直线方程 题型1 题型探究 例1 已知点P(2，－1)，求过点P且与原点距离为2的直线l 的方程？ 解：当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x＝2，符合题意. 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0， 所以直线l 的方程为3x－4y－10＝0. 综上所述：直线l 的方程为x＝2或3x－4y－10＝0. 点线距求直线方程 题型1 题型探究 例2 直线l 经过点(－2,3)，且原点到直线l 的距离等于2，求直线l 的方程？ 解：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，符合原点到直线l的距离等于2； 当直线l的斜率存在时，设所求直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0， 综上所述，直线l的方程为x＋2＝0或5x＋12y－26＝0. 点线距求直线方程 题型1 题型探究 例3 求与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程？ 解：设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0， 即|C－7|＝10，解得C＝－3或C＝17. 故所求直线方程为4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0. 点线距求直线方程 题型1 题型探究 例4 经过两直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点距离为1 的直线的条数为____？ 2 解：设所求直线l的方程为x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0， 即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0， 所以λ＝±3，即直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0， 所以和原点相距为1的直线的条数为2. 题型探究 例5 求直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标? 点线距的最值问题 题型2 解:由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，设垂足为M，则|MP|最小， 故所求点的坐标为(5，－3). 题型探究 点线距的最值问题 题型2 解：设P(x，y)，A(2，－1)，则点P在直线x＋y－3＝0上， 题型探究 两线距的最值问题 题型2 例7 当点P(2,3)到直线ax＋(a－1)y＋3＝0的距离d最大时，求d与a的值？ 解：直线l恒过点A(－3,3)，根据已知条件可知， 当直线ax＋(a－1)y＋3＝0与AP垂直时，距离最大， 最大值为5，此时a＝1. 题型探究 两线距的最值问题 题型2 例8 点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，求|MP|的最小值？ 解：点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为|MP|的最小值， 课堂小结 1.点到直线的距离公式: 点到直线的距离公式： 分子是点坐标代入直线方程左边后的绝对值 分母是直线方程中未知数的系数平方和的算术根 到直线的距离是从到直线的垂线段的长度 感谢聆听！ ∴|PQ|＝. d＝＝. 解：依题意得＝， ∴m＝－6或m＝. 例3 若点P(3，a)到直线x＋y－4＝0的距离为1，求a的值？ 解：由题意得＝＝1， 解得a＝或a＝－. 解：由点到直线的距离公式可得＝， 解得a＝－或－. 由点到直线的距离公式得＝2， 解得k＝， 由d＝＝2， 得k＝－，即直线l的方程为5x＋12y－26＝0. 则＝2， 因为原点到直线的距离d＝＝1， 直线MP的方程为y－1＝－(x－2)， 解方程组得 例6 已知x＋y－3＝0， 求的最小值？ 且＝|PA|， |PA|的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离： d＝＝. 所以|MP|的最小值为＝. $$