第09讲 方程 （知识清单+6大题型+好题必刷） 数学核心知识点与常见题型通关讲解练 【暑假预习】2025-2026学年七年级上册数学（沪科版2024）

第09讲 方程与等式的基本性质 （知识清单+6大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 判断各式是否是方程 题型二 列方程 题型三 判断是否是方程的解 题型四 已知方程的解，求参数 题型五 等式的性质1 题型六 等式的性质2 知识清单 知识点．方程的定义 （1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程． 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． （2）列方程的步骤： ①设出字母所表示的未知数； ②找出问题中的相等关系； ③列出含有未知数的等式﹣﹣﹣﹣方程． 在未知数等于某特定值时，恰能使等号两边的值相等者称为条件方程，例如x+3＝8，在x＝5时等号成立． 题型练习 【题型一】判断各式是否是方程 【例1】（24-25七年级上·安徽芜湖·阶段练习）下列是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题考查了一元一次方程的识别，判断一个方程是否是一元一次方程，看它是否具备以下三个条件：①只含有一个未知数，②含未知数项的最高次数是1，③未知数不能在分母里，这三个条件缺一不可． 【详解】解：A．是一元一次方程；     B．含2个未知数，不是一元一次方程；     C．不是等式，不是一元一次方程；     D．含2个未知数，不是一元一次方程； 故选A． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列各式中，属于方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题主要考查了方程的定义，解题的关键是掌握方程的定义：含有未知数的等式是方程． 根据方程的定义：含有未知数的等式是方程，即可进行解答． 【详解】解：A、不含未知数，不是方程，不符合题意； B、不是等式，故不是方程，不符合题意； C、不是等式，故不是方程，不符合题意； D、是含有未知数的等式，是方程，符合题意． 故选：D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 【答案】①④ 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题考查了方程的概念．含有未知数的等式叫作方程，据此判断即可． 【详解】解：①，④符合方程的概念，是方程． ②不是等式，③不含未知数，都不是方程． 故答案为：①④． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）在 ①，②，③，④中，方程有 （填序号）． 【答案】②③ 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题考查了方程，熟练掌握方程的定义是解题的关键． 根据含有未知数的等式叫方程，可得答案． 【详解】解：∵①，是等式但不含未知数，故不是方程； ∵②③，含有未知数的等式，故是方程； ④，含有未知数但不是等式，故不是方程， 故答案为：②③． 【题型二】列方程 【例2】根据等式的性质，下列各式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】列方程 【分析】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式．根据式的基本性质逐项分析即可． 【详解】解：A．若，则，故不正确；     B．若，当时，则，故不正确； C．若，则，正确；     D．若，则，故不正确； 故选C． 【举一反三】 1．《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？ 若设人数为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．8x+4=7x-3 【答案】B 【知识点】列方程 【分析】设人数为x，然后根据等量关系“每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱”即可列出方程． 【详解】解：设人数为x， 根据题意可得：． 故选B． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、找准等量关系是解答本题的关键． 2．（七年级上·安徽安庆·期末）临近春节，商场开展打折促销活动，某商品如果按原售价的八折出售，将盈利10元；如果按原售价的六折出售，将亏损50元．问该商品的原售价为多少元？设该商品的原售价为x元，则列方程为 ． 【答案】0.8x-10=0.6x+50 【知识点】列方程 【分析】设该商品的原售价为x元，然后根据成本不变列出方程即可． 【详解】解：设该商品的原售价为x元， 根据题意得：0.8x-10=0.6x+50， 故答案为：0.8x-10=0.6x+50． 【点睛】此题考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，弄清题中的等量关系是解本题的关键． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）根据下列问题，设未知数并列出方程： (1)某校女生占全体学生数的52，比男生多80人，这所学校有多少名学生？ (2)如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5m，扩大后的绿地面积是500m2，求正方形绿地的边长． 【答案】(1) (2) 【知识点】列方程 【分析】本题考查列方程，找到等量关系是本题关键． （1）根据全校人数女生人数，女生人数—男生人数＝80建立等量关系即可； （2）根据扩大部分面积为5x，通过原来面积加上扩大部分面积等于现在总面积可建立等量关系． 【详解】（1）设这所学校的学生数为，那么女生数为， 男生数为． 根据“女生比男生多80人”， 列得方程． （2）设正方形绿地的边长为m， 扩大部分面积为：5x 那么扩大后的绿地面积为． 根据“扩大后的绿地面积是”． 列得方程． 【题型三】判断是否是方程的解 【例3】 下列是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值即为一元一次方程的解，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、当时，则，因为，则不是的解，故该选项不符合题意； B、当时，则，因为，则是的解，故该选项符合题意； C、当时，则，因为，则不是的解，故该选项不符合题意； D、当时，则，因为，则不是的解，故该选项不符合题意； 故选：B． 【举一反三】 1．若是关于x的方程的解，则a的值为（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入已知方程后，列出关于a的新方程，再解新方程求a的值即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， 解得：， 故选：C． 2． ．（填“是”或“不是”）方程的解． 【答案】是 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查方程的解，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 把代入方程的左边，判断等式是否仍然成立即可． 【详解】解：把代入方程 左边， 右边 左边=右边 所以是方程的解 故答案为：是 3．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）是方程的解吗？ （2）是方程的解吗？ 【答案】（1）不是，是；（2）不是，是 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题主要考查方程解的定义，熟练掌握解的定义是解答本题的关键，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． （1）分别将代入方程，看是否符合方程解得定义即可解答； （2）分别将代入方程，看是否符合方程解得定义即可解答． 【详解】解：（1）当时，方程的左边，右边，方程左，右两边的值不相等， 所以不是方程的解． 当时，方程的左边，右边，方程左、有两边的值相等， 所以是方程的解． （2）当时，方程的左边，右边，方程左，右两边的值不相等， 所以不是方程的解． 当时，方程的左边，右边，方程左、右两边的值相等， 所以是方程的解． 【题型四】已知方程的解，求参数 【例4】若是方程的解，则的值为（    ） A． B．7 C． D．5 【答案】A 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程得到，由，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， 故选：A． 【举一反三】 1．已知是关于x的方程的解，那么a的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，把代入关于x的方程得关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：把代入关于x的方程得： ， ， ， 故选：D． 2．如果是方程的解，则a的值是 ． 【答案】2 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查方程的解的定义，掌握方程的解是使方程成立的未知数的值是解题关键．将将代入求解即可． 【详解】解：将代入，得：， 解得：． 故答案为：2． 3．数学课本上有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”小明同学解题过程如下： 解：原式 因为，所以原式． 小明同学把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【尝试应用】 （1）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，则______． （2）已知，当，的值是2023；当时，的值是____． 【拓展提高】 （3）已知，，，求的值． （4）关于x的一元一次方程的解，解关于y的一元一次方程． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【知识点】相反数的定义、倒数、已知式子的值，求代数式的值、已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了相反数，倒数，求代数式的值，一元一次方程的解，本题是阅读型题目，正确掌握题干中的方法并熟练运用是解题的关键． （1）利用相反数和倒数的意义求得的值，代入运算即可； （2）利用已知条件求得关于a，b，c的值，再利用整体代入的方法解答即可； （3）去墇括号后，重新结组，再利用整体代入的方法解答即可； （4）利用换元的思想方法将看成即可得出结论． 【详解】（1）∵a，b互为相反数， 互为倒数，， 故答案为：； 已知，当，的值是2023， 当时， 故答案为：－2007； ； 关于x的一元一次方程的解， ， ． 【题型五】等式的性质1 【例5】（24-25七年级上·安徽亳州·期末）已知，则下列等式变形不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟练掌握等式的基本性质成为解题的关键．等式基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或整式，等式仍然成立；等式基本性质2：等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数或整式，等式仍然成立．根据等式的性质逐项判定即可． 【详解】解：A. 因为，则成立，故此选项正确，不符合题意； B. 因为，则成立，故此选项正确，不符合题意； C. 因为但无法确定是否为0，则不一定成立，故此选项错误，符合题意； D. 因为，则成立，故此选项正确，不符合题意． 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）下列等式变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立．根据等式的基本性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A、如果，那么，原式变形错误，不符合题意； B、如果，那么，原式变形错误，不符合题意； C、如果，那么，原式变形正确，符合题意； D、如果，当时，，原式变形错误，不符合题意； 故选；C． 2． 已知，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式两边仍然成立，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）利用等式的性质解方程，并检验： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，检验见解析 (2)，检验见解析 (3)，检验见解析 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】（1）根据等式的性质1，给等式的两边同时减8即可得到x的值，最后将x的值代入方程检验即可； （2）根据等式的性质2，方程两边同乘以即可得到x的值，最后将x的值代入方程检验即可； （3）先根据等式的性质1，给方程两边同时加4可得，至此，再给方程两边同时除以3即可求出x的值，最后将x的值代入方程检验即可． 【详解】（1）解：两边同减8，得， 化简，得， 将代入方程的左边，得， 方程左、右两边的值相等， 所以是方程的解； （2）解：两边同乘，得， 化简，得， 将代入方程的左边，得， 方程左、右两边的值相等， 所以是方程的解； （3）解：两边同加4，得， 化简，得， 两边同乘，得， 化简，得， 将代入方程的左边，得， 方程左、右两边的值相等， 所以是方程的解． 【题型六】等式的性质2 【例6】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知，下列变形中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等式的性质2 【分析】本题考查了等式的性质；根据等式的性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．若，则，正确，不符合题意； B．若，则，正确，不符合题意； C．若，则，变形不一定正确，符合题意； D．若，则，正确，不符合题意． 故选：C． 【举一反三】 1．下列利用等式的基本性质变形，错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项分析即可得解，熟练掌握等式的基本性质是解此题的关键． 【详解】解：A、如果，等式两边都除以，那么，故原选项变形正确，不符合题意； B、如果，当时，得不出，故原选项变形错误，符合题意； C、如果，等式两边都减，那么，故原选项变形正确，不符合题意； D、如果，等式两边都乘以，那么，故原选项变形正确，不符合题意； 故选：B． 2． 方程变形为，这种变形根据是 ． 【答案】等式两边同时乘以一个相同的数等式仍然成立 【知识点】等式的性质2 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式两边仍然成立，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立． 【详解】解：方程变形为，这种变形根据是等式两边同时乘以一个相同的数等式仍然成立， 故答案为：等式两边同时乘以一个相同的数等式仍然成立． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）根据等式的性质填空，并说明依据： (1)如果，那么___________； (2)如果，那么___________； (3)如果，那么___________； (4)如果，那么___________． 【答案】(1)，根据等式的性质1，等式两边加，结果仍相等 (2)5，根据等式的性质1．等式两边减，结果仍相等 (3)，根据等式的性质2，等式两边乘，结果仍相等 (4)2，根据等式的性质2，等式两边除以2，结果仍相等 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了等式的性质，熟知等式的性质是解决本题的关键． （1）根据等式的性质1，即可解答； （2）根据等式的性质1，即可解答； （3）根据等式的性质2，即可解答； （4）根据等式的性质2，即可解答． 【详解】（1）解：如果，那么，根据等式的性质1，等式两边加，结果仍相等； （2）解：如果，那么，根据等式的性质1．等式两边减，结果仍相等； （3）解：如果，那么，根据等式的性质2，等式两边乘，结果仍相等； （4）解：如果，那么，根据等式的性质2，等式两边除以2，结果仍相等． 好题必刷 一、单选题 1．对于等式则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质：等式的基本性质1：等式两边同时加(或减)同一个代数式，所得结果仍是等式；等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数，所得结果仍是等式．根据等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：根据等式的性质2，给等式两边同乘以6，得，故选项B成立，选项A、C不成立， 给等式两边同乘以2，得，故选项D不成立， 故选：B． 2．已知等式，则下列等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等式的基本性质进行分析判断． 【详解】解：A、如果，那么，原变形成立，故此选项不符合题意； B、如果，那么，原变形成立，故此选项不符合题意； C、如果，那么，原变形成立，故此选项不符合题意； D、如果，则，这里必须a≠0，原变形不一定成立，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质．等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 3．下列说法中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质对各选项进行判断即可．掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：A．若，想要成立，需要，故A选项不符合题意； B．若，则，故选项B符合题意； C．若，则或，故选项C不符合题意； D．若，则或，故选项D不符合题意． 故选：B． 4．下列是根据等式的性质进行变形，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质进行解题． 根据等式的基本性质，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，则，故A错误； B、若，则，故B错误； C、若，则，故C正确； D、，当时，不成立，故D错误； 故选：C． 5．下面利用等式性质对等式进行变形，错误的是（  ） A．若，则 B．，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，注意：①等式的两边都加（或减）同一个数或式子，等式仍成立；②等式的两边都乘以同一个数，等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式仍成立．根据等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A．若，则，原变形正确，不符合题意； B．且，则，原变形错误，符合题意； C．若，则，原变形正确，不符合题意； D．若，则，原变形正确，不符合题意； 故选：B． 6．由等式能得到，则必须满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了等式的性质，利用等式的基本性质得出时，由等式能得到，即可得出答案，正确把握等式的基本性质是解题关键． 【详解】由等式能得到， ∴，则， 故选：． 7．如图，在天平上放若干苹果和香蕉，其中①②的天平保持平衡，现要使③中的天平也保持平衡，需要在天平右盘中放入砝码（　　）    A．350克 B．300克 C．250克 D．200克 【答案】C 【分析】根据等式的性质即可求出答案． 【详解】解：设苹果重为x克，香蕉重为y克， ∴，， 相加得：， ∴． ∴需要在天平右盘中放入砝码250克， 故选：C． 【点睛】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型． 8．已知三个实数a，b，c满足，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将等式整理得，，①+②可求值，进而可判断B的正误，将代入①式得，可判断C的正误，由，，，计算求解可判断A，D的正误． 【详解】解：∵， ∴， ①+②得，即 解得 ∴B正确，故不符合题意； 将代入①式得 ∴C正确，故不符合题意； ∵ ∴ ∴， ∴ ∴D正确，故不符合题意；A错误，故符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了等式的性质．解题的关键在于对等式性质的熟练掌握与灵活运用． 9．甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重，下面等式不符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列方程、等式的性质等知识点，掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据题干可得，如果从甲袋中倒出6千克放入乙袋，则两袋大米一样重，可得，然后根据等式的性质变形逐项判断即可． 【详解】解：∵甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重， ∴，即A选项正确，不符合题意； ，即B选项错误，符合题意； ， 则，即C选项正确，不符合题意； ，即D选项正确，不符合题意． 故选：B． 10．药店销售某种药品原价为a元/盒，受市场影响开始降价，第一轮价格下降30%，第二轮在第一轮的基础上又下降10%，经两轮降价后的价格为b元/盒，则a，b之间满足的关系式为（　　） A．b＝（1﹣30%）（1﹣10%）a B．b＝（1﹣30%﹣10%）a C． D． 【答案】A 【分析】根据题意直接列方程即可 【详解】解：由题意可知b＝（1﹣30%）（1﹣10%）a 故选：A 【点睛】本题考查列二元一次方程，正确理解题意找到等量关系是关键 二、填空题 11．若x＝2是关于x的方程mx﹣4＝6的解，则m＝ ． 【答案】5 【分析】把x＝2代入方程计算即可求出m的值． 【详解】解：把x＝2代入方程得：2m﹣4＝6， 解得：m＝5， 故答案为：5． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 12．如果关于x的方程无解，那么a满足的条件是 . 【答案】 【分析】根据方程解的情况即可得出答案． 【详解】解：∵关于x的方程无解，即无解 ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据方程解的情况确定系数的值，熟练掌握方程的解是解本题的关键． 13．如果，根据等式的性质填空． 【答案】 5 m 【分析】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解答本题的关键； 根据等式的性质直接填空：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立； （2）等式两边同时乘以或除以同一个数（0除外），等式仍然成立．即可得到答案． 【详解】； ； ； ． 故答案为：5，m，，． 14．整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程的解是 ． x 0 2 0 【答案】 【分析】根据表格提供的数据可直接得出方程的解． 【详解】解：根据表格得：当时，， 故的解为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，以及代数式求值，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 三、解答题 15．检验括号内的未知数的值是否为方程的解． （，） 【答案】不是方程的解，是方程的解 【分析】本题主要考查了方程的解，分别把，代入方程两边，判断两边是否相等，即可解答． 【详解】解：把代入方程，左边，右边， ∵左边右边， ∴不是方程的解． 把代入方程，左边，右边， ∵左边右边， ∴是方程的解． 16．利用等式的性质解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】结合各方程的特点，根据等式的性质逐一进行变形计算即可． 【详解】（1）解：方程两边同时减去8，得， 所以； （2）解：方程两边同时乘以，得， 所以； （3）解：方程两边同时减去7，得， 化简，得， 方程两边同时除以，得； （4）解：方程两边同时加，得， 化简，得， 方程两边都乘12，得，整理得， 方程两边都除以5，得． 【点睛】本题运用了等式的基本性质．等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 17．能否从等式得到？为什么？反过来，能否从等式得到为什么？ 【答案】由不一定能得到；反过来，能从等式得到（；理由见解析 【分析】利用等式的性质2进行判断即可． 【详解】由不一定能得到． 因为当时，，根据等式的基本性质2，等式的两边不能同时除以0，此时不能得到． 当时，，此时， 根据等式的基本性质2，能得到． 反过来，能从等式得到（． 理由：由知，两边同时乘，得． 【点睛】本题主要考查的是等式的性质，明确利用等式性质2对等式进行变形时，除数不能为0是解题的关键． 18．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解方程，解题的关键是熟练掌握分数混合运算法则和等式的性质． （1）根据等式的性质和分数运算法则解方程即可； （2）根据等式的性质和分数运算法则解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ． 19．利用等式的性质解下列方程并检验： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）利用等式的性质，两边加上5即可得到答案； （2）两边除以0.3，系数化为1即可得到答案； （3）两边减去4，即可得到答案； （4）两边乘以4，去分母即可得到答案． 【详解】解：（1）两边加上5得：， 解得：， 经检验：左边右边，为方程的解； （2）两边除以0.3，系数化为1得：， 经检验：左边右边，为方程的解； （3）两边减去4得：， 两边除以5，系数化为1得：， 经检验：左边右边，为方程的解； （4）两边乘以4，去分母得：， 两边减去8得：， 合并得：， 两边除以得：， 经检验：左边右边，为方程的解． 【点睛】本题考查了等式的性质，解题的关键是熟练等式的性质，左右加减同一个数，等式成立；左右乘上一个相同的数，等式成立；左右除以不为零的数，等式成立． 20．利用等式的性质解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了等式的基本性质，利用等式的基本性质直接解答即可求解，掌握等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：等式两边同时减得，， 即， 等式两边同时乘以得，， 即． 21．已知关于的方程的解是，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解的定义以及代数式求值，掌握解的定义是解答本题的关键． 将代入，解出，再将代入计算即可求解． 【详解】解：将代入，得：， 解得：， ． 22．若方程是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)判断是否是方程的解． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了一元一次方程方程的定义，一元一次方程的解； （1）根据一元一次方程的定义可得且，即可求解； （2）分别将代入方程，进而判断方程的左右两边是否相等，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知且， 所以且， 所以； （2）由（1）可知方程为． 把代入方程左边，得左边． 因为右边，所以左边右边．所以不是方程的解； 把代入方程左边，得左边， 因为右边，所以左边右边， 所以不是方程的解； 把代入方程左边，得左边．因为右边， 所以左边右边， 所以是方程的解． 23．利用等式的性质解方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据等式性质1、2求解，再检验即可； （2）根据等式性质2求解，再检验即可； （3）根据等式性质1、2求解，再检验即可； （4）根据等式性质1、2求解，再检验即可． 【详解】（1）解：方程两边加上6得：，即， 方程两边除以4得：， 则是方程的解； （2）解：方程两边除以得：， 则是方程的解； （3）解：方程两边减去得：，即， 两边除以5得：， 则是方程的解； （4）解：方程两边减去得：，即， 则是方程的解． 【点睛】本题考查运用等式性质解方程，熟练掌握等式性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 方程与等式的基本性质（知识清单+6大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 判断各式是否是方程 题型二 列方程 题型三 判断是否是方程的解 题型四 已知方程的解，求参数 题型五 等式的性质1 题型六 等式的性质2 知识清单 知识点．方程的定义 （1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程． 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． （2）列方程的步骤： ①设出字母所表示的未知数； ②找出问题中的相等关系； ③列出含有未知数的等式﹣﹣﹣﹣方程． 在未知数等于某特定值时，恰能使等号两边的值相等者称为条件方程，例如x+3＝8，在x＝5时等号成立． 题型练习 【题型一】判断各式是否是方程 【例1】（24-25七年级上·安徽芜湖·阶段练习）下列是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列各式中，属于方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）在 ①，②，③，④中，方程有 （填序号）． 【题型二】列方程 【例2】根据等式的性质，下列各式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【举一反三】 1．《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？ 若设人数为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．8x+4=7x-3 2．（七年级上·安徽安庆·期末）临近春节，商场开展打折促销活动，某商品如果按原售价的八折出售，将盈利10元；如果按原售价的六折出售，将亏损50元．问该商品的原售价为多少元？设该商品的原售价为x元，则列方程为 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）根据下列问题，设未知数并列出方程： (1)某校女生占全体学生数的52，比男生多80人，这所学校有多少名学生？ (2)如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5m，扩大后的绿地面积是500m2，求正方形绿地的边长． 【题型三】判断是否是方程的解 【例3】 下列是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．若是关于x的方程的解，则a的值为（    ） A．2 B．0 C． D． 2． ．（填“是”或“不是”）方程的解． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）是方程的解吗？ （2）是方程的解吗？ 【题型四】已知方程的解，求参数 【例4】若是方程的解，则的值为（    ） A． B．7 C． D．5 【举一反三】 1．已知是关于x的方程的解，那么a的值为（   ） A． B．2 C． D． 2．如果是方程的解，则a的值是 ． 3．数学课本上有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”小明同学解题过程如下： 解：原式 因为，所以原式． 小明同学把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【尝试应用】 （1）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，则______． （2）已知，当，的值是2023；当时，的值是____． 【拓展提高】 （3）已知，，，求的值． （4）关于x的一元一次方程的解，解关于y的一元一次方程． 【题型五】等式的性质1 【例5】（24-25七年级上·安徽亳州·期末）已知，则下列等式变形不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）下列等式变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2． 已知，则 （填“”“”或“”）． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）利用等式的性质解方程，并检验： (1)； (2)； (3)． 【题型六】等式的性质2 【例6】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知，下列变形中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．下列利用等式的基本性质变形，错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2． 方程变形为，这种变形根据是 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）根据等式的性质填空，并说明依据： (1)如果，那么___________； (2)如果，那么___________； (3)如果，那么___________； (4)如果，那么___________． 好题必刷 一、单选题 1．对于等式则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．已知等式，则下列等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．下列是根据等式的性质进行变形，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．下面利用等式性质对等式进行变形，错误的是（  ） A．若，则 B．，则 C．若，则 D．若，则 6．由等式能得到，则必须满足的条件是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在天平上放若干苹果和香蕉，其中①②的天平保持平衡，现要使③中的天平也保持平衡，需要在天平右盘中放入砝码（　　）    A．350克 B．300克 C．250克 D．200克 8．已知三个实数a，b，c满足，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 9．甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重，下面等式不符合题意的是（    ） A． B． C． D． 10．药店销售某种药品原价为a元/盒，受市场影响开始降价，第一轮价格下降30%，第二轮在第一轮的基础上又下降10%，经两轮降价后的价格为b元/盒，则a，b之间满足的关系式为（　　） A．b＝（1﹣30%）（1﹣10%）a B．b＝（1﹣30%﹣10%）a C． D． 二、填空题 11．若x＝2是关于x的方程mx﹣4＝6的解，则m＝ ． 12．如果关于x的方程无解，那么a满足的条件是 . 13．如果，根据等式的性质填空． 14．整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程的解是 ． x 0 2 0 三、解答题 15．检验括号内的未知数的值是否为方程的解． （，） 16．利用等式的性质解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．能否从等式得到？为什么？反过来，能否从等式得到为什么？ 18．解方程 (1) (2) 19．利用等式的性质解下列方程并检验： （1）； （2）； （3）； （4）． 20．利用等式的性质解方程：． 21．已知关于的方程的解是，求的值． 22．若方程是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)判断是否是方程的解． 23．利用等式的性质解方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$