集合、常用逻辑用语、不等式 专项训练习题-2026届高三数学一轮复习

1.1 集　合 题型一　集合的含义与表示 例1　(1)(多选)下列各组中M，P表示不同集合的是(　　) A.M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)} B.M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)} C.M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R} D.M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R} (2)已知m∈R，n∈R，若集合＝{m2，m＋n，0}，则m2 025＋n2 025的值为(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 题型二　集合间的基本关系 例2　(1)(2025·青岛模拟)已知全集U＝R，集合A，B满足A⊆(A∩B)，则下列关系一定正确的是(　　) A.A＝B B.B⊆A C.A∩(∁UB)＝∅ D.(∁UA)∩B＝∅ (2)已知M＝{x|－2≤x≤2}，A＝{x|1－a≤x≤1＋a}，且A∩M＝A，则实数a的取值范围为　　　　　　.  题型三　集合的基本运算 例3　(1)(2024·新课标全国Ⅰ)已知集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B等于(　　) A.{－1，0} B.{2，3} C.{－3，－1，0} D.{－1，0，2} (2)(2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U(M∪N)等于(　　) A.{x|x＝3k，k∈Z} B.{x|x＝3k－1，k∈Z} C.{x|x＝3k－2，k∈Z} D.∅ 例4　(1)设集合A＝{x|x<a2}，B＝{x|x>a}，若A∩(∁RB)＝A，则实数a的取值范围为(　　) A.[0，1] B.[0，1) C.(0，1) D.(－∞，0]∪[1，＋∞) (2)(2025·衡水模拟)已知集合A＝{x|y＝ln(1－x2)}，B＝{x|x≤a}，若(∁RA)∪B＝R，则实数a的取值范围为(　　) A.(1，＋∞) B.[1，＋∞) C.(－∞，1) D.(－∞，1] 例5　某校初一(4)班有学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，则三项都参加的人数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 1.2　常用逻辑用语 题型一　充分、必要条件的判定 例1　(1)(2024·连云港模拟)“λ＝－1”是“直线l1：x＋λy＋9＝0与l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 (2)祖暅原理是一个涉及几何求积的著名命题.内容为：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.意思是两个等高的几何体，如在等高处的截面积相等，则体积相等.设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在同一高处的截面积相等.根据祖暅原理可知，p是q的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 题型二　充分、必要条件的应用 例2　(1)已知p：x≤1，q：x≤a，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是　　　　　　；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是　　　　　　.  (2)已知p：x>1或x<－3，q：x>a(a为实数).若綈q的一个充分不必要条件是綈p，则实数a的取值范围是　　　　　　.  题型三　全称量词与存在量词 例3　(多选)下列说法正确的是(　　) A.“菱形是正方形”是全称量词命题 B.“∀x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2＋y2<0” C.命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除” D.“A＝B”是“sin A＝sin B”的必要不充分条件 例4　(多选)下列命题中，为真命题的是(　　) A.∀x∈R，2x－1>0 B.∃x∈R，x2＋1<2x C.∀xy>0，x＋y≥2 D.∃x，y∈R，sin(x＋y)＝sin x＋sin y 例5　(1)(2024·台州模拟)若命题“∃x∈R，使x2－x－m＝0”是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. (2)已知命题“∃x∈R，ax2－ax＋1≤0”为假命题，则实数a的取值范围是　　　　.  1.3　等式性质与不等式性质 题型一　数(式)的大小比较 例1　(1)(多选)下列不等式中正确的是(　　) A.x2－2x>－3(x∈R) B.a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R) C.a2＋b2>2(a－b－1) D.<(b>a>0) (2)若实数m，n，p满足m＝4，n＝5，p＝，则(　　) A.p<m<n B.p<n<m C.m<p<n D.n<p<m 题型二　不等式的基本性质 例2　(1)(多选)已知实数a，b，c，d，则下列命题中错误的是(　　) A.若a>b，则ac>bc B.若a>b，c>d，则a－c>b－d C.若b<a<0，则> D.若a>b，c>d，则ac<bd (2)(多选)(2025·常德模拟)已知a>b>0，则下列不等式正确的是(　　) A.a2>ab B.> C.a＋b＋ln(ab)>2 D.a－>b－ 题型三　不等式性质的综合应用 例3　(1)(多选)已知－1<a<5，－3<b<1，则下列结论正确的是(　　) A.－15<ab<5 B.－4<a＋b<6 C.－2<a－b<8 D.－<<5 (2)(2024·辽宁县域重点高中协作体模拟)公园的绿化率是指公园内的绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为a m2，绿化面积为b m2(0<b<a)，现对该公园再扩建2x m2，其中绿化面积为x m2，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比(　　) A.变大 B.变小 C.不变 D.不确定 1.4　基本不等式 题型一　基本不等式的理解及常见变形 例1　(1)(多选)下列说法不正确的是(　　) A.x＋的最小值是4 B.不等式ab≤与≤成立的条件是相同的 C.的最小值为2 D.存在a，使得a＋<2成立 (2)若0<a<b，则下列不等式一定成立的是(　　) A.b>>a> B.b>>>a C.b>>>a D.b>a>> 题型二　基本不等式的性质 例2　(1)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为(　　) A.1 B. C.2 D.2 (2)当0<x<1时，3x(3－3x)的最大值为　　　　　　.  例3　(1)函数f(x)＝4x＋，x∈(－1，＋∞)的最小值为(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 (2)(2025·咸阳模拟)已知a>0，b>0，且＝1，则a＋b的最小值为　　　　.  与基本不等式模型结构相似的对勾函数模型 典例　函数f(x)＝x2＋的最小值是　　　.  例4　(多选)已知a，b为正实数，且a>1，b>1，(a－1)(b－1)＝1，则下列结论正确的是(　　) A.＝1 B.ab的最大值为4 C.2a＋b的最小值为3＋2 D.的最小值为2 例5　已知实数x，y满足3xy＋y2＝1，y>0，则2x＋y的最小值是(　　) A. B. C.2 D.3 例6　(多选)(2024·郑州模拟)已知正数a，b满足a2＋b2＝1＋ab，则下列结论正确的是(　　) A.a2＋b2的最小值为2 B.a＋b的最大值为2 C.的最小值为2 D.lg a＋lg b<0 1.5　基本不等式的综合应用 题型一　与基本不等式有关的恒(能)成立问题 例1　(1)若不等式≥恒成立，则实数m的最大值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.9 (2)若两个正实数x，y满足＝1，且不等式x＋<m2－3m有解，则实数m的取值范围是(　　) A.{m|－1<m<4} B.{m|m<－4或m>1} C.{m|－4<m<1} D.{m|m<－1或m>4} 题型二　基本不等式的实际应用 例2　随着环保意识的增强，电动汽车成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段(汽车行驶速度不低于60 km/h)测试发现：①汽车每小时耗电量P(单位：kW·h)与速度v(单位：km/h)的关系满足P(v)＝0.002v2－0.04v＋5(60≤v≤120)；②相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从A地经高速公路(最低限速60 km/h，最高限速120 km/h)匀速行驶到距离为500 km的B地，出发前汽车电池存量为75 kW·h，汽车到达B地后至少要保留5 kW·h的保障电量(假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与路程都忽略不计). (1)判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由； (2)若以该电动汽车的现存电量一定可以到达A地与B地间的服务区，服务区充电桩的功率为15 kW(充电量＝充电功率×时间)，求到达B地的最少用时(行驶时间与充电时间总和). 题型三　基本不等式与其他知识交汇的最值问题 例3　(1)设a>0，b>0，若ln 是ln 3a与ln 9b的等差中项，则的最小值为(　　) A.6 B.8 C.9 D.12 (2)(2025·绍兴模拟)原点到直线l：λx＋y－λ＋1＝0(λ∈R)的距离的最大值为(　　) A. B. C. D. 1.6　一元二次方程、不等式 题型一　求解一元二次不等式 例1　(多选)下列选项中，正确的是(　　) A.不等式－x2－x＋2>0的解集为{x|x<－2或x>1} B.不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2} C.不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D.设x∈R，则“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件 例2　已知函数f(x)＝ax2＋3x＋2.若a>0，解关于x的不等式f(x)>－ax－1. 题型二　三个二次之间的关系 例3　(1)(多选)(2025·蚌埠模拟)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(－∞，1)∪(5，＋∞)，则下列结论正确的是(　　) A.a>0 B.a＋b＋c>0 C.bx＋c>0的解集是 D.cx2－bx＋a<0的解集是 (2)若关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<1<x2，则a的取值范围是(　　) A.－<a< B.a> C.a<－ D.－<a<0 题型三　一元二次不等式恒成立问题 例4　已知函数f(x)＝mx2－(m－1)x＋m－1. (1)若不等式f(x)<1的解集为R，求m的取值范围； (2)若不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立，求m的取值范围； (3)若不等式f(x)>2对一切m∈(0，2)恒成立，求x的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 集　合 题型一　集合的含义与表示 例1　(1)(多选)下列各组中M，P表示不同集合的是(　　) A.M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)} B.M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)} C.M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R} D.M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R} 答案　ABD 解析　选项A中，M＝{3，－1}是数集，P＝{(3，－1)}是点集，二者不是同一集合，故M≠P； 选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P； 选项C中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝[1，＋∞)，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}＝[1，＋∞)，故M＝P； 选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有y组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合，故M≠P. (2)已知m∈R，n∈R，若集合＝{m2，m＋n，0}，则m2 025＋n2 025的值为(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 答案　B 解析　因为＝{m2，m＋n，0}，m≠0， 所以 解得或 当m＝1时，不满足集合元素的互异性， 故m＝－1，n＝0，m2 025＋n2 025＝(－1)2 025＋02 025＝－1. 题型二　集合间的基本关系 例2　(1)(2025·青岛模拟)已知全集U＝R，集合A，B满足A⊆(A∩B)，则下列关系一定正确的是(　　) A.A＝B B.B⊆A C.A∩(∁UB)＝∅ D.(∁UA)∩B＝∅ 答案　C 解析　因为集合A，B满足A⊆(A∩B)，故可得A⊆B， 对A，当A为B的真子集时，不成立； 对B，当A为B的真子集时，也不成立； 对C，A∩(∁UB)＝∅，恒成立； 对D，当A为B的真子集时，不成立. (2)已知M＝{x|－2≤x≤2}，A＝{x|1－a≤x≤1＋a}，且A∩M＝A，则实数a的取值范围为　　　　　　.  答案　{a|a≤1} 解析　因为A∩M＝A，所以A⊆M， 又因为A＝{x|1－a≤x≤1＋a}， 当A＝∅时，1－a>1＋a，解得a<0； 当A≠∅时，解得0≤a≤1， 综上，实数a的取值范围是{a|a≤1}. 题型三　集合的基本运算 例3　(1)(2024·新课标全国Ⅰ)已知集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B等于(　　) A.{－1，0} B.{2，3} C.{－3，－1，0} D.{－1，0，2} 答案　A 解析　因为A＝{x|－<x<}， B＝{－3，－1，0，2，3}， 且1<<2，－2<－<－1， 所以A∩B＝{－1，0}. (2)(2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U(M∪N)等于(　　) A.{x|x＝3k，k∈Z} B.{x|x＝3k－1，k∈Z} C.{x|x＝3k－2，k∈Z} D.∅ 答案　A 解析　方法一　M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}， 所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}， 所以∁U(M∪N)＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数， 即∁U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}. 方法二　集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集. 例4　(1)设集合A＝{x|x<a2}，B＝{x|x>a}，若A∩(∁RB)＝A，则实数a的取值范围为(　　) A.[0，1] B.[0，1) C.(0，1) D.(－∞，0]∪[1，＋∞) 答案　A 解析　因为B＝{x|x>a}， 所以∁RB＝{x|x≤a}， 又A∩(∁RB)＝A，所以A⊆∁RB， 又A＝{x|x<a2}，所以a2≤a， 解得0≤a≤1，即实数a的取值范围为[0，1]. (2)(2025·衡水模拟)已知集合A＝{x|y＝ln(1－x2)}，B＝{x|x≤a}，若(∁RA)∪B＝R，则实数a的取值范围为(　　) A.(1，＋∞) B.[1，＋∞) C.(－∞，1) D.(－∞，1] 答案　B 解析　由题可知A＝{x|y＝ln(1－x2)}＝{x|－1<x<1}， ∁RA＝{x|x≤－1或x≥1}， 所以由(∁RA)∪B＝R，得a≥1. 例5　某校初一(4)班有学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，则三项都参加的人数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　C 解析　设集合A＝{x|x是参加足球队的学生}， 集合B＝{x|x是参加排球队的学生}， 集合C＝{x|x是参加游泳队的学生}， 则card(A)＝25，card(B)＝22，card(C)＝24， card(A∩B)＝12，card(B∩C)＝8，card(A∩C)＝9. 设三项都参加的有m人，即card(A∩B∩C)＝m，card(A∪B∪C)＝46， 所以由card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)， 即46＝25＋22＋24－12－8－9＋m， 解得m＝4， 故三项都参加的有4人. 1.2　常用逻辑用语 题型一　充分、必要条件的判定 例1　(1)(2024·连云港模拟)“λ＝－1”是“直线l1：x＋λy＋9＝0与l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　当λ＝－1时，直线l2：－3x＋3y－3＝0，即x－y＋1＝0，与直线l1：x－y＋9＝0平行，充分性成立； 直线l1：x＋λy＋9＝0与l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行，有λ(λ－2)＝3，解得λ＝－1或λ＝3， 其中当λ＝3时，两直线重合，舍去，故λ＝－1，必要性成立. 故“λ＝－1”是“直线l1：x＋λy＋9＝0与l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行”的充要条件. (2)祖暅原理是一个涉及几何求积的著名命题.内容为：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.意思是两个等高的几何体，如在等高处的截面积相等，则体积相等.设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在同一高处的截面积相等.根据祖暅原理可知，p是q的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案　C 解析　已知A，B为两个等高的几何体，由祖暅原理知q⇒p，而p不能推出q，可举反例，两个相同的圆锥，一个正置，一个倒置，此时两个几何体等高且体积相等，但在同一高处的截面积不一定相等，则p是q的必要不充分条件. 题型二　充分、必要条件的应用 例2　(1)已知p：x≤1，q：x≤a，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是　　　　　　；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是　　　　　　.  答案　(－∞，1)　(－∞，1] 解析　因为p：x≤1，q：x≤a， 若p是q的必要不充分条件，则(－∞，a] (－∞，1]，因此a<1， 即实数a的取值范围是(－∞，1). 若p是q的必要条件，则(－∞，a]⊆(－∞，1]， 因此a≤1，即实数a的取值范围是(－∞，1]. (2)已知p：x>1或x<－3，q：x>a(a为实数).若綈q的一个充分不必要条件是綈p，则实数a的取值范围是　　　　　　.  答案　[1，＋∞) 解析　由已知得綈p：－3≤x≤1，綈q：x≤a. 设A＝{x|－3≤x≤1}，B＝{x|x≤a}， 若綈p是綈q的充分不必要条件，则綈p⇒綈q，綈q⇏綈p， 所以集合A＝{x|－3≤x≤1}是集合B＝{x|x≤a}的真子集. 所以a≥1. 题型三　全称量词与存在量词 例3　(多选)下列说法正确的是(　　) A.“菱形是正方形”是全称量词命题 B.“∀x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2＋y2<0” C.命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除” D.“A＝B”是“sin A＝sin B”的必要不充分条件 答案　AB 解析　对于A，“菱形是正方形”即“所有的菱形都是正方形”是全称量词命题，故A正确； 对于B，由全称量词命题的否定知其否定是“∃x，y∈R，x2＋y2<0”，故B正确； 对于C，命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“所有的奇数都能被3整除”，故C错误； 对于D，因为A＝B时，sin A＝sin B成立，而sin A＝sin B时，A＝B不一定成立，如A＝，B＝，故“A＝B”是“sin A＝sin B”的充分不必要条件，故D错误. 例4　(多选)下列命题中，为真命题的是(　　) A.∀x∈R，2x－1>0 B.∃x∈R，x2＋1<2x C.∀xy>0，x＋y≥2 D.∃x，y∈R，sin(x＋y)＝sin x＋sin y 答案　AD 解析　对于A项，∀x∈R，>0，A项正确； 对于B项，∵x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，∴x2＋1≥2x，B项错误； 对于C项，当x<0，y<0时，x＋y<0<2，C项错误； 对于D项，取x＝y＝0，则sin(x＋y)＝sin 0＝0＝sin 0＋sin 0＝sin x＋sin y，D项正确. 例5　(1)(2024·台州模拟)若命题“∃x∈R，使x2－x－m＝0”是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为“∃x∈R，x2－x－m＝0”是真命题，所以Δ＝1－4×(－m)≥0，解得m≥－. (2)已知命题“∃x∈R，ax2－ax＋1≤0”为假命题，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　[0，4) 解析　由题意得不等式ax2－ax＋1>0对∀x∈R恒成立. ①当a＝0时，不等式1>0在R上恒成立，符合题意； ②当a≠0时，若不等式ax2－ax＋1>0对∀x∈R恒成立，则解得0<a<4. 综上，实数a的取值范围是[0，4). 1.3　等式性质与不等式性质 题型一　数(式)的大小比较 例1　(1)(多选)下列不等式中正确的是(　　) A.x2－2x>－3(x∈R) B.a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R) C.a2＋b2>2(a－b－1) D.<(b>a>0) 答案　AD 解析　∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0， ∴x2－2x>－3，故A正确； a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b). ∵(a－b)2≥0，a＋b的符号不确定， ∴a3＋b3与a2b＋ab2的大小不确定，故B错误； ∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0， ∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C错误； 用作差法比较， ∵b>a>0，∴>0， ∴<，故D正确. (2)若实数m，n，p满足m＝4，n＝5，p＝，则(　　) A.p<m<n B.p<n<m C.m<p<n D.n<p<m 答案　A 解析　因为实数m，n，p满足m＝4，n＝5，p＝，则m>0，n>0，p>0， 所以·<1，所以m<n； 又·>1，所以m>p. 所以p<m<n. 题型二　不等式的基本性质 例2　(1)(多选)已知实数a，b，c，d，则下列命题中错误的是(　　) A.若a>b，则ac>bc B.若a>b，c>d，则a－c>b－d C.若b<a<0，则> D.若a>b，c>d，则ac<bd 答案　ABD 解析　对于A，当c＝0时，ac＝bc，故A错误； 对于B，不妨取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，满足a>b，c>d，但a－c＝b－d，故B错误； 对于C，若b<a<0，则－b>－a>0，所以<，则>，故C正确； 对于D，取a＝3，b＝－5，c＝1，d＝－，此时ac>bd，故D错误. (2)(多选)(2025·常德模拟)已知a>b>0，则下列不等式正确的是(　　) A.a2>ab B.> C.a＋b＋ln(ab)>2 D.a－>b－ 答案　ABD 解析　对于A，∵a>b>0，∴a2>ab，故A正确； 对于B，∵a>b>0，∴<，∴1＋<1＋，即0<<，∴>，故B正确； 对于C，令a＝1，b＝，则a＋b＋ln(ab)＝1＋＋ln <2，故C错误； 对于D，易得y＝x－(x>0)为增函数，且a>b>0，故a－>b－，故D正确. 题型三　不等式性质的综合应用 例3　(1)(多选)已知－1<a<5，－3<b<1，则下列结论正确的是(　　) A.－15<ab<5 B.－4<a＋b<6 C.－2<a－b<8 D.－<<5 答案　ABC 解析　因为－1<a<5，－3<b<1， 所以－1<－b<3， 对于A，当0≤a<5，0≤b<1时，0≤ab<5； 当0≤a<5，－3<b<0时，0<－b<3， 则0≤－ab<15，即－15<ab≤0； 当－1<a<0，0≤b<1时，0<－a<1， 则0≤－ab<1，即－1<ab≤0； 当－1<a<0，－3<b<0时，0<－a<1，0<－b<3，则0<ab<3， 综上，－15<ab<5，故A正确； 对于B，－1－3＝－4<a＋b<5＋1＝6，故B正确； 对于C，－1－1＝－2<a－b<5＋3＝8，故C正确； 对于D，当a＝4，b＝时，＝8，故D错误. (2)(2024·辽宁县域重点高中协作体模拟)公园的绿化率是指公园内的绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为a m2，绿化面积为b m2(0<b<a)，现对该公园再扩建2x m2，其中绿化面积为x m2，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比(　　) A.变大 B.变小 C.不变 D.不确定 答案　D 解析　原来公园的绿化率为，扩建后公园的绿化率为， 则， 所以与的大小与a，2b的大小有关，故扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率的变化情况不确定. 1.4　基本不等式 题型一　基本不等式的理解及常见变形 例1　(1)(多选)下列说法不正确的是(　　) A.x＋的最小值是4 B.不等式ab≤与≤成立的条件是相同的 C.的最小值为2 D.存在a，使得a＋<2成立 答案　ABC 解析　对于A，当x>0时，x＋≥2＝4(当且仅当x＝2时取等号)， 当x<0时，x＋＝－≤－2＝－4(当且仅当x＝－2时取等号)，故A错误； 对于B，ab≤恒成立，而≤成立的条件为a>0，b>0，故B错误； 对于C，y＝≥2，等号成立的条件是，即x2＋2＝1，显然不能取到，故C错误； 对于D，存在a＝－1，使得a＋<2成立，故D正确. (2)若0<a<b，则下列不等式一定成立的是(　　) A.b>>a> B.b>>>a C.b>>>a D.b>a>> 答案　C 解析　∵0<a<b，∴2b>a＋b， ∴b>>. ∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a. 故b>>>a. 题型二　基本不等式的性质 例2　(1)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为(　　) A.1 B. C.2 D.2 答案　D 解析　方法一　由xy＝1得x2＋2y2≥2＝2， 当且仅当x2＝2y2，即x2＝，y2＝时，等号成立，x2＋2y2的最小值为2. 方法二　x2＋2y2＝≥2，当且仅当x2＝2y2，即x2＝，y2＝时，等号成立，x2＋2y2的最小值为2. (2)当0<x<1时，3x(3－3x)的最大值为　　　　　　.  答案　 解析　由题意及基本不等式可知 3x(3－3x)≤， 当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号. 例3　(1)函数f(x)＝4x＋，x∈(－1，＋∞)的最小值为(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 答案　B 解析　因为x∈(－1，＋∞)，则x＋1>0， 则f(x)＝4x＋＝4(x＋1)＋－4≥2－4＝12－4＝8， 当且仅当即x＝时，等号成立， 故函数f(x)＝4x＋，x∈(－1，＋∞)的最小值为8. (2)(2025·咸阳模拟)已知a>0，b>0，且＝1，则a＋b的最小值为　　　　.  答案　2＋1 解析　由a>0，b>0，＝1， 得a＋b＝(a＋1)＋(b＋1)－2 ＝[(a＋1)＋(b＋1)]－2 ＝＋1≥2＋1 ＝2＋1， 当且仅当，即a＝，b＝＋1时取等号，所以a＋b的最小值为2＋1. 与基本不等式模型结构相似的对勾函数模型 典例　函数f(x)＝x2＋的最小值是　　　.  答案　 解析　由f(x)＝x2＋＝x2＋2＋－2， 令x2＋2＝t(t≥2)，则有f(t)＝t＋－2， 由对勾函数的性质知，f(t)在[2，＋∞)上单调递增，所以当t＝2时，f(t)min＝， 即当x＝0时，f(x)min＝. 例4　(多选)已知a，b为正实数，且a>1，b>1，(a－1)(b－1)＝1，则下列结论正确的是(　　) A.＝1 B.ab的最大值为4 C.2a＋b的最小值为3＋2 D.的最小值为2 答案　ACD 解析　因为a>1，b>1，所以a－1>0，b－1>0. 对于A，因为(a－1)(b－1)＝1，所以ab＝a＋b，得＝1，A正确； 对于B，由ab＝a＋b，得ab＝a＋b≥2(当且仅当a＝b＝2时取等号)，所以≥2，ab≥4， 所以ab的最小值为4，B错误； 对于C，2a＋b＝(2a＋b)＝3＋≥3＋2，C正确； 对于D，因为(a－1)(b－1)＝1，所以≥2＝2(当且仅当a＝b＝2时取等号)，D正确. 例5　已知实数x，y满足3xy＋y2＝1，y>0，则2x＋y的最小值是(　　) A. B. C.2 D.3 答案　B 解析　因为实数x，y满足3xy＋y2＝1，y>0， 所以x＝， 则2x＋y＝＋y＝≥2， 当且仅当，即y＝时，等号成立， 所以2x＋y的最小值是. 例6　(多选)(2024·郑州模拟)已知正数a，b满足a2＋b2＝1＋ab，则下列结论正确的是(　　) A.a2＋b2的最小值为2 B.a＋b的最大值为2 C.的最小值为2 D.lg a＋lg b<0 答案　BC 解析　对于A，a2＋b2＝1＋ab≤1＋，当且仅当a＝b时等号成立，则a2＋b2≤2，故A不正确； 对于B，由ab≤≤≤1，当且仅当a＝b时等号成立，得≤1，即a＋b≤2，故B正确； 对于C，由，因为0<ab≤1，所以≥1， 当＝1时，取得最小值为2，故C正确； 对于D，因为0<ab≤1，所以lg a＋lg b＝lg(ab)≤0，当且仅当a＝b＝1时等号成立，故D不正确. 1.5　基本不等式的综合应用 题型一　与基本不等式有关的恒(能)成立问题 例1　(1)若不等式≥恒成立，则实数m的最大值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.9 答案　D 解析　由题意≥m恒成立，即5＋≥m恒成立. 又5＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝b时取等号. 故实数m的最大值为9. (2)若两个正实数x，y满足＝1，且不等式x＋<m2－3m有解，则实数m的取值范围是(　　) A.{m|－1<m<4} B.{m|m<－4或m>1} C.{m|－4<m<1} D.{m|m<－1或m>4} 答案　D 解析　∵不等式x＋<m2－3m有解， ∴<m2－3m，∵x>0，y>0，＝1， ∴x＋＋2≥2＋2＝4， 当且仅当，即x＝2，y＝8时等号成立， ∴m2－3m>4，∴(m＋1)(m－4)>0， ∴m<－1或m>4， ∴实数m的取值范围是{m|m<－1或m>4}. 题型二　基本不等式的实际应用 例2　随着环保意识的增强，电动汽车成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段(汽车行驶速度不低于60 km/h)测试发现：①汽车每小时耗电量P(单位：kW·h)与速度v(单位：km/h)的关系满足P(v)＝0.002v2－0.04v＋5(60≤v≤120)；②相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从A地经高速公路(最低限速60 km/h，最高限速120 km/h)匀速行驶到距离为500 km的B地，出发前汽车电池存量为75 kW·h，汽车到达B地后至少要保留5 kW·h的保障电量(假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与路程都忽略不计). (1)判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由； (2)若以该电动汽车的现存电量一定可以到达A地与B地间的服务区，服务区充电桩的功率为15 kW(充电量＝充电功率×时间)，求到达B地的最少用时(行驶时间与充电时间总和). 解　(1)设匀速行驶速度为v km/h，耗电量为f(v)，则f(v)＝P(v)·＝v＋－20(60≤v≤120)， 易知函数f(v)在区间[60，120]上单调递增， 所以f(v)min＝f(60)＝>75－5， 即最小耗电量大于电池存量减去保障电量， 所以该车不能在不充电的情况下到达B地. (2)设匀速行驶速度为v km/h，总时间为t h，行驶时间与充电时间分别为t1 h，t2 h. 若能到达B地，则初始电量＋充电电量－消耗电量≥保障电量， 即75＋15t2－f(v)≥5， 解得t2≥－6. 所以t＝t1＋t2≥－6＝－6≥2－6＝. 当且仅当，即v＝100时取等号， 所以该汽车到达B地的最少用时为 h. 题型三　基本不等式与其他知识交汇的最值问题 例3　(1)设a>0，b>0，若ln 是ln 3a与ln 9b的等差中项，则的最小值为(　　) A.6 B.8 C.9 D.12 答案　B 解析　∵ln 是ln 3a与ln 9b的等差中项， ∴2ln ＝ln 3a＋ln 9b， 即ln 3＝ln(3a·9b)＝ln 3a＋2b＝(a＋2b)ln 3， ∴a＋2b＝1，又a>0，b>0， ∴(a＋2b)＝4＋≥4＋2＝8， 当且仅当，即a＝，b＝时等号成立. (2)(2025·绍兴模拟)原点到直线l：λx＋y－λ＋1＝0(λ∈R)的距离的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　方法一　设原点到直线l的距离为d，由点到直线的距离公式得 d＝， 显然当λ<0时，有最大值， 此时－， 因为(－λ)＋≥2＝2，当且仅当λ＝－1时等号成立， 所以≤＝1，所以dmax＝. 方法二　直线l恒过定点(1，－1)，故原点到直线l距离的最大值为. 1.6　一元二次方程、不等式 题型一　求解一元二次不等式 命题点1　不含参的不等式 例1　(多选)下列选项中，正确的是(　　) A.不等式－x2－x＋2>0的解集为{x|x<－2或x>1} B.不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2} C.不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D.设x∈R，则“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件 答案　BD 解析　由题知方程－x2－x＋2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等式－x2－x＋2>0的解集为{x|－2<x<1}，故A错误； 因为 －1≤0，即≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3≤x<2，所以不等式的解集为{x|－3≤x<2}，故B正确； 由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1， 解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}，故C错误； 由|x－1|<1，可得－1<x－1<1，解得0<x<2，由<0，可得－4<x<5，因此，“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件，故D正确. 例2　已知函数f(x)＝ax2＋3x＋2.若a>0，解关于x的不等式f(x)>－ax－1. 解　不等式f(x)>－ax－1可化为ax2＋(a＋3)x＋3>0，即(ax＋3)(x＋1)>0. 因为a>0， 所以当－<－1，即0<a<3时，原不等式的解集为； 当－＝－1，即a＝3时，原不等式的解集为{x|x≠－1}； 当－>－1，即a>3时，原不等式的解集为. 题型二　三个二次之间的关系 例3　(1)(多选)(2025·蚌埠模拟)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(－∞，1)∪(5，＋∞)，则下列结论正确的是(　　) A.a>0 B.a＋b＋c>0 C.bx＋c>0的解集是 D.cx2－bx＋a<0的解集是 答案　CD 解析　由题意可得1和5是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a<0， 由根与系数的关系可得1＋5＝－，1×5＝，得b＝－6a，c＝5a， 对于A，因为a<0，故A错误； 对于B，a＋b＋c＝a－6a＋5a＝0，故B错误； 对于C，不等式bx＋c>0，即－6ax＋5a>0，即6x－5>0，得x>， 所以不等式bx＋c>0的解集是，故C正确； 对于D，由不等式cx2－bx＋a<0，得a(5x2＋6x＋1)<0，即5x2＋6x＋1>0， 则(5x＋1)(x＋1)>0，得x>－或x<－1， 即解集为，故D正确. (2)若关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<1<x2，则a的取值范围是(　　) A.－<a< B.a> C.a<－ D.－<a<0 答案　D 解析　方法一　显然a≠0； 令f(x)＝ax2＋(a＋2)x＋9a， 当a>0时，f(1)<0，当a<0时，f(1)>0， 故af(1)<0，即a(11a＋2)<0， 解得－<a<0. 方法二　因为方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有两个不相等的实数根x1，x2， 所以 因为x1<1<x2， 所以(x1－1)(x2－1)<0， 即x1x2－(x1＋x2)＋1<0， 则9＋＋1<0，解得－<a<0. 题型三　一元二次不等式恒成立问题 例4　已知函数f(x)＝mx2－(m－1)x＋m－1. (1)若不等式f(x)<1的解集为R，求m的取值范围； (2)若不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立，求m的取值范围； (3)若不等式f(x)>2对一切m∈(0，2)恒成立，求x的取值范围. 解　(1)不等式f(x)<1， 即mx2－(m－1)x＋m－2<0， 当m＝0时，x－2<0，解得x<2，不符合题意； 当m≠0时，有 解得m<， 综上所述，m的取值范围为. (2)不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立， 即m(x2－x＋1)≥1－x对一切x∈恒成立， 因为x2－x＋1＝>0， 则不等式等价于m≥对一切x∈恒成立， 由x∈， 得≤＝1， 当且仅当1－x＝，即x＝0时等号成立， 所以＝1， 所以m≥1，即m的取值范围是[1，＋∞). (3)不等式f(x)>2对一切m∈(0，2)恒成立， 即(x2－x＋1)m＋x－3>0对一切m∈(0，2)恒成立， 令h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3， 因为x2－x＋1＝>0， 所以函数h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3在(0，2)上单调递增， 则h(0)＝x－3≥0，解得x≥3， 所以x的取值范围为[3，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$